Tài liệu Chuyên đề đồ thị Hamilton docx

Khái niệm đường đi Hamilton được xuất phát từ bài toán: “Xuất phát từ một đỉnh của khối thập nhị diện đều, hãy đi dọc theo các cạnh của khối đó sao cho đi qua tất cả các đỉnhkhác, mỗi đ

Chuyên đề

ĐỒ THỊ HAMILTON

Khái niệm đường đi Hamilton được xuất

phát từ bài toán:

“Xuất phát từ một đỉnh của khối thập nhị

diện đều, hãy đi dọc theo các cạnh của

khối đó sao cho đi qua tất cả các

đỉnhkhác, mỗi đỉnh đi qua đúng một lần,

sau đó trở về đỉnh xuất phát”

Bài toán này được nhà toán học Hamilton

đưa ra vào năm 1859

Giới thiệu:

Nhà toán học Hamilton

• Đường đi Hamilton là đường qua

tất cả các đỉnh của đồ thị và đi qua

mỗi đỉnh đúng một lần

Hay đường đi (x[1],x[2],…,x[n])

được gọi là đường đi Hamilton nếu

Định nghĩa:

• Chu trình Hamilton là đường đi

Hamilton có một cạnh trong đồ thị nối

đỉnh đầu với đỉnh cuối của đường đi

• Đồ thị Hamilton là đồ thị có chứa một chu trình Hamilton

• Đồ thị nửa Hamilton là đồ thị có chứa một đường đi Hamilton

Định nghĩa:

Đồ thị G2 là đồ thị nửa Hamilton

Đồ thị G3 không có chu trình hay đường đi

Hamilton

Không giống như đồ thị Euler, chúng ta chưa có điều kiện cần và đủ để kiểm tra xem một đồ thị

có là Hamilton hay không

Cho đến nay chỉ có các điều kiện đủ để một đồ thị là đồ thị Hamilton hay có đường đi Hamilton.

Chú ý:

2 Đơn đồ thị vô hướng G với n>2 đỉnh, mỗi đỉnh có deg(v)

3 Giả sử G là đồ thị có hướng liên

thông mạnh với n đỉnh Nếu với mỗi

đỉnh thuộc đồ thị thoả:

deg+(v) ≥ n/2 và deg-(v) ≥ n/2

thì G là đồ thị Hamilton.

Định lý về đồ thị Hamilton:

Đồ thị G có hướng liên thông mạnh

Ví dụ: Đồ thị G là đồ thị có hướng liên thông mạnh thỏa mãn

các điều kiện trên  G là đồ thị Hamilton

Định lý về đồ thị Hamilton (tt):

4 Đồ thị đấu loại: là đồ thị có hướng mà trong đó 2 đỉnh bất kỳ của nó được nối với nhau bởi đúng một cung.

a Mọi đồ thị đấu loại là nửa Hamilton

b Mọi đồ thị đấu loại liên thông mạnh là Hamilton

Định lý về đồ thị Hamilton (tt):

5 Đơn đồ thị vô hướng G gồm n đỉnh với n ≥ 3 Nếu

deg(v) ≥(n-1)/2 với mọi đỉnh v của G thì G có đường

đi Hamilton.

6 Đơn đồ thị vô hướng G gồm n đỉnh với n ≥ 3 Nếu

deg(x)+deg(y) ≥n với mọi cặp đỉnh x,y không kề nhau

Cho tới nay, vẫn chưa tìm ra phương

pháp với độ phức tạp đa thức để tìm chu trình cũng như đường đi Hamilton trong trướng hợp đồ thị tổng quát.

Có thể sử dụng thuật toán quay lui để liệt

kê chu trình Hamilton

Tìm chu trình Hamiloton của đồ thị:

Cấu trúc dữ liệu

Lưu trữ đồ thị đã cho dưới dạng danh sách kề Ke(v)

Liệt kê các chu trình Hamilton thu được bằng việc phát triển dãy đỉnh

(X[1],…,X[k-1])

Mô tả thuật toán:

Bước 1: Bắt đầu đi từ đỉnh 1, x[1]:=1

Bước 2: Tìm và lưu đỉnh có cạnh nối với x[i] và đỉnh j này

chưa thăm trước đó.

Bước 3: Nếu đỉnh j này là x[n] và giữa j và x[1] có cạnh nối

thì xuất ra đồ thị Hamilton

Mã giả của thuật toán

Dữ liệu vào: (input)

2

3 4

7

Đây có là đồ thị hamilton không?

Bài tập

Một số bài toán có liên quan đến đồ thị

Hamilton

Bài toán mã đi tuần: Trên bàn cờ tổng quát n*n (n chẵn, 6≤n≤20), có đặt quân mã ở một ô nào đó Hãy tìm một hành trình của quân mã từ

ô xuất phát, đi qua tất cả các ô đúng 1 lần.

XIN CẢM ƠN SỰ CHÚ Ý THEO DÕI CỦA THẦY VÀ CÁC BẠN

NHÓM THỰC HIỆN CHUYÊN ĐỀ:

• Nguyễn Tuấn Hùng

• Nguyễn Quốc Huy

• Bùi Hoàng Việt