TỔNG KHOẢNG CÁCH ĐẾN HAI TRỤC TỌA ĐỘ Giả sử có đồ thị hàm số y = fx trong đó fx hàm phân thức bậc nhất.. Bài toán đặt ra là tìm điểm M thuộc đồ thị có tổng khoảng cách từ M đến hai trục
Trang 1Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶ NG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95
VIDEO BÀI GIẢNG và LỜI GIẢI CHI TIẾT CÁC BÀI TẬP chỉ có tại website MOON.VN
III TỔNG KHOẢNG CÁCH ĐẾN HAI TRỤC TỌA ĐỘ
Giả sử có đồ thị hàm số y = f(x) trong đó f(x) hàm phân thức bậc nhất
Bài toán đặt ra là tìm điểm M thuộc đồ thị có tổng khoảng cách từ M đến hai trục tọa độ Ox, Oy nhỏ nhất
Giả sử M a f a( ; ( ) ,) tổng khoảng cách từ M đến các trục tọa độ là d = +a f a( )
( )
0;
;0
là giao điểm của đồ thị và trục Ox hoặc Oy (thông thường ta lấy giao với trục Ox)
Khi đó d= y0 = >k 0
Để tìm các điểm M khác M0 thuộc đồ thị mà có d < k ta chỉ cần tìm các điểm mà có ( )1
( )
<
<
Giải (1) ta được m < a < n, khi đó ta cũng xác định được dấu của biểu thức f(a)
Bình luận: Ngoài cách giải sử dụng bất đẳng thức Cô-si như trên, chúng ta có thể dùng đạo hàm để giải bài toán
Tuy nhiên, với phương án này, ta phải quan sát đồ thị hàm số khảo sát được để đánh giá về dấu của y
+
1
x
Tìm điểm M là thuộc đồ thị sao cho tổng khoảng cách từ M đến hai trục tọa độ nhỏ nhât
Hướng dẫn giải:
Tổng khoảng cách từ M đến các trục tọa độ là 1
o
o
x
x
−
+
Xét tại một điểm A( ) ( )1;0 ∈ C → =d 1
Để tìm điểm M cho tổng khoảng cách đến các trục tọa độ nhỏ hơn 1, ta chỉ cần xét hàm d khi |xo| < 1, (vì khi |xo| > 1 thì ta luôn có d > 1)
Khi
2
1
3
o
x
= −
Lập bảng biến thiên ta được 1 2
min
Khi
2
2
Trường hợp này d không đạt giá trị nhỏ nhất
+
1
x
Tìm điểm M là thuộc đồ thị sao cho tổng khoảng cách từ M đến hai trục tọa độ nhỏ nhât
Hướng dẫn giải:
1
a
a
−
+
Tổng khoảng cách từ M đến hai trục tọa độ:
1
−
= +
+
a
a
Ta có: Với a = 2 → d = 2, (1)
BÀI TOÁN KHOẢNG CÁCH TRONG HÀM SỐ - P2
Thầy Đặng Việt Hùng
Trang 2Nếu 2 2 4 2 2, 2
1
−
+
a
a
Do đó, để tìm GTNN của d, ta chỉ xét :
2
1
2
2 2 1
a
a a
⇔ ≤ ≤
+
, (*)
−
a
Dấu “=” xảy ra khi a= 6 1− (thỏa mãn (*))
Từ (1), (2) suy ra d min =2 6− ⇔ =3 a 6 1− →M( 6 1 2− ; − 6)
Vậy điểm M cần tìm là M=( 6 1 2− ; − 6)
IV KHOẢNG CÁCH GIỮA HAI ĐIỂM TRÊN HAI NHÁNH CỦA ĐỒ THỊ
Giả sử có đồ thị hàm số ( ) ( )
( )
−
Đồ thị có tiệm cận đứng x = a, khi đó phần đồ thị nằm bên phải x = a được gọi là nhánh trái của đồ thị, phần đồ thị nằm bên phải đường x = a được gọi là nhánh phải của đồ thị
Gọi M x y( 1; 1) (;N x y2; 2) tương ứng là các điểm thuộc nhánh trái và nhánh phải của đồ thị
2
0 0
− >
< < ⇔
− >
0 0
⇔
Thay vào biểu thức tính MN và dùng Cô-si đánh giá ta thu được MNmin
−
3
3
x
x
Tìm trên (C) hai điểm A, B thuộc hai nhánh khác nhau sao cho độ dài AB ngắn nhất
Hướng dẫn giải:
+
x
y
Giả sử A thuộc nhánh trái và B thuộc nhánh phải, khi đó 1 2 1
2
3
3 0
− >
< < ⇔
− >
x
x
Trang 3Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶ NG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95
Theo bất đẳng thức Cô-si ta có
1 2
t t
2
1
1
2
1 2
1 2
1 2
36
6
36
6 72
2
=
=
t
A
t t
t t
t t
V MỘT SỐ BÀI TOÁN KHOẢNG CÁCH KẾT HỢP VỚI TƯƠNG GIAO
Cho hàm số ( )C :y ax b
+
= + và đường thẳng d : y = mx + n
Hai đồ thị cắt nhau tại hai điểm phân biệt A, B khi phương trình ax b mx n
+ có hai nghiệm phân biệt khác .
d c
−
Giả sử A x( A;y A) (,B x B;y B) là các giao điểm, khi đó A x mx( A; A+n B x mx) (, B; B +n)
2
1
A B
Sử dụng Vi-ét cho phương trình hoành độ giao điểm ta được kết quả của bài toán
Ngoài cách biến đổi trên ta có thể thực hiện như sau : 2 2
2
A
B
b x
a
b x
a
− − ∆
=
A B
′
−
1
x
x
Gọi d là đường thẳng đi qua M(1; 1) có hệ số góc là k Tìm k để d cắt (C) tại hai điểm A, B sao cho AB=3 10.
Hướng dẫn giải:
Đường thẳng d qua M(1; 3) và có hệ số góc k nên d : y = k(x −1) + 1
1
x
x
−
Để hai đồ thị cắt nhau tại hai điểm A, B phân biệt thì (1) có hai nghiệm phân biệt khác 1
0
24 (1) 6 0
k
g
≠
Với điều kiện (*) thì d cắt (C) tại hai điểm A, B
Theo định lí Vi-ét ta có
1 2
3
1
k
k
x x
−
+
Trang 4Gọi ( ) ( ) ( )2 2( )2 ( 2 ) ( )2
9 24k k 1 90k 24k 81k 24k 9 0 3 k 3 8k 3k 1 0
( ) 2
3 3
**
16
k k
= −
= −
Vậy với k thỏa mãn (**) thì d cắt (C) tại A, B và AB=3 10
−
1
x
x
Viết phương trình đường thẳng d đi qua M(1; 3) cắt (C) tại hai điểm phân biệt A, B sao cho AB=2 3.
Hướng dẫn giải:
Đường thẳng d qua M(1; 3) và có hệ số góc k nên d : y = k(x −1) + 3
1
x
−
Để hai đồ thị cắt nhau tại hai điểm A, B phân biệt thì (1) có hai nghiệm phân biệt khác 1
0
0
0 (1; ) 1 0
k
k
k
≠
≠
>
= − ≠
Trong đó x1; x2 là hai nghiệm của phương trình (1)
∆
2
Đối chiếu với (*) ta được 3 5
2
là giá trị cần tìm
−
2
1
x
x
Tìm các giá trị của m để đường thẳng d : y = mx −−−− m + 2 cắt đồ thị (C) tại hai điểm phân biệt A, B sao cho
đoạn AB có độ dài nhỏ nhất
Hướng dẫn giải:
1
x
−
Để hai đồ thị cắt nhau tại hai điểm A, B phân biệt thì (1) có hai nghiệm phân biệt khác 1
0
0
(1) 2 0
m
m
m g
≠
≠
>
2
∆
Vậy ABmin = 4 khi m = 1
+
2
x
x
Tìm m để đường thẳng d : y = −−−−x + m cắt (C) tại hai điểm A, B sao cho AB nhỏ nhất
Hướng dẫn giải:
Trang 5Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶ NG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95
2
x
+
Để hai đồ thị cắt nhau tại hai điểm A, B phân biệt thì (1) có hai nghiệm phân biệt khác −2
* 3
2
2
m
m m
+ >
≠
2
Khi m = 0 thì AB nhỏ nhất bằng 2 6
VI MỘT SỐ BÀI TOÁN KHOẢNG CÁCH KẾT HỢP VỚI TIẾP TUYẾN
x
Gọi d là tiếp tuyến của (C) tại M(0; 1) Hãy tìm trên (C) những điểm có hoành độ x > 1 mà khoảng cách từ đó
đến d là ngắn nhất
Hướng dẫn giải:
Ta có :
4 2
−
x
Phương trình tiếp tuyến d tại M : 5( ) 5
Gọi M x y( ); ∈( )C v ới x > 1 Khoảng cách từ M đến d là d (M; d) thì
( ; )
0
4
=
=
x
x
Lập bảng biến thiên, ta thấy min g(x) = g(4) = 34
Kết luận : ( ; )
34 min
41
=
M d
−
2
x
x
Tìm hai điểm M, N thuộc (C) sao cho tiếp tuyến tại M, N song song với nhau và khoảng cách giữa hai tiếp
tuyến là lớn nhất
Hướng dẫn giải:
Ta có
x
2 1
2 2
5 2
5 2
= −
−
= −
M
N
k
x
k
x
Nếu hai tiếp tuyến song song với nhau thì
Khoảng cách hai tiếp tuyến ngắn nhất khi MN vuông góc với hai tiếp tuyến⇔k MN.k M = −1 ( )*
Trong đó
5
−
MN
k
Trang 6( )( ) ( )2 ( )( ) ( )2
1
25
Tìm hai điểm M, N thuộc (C) sao cho tiếp tuyến tại M cắt (C) ở N sao cho MN=2 6.
Hướng dẫn giải:
1
= −
=
x
x
Tiếp tuyến tại M có phương trình
: = 3 −3 − + −3 + =2 3 −1 +1 − + + −2
Nếu d cắt (C) tại N thì ta có phương trình hoành độ giao điểm: 3 ( 2 ) ( ) 3
0
0
0
0
0
4
4
=
Như vậy, điểm N là điểm có hoành độ là ( ( ) (2 ) )
N
5x 169x −78x +10=2 6⇔ 25x 169x −78x +10 =24
Tìm hai điểm A, B thuộc (C) sao cho tiếp tuyến tại A, B song song với nhau và AB=4 2.
Hướng dẫn giải:
Ta có
2
2
2
A B
Nếu hai tiếp tuyến tại A, B song song nhau thì :
2 *
≠
⇒AB= x −x + y −y = x −x + x −x +x x = x −x + +x x
Theo giả thiết ta có
2− 1 1+ +2 1 2 =4 2⇒ 2− 1 1+ +2 1 2 =32⇔ 1+ 2 −4 1 2 1+ +2 1 2 =32
Đặt t=x x , và thay 1 2 x1+ =x2 2 (do *) ta có :
(4−4t) (5+ +4t t2)−32= ⇔ +0; t3 3t2+ + = ⇔t 3 0 (t2+1) (t+ =3) 0⇒t= −3
Vậy ta có hệ
1 2
2
1 3
1
= −
=
= −
x x
x
Trang 7Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶ NG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95
Do đó tồn tại hai điểm ( ) ( )
1; 3 ; 3;1 3;1 ; 1; 3
− −
A B thỏa mãn yêu cầu bài toán
BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài 1: [ĐVH].Cho hàm số ( ) 2 3
2
+
=
−
x
x
Tìm điểm M trên (C) sao cho
a) M có tọa độ là số nguyên
b) tổng khoảng cách từ M đến các tiệm cận nhỏ nhất
d) tổng khoảng cách từ M đến các trục tọa độ Ox, Oy nhỏ nhất
Bài 2: [ĐVH].Cho hàm số ( ) 2
+
=
−
x
x
Tìm điểm M trên (C) sao cho
a) M có tọa độ là số nguyên
b) khoảng cach từ M đến hai tiệm cận bằng nhau
c) tổng khoảng cách từ M đến các tiệm cận nhỏ nhất
d) tổng khoảng cách từ M đến hai trục tọa độ nhỏ nhất
Bài 3: [ĐVH].Cho hàm số ( ) 1
2
+
=
−
x
x
Tìm điểm M trên (C) sao cho
a) tổng khoảng cách từ M đến hai tiệm nhỏ nhất
b) khoảng cách MI ngắn nhất, với I là giao của hai tiệm cận
c) tổng khoảng cách từ M đến hai trục tọa độ nhỏ nhất
d) Tìm trên (C) hai điểm MN thuộc hai nhánh khác nhau sao cho MN ngắn nhất
Bài 4: [ĐVH].Cho hàm số ( ) 1
−
= +
x
x
Tìm điểm M, N trên (C) và thuộc hai nhánh khác nhau sao cho độ dài MN nhỏ nhất
Bài 5: [ĐVH].Cho hàm số ( ):
1
= +
x
x
Tìm điểm A, B trên (C) và thuộc hai nhánh khác nhau sao cho độ dài MN nhỏ nhất
