Tài liệu Chuyên đề luyện thi THPT và Đại học- Cao đẳng docx

ẻ học sinh thấy được cách giải nhất quán của đạng toán lập phương trình đường thẳng chứa cạnh tam giác.. Bài viết này nhằm mục dích giúp học sinh lập phương trình đường thẳng với công v

ẻ học sinh thấy được cách giải nhất

quán của đạng toán lập phương trình

đường thẳng chứa cạnh tam giác

chúng ta cẩn làm nổi bật yếu tố giai tích

trong việc giải quyết bài tập hình Bài viết

này nhằm mục dích giúp học sinh lập phương

trình đường thẳng với công việc ban đầu là

xác định tọa độ các điểm (đỉnh trọng tâm tam

giác, .) Muốn vậy, hoc sinh can nam vững

mot sd ý tính chât hình học sau:

1) Cho điểm ă và đường thăng (A) Diém M’

đối xứng với điểm 4 qua (4) khi và chỉ khi

đoạn Ä/ă' vuông góc với (A) tại trung điểm

cua no

2) Tam gidc ABC c6 dinh Ay; vụ), (À) là

đường thàng chứa trung tuyến 8ð Khi đó

C(x,; vị) là đỉnh của tam giác khi và chỉ khi

trung điểm cla doan thang AC nam trén (A)

3) Điểm D 1a giao diém cua tia phan giác

trong (ngoài) của géc BAC voi đường thắng

BC khi và chỉ khi D chia doan BC theo ti sé k

eff đối với phân giác trong (k = — A đối

với phản giác ngoài) Từ công thức đó tính

được tọa độ /) qua tọa độ các điểm B, C

Khi người học đã nắm được định nghi tính

chất của các đường ddc biệt trong tam giác

như: đường cao, trung tuyến, phân giác, trung

trực bàng việc cho biết tọa độ ba điểm không

thàng hàng: tọa độ của một điềm cùng với

phương trình của hai đường thẳng giao nhau;

phương trình của ba đường thẳng đôi mot giao

nhau ta có thể tổ hợp được nhiều bài toán

hằng cách gán điểm đã biết tọa độ vào vị trí

đặc biết trong tam giác Đường tháng đã biết

phương trình sẽ là đường tháng chứa các

Và lài toán TWAT LAP PHONG TRIN MỏN TH

NGUYEN THANH CANH

(GV trường CĐSP Hưng Yên)

đường đặc biệt kể trên Sau đây, tôi xin đơn

cử một vài thí dụ cùng với hướng giải quyết

để minh họa cho ý kiến của mình

BB’ cia tam giác đó lớn lượt là

vnmath.com

se Lập hệ phương trình

x-y+5 =0 (do CC'.ugy =0)

x+v-15 =0 (do Je BB)

Tính được tọa độ Cf{Š ; 10) từ đó lập được PT

các đường tháng chứa các cạnh của tam giác

* Thí dụ 3 Lập phương trình các cạnh của

tam giác ABC biết A(S ; 2) Phương trình

đường trung trực cạnh BC, chường trung tuyến

Bài toán được giải quyết trọn vẹn khi ta tìm

được nghiệm của hệ phương trình trên

#* Thí dụ 4 Cho tam giác ABC biết các dường

trung tuyến AA”, đường cao CHÍ lẩn lượt có

phương trình

(đ):x+2y=7=0, (4đ );:—x+yv+2=0

Điểm M(1 : —2) thuộc đường thang AB Lap

phương trình đường thẳng chứa cạnh BC

Hướng giải

e Ta thiết lập được phương trình đường thẳng

(AB) lax+y+1=0

© Goi B(x; — x— 1) € (AB), C(y +2; ¥) € (d;)

Toa độ trung điểm của 8C là

Í( x+ty+2_—x+y-Ì

A [ee : sey) gửi

2 2

Suy ra — x + 3y— 14 = 0

Dề thấy bài toán có vô số nghiệm hình

s Việc hướng dẫn học sinh quy bài toán lập

PT đường thang về việc xác định tọa độ các

điểm sẽ thuận lợi hơn khi giải quyết các bài

toán thuộc dạng này trong không gian ba

chiều Chẳng hạn ta xét bài toán sau đây

*Thí dụ Š 7?rong không gian với hệ tọa

dé Descartes Oxyz cho tam gidc ABC var

C(O ; 2; 3), phitong trinh hai duéng cao la

Trên đây ta đã xét được một số thí dụ mình

họa cho việc lập hệ phương trình để tìm tọa

độ các điểm và hoàn thiện bài toán thiết lập

phương trình đường thăng trong mặt phẳng

cũng như trong không gian II vọng rằng các bạn đang ôn thí tốt nghiệp THPT nhận thấy được tính tích cực của việc áp dụng những

phép toán giải tích khi giải các bài tập hình

Cuối cùng xin gửi tới các bạn một số bài tập

để tham khảo

1 Tam giác ABC có A(-2 ; 1), tâm đường

tròn ngoại tiếp là /(—1 ; 3) và diém M (5; 3)

thuộc (8C) Lập phương trình các cạnh tam giác nếu biết độ dài cạnh 8C = 8

2 Cho tam giác ABC, điểm Ð (0 : 5; 2) là trung điểm cạnh 8C Đường cao Bï/, đường phân giác trong góc C lần lượt có phương

trình x — 2y + 3 = Ô; y = 3 Hãy lập phương trình các cạnh của tam giác đó

3 Lập phương trình các cạnh của tam giác

ABC nếu biết Á(—3 ; I ; 1) và phương trình hai đường trung tuyến theo thứ tự là

x†3_ y-l z-l1, x_y-2 z-3 , “¿ 1 *8 3 ] 2`

4 Lập phương trình các cạnh của tam giác ABC nếu biết 8(~2 ; 4 ; 1) và phương trình các đường

cao, trung tuyến kẻ từ A theo thứ tự là

a =0 x y-2 2-3

5 Tam giác ABC có M(3 ; 2 ; 0) nằm trên

đường thăng 8C Phương trình tia phân giác

góc Ö, đường trung trực cạnh 8C lần lượt là

aoe ed Ok #<ố

2 -3 2° & 2 2

Lap phương trình đường thẳng chứa cạnh AB,

HAM SO DONG BIEN, NCHICH BIEN;

và một số dạng toán liên quan

NGUYEN ANH DUNG

(Hà Nội)

ông biến, nghịch biến là các khái niệm

cơ bản nhất của hàm số (HS) Sử dụng

khảo sát sự biến thiên của HS, giúp chúng ta

giải quyết được một lớp rất rộng các bài toán

(Các bạn có thể xem thêm các bài trong cùng

chuyên mục trên các số báo 359 (5/2007) hoặc

361 (7/2007) Sau đây là một số vấn dé và dạng

toán thường gặp trong chương trình phổ thông

I LÍ THUYẾT

® Hàm số y = y(x) đồng biến trong khoảng

(a ; b) khi và chỉ khi y{(x)>0 Vx e (a; b),

và tập hợp các giá trị x trong khoảng (a ; ở)

thoả mãn y(x) = 0 là hữu hạn

e Nếu hàm số y = y(+) xác định trên l,

y(x)20,Vxe R và tập hợp các gia tri x

trong mỗi khoảng (a ; b) thoả mãn y”(x) = 0 là

hữu hạn thì hàm số đồng biến trên lR

Đối với HS nghịch biến, ta cũng có các mệnh

đề tương tự

H CÁC DẠNG TOÁN CÓ LIÊN QUAN:

1 Tìm điều kiện để hàm số đồng biến,

nghịch biến trong một khoảng cho trước

khoảng có độ dài lớn hơn 1

Lời giải a) Ta có y'=x?—(2m+1)x+3m+2

HS nghịch biến trong khoảng (0;1) khi và chỉ khi

Lưu ý Nếu a > 0 thì tam thức bậc hai

ƒ(x)=ax?+bx+c<0, Vxe (œ8) ( ƒ(œ)<0

eS f(B) <0

e Bai todn Cho ham s6 y=ac+bx*+cx+d, (a>0) Tim diéu kién để HS nghịch biến trong một khoảng có độ dài lớn hơn #

Cách giải Tính y`; Điều kiện của bài toán

được thỏa mãn khi PT y` = Ö có hai nghiệm

#¡, x phân biệt (A > 0) sao cho

|x -x:|>k © (x 5) >k?

> (x +22)" —4xyx > k?;

St dung dinh li Viéte suy ra két qua

* Thí dụ 2 Tìm m để hàm số

l

y= zu —(3m—1)x? +(m+3)x+4m—3

đồng biến trong khoảng (1:+e©}

Lời giải Ta có y`= x? -2(3m—1) x+m +3

HS đồng biến trong khoảng (1;+©) khi và

chỉ khi y°= ƒ(x)=x?—2(3m—I)x+m+3>0,

Hợp kết quả hai trường hợp, ta được m < 1

Lưu ý Giả sử a là một số thực dương thì HS

y=ax?+bx+c>0, Vxe (ơ;8)

trong hai trường hợp sau:

(0;1)

Lời giải Điều kiện xác định x # m

HS xác định trong khoảng (0;1) khi m < 0

x? —2mx+3m?—4m+1

HS đồng biến trong khoảng (0;I) khi và chỉ khi

Lưu ý ® Khi nói một HS đồng biến hoặc nghịch biến trong khoảng nào đó thì trước:

hết, nó phải xác định trong khoảng đó

® Nếu ƒ(x)=œt +bx+c và 2 as op thi

2 2a f(@)20 f(B)20 f(a) <0

>0) suyra w—w = x?—3x+2

PT đã cho tương đương với

lí log3—=v-—u &> log: w — ÌO8 y = w—

vnmath.com

Lưu ý ® Với phương trình dạng log, ~=v—u

V

với w, y đương và đ > 1, ta thường biến đồi

log, u—log, v=v—u & log,ut+u=log,v+y

Vì HS ƒŒ) =logxr+r đồng biến khi ¢ > 0,

Lưu ý * Với BPT dang log,u<log,v, ta

thường giải như sau:

Đặt ?=log„w (hoặc f = log;w); đưa về BPT

mũ; sử dụng chiều biến thiên của HS để suy

Lưu ý Với x dương và ne Ñ*, ta có bất đẳng

Lời giải Xét HS ƒ(x) = sinx+ tan x—2x, để

Ý rằng với xe [o2] thi O<cosx <1, suy ra

Lưu ý Cũng chứng minh tương tự như trên,

- T4 — VỚI x€ 055 ,tacé 2sinx+tanx>3x

BAI TAP

1 Giải phương trình, bất phương trình

a) log, sinx = 2log, tanx:

x? 43x45

— TH ¬x*“x rn ie A 2x7 +2x+3

1 h 1 a

C) [z+=] ‹{z+z) , a>b»‹0

GIAI PHUONG TRINH LUONG GIAC

NGUYEN MINH NHIEN

(GV THPT Qué V6 86 1, Bdc Ninh)

rong các đề thi tuyển sinh vào Dai hoc,

Cao đẳng những năm gần đây, đa số

các bài toán về giải phương trình lượng

giác đều rơi vào một trong hai dạng: Phương

trình đưa về dạng tích hoặc phương trình chứa

ấn ở mài Nhằm giúp các bạn ôn thi có kết quả

tốt, chúng tôi xin giới thiệu một số kí năng

quan trọng để giải các dạng toán đó

IL PHƯƠNG TRÌNH DUA VE DANG TICH

1) Sử dụng các công thức biến đổi lượng

giác : công thức biến đổi tích thành tổng,

<= 2sin cos (2e0sx+ =0

Giải các PT sin— =0 : cos =0; 2cosx+l = 0

ta được các họ nghiệm của PT (1) là x=—— TS

7

- kưu ý Khi nhóm các số hạng chứa sin (hoặc

césin) cla các góc với nhau, cần để ý đến

những góc sao cho tông hoặc hiệu các góc đó

bằng nhau để làm xuất hiện nhân tử chung _ *Thí dụ 2 Giải phương trình

(2)

cos3xcos3x—sin3xsin3 x= 243V2

8

Loi giải PT (2) tương đương với

2 cos*x(cos4x+cos2x} —_sih x(cos2x—cos4x)

- 2+ 3/2

8

= cos4x(cos?xz+sin” x)+cos2x(cosx—sin? x) _2+3⁄2

vnmath.com

*) sin’x = (1 — cosx)(1 + cosx);

cos2.x = (cosx — sinx)(cosx + sinx);

*) 1 + sin2x = (siny + cosx)’;

1 — sin2x = (sin — cosx)*:

sinx+COsx |

*) 1 +tanx=

cosx

; 71 ;

*) Visin{ x4) sins booss:

*) 1 + cos2x + sin2x = 2cosx(sinx + cosx);

*) 1 ~cos2x + sin2x = 2sinx(siny + cosx)

* Thí dụ 4 Gidi phuong trinh

2sinx(l+cos2x)+sin2x=l+2cosx (4)

Lời giải

PT (4) & 2sinx.2cos?x+2sinxcosx =1+2cosx

© (2cosx + 1)(2sin xcosx - 1) =0

Phần còn lại dành cho bạn đọc

* Thí dụ 5 Giải phương trình

cos2x + 3sin2x+5sinx—3cosx=3 (5)

Lời giđi PT (Š) tương đương với

(6sin xcosx—3cosx)~—(2sin? x—Ssinx+2)=0

© 3cosx(2sinx—l)—(2sinx—])(sinx—2)=0

=> (2sinx-l)(3cosx—sinx+2)=0

Phương trình này tương đương với hai PT cơ bản (xin dành cho bạn đọc giải tiếp)

II PHƯƠNG TRÌNH CHỨA ẨN Ở MẪU

Với loại phương trình này khi giải nếu không

cẩn thận rất dễ dẫn đến lấy thừa hoặc thiếu nghiệm Điều quan trọng đâu tiên để giải

dang này là đặt diéu kiện và kiểm tra điều kiện xác định Thông thường ta hay dùng đường tròn lượng giác để loại nghiệm Ngoài

ra, ta cũng gặp nhiều PT chita tan, cot Khi

đó có thể sử dụng một số công thức sau

sin(a+b

*) tang + tanb = S0)

cosa.cosh sin(b+a

sin2x

Lời giải ĐK : sin2x #0 cs x#—.k€Z,

2cos4x

PT(6) © cotx— tan x =

sin2x 2cos2x _ 2cos4x

Đối chiếu điều kiện ta được nphiệm

PT (8) tương đương với

2[tan3x—t (tan x-tanx)+{ +{tan3x+cot2x) = ) re

Để kết thúc bài báo, mời các bạn hãy giải

một số bài tập sau

Giải các phương trình:

1 cos3x + cos2x — cosv — Ì z Q;

2 (1 —tane)(1 + sin2x) = ] + tanx:

vnmath.com

va thi vao Đại hoc

a~ a~

= lim —=—

yO ax 2 2

2

tới hạn là cứ xứ dé viv ding cdc khi niệm

liền tực và dae ham cua ham so, Bar viet

này giúp các bạn lệ thông lại các dạng toán vẻ giới lu và các kĩ nàng giải các (lang toản đủ trong (chương trình tuần phố thông, chuẩn bi

cho cae ki thi tet nehiép THPT, the neven sinh

vao rade trường Đạt học, (Cao đàng

e Ham s6 y = fx) liên tục tại điểm v = vụ khi

cling din tới Ö khi v tiên tới ¿, được gọi là giới

, lrong đó /(U và ex)

han dang rt Đây là giới hạn thường gập nhât

trong chương trình phô thông

2) Cúc đang toán thương gap

Whi dul, Vim gohan

"ở 3

I, lim Ì CS \ CON 2A

‘ail i Loi giai Su dung cong thife (*), ta co

(l-cosx l—cos2x L; = lim — An

Lời giải 'Ta có

( 5 \

ly = mm] = lim m(t—=-)

ti 9, ye] Yoor® y+

¿ _1 ĐẠI ——- = ~, ta có vz2Ÿ - |; v <>29€2/ —> 410),

Lưu ý Giả sử P(x) là một đa thức bậc n, ta

quy ước coi bậc của P(x) là =

m

1) Để tìn giới hạn lim “€2

reer BAX) g(x) là các đa thức hoặc căn của đa thức ta

Tiếp theo tìm tim L&2 va tim £2 , từ đó

sex yy? rom yy

rồi suy ra kết quả cần tìm

KThi du 7 Tinh dao ham ham so sau tại

T rong những năm gần đây, trong để thi

tuyển sinh vào Đại học và Cao đẳng, các

bài toán cực trị trong không gian xuất hiện

ngày càng nhiều và học sinh thường tỏ ra rất

lúng túng khi giải dạng toán này Bài viết này

đưa ra một số bài toán cực trị với lời giải chỉ

tiết nhằm giúp các em nắm bắt được cách giải

dạng toán này (Xin xem thêm THÍTT số 366,

tháng 12/2007)

I BÀI TOÁN

Trong không gian voi hé toa dé Descartes

vuông óc Oxyz, cho hai diém 4(1:4:2)

đ) Điện tích tam giác AMB nhỏ nhất

2) Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa

đường thẳng d sao cho khoảng cách từ A đến

mặt phẳng (P) là lớn nhất

3) Viết phương trình mặt phẳng (Q) chứa

đường thẳng đd và tạo với mặt phẳng (xOy)

một góc nhỏ nhất

4) Viết phương trình mặt phẳng (ÑR) chứa

đường thăng dỈ và tạo với trục Qy góc lớn nhát

5) Trong số các đường thẳng đi qua A và cắt đường thẳng d viết phương trình các dường thẳng sao cho khoảng cách từ B đến nó là lớn nhất? nhỏ nhất?

Vì 56/- 304: + 416 là hàm số bậc hai nên

`, nho nhất khi T lúc đó

+y+l=0 2) Đường thăng d cé PT b *

2y-2+4=0

Vi mat phẳng (P) chứa đường thẳng d nén no

có PT

a(x+y+ 1) +Ðb(2y—z +4) =0 với a° + bˆ #0

e Nếu z =0 thì PT (P): 2y- z+4=0 Khi đó

bh?

——— làCó 5°?:+4b+2

4) Mặt phẳng (R) chứa đường thẳng d nên có PT: a(x + y + 1) + b(2y-z +4) =0,

Trục Óz có véc tơ chỉ phương v (0; I ; 0)

e Néu a = 0 thi PT mặt phẳng () có dạng 2y—z+4=0 và nếu gọi Ø là góc giữa mặt

Vay khoang cach tir B dén đ, lớn nhất bằng 48

6 Hai đường thang d, tuong ứng có PT là

So sánh hai trường hợp ta thấy sin Ø lớn nhất d, x<1 oye _2-2 vã xt _y74 _2-2

khi b = 2 Ltic d6 mat phang (R) cd PT `1 4 ¬ “15 I8 9

x+Sy-2z7+9=0

6) Danh cho ban doc xem nhu bai tap

5) Giả sử đ, là đường thẳng bat ki di qua A va ee re

cit dtai MU —1:- 241; 21) Khi đó II MỘT SO BAI TAP TU LUYEN

Bai 1 (Dé thi Dai hoc va Cao dang khéi A — 2008)

Trong không gian với hệ toạ dé Oxyz, cho điểm

aoe b) Gia su (P) là một mặt phẳng bất kì chứa đường

35 thang CD’ con œ là góc giữa mật phẳng (P) va

: 28 mặt phẳng 8# D'D Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của