DẠNG 18 tìm số PHỨC LIÊN hợp

DẠNG TOÁN: Đây là dạng toán xác định số phức liên hợp khi đã biết số phức... Tìm số phức liên hợp của số phức zi... Tổng phần thực và phần ảo của số phức z bằng.. Vậy tổng phần thực và

I KIẾN THỨC CẦN NHỚ:

1 Định nghĩa số phức

 Định nghĩa:

 Một số phức là một biểu thức dạng z a bi  với ,a b   và i  , trong đó: i được 2 1 gọi là đơn vị ảo, a được gọi là phần thực và b được gọi là phần ảo của số phức

z a bi 

 Tập hợp các số phức được kí hiệu là  a bi a b / , ;i2 1

 Chú ý:

- Khi phần ảo b 0 z a là số thực

- Khi phần thực a 0 z bi  z là số thuần ảo

- Số 0 0 0i  vừa là số thực, vừa là số ảo

 Hai số phức bằng nhau:





    





a c

a bi c di

b d với , , ,  a b c d .

 Hai số phức z1 a bi z; 2 a bi được gọi là hai số phức đối nhau

2 Số phức liên hợp.

 Số phức liên hợp của z a bi  với ,a b   là a bi và được kí hiệu bởi z Rõ ràng

zz

3 Biểu diễn hình học.

 Trong mặt phẳng phức Oxy (Ox là trục thực, Oy là trục ảo ), số phức z a bi  với ,

a b  

được biểu diễn bằng điểm M a b ; 

4 Mô đun của số phức.

 Môđun của số phức z a bi a b  ,   là  z  a2b2

5 Các phép toán trên tập số phức.

Cho hai số phức: z a bi  ; 'z  a b i' ' với , , ', 'a b a b   và số k 

 Tổng hai số phức: z z ' a a' ( b b i ')

 Hiệu hai số phức: z z ' a a' ( b b i ')

 Nhân hai số phức: z z 'a bi a b i   ' '   a a b b ' '  a b a b i ' ' 

 Nếu z  thì 0 2

' '

z z z

z  z

, nghĩa là nếu muốn chia số phức 'z cho số phức z  thì ta 0 nhân cả tử và mẫu của thương

'

z

z cho z

6 Căn bậc 2 của số thực âm.

 Căn bậc hai của số thực a âm là i a

7 Giải phương trình bậc 2 trên tập số phức.

Cho phương trình bậc 2: az2bz c 0 (1) Trong đó a ,b , c là những số thực và a  0

 Xét biệt thức  b2 4ac

 Nếu   thì phương trình (1) có 2 nghiệm thực phân biệt:0 1 2

;

     

DẠNG TOÁN 18: SỐ PHỨC LIÊN HỢP

 Nếu   thì phương trình (1) có 2 nghiệm phức phân biệt:0

     

 Nếu   thì phương trình (1) có nghiệm kép: 0 1 2

2

b

z z

a



 

II CÁC DẠNG BÀI TẬP TƯƠNG TỰ

 Thực hiện các phép toán

 Tìm phần thực, phần ảo

 Số phức liên hợp

 Tính mô đun của số phức

 Phương trình bậc nhất theo z (và liên hợp của z)

 Hỏi tổng hợp về các khái niệm

BÀI TẬP MẪU

A z  3 2i B z  2 3i C z  3 2i D z  3 2i

Phân tích hướng dẫn giải

1 DẠNG TOÁN: Đây là dạng toán xác định số phức liên hợp khi đã biết số phức

2 HƯỚNG GIẢI:

B1: Số phức z có dạng: z a bi 

B2: Số phức liên hợp của số phức z có dạng: z a bi 

Từ đó, ta có thể giải bài toán cụ thể như sau:

Lời giải Chọn A

Số phức z 3 2i có số phức liên hợp là z  3 2i

Bài tập tương tự và phát triển:

 Mức độ 1

Câu 1 Tìm số phức liên hợp của số phức zi

A z i B z 1 C z i D z 1

Lời giải Chọn A

Câu 2 Cho số phức z 2 3i Số phức liên hợp của z là?

A z  13 B z  2 3i C z  3 2i D z  2 3i

Lời giải Chọn D

2 3

 

Câu 3 Số phức z thỏa mãn z 3 2i là

A z 3 2i B z 3 2i C z 3 2i D z 3 2i

Lời giải Chọn B

Ta có z 3 2i suy ra z 3 2i

Câu 4 Tìm số phức liên hợp của số phức z2i 3 i

A z  3 6i B z  3 6i C z  3 6i D z  3 6i

Lời giải Chọn B

Ta có: z2i 3i  3 6i z  3 6i

Câu 5 Tìm số phức liên hợp của số phức z2 3 3 2 i   i

A z12 5 i B z12 5 i C z12 5 i D z12 5 i

Lời giải:

Chọn D

Ta có z2 3 3 2 i   i  6 5i 6i2 12 5 i  z12 5 i

Câu 6 Tìm số phức liên hợp của số phức z3 2 3  i 4 2 1 i 

A 10 i B 10 i C 1 10i D 10 i

Lời giải:

Chọn D

Ta có: z3(2 3 ) 4(2 1) 6 9i 8i 4 10 i i  i        z 10 i 

Câu 7 Tìm số phức liên hợp của số phức z biết z i z.  2

A 1 i B   1 i C   1 i D 1 i

Lời giải:

Chọn A

Ta có

2 1 2

i

i



 Vậy z   1 i

Câu 8 Cho các số phức z1 2 3i, z2  4 5i Số phức liên hợp của số phức

 1 2 2

w z z là

A w28i B w 8 10i C w12 16 i D w12 8 i

Lời giải:

Chọn C

Ta có w2 6 8  i 12 16 i w12 16 i

Câu 9 Kí hiệu a b, lần lượt là phần thực và phần ảo của số phức z 4 3i Tìm a b, .

A a  , 4 b  3 B a  , 4 b3i C a  , 4 b  3 D a  , 4 b  3

Lời giải:

Chọn D

ảo của số phức z

O x

y

4



3

M

A Phần thực là 3 và phần ảo là 4 B Phần thực là 4 và phần ảo là 3i

C Phần thực là 3 và phần ảo là 4i D Phần thực là 4 và phần ảo là 3

Lời giải:

Chọn D

Câu 11 Cho số phức z có số phức liên hợp z  3 2i Tổng phần thực và phần ảo

của số phức z bằng

Lời giải:

Chọn D

Ta có: z 3 2i Vậy tổng phần thực và phần ảo của số phức z bằng 5

Câu 12 Cho số phức z 3 2i Tìm phần ảo của của số phức liên hợp z.

Lời giải:

Chọn C

Ta có: z 3 2i phần ảo của z là 2

Câu 13 Cho số phức z1  1 2i và z2  2 3i Phần thực và phần ảo của số phức

z  z là

A Phần thực là 3 và phần ảo là 8i B Phần thực là 3 và phần ảo là 8

C Phần thực là 3 và phần ảo là 8 D Phần thực là 3 và phần ảo là 8

Lời giải:

Chọn B

Ta có: z1 2z2  1 2i 2 2 3  i  3 8i Vậy phần thực của z1 2z2là 3 và phần

ảo là 8

1

P z



2 3



2 3



Lời giải:

Chọn C

 Mức độ 2

z

i

i  

 Số phức liên hợp z là

A z   5 i B z  5  i C z   1 5i D z   1 5i

Lời giải Chọn A

3 2 1   5

z  i  i   i

Số phức liên hợp z   5 i

Câu 2 Tìm số phức liên hợp của số phức z2i  1 i 2 1i 2

A z  5 15i B z  5 5i C z  1 3i D z  5 15i

Lời giải:

Chọn A

2

(2 )( 1 )(2 1) 3 3 4 5 15

z i  i i   i   i   i  z  5 15i.

1 3 3

1

i z

i





A z 4 4i B z 4 4i C z 4 4i D z 4 4i

Lời giải Chọn A

Ta có:

1 3 3

1

i z

i







3

1 3 1



   4 4i Suy ra z 4 4i

z



A

25i 25

Lời giải

Chọn C

Dùng máy tính:

22 4

25 25

Vậy

25 25

z   i

Câu 5 Cho hai số phức z 1 3i, w 2 i Tìm phần ảo của số phức u z w .

Lời giải.

Chọn C

1 3

z  i; u z w  1 3i 2 i  1 7i

Vậy phần ảo của số phức u bằng 7

Câu 6 Cho số phức z thỏa mãn 3 2 i z  7 5i Số phức liên hợp z của số phức z

là

A

31 1

z  i

13 13

z  i

C

13 13

z  i

D

31 1

z  i

Lời giải Chọn B

Ta có: 3 2 i z  7 5i

i

i



Vậy

13 13

z  i

Câu 7 Cho số phức z thỏa mãn: 1i z 14 2 i Tổng phần thực và phần ảo của z

bằng:

Lời giải.

Chọn B

Ta có:  

14 2

1





i

i

Vậy tổng phần thực phần ảo của z là 14

Câu 8 Cho số phức z thỏa mãn: (3 2 ) i z(2 i)2   Hiệu phần thực và phần ảo4 i

của số phức z là:

Lời giải.

Chọn A

Ta có :

2

(3 2 ) i z(2 i)  4 i  (3 2 ) i z  4 i 2 i2  (3 2 ) i z 1 5i

1 5

3 2

i z

i





1

  

 phần thực của số phức z là a  , phần ảo của số phức 1 z là b  1

Vậy a b  0

Câu 9 Cho số phức z thỏa mãn 4 7 i z  5 2 i 6iz Tìm phần ảo của số phức z?

A

18

18 17



13 17



13

17

Lời giải:

Chọn C

5 2 4

Câu 10 Cho số phức z 1 2i Tìm phần thực và phần ảo của số phức w2z z

A Phần thực là 2 và phần ảo là 3 B Phần thực là 3 và phần

ảo là 2i

C Phần thực là 2i và phần ảo là 3 D Phần thực là 3 và phần ảo là 2

Lời giải:

Chọn D

w z z   i   i   i Phần thực là 3 và phần ảo là 2

A.2ab B a b2 2 C a2- b2 D 2abi

Lời giải.

Chọn A

Ta có : 2 ( )2 2 2

2

z = +a bi =a - b + abi Phần ảo của z2 là 2ab

Mô đun của số phức 2z1 3 2  z2 3

bằng

Lời giải.

Chọn B

Phương trình z2 3z 5 0 có nghiệm là

3 11

2 2

Không mất tính tổng quát, giả sử: 1

3 11

2 2

và 2

3 11

2 2

2z  3 2z  3  3 i 11 3 3 i 11 3  i 11 i 1111i 11

Vậy mô đun của số phức 2z1 3 2  z2 3

bằng 11

 Mức độ 3

Câu 1 Có bao nhiêu số phức z thỏa

1 1

z

i z





 và

1?

2

z i z







Lời giải:

Chọn A

Đặt z x yi  với x y  , .

Ta có:

 





 



1 1

1

1 2

z

i z



 



3

2

x

2 6

, 3

m

i z

i

  



  m nguyên dương Có bao nhiêu giá trị m  1; 50

để z là số thuần ảo?

Lời giải

Chọn C

Ta có:

2 6

(2 ) 2 3

m

i

i

  



z là số thuần ảo khi và chỉ khi m2k1, k  (do z0;    ).m *

Vậy có 25 giá trị m thỏa yêu cầu đề bài.

Câu 3 Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn 1 i z z   là số thuần ảo và z 2i  1

Lời giải Chọn A

Đặt z a bi  với ,a b   ta có : 1 i z z    1 i a bi    a bi 2a b ai 

Mà 1 i z z   là số thuần ảo nên 2a b 0 b2a

Mặt khác z 2i  nên 1 a2b 22 1 a22a 22 1 5a2 8a 3 0

1 3 5

a a









 



3

1

i z

i

  

 



  Tìm phần thực và phần ảo của số phức z ?

A Phần thực bằng 2 và phần ảo bằng 2i B Phần thực bằng

2 và phần ảo bằng 2

C Phần thực bằng 2 và phần ảo bằng 2i D Phần thực bằng

2 và phần ảo bằng 2

Lời giải Chọn D

Ta có

3 3

3

1 3

i i



2

3 2 i z 2 i   Tìm phần ảo của số4 i phức w 1 z z

Lời giải:

Chọn A

Ta có    

2

3 2 i z 2 i  4 i  z 1 i

Do đó w 1 z z 2i 1 i    phần ảo của số phức 3 i w 1

3

z z  i  i

Lời giải:

Chọn B

Ta có    

3

z z  i  i  z z  i

Đặt z a bi a b   ,   Khi đó     

Câu 7 Nếu số phức z 1 thoả mãn z 1 thì phần thực của

1

1

Lời giải:

Chọn B

 , 

z x yi x y , z  1 x2 y2 1



i

có phần thực là

2 2 2

1 2 1



  

x

Câu 8 Cho hai số phức z , 1 z thỏa mãn 2 z  , 1 1 z  và 2 2 z1z2  Giá trị của 3 z1 z2

là:

khác

Lời giải:

Chọn B

Giả sử z1 a1b i1, a b1, 1  ,  z2 a2b i2 , a b2, 2  

Theo bài ra ta có:

1

2

1 2 3

z

z

z z









1 4

9

  



   





1 4

a b

a b

a a b b



Khi đó, ta có:

z  z  a  a  b b  2 2  2 2  

1

Vậy z1 z2  1

Câu 9 Cho 2 số phức z , 1 z thỏa 2 z  , 1 1 z  ,2 1 z1z2  3 Khi đó z1 z2 bằng:

Lời giải:

Chọn D

Giả sử z1  a bi, z2  c di với a , b , c , d  

Ta có z 1 1 a2b2 1 a2 b2  1

z   c2d2 1 c2 d2  1

z z   a c 2 b d 2  3  a2c22ac b 2d22bd 3

        2bd2ac1

Khi đó z1 z2  a c 2 b d 2  a2c2b2d2 2bd  2ac 1

Câu 10 Cho số phức z a bi  a b   thỏa mãn 1 3,  z  i z i  Tính 0 S  a 3b

A

7 3

S 

7 3

S 

Lời giải:

Chọn B

Ta có z 1 3i z i 0 a bi  1 3i i a 2b2 0

1 0 3

a

 



 



1 3

a b











 







1 4 3

a b







 



  S 5

2

2

z i là số thuần ảo?

Lời giải:

Chọn C

Gọi z= +x yi x y( , Î ¡ ), khi đó

z2i2 xy2i2 x2 y222x y 2i

Theo giả thiết ta có

2

2

x y

 



    

 

Trường hợp 1: x y  thay vào 2 ( )1 ta được phương trình 2y2 =0

và giải ra nghiệm y= , ta được 0 1 số phức z1= 2

Trường hợp 2: x y2

thay vào ( )1 ta được phương trình 2y2- 4y- =8 0

và giải ra ta được

1 5

1 5

y y

é = + ê

ê =

-ê , ta được 2 số phức

2

3

é =- - + + ê

ê

ê = + +

Vậy có 3 số phức thỏa mãn yêu cầu bài toán

1 33

1







i z

i Môđun của số phức z iz bằng

Lời giải:

Chọn A

        

1 5

10 4 1

i

i



 Tính môđun của số phức

2

1

w iz z

Lời giải:

Chọn D

Gọi z a bi a b   ,   

1 5

1

i

i



2 4 14 6 6 0 1 1 3

3

a

b







suy ra    

2

w i  i   i   i

vậy w  41

Câu 14 Biết số phức z có phần ảo khác 0 và thỏa mãn z 2i  10 và z z . 25

Điểm nào sau đây biểu diễn số phức z trên?

A P4; 3 

B N3; 4 

C M3; 4 D Q4; 3

Lời giải:

Chọn C

Giả sử z x yi  x y, , y0

Ta có z 2i  10  x yi  2i  10

Lại có z z . 25 x2y2 25 nên 25 4 x 2y5 2x y 10  y10 2 x

5 3

x x





  

+ Với x 5 y , không thỏa mãn vì 0 y  0

+ Với x 3 y , thỏa mãn 4 y 0  z 3 4i

Do đó điểm M3; 4 biểu diễn số phức z

Câu 15 Cho số phức z a bi  a b, ,a0 thỏa mãn z 1 2i  và 5 z z  10 Tính

P a b 

Lời giải:

Chọn C

Từ giả thiết z 1 2i  và 5 z z  10 ta có hệ phương trình

 2  2

10





 



10

 



 

 

2 5

 



 



3 1

a b





 



 (loại) hay

1 3

a b









 Vậy P 2

Câu 16 Số phức z a bi  ( với a , b là số nguyên) thỏa mãn 1 3i z  là số thực và

2 5 1

z  i 

Khi đó a b là

Lời giải:

Chọn B

Ta có: 1 3i z   1 3i a bi     a 3bb 3a i

Vì 1 3i z  là số thực nên b 3a0  b3a  1

2 5 1

z  i   a 25 b i 1 a 225 b2  1  2

Thế  1 vào  2 ta cĩ: a 225 3 a2 110a2 34a28 0

7 ( 5

a

  







 

 loại)

Vậy a b    2 6 8

 Mức độ 4

w  i  i  i   i Tìm phần thực và phần ảo của số phức w

A Phần thực bằng 210 và phần ảo bằng  10

1 2

B Phần thực bằng 210 và phần ảo bằng  10

1 2

 

C Phần thực bằng 210 và phần ảo bằng 1 2 10

D Phần thực bằng 210 và phần ảo bằng  1 2 10

Lời giải Chọn B

1i  2i 2  1i 2  2 i

Suy ra

21



Vậy w cĩ phần thực bằng 210 và phần ảo bằng  1 2 10

Câu 2 Cho số phức z 0 thỏa mãn

1

iz i z

z i



 Số phức

13 3

w iz

cĩ mơđun bằng:

3 26

Lời giải Chọn C

Gọi z a bi a b   ,   Suy ra z a bi 

Ta cĩ

3 3

ai b ai b a bi a b a i b i

a2 b2 2a b i a2 b2 4b a 0

4 0

    



 

   



26 9 0

, 5





45 9

26 26

z  i

(Vì z 0)

Với

Câu 3 Cho hai số phức z , w thỏa mãn z2w  , 2 33 z w  và 6 z4w  Tính giá7

trị của biểu thức P z w z w .  .

A P14i B P28i C P 14 D P 28

Lời giải Chọn D

Ta có: z2w 3

2

z w

   z2w.z2w9 z2w.z2w9

2 4 9

z z z w z w w w

      z22P4w2  9  1

Tương tự:

2z3w 6  2z3w2 36 2z3 2w  z3w36 4 z26P9 w2 36  2

z w   z4w.z4w 49  z24P16 w2 49  3

Giải hệ phương trình gồm  1 ,  2 ,  3 ta có:

2

2

33 28 8

z P w

 











  P28

Câu 4 Cho các số phứcz z z thoả mãn 1, ,2 3 z1 z2 z3  và 1 z13 z23 z33 z z z1 2 3 0

Đặt zz1 z2 z3, giá trị của

3

z  z

bằng:

A 2;2 B 2; 4  C 4;4 D 2;4

Lời giải Chọn B

Ta có

và đặt z x

z z z z  z z z z z z  z z z z z z z z z

        

2

1 1 1

3

1 2 3

4 z 2x 3x 4 x

z z z





Câu 5 Xét số phức z thỏa mãn 1 2i z 10 2 i

z

Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A

3

2

1 2

z 

D

2 z 2

Lời giải:

Chọn D

Ta có

1 2

1

z





Vậy 1 2i z 10 2 i

z

  Đặt z  a 0.

2

1 10

2

a



Câu 6 Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn z z  4 i2i5 i z ?

Lời giải:

Chọn B

Ta có z z  4 i 2i5 i z

       z z  5i 4 z  z  2i

Lấy module 2 vế ta được





Đặt t z , t 0

Phương trình  1 trở thành

2

t  t   t t

       t 1 t3  9t2 4 0

1

9 4 0

t





 



 

 

 

 

8,95 0,69 1

0,64

t

n

n

t 













 





Ứng với mỗi giá trị t 0, với

 

4 2 5

z

i t

  



  suy ra có 3 số phức z thỏa mãn

Câu 7 Có bao nhiêu số phức thỏa mãn z z  6 i2i7 i z ?

Lời giải:

Chọn B

Đặt z  a 0,a  , khi đó ta có

 6  2 7 

z z  i  i  i z  a z  6 i2i7 i z  a 7i z 6a ai  2i

       a 7i z 6aa 2i

a 72 1 a2 36a2 a 22

   a414a313a24a 4 0

   3 2 

1

13 4 0







a

Xét hàm số f a  a313a24a0, có bảng biến thiên là

Đường thẳng y 4 cắt đồ thị hàm số f a  tại hai điểm nên phương trình

3 13 2 4 0

a a có hai nghiệm khác 1 (do f  1  ) Mỗi giá trị của a cho ta0 một số phức z

Vậy có 3 số phức thỏa mãn điều kiện

Câu 8 Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn z z  3 i2i4 i z ?

Lời giải:

Chọn B

 3  2 4 

z z  i  i  i z   z  4i z 3 z  z  2i

(*)

 z 42 1.z 9 z2  z 22

(1)

Đặt mz  0 ta có  1   m 421  m2 9m2m 22

1

m





 



 

1 6,91638 0.80344

m m m m

















Từ (*) ta suy ra ứng với mỗi z  sẽ có một số phức m

4

z

 



  thỏa mãn đề bài

Vậy có 3 số phức z thỏa mãn yêu cầu bài toán

Câu 9 Có bao nhiêu số phức z thỏa z 1 2i   z 3 4i và

2





z i

z i là một số thuần

ảo ?

Lời giải:

Chọn C

Đặt z x yi x y  ( ,  )

Theo bài ra ta có

      

Số phức

 

 

2

2 2

2 w

z i



 