Giả sử A, B, C là tên của 3 trong số 10 người bạn. Tìm xác suất cả 3 tấm thiệp dành cho cho A, B, C đều bỏ đúng bì thư. b) Tính xác suất có ít nhất một tấm thiệp được bỏ đúng bì thư của nó. Câu 2: ( 2đ) Một hộp đựng 6 bi đỏ, 2 bi xanh và 2 bi vàng. Lấy ngẫu nhiên ra từng bi cho đến khi gặp bi đỏ thì dừng lại. Gọi X là biến ngẫu nhiên chỉ số bi xanh và Y là biến ngẫu nhiên chỉ số bi vàng đã lấy ra. a) Lập bảng phân phối xác suất đồng thời của véc tơ ngẫu nhiên ( X,Y). b) Tính hệ số tương quan RXY Câu 3: ( 1,5đ) Để dự đoán số cá trong một hồ, cơ quan quảnGiả sử A, B, C là tên của 3 trong số 10 người bạn. Tìm xác suất cả 3 tấm thiệp dành cho cho A, B, C đều bỏ đúng bì thư. b) Tính xác suất có ít nhất một tấm thiệp được bỏ đúng bì thư của nó. Câu 2: ( 2đ) Một hộp đựng 6 bi đỏ, 2 bi xanh và 2 bi vàng. Lấy ngẫu nhiên ra từng bi cho đến khi gặp bi đỏ thì dừng lại. Gọi X là biến ngẫu nhiên chỉ số bi xanh và Y là biến ngẫu nhiên chỉ số bi vàng đã lấy ra. a) Lập bảng phân phối xác suất đồng thời của véc tơ ngẫu nhiên ( X,Y). b) Tính hệ số tương quan RXY Câu 3: ( 1,5đ) Để dự đoán số cá trong một hồ, cơ quan quảnGiả sử A, B, C là tên của 3 trong số 10 người bạn. Tìm xác suất cả 3 tấm thiệp dành cho cho A, B, C đều bỏ đúng bì thư. b) Tính xác suất có ít nhất một tấm thiệp được bỏ đúng bì thư của nó. Câu 2: ( 2đ) Một hộp đựng 6 bi đỏ, 2 bi xanh và 2 bi vàng. Lấy ngẫu nhiên ra từng bi cho đến khi gặp bi đỏ thì dừng lại. Gọi X là biến ngẫu nhiên chỉ số bi xanh và Y là biến ngẫu nhiên chỉ số bi vàng đã lấy ra. a) Lập bảng phân phối xác suất đồng thời của véc tơ ngẫu nhiên ( X,Y). b) Tính hệ số tương quan RXY Câu 3: ( 1,5đ) Để dự đoán số cá trong một hồ, cơ quan quản
Trang 1Trường ĐHBK TPHCM ĐỀ THI HỌC KỲ
Bộ môn Toán ứng dụng MÔN XÁC SUẤT THỐNG KÊ
Thời gian: 90 phút
- Đề thi gồm 2 trang A4
- Thí sinh được dùng các bảng tra số và máy tính bỏ túi
- Thí sinh khơng được sử dụng tài liệu
Câu 1: ( 2đ)
Một người viết tặng 10 tấm thiệp khác nhau cho 10 người bạn Do đãng trí anh ta bỏ ngẫu nhiên các tấm thiệp này vào 10 bì thư ghi sẵn tên 10 người bạn đĩ
a) Giả sử A, B, C là tên của 3 trong số 10 người bạn Tìm xác suất cả 3 tấm thiệp dành cho cho A, B, C đều bỏ đúng bì thư
b) Tính xác suất cĩ ít nhất một tấm thiệp được bỏ đúng bì thư của nĩ
Câu 2: ( 2đ)
Một hộp đựng 6 bi đỏ, 2 bi xanh và 2 bi vàng Lấy ngẫu nhiên ra từng bi cho đến khi gặp bi đỏ thì dừng lại Gọi X là biến ngẫu nhiên chỉ số bi xanh và Y là biến ngẫu
nhiên chỉ số bi vàng đã lấy ra
a) Lập bảng phân phối xác suất đồng thời của véc tơ ngẫu nhiên ( X,Y)
b) Tính hệ số tương quan R XY
Câu 3: ( 1,5đ)
Để dự đốn số cá trong một hồ, cơ quan quản lý đánh bắt 450 con, làm dấu rồi thả xuống hồ Lần sau người ta bắt ngẫu nhiên 500 con thì thấy cĩ 80 con đã được đánh dấu Hãy xác định số cá trong hồ với độ tin cậy 98%
Câu 4: ( 3đ)
Người ta thực hiện một khảo sát độc lập về tuổi thọ của một loại lốp xe hiệu X bằng cách đem chúng thử nghiệm trên đường cho đến khi hỏng Số liệu thu được như sau:
Số km đi được
(ngàn km)
52-54 54-56 56-58 58-60 60-62 62-64
a) Với độ tin cậy 95%, hãy dự đốn kích thước mẫu cần cĩ nếu chúng ta muốn ước lượng tuổi thọ trung bình của loại lốp xe này với sai số là 0,3
(ngàn km)
b) Nhà sản xuất đã quảng cáo tuổi thọ trung bình của loại lốp này là 60 ngàn
km Với mức ý nghĩa 1%, cĩ thể kết luận nhà sản xuất đã nĩi quá sự thật hay khơng?
Trang 2c) Khi khảo sát 100 lốp xe cùng loại của hiệu Y thì người ta thấy có được 26 lốp xe chạy được trên 60 ngàn km Có thể xem như tỉ lệ lốp xe có tuổi thọ trên 60 ngàn km của hiệu Y là cao hơn so với hiệu X hay không, xét với mức ý nghĩa 1%?
Câu 5: ( 1,5đ)
Số vết nứt quan sát được trên các cuộn thép mạ được thống kê như sau:
Với mức ý nghĩa 5%, hãy kết luận xem mẫu này có phù hợp với phân phối Poisson hay không?
Chủ nhiệm Bộ môn
PGS.TS Nguyễn Đình Huy
Trang 3ĐÁP ÁN
Câu 1: 2đ
Gọi Ai là biến cố bức thư thứ i bỏ đúng bì thư ; i = 1,2,3,…,10
Gọi A, B, C là các biến cố thư của người A, người B, người C bỏ đúng bì thư a) (0,5đ) Xác suất cần tìm:
P(ABC) = P(A).P(B/A).P(C/AB) = 1 1 1 0,0013889
10 9 8 b) (1,5đ) Gọi E là biến cố có ít nhất 1 thư đến đúng được địa chỉ
E = A1 + A2 + … + A10
Theo công thức cộng xác suất tổng quát, ta có được :
P(E) =
10
1 2 10 1
Y
X
15
1 60
15
1 30
1 70
60
1 70
1 210
b)
. 0,2222 .
X Y
XY
X Y
xy x y
R
s s
Câu 3: 1,5đ
n = 500; f = 80/500= 0,16
Khoảng ước lượng tỉ lệ cá được đánh dấu:
(1 ) 2,33 0,16 0,84
0,16 (0,16 0,0382) (0,1218; 0,1982)
500
z f f
p f
n
Khoảng ước lượng về số cá trong hồ (2270; 3695)
Câu 4: 3đ
a) Kích thước mẫu cần tìm:
2 2
1,96 2,5272
273 0,3
Trang 4b) Gọi a là tuổi thọ trung bình của lốp xe hiệu X
C1: Gtkđ Ho: a = 60 ngàn km Gt H1: a 60 ngàn km
zα = 2,58
0 57, 7333 60
180 12, 0335 2,5272
o
x a
Do | z o | > zα nên bác bỏ H0; chấp nhận H 1
Đồng thời x 57,7333 60 nên ta coi tuổi thọ của các lốp xe hiệu X thực sự thấp hơn
60 ngàn km Cơng ty nĩi quá sự thật
C2: Gtkđ Ho: a = 60 ngàn km Gt H1: a < 60 ngàn km
Z2α = 2,33
Miền bác bỏ Wα = (- ; -2,33)
0 57, 7333 60
180 12, 0335 2,5272
o
x a
s
Do z o W α nên bác bỏ H 0 ; chấp nhận H1 Ta coi tuổi thọ của các lốp xe hiệu X thực
sự thấp hơn 60 ngàn km Cơng ty nĩi quá sự thật
c)
Gọi p 1 ; p 2 lần lượt là tỉ lệ lốp xe cĩ tuổi thọ trên 60 ngàn km của hiệu X và Y
C1:
Gtkđ Ho: p 1 = p 2
Gtkđ H 1 : p 1 p 2
z α = 2,58
0
1,3895
1
f f z
f f
n n
Do z0 < 2,58 nên chưa bác bỏ được H 0
Coi như tỉ lệ lốp xe cĩ tuổi thọ trên 60 ngàn km của hiệu Y khơng cao hơn so với hiệu X C2: Gtkđ Ho: p 1 = p 2
Gtkđ H 1 : p1 < p2 Miền bác bỏ Wα = (- ; -2,33)
0
1,3895
1
f f z
f f
n n
Do z0 W α nên chưa bác bỏ được H0
Coi như tỉ lệ lốp xe cĩ tuổi thọ trên 60 ngàn km của hiệu Y khơng cao hơn so với hiệu X
Câu 5: 1,5 đ
Ho: mẫu phù hợp phân phối Poisson với x 2,5154
H 1 : mẫu không phù hợp phân phối Poisson
Miền bác bỏ: Wα =( 9,49; +∞) n= 130
Trình bày cơng thức tính pi : ……
pi 0.080832 0.203323 0.255718 0.21441 0.134831 0.06783
Ei=n*pi 10.50814 26.432 33.24333 27.87325 17.52799 8.817926
Tiêu chuẩn kđ: qs2 = 13,9180 ( trình bày cơng thức tính) W α Bác bỏ H 0
Mẫu khơng phù hợp phân phối Poisson
Trang 5Trường ĐHBK TPHCM ĐỀ THI HỌC KỲ
Bộ môn Toán ứng dụng MÔN XÁC SUẤT THỐNG KÊ
Thời gian: 90 phút
- Đề thi gồm 2 trang A4
- Thí sinh được dùng các bảng tra số và máy tính bỏ túi
- Thí sinh khơng được sử dụng tài liệu
Câu 1: ( 1,5đ ) Cĩ 2 chuồng thỏ gần nhau Chuồng thứ nhất cĩ 5 thỏ trắng và 10
thỏ nâu Chuồng thứ hai cĩ 4 thỏ trắng và 6 thỏ nâu Do người chăm sĩc sơ ý nên
đã cĩ một con thỏ ở chuồng thứ hai chạy sang chuồng thứ nhất Sau đĩ người ta bắt ngẫu nhiên một con thỏ ở chuồng thứ nhất ra thì được một con thỏ trắng Tính xác suất để con thỏ trắng này khơng phải là con đã chạy từ chuồng thứ hai qua
Câu 2: ( 2,5đ ) Cĩ 3 hộp, mỗi hộp đựng 10 sản phẩm và trong hộp thứ i cĩ i phế
phẩm, i 1;3 Người ta tung 2 đồng xu, nếu khơng cĩ mặt sấp nào thì chọn hộp thứ nhất; nếu cĩ một trong hai mặt đồng xu là sấp thì chọn hộp thứ 2; nếu cả hai mặt đồng xu là sấp thì chọn hộp thứ 3 Từ hộp được chọn lấy ra ngẫu nhiên một sản phẩm
Gọi X là biến ngẫu nhiên chỉ số mặt sấp xuất hiện khi tung 2 đồng xu; và Y là biến ngẫu nhiên chỉ số phế phẩm được lấy ra từ hộp đã chọn
a) Lập bảng phân phối xác suất của X và bảng phân phối xác suất đồng thời của véc tơ ngẫu nhiên (X, Y)
b) Tìm covarian, hệ số tương quan và ma trận tương quan của (X, Y)
Câu 3: ( 4đ ) Khi khảo sát chiều dài của cùng một loại chi tiết do phân xưởng A
sản xuất, người ta thu được mẫu sau:
Chiều dài chi tiết (mm) Số chi tiết tương ứng
30,0 – 30,5 30,5 – 31,0 31,0 –31,5 31,5 – 32,0 32,0 – 32,5 32,5 – 33,0 33,0 – 33,5
2
8
35
43
22
15
5 Các chi tiết đạt loại I là các chi tiết cĩ chiều dài nằm trong khoảng từ 31 mm đến
33 mm
a) Với mức ý nghĩa 5% , hãy xét xem mẫu này cĩ tuân theo quy luật phân phối chuẩn hay khơng?
Trang 6b) Hãy tìm khoảng ước lượng cho chiều dài trung bình của các chi tiết với độ tin cậy 98%
c) Với độ tin cậy 98%, hãy tìm khoảng ước lượng cho số chi tiết đạt loại I trong kho chứa 6000 sản phẩm cùng loại của phân xưởng A
d) Trước đây, tỉ lệ chi tiết đạt loại I của phân xưởng chiếm 80% Số liệu trong mẫu trên được khảo sát sau khi phân xưởng áp dụng cải tiến quy trình sản xuất Với mức ý nghĩa 1%, có thể xem như việc cải tiến đã làm tăng tỉ lệ chi tiết đạt loại I không?
Câu 4: ( 2đ ) Người ta khảo sát một loại cây dược liệu trưởng thành về chỉ số
chiều cao X (cm) và chỉ số trọng lượng Y (100 gram) Dưới đây là số liệu của mẫu thu được:
Y
X
Giả thiết rằng chiều cao và trọng lượng của cây tuân theo phân phối chuẩn
a) Hãy tìm hệ số tương quan mẫu (X, Y); viết phương trình đường hồi quy tuyến tính mẫu của Y theo X; và dự đoán trọng lượng của cây loại này có chiều cao
145 cm
b) Với mức ý nghĩa 1%, hãy kiểm định xem giả thiết chiều cao trung bình của loại cây này khi trưởng thành là 120 cm có đáng tin cậy hay không?
Chủ nhiệm Bộ môn
Trang 7ĐÁP ÁN
Câu 1: 1,5 đ
Gọi: H 1 là biến cố con thỏ chạy từ chuồng 2 sang chuồng 1 là thỏ trắng P(H1) = 4/10
H2 là biến cố con thỏ chạy từ chuồng 2 sang chuồng 1 là thỏ nâu P(H2) = 6/10
{ H 1 , H 2 } là nhĩm biến cố đầy đủ
F là biến cố con thỏ bắt được ở chuồng 1 là thỏ trắng
B là biến cố con thỏ bắt được ở chuồng 1 khơng phải là con đã chạy từ chuồng 2 sang
P(H )×P(B.F/H )+P(H )×P(B.F/H )
10 16 10 16
Câu 2: 2,5đ
a)
P 1/4 1/2 1/4
Y
X
0 9/40 1/40
1 4/10 1/10
2 7/40 3/40 P(X=0;Y=0) = P(X=0)* P(Y=0/ X=0) = 1/4* 9/10 = 9/40 ……
cov( , ) 0,25 1 0,2 0,05
0,25 1 0,2 0,1768 0,7071 0,4
XY
X Y
X Y xy x y
xy x y R
s s
Ma trận tương quan: ( ) cov( , ) 0,5 0,05
cov( ,Y) ( ) 0,05 0,16
a) (1,5 đ) GTKĐ Ho: Mẫu phù hợp phân phối chuẩn N (a=31,7885; 2
= (0,6373)2 )
GT đối H1: Mẫu khơng phù hợp phân phối chuẩn
Miền bác bỏ Wα =( 9,49; +∞). Trình bày cơng thức tính pi : ……
Các
-oo 30.5 0.0216 2.81 2 0.2330789
30.5 31 0.0864 11.23 8 0.9310697
31 31.5 0.2174 28.26 35 1.6068286
31.5 32 0.3046 39.60 43 0,2922921
32 32.5 0.2379 30.92 22 2.5739511
32.5 33 0.1035 13.45 15 0.1784416
Tiêu chuẩn kđ: qs2 = 6,2517 ( trình bày cơng thức tính) W α Chưa bác bỏ được H 0
Ta coi mẫu phù hợp phân phối chuẩn
( Cĩ thể dùng cơng thức rút gọn để tính qs 2 nhanh hơn )
Trang 8b) (0,5 đ) KUL cần tìm:
2,33 0,6398 31,7885 31,7885 0,1307 31,6577;31,9192
130
z s
n
c) Trước tiên ta tìm KƯL cho tỉ lệ sản phẩm loại I của phân xưởng
0,8846 0, 0653
n
hay ( 0,8193; 0,9499)
Suy ra khoảng ƯL cho số sản phẩm loại I trong kho là: ( 4916; 5699)
d)
Gọi p là tỉ lệ sản phẩm loại I sau khi cải tiến
C1: Gtkđ Ho: p = 0,8 Gt H1: p 0,8
z α = 2,58
0
115 0,8
o
Do | z o | < zα nên chưa bác bỏ được H o Ta coi như tỉ lệ sản phẩm loại I chưa thay đổi
C2: Gtkđ Ho: p = 0,8 Gt H1: p > 0,8
Miền bác bỏ W α = (2,33; + )
0
115 0,8
o
Do z o W α nên bác bỏ H o , chấp nhận H 1 Ta nói tỉ lệ sản phẩm loại I đã tăng
Câu 4: 2đ
a) r = 0,8220; ( ghi các công thức tính)
A= -4,0227 B= 0,0848 Phương trình đường thẳng hồi quy mẫu y 4, 0227 0, 0848 x
Dự đoán : (145) 8,2680y
b) Gọi a là chiều cao trung bình của cây trưởng thành
C1: Gtkđ Ho: a = 120 cm Gt H1: a 120 cm
z α = 2,58
0 120, 75 120
80 0,5364 12,5057
o
Do | z o | < z α nên chưa bác bỏ được H o Ta coi như giả thiết đã cho là tin cậy
C2: Gtkđ Ho: a = 120 cm Gt H1: a 120 cm
Miền bác bỏ W α = (- ; -2,58) (2,58; + )
0 120, 75 120
80 0,5364 12,5057
o
s
Do z o W α nên chưa bác bỏ được H o Ta coi như giả thiết đã cho là tin cậy