Bài giảng lũy thừa và hàm số lũy thừa

TOANMATH.com Trang 1 BÀI 1: LŨY THỪA – HÀM SỐ LŨY THỪA Mục tiêu  Kiến thức + Biết các khái niệm và tính chất của lũy thừa với số mũ nguyên, lũy thừa với số mũ hửu tỉ không nguyên và lũy

Trang 1

TOANMATH.com Trang 1

BÀI 1: LŨY THỪA – HÀM SỐ LŨY THỪA Mục tiêu

 Kiến thức

+ Biết các khái niệm và tính chất của lũy thừa với số mũ nguyên, lũy thừa với số mũ hửu tỉ không nguyên và lũy thừa với số mũ thực

+ Biết khái niệm và tính chất của căn bậc n

+ Biết khái niệm và tính chất của hàm số lũy thừa

+ Biết công thức tính đạo hàm của hàm số lũy thừa

+ Biết dạng đồ thị của hàm số lũy thừa

 Kĩ năng

+ Biết dùng các tính chất của lũy thừa để rút gọn biểu thức, so sánh những biểu thức có chứa lũy thừa

+ Biết khảo sát hàm số lũy thừa

+ Tính được đạo hàm của hàm số lũy thừa

Trang 2

I LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM

LŨY THỪA

1 Lũy thừa với số mũ nguyên

Cho n là một số nguyên dương

• Với a tùy ý:

thừa số

n n

a   a a a

• Với a  : 0 a  0 1; n 1

n

a a

  (a: cơ số, n: số mũ)

Chú ý:

0

0 , 0 nkhơng cĩ nghĩa

Lũy thừa với số mũ nguyên cĩ các tính chất tương tự như lũy

thừa với số mũ nguyên dương

2 Phương trình xn b *

• Với n lẻ: Phương trình (*) luơn cĩ nghiệm duy nhất

• Với n chẵn

+ Nếu b0: Phương trình (*) cĩ hai nghiệm trái dấu

+ Nếu b0: Phương trình (*) cĩ một nghiệm x0

+ Nếu b0: Phương trình (*) vơ nghiệm

3 Căn bậc n

Khái niệm Cho b R ,  n N *n2 Số a được gọi là căn bậc n của b

nếu an b

• Với n lẻ và b R , phương trình  xn b cĩ duy nhất một căn bậc

n của b, ký hiệu là nb

• Với n chẵn:

0



b : Khơng cĩ căn bậc n của b

Trang 3

0



b : Có một căn bậc n của 0 là 0

0



b : Có hai căn trái dấu, ký hiệu giá trị dương là nb , còn giá

trị âm là nb

Tính chất Với a b  , , 0 m n N,  *; p  ta có:

•nab na b ;n

n

•nap  na p,a0 ;

•n ma n m a;

• khi n leû

khi n chaün

n n a

a



 

4 Lũy thừa với số mũ hửu tỉ

Cho số thực a dương và số hửu tỉ r m

n

 , trong đó

*

,

m   Lũy thừa của a với số mũ r được xác định như n

sau:

m

n

a a  a

5 Lũy thừa với số mũ vô tỉ

Cho a0,  là một số vô tỉ Ta thừa nhận rằng luôn có một

dãy số hữu tỉ  r mà n lim n

n r





 và một dãy số tương ứng

 a có giới hạn không phụ thuộc vào việc chọn dãy số r n  r n

Khi đó ta kí hiệu lim r n

n



 là lũy thừa của a với số mũ



6 Lũy thừa với số mũ thực

Tính chất Với mọi a, b là các số thực dương;  , là các số thực tùy ý, ta

có:

•a a  a   ;

•a a ;

a



 







Ví dụ:

1 1

2; n n

a a a a

Trang 4

• a  a  ;

• a b  a b ;

 



 



 

So sánh hai lũy thừa

• So sánh cùng cơ số

- Nếu cơ số a  thì 1   a a

- Nếu cơ số 0  thì a 1   a a

• So sánh cùng số mũ

- Nếu số mũ  thì 0 a b  0 a b

- Nếu số mũ  thì 0 a b  0 a b

HÀM SỐ LŨY THỪA

1 Khái niệm hàm số lũy thừa

Hàm số y x ,với  được gọi là hàm số lũy thừa

Chú ý: Tập xác định của hàm số y x tùy thuộc vào giá trị

của 

Cụ thể:

• nguyên dương: D ;

• nguyên âm hoặc bằng 0: D   \ 0 ; 

• không nguyên: D 0; 

2 Đạo hàm của hàm số lũy thừa

Hàm số lũy thừa y x ,  có đạo hàm với mọi x  và: 0

• x  x  1;

•  u u  1.u với u là biểu thức chứa x

3 Khảo sát hàm số lũy thừa y x 

, 0

y x    y x , 0

a Tập khảo sát: 0;  a Tập khảo sát: 0; 

b Sự biến thiên:

• y x  10, >0x

b Sự biến thiên:

• y x  10, >0x

Ví dụ:

   2,5 1,2

2,5 1,2    

   

0,5 1,1 0,3 0,5 0,3 1,1

Ví dụ:

0,8 0,8

    

0,8 0,8



    

   

Ví dụ: Tập xác định của hàm số

5

y x là D   ;

5

y x  là D   \ 0 ; 

2

7,

y x y x  là D 0; 

Ví dụ: Đạo hàm của hàm số

5

y x  là y  5.x6;

2

sin

  2sin sin 2sin cos

Lưu ý: Khi khảo sát hàm số lũy thừa với

số mũ cụ thể, ta phải xét hàm số đó trên toàn bộ tập xác định của nó Chẳng hạn: Khảo sát các hàm số y x 3trên tập xác định của nó là  , khảo sát hàm

số y x  2trên tập xác định D  \ 0  

Trang 5

Hàm số luôn đồng biến

• Giới hạn đặc biệt:

0

x

• Tiệm cận: Không có

Hàm số luôn nghịch biến

• Giới hạn đặc biệt:

0

x

• Tiệm cận:

Trục Ox là tiệm cận ngang

Trục Oy là tiệm cận đứng

c Bảng biến thiên: c Bảng biến thiên:

luôn đi qua điểm I 1;1

Trang 6

SƠ ĐỒ HỆ THỐNG HĨA LŨY THỪA

 

*

b n n

Căn bậc n của b

n lẻ

n chẵn

Cĩ duy nhất nb

0

b 

0

b 

0

b 

Khơng tồn tại

0 0

n 

n b

nb



a

*

0, ,

m a

n





0, là số vô tỉ

a 

0,

a 

*

,

a  n 

0,

a   n 

 : lim

lim n

n n n

r

n





thừa số

n

a   a a a

0 1; n 1

n

a



m

n

0

0 ,0 không có nghĩan

 

.

a

   



 



  

  

 









 



 

 

1;

 

 

 



Định nghĩa

Tính chất

Trang 7

HÀM SỐ LŨY THỪA

II CÁC DẠNG BÀI TẬP

Dạng 1: Lũy thừa

Bài toán 1 Viết lũy thừa với dạng số mũ hữu tỷ

Bài toán 1.1 Thu gọn biểu thức chứa căn thức

Phương pháp giải

Tính chất của căn bậc n

• Khi leû

; Khi chaün

n n

n

n n

ab











•

 

Khi leû 0

; Khi chaün 0

n

b

a

b







 





• nap  na p,a0 ;

• n ma n m. a;

• khi leû

khi chaün

a



 

Trang 8

Công thức lũy thừa với số mũ thực

•  am n am n ;

• a am n am n  ;

• m m n;

n

a



• a bm m  a b m;

m

b

 

  

 

Ví dụ mẫu

Ví dụ 1: Cho x là số thực dương Biểu thức 4 x x được viết dưới dạng lũy 2 3

thừa với số mũ hữu tỉ là

A

7

12

5

6

12

7

6

5

x Hướng dẫn giải

Ta có:

1

4 x x2 3  x x2 3  x3 x3 x12

Chọn A

Ví dụ 2: Cho hai số thực dương a và b Biểu thức 5 a b a3

b a b được viết dưới dạng lũy thừa với số mũ hữu tỉ là

A

7

30

a

b

 

 

31 30

a b

 

 

  C

30 31

a b

 

 

1 6

a b

 

 

  Hướng dẫn giải

Ta có:



       

Chọn D

Điều kiện x là số thực dương làm cho biểu thức ở dạng thũy thừa với số mũ hửu tỉ xác định

Bài toán 1.2 Thu gọn biểu thức chứa lũy thừa

Các hằng đẳng thức đáng nhớ:

Trang 9

a b a  ab b

a b a  a b ab b

• a2b2 a b a b   ;

• a3b3 a b a   2ab b 2;

• a3b3a b a   2ab b 2

Ví dụ mẫu

Ví dụ 1: Cho

1 2

1 1

x x



        Biểu thức rút gọn của P là

A x B 2 x C x  1 D.x  1

Hướng dẫn giải

1

2



Chọn A

Ví dụ 2: Rút gọn biểu thức

1

a



A 2

2

a 

2

a 

1 a D 2

1

a  Hướng dẫn giải

Ta có:

1

a



0,5

1

a



0,5 0,5

0,5 0,5 0,5

0,5

Chọn D

Trang 10

Ví dụ 3: Rút gọn biểu thức

3

x x x

(với x0,x ) ta được 1

A x 2 B x2 C x3 D x 3

Ta có:

3

x x x

3

x x x



3

1

1 1

x



Chọn C

Bài toán 2 Tính giá trị biểu thức

Công thức đặc biệt

  xax

f x



 thì f x   f 1x 1

Thật vậy, ta có:

1 

x

x x

a

a a

a



 1 x a

 Nên: f x   f 1x 1

Ví dụ mẫu

Ví dụ 1: Cho   2018

2018 2018

x x

f x 

 Tính giá trị biểu thức sau đây ta được

S f   f   f 

A S 2018 B S 2019 C S 1009 D S  2018

Trang 11

2018x 2018

S f   f   f  f  f 

Chọn C

Ví dụ 2: Cho 9x9 x 23 Tính giá trị của biểu thức 5 3 3

1 3 3

x x

P   

  ta được

A. 2 B 3

2 C 1

2

 Hướng dẫn giải

3 3 5 loại

x x





Từ đĩ, thế vào  

1 3 3

x x

P



Chọn D

Bài tập tự luyện dạng 1

Câu 1: Khẳng định nào sau đây đúng?

A an xác định với mọi  a \ 0 ;   n  B amn  nam; a 

C a0   1; a  D nam amn;  a ; m,n

Câu 2: Rút gọn biểu thức

2 2 2 3

2



(với a0,b và 0 a 2 b 3) được kết quả

2 3



2

2a .

a b Câu 3: Cho số thực dương a Rút gọn P a a a a3 4 5 ta được

A

25

13

37

13

53

36

43

60

a Câu 4: Viết biểu thức P a a 3 2 a a 0 dưới dạng lũy thừa với số mũ hữu tỉ ta được

A

5

3

5

6

11

6

P a D P a 2

Trang 12

Câu 5: Viết biểu thức 5 b a a b3 , , 0

a b  về dạng lũy thừa

m

a b

 

 

  ta được m bằng

A 2

15



Câu 6: Rút gọn biếu thức

5 3

3:

Q b b với b  ta được 0

A Q b 2 B

5

9

4

3

4

3

Q b Câu 7: Giả sử a là số thực dương, khác 1 và a a được viết dưới dạng 3 a Giá trị của là

A 11

6

3

6



Câu 8: Rút gọn biểu thức

1 6

3

P x xvới x  ta được 0

1

8

2

9

P x Câu 9: Cho a, b là các số thực dương Viết biểu thức 12a b dưới dạng lũy thừa với số mũ hữu tỉ ta được 3 3

A

3 1

4 2

1 1 9

4

1 1

4 4

1 3

4 4

a b Câu 10: Cho a là một số dương, viết

2 3

a a dưới dạng lũy thừa với số mũ hữu tỉ ta được

A

7

6

1

6

Câu 11: Cho a 0. Đẳng thức nào sau đây đúng?

A a a3  4a B

5 3 6

3a2 a

7

7a5 a5

Câu 12: Cho biểu thức   3 1

3 1

5 3 4 5

a





 

 với a  Mệnh đề nào dưới đây đúng? 0

A

1

2

3

2

P a D P a 3

Câu 13: Cho hàm số    

2

3 2 3 3

1

8 3 8 1 8

f a







với a0,a Giá trị của 1 M f 20172018 là

A M 20172018 B 1 M 2017 1009 C M 20171009 1 D M  20171009 1 Câu 14: Giá trị của biểu thức   2017 2016

7 4 3

Câu 15: Giá trị của biểu thức   2017 2016

Trang 13

9 4 5.

Câu 16: Cho 4x4 x 14 Giá trị của biểu thức 10 2 2

x x

P   

  là

A P  2 B 1

2

7

Câu 17: Cho 25x25 x  Giá trị của biểu thức 7 4 5 5

x x

P   

  là

A P 12 B P12 1 C 1

9

Câu 18: Cho hàm số f x 9x9 ;x 3 x

  và a, b thỏa a b  Giá trị 1 f a    f b bằng

2 Câu 19: Cho hàm số   4

x x

f x 

 Tổng

P f   f   f  f 

A 99

3 Câu 20: Cho hàm số   4

x x

f x 

 Giá trị của biểu thức sau đây bằng

S f   f  f   f  f 

Dạng 2: Hàm số lũy thừa

Bài toán 1 Tìm tập xác định của hàm số lũy thừa

Ta tìm điều kiện xác định của hàm số

  ,

y f x  dựa vào số mũ   của nó như sau:

• Nếu  là số nguyên dương thì không có điều

kiện xác định của f x  

• Nếu  là số nguyên âm hoặc bằng 0 thì điều

kiện xác định làf x    0

• Nếu  là số không nguyên thì điều kiện xác

định là f x    0

Ví dụ: Tập xác định của hàm số  2 3

y x  x 

là

A  B.\ 1;5  

C  1;5 D.;1  5;  Hướng dẫn giải

Số mũ  là số nguyên âm Do đó, điều kiện xác 3 định của hàm số là: 2 6 5 0 1.

5

x

 

Vậy tập xác định của hàm số đã cho là \ 1;5   Chọn B

Trang 14

Ví dụ mẫu

Ví dụ 1: Tập xác định của hảm số y   x2 5x615 là

A \ 2;3   B ;2  3; 

C  2;3 D.3; 

Số mũ 1

5

 khơng phải là số nguyên Do đĩ, điều kiện xác định của hàm số là:

 

      Vậy tập xác định của hàm số đã cho là  2;3

Chọn C

Ví dụ 2: Tập xác định của hảm số y x sin 2018  là

A  B 0;  C \ 0   D  0; 

Ta cĩ y x sin 2018  x0 nên tập xác định là \ 0  

Chọn C

Ví dụ 3: Tập xác định của hảm số  2019

1

y  x  là

A  B 0;  C \ 0   D  0; 

Vì số mũ 2019 là số nguyên âm nên điều kiện xác định của hàm số là

1 x  ngồi ra hàm số cịn chứa căn thức bậc hai nên 0, x  0

Hàm số xác định 1 0 luôn đúng  0 0.

0

x





Vậy D 0;

Chọn D

Ví dụ 4: Cĩ bao nhiêu giá trị nguyên của m   2018;2018 để hàm số  2  5

y x  x m  cĩ tập xác định là  ?

A 4036 B 2018 C 2017 D Vơ số

Vì số mũ 5 khơng phải là số nguyên nên hàm số xác định với  x 

Trang 15

0

0 luôn đúng vì 1 0



 





    

0

m

 

1,2,3, ,2017

m

m m

  





Vậy cĩ 2017 giá trị nguyên của tham số m thỏa mãn yêu cầu

Chọn C

Bài tốn 2 Tính đạo hàm của hàm số lũy thừa

Cơng thức tính đạo hàm

•  x  x  1x0, ;

•  u u  1.uvới u là biểu thức chứa x

Ví dụ:

 3  2

2x 5  6 2x 5

Ví dụ mẫu

Ví dụ 1: Tìm đạo hàm của hàm số y 1 x214

A 1 1 2 54

4

2

y   x x 

C 5 1 2 54

2

y  x x  Hướng dẫn giải

Ta cĩ:  2 1 1 2  2 5    2 5

Chọn D

Ví dụ 2: Tìm đạo hàm của hàm số  4

2 3cos2

24 2 3cos2 sin 2

12 2 3cos2 sin 2

24 2 3cos2 sin 2

12 2 3cos2 sin 2

y 4 2 3cos2   x 2 3cos2 x 

4 2 3cos2x 6sin 2x

Trang 16

24 2 3cos2x sin2 x

Chọn A

Ví dụ 3: Đạo hàm của hàm số yxsinx23 là

A 2 sin  13

3

y  x x  B 2 sin  13 sin cos 

3

y  x x  x x x

C

3 2 2

2 sin cos



3

y  x x  x Hướng dẫn giải

y  x x  x x   x x  x x x

Chọn B

Ví dụ 4: Đạo hàm của hàm số   2

3

1

y  x  là

A

3

y



 

3

x



C

3

1

y



 

3

2



x

5 3

2 3

3

x

Chọn A

Bài toán 3 Khảo sát sự biến thiên và nhận dạng đồ thị của hàm số lũy thừa

Đồ thị của hàm số lũy thừa y a  trên 0; : Lưu ý: Khi khảo sát hàm số lũy thùa với số mũ cụ thể, ta

phải xét hàm số đó trên toàn bộ tập xác định của nó Chẳng hạn: Khảo sát các hàm số y x 3 trên tập xác định của nó là  khảo sát hàm số , y x  2 trên tập xác định

 

\ 0

D  

Trang 17

Nhận xét: Đồ thị của hàm số lũy thừa luôn đi qua điểm

 1;1 I

Ví dụ mẫu

Ví dụ 1: Cho hàm số y f x   có đồ thị như hình vẽ Hỏi f x có thể là hàm số nào trong bốn hàm số   dưới đây?

A f x x13 B.f x 3 x

C f x x13 D.f x x3

Hàm số có tập xác định là D 0; loại đáp án B, D ,

Hàm số đồng biến trên D, loại C

Chọn A

Ví dụ 2: Cho hàm sốy f x  x 2 có đồ thị  C Mệnh đề nào sau đây đúng?

A Hàm số tăng trên 0;  B Đồ thị  C không có tiệm cận

C Tập xác định của hàm số là  D Hàm số không có cực trị

Hàm số có tập xác định là D 0; 

Ta có: y   2x 2 1   0, x D

Hàm số nghịch biến trên D  Hàm số không có cực trị

Chọn D

Bài tập tự luyện dạng 2

Câu 1: Tập xác định D của hàm số  2  2 3

y x  x  là

Trang 18

A D \ 1;4   B D    ; 1  4;

C D   D D    ; 1 4; 

Câu 2: Trong các hàm số sau đây, hàm số nào có tập xác định D   ?

A y2 x B y 2 12 .

x



  

  C y2x2 D y2x Câu 3: Tập xác định D của hàm số  2 4

y x 3x  là

A  0;3 B D  \ 0;3   C D   D D   ;0  3;  Câu 4: Tập xác định của hàm số yx24x20192020 là

A ;0   4; B ;0  4;  C  0;4 D \ 0;4  

Câu 5: Tập xác định D của hàm số  0

3

y x là

A D   ;3  B D    ;3  C D  \ 3   D D

Câu 6: Tập xác định D của hàm số

sin 2

3 2

x y x





  

   

A D \ 2;3   B D    , 2 3,

C D  \ 3   D D    ; 2 3; 

Câu 7: Tập xác định D của hàm số y x ex21 là

A D   1;1 B.D \ 1;1   C.D 1;  D D  

Câu 8: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m   50;50 để hàm số yx22x m 112 có tập xác định  ?

Câu 9: Biết tham số m a b; ,với a b thì hàm số  2 2  3 2 2

y x  x m  m  có tập xác định là Giá trị tổng a b là

Câu 10: Tất cả các giá trị thực của m để hàm số yx24x m 20192020 xác định trên  là

A m  4 B m  4 C m  4 D m  4

Câu 11: Tất cả các giá trị thực của m để hàm số  2  2020

y x 2x m xác định trên  là

A m  1 B m   1 C m  1 D m   1

Câu 12: Tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho hàm số  2 sin

3

1

y x mx  có tập xác định  là

Định dạng
Số trang	20
Dung lượng	869,57 KB