b khoảng cách từ M đến tiệm cận đứng bằng hai lần khoảng cách từ M đến tiệm cận ngang.. b khoảng cách từ M đến tiệm cận đứng bằng ba lần khoảng cách từ M đến trục Oy.. c tổng khoảng cách
Trang 1Chương trình Luyện thi PRO–S: Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2016!
VIDEO BÀI GIẢNG và LỜI GIẢI CHI TIẾT CÁC BÀI TẬP chỉ có tại website MOON.VN
I KHOẢNG CÁCH TỪ MỘT ĐIỂM TRÊN ĐỒ THỊ TỚI HAI TRỤC TỌA ĐỘ, HAI TIỆM CẬN
o
ax b
ax b
C y M x y C M x
+
Khoảng cách từ M đến trục Ox là 1
+
+
o o o
ax b
d y
cx d
Khoảng cách từ M đến trục Oy là d2 = x o
Khoảng cách từ M đến tiệm cận đứng x d
c
= − là d3 = x o+d
c
Khoảng cách từ M đến tiệm cận ngang y a
c
= là d4 = y o−a
c
2 2
+
o o
Ax By C
d Ax By C d
A B
A x y B x y →AB= x −x + y −y
Ví dụ 1: [ĐVH] Cho hàm số( ) = −
+
2
1
x
x Tìm điểm M thuộc đồ thị hàm số sao cho
a) khoảng cách từ M đến Oy bằng ba lần khoảng cách từ M đến Ox
b) khoảng cách từ M đến tiệm cận đứng bằng hai lần khoảng cách từ M đến tiệm cận ngang
Hướng dẫn giải:
o
o
x x
M x y C y M x
−
a) Khoảng cách từ M đến các trục tọa độ lần lần lượt là d1= x o ; d2= y o
Theo bài ta có
2
1 2
1
−
=
+
o
o
o o
o o o
o
o o
x
x
x x
d d x y x
x
x x
Vậy có hai điểm M với hoành độ là x o = − ±2 10 thỏa mãn yêu cầu bài toán
b) Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là x = −1 và tiệm cận ngang là y = 1
Khoảng cách từ M đến tiệm cận đứng là d1= x o+1
Khoảng cách từ M đến tiệm cận đứng là 2 1 2 1 3
−
o o
x
d y
1
+
o
x
Vậy có hai điểm M với hoành độ là x o = − ±1 6 thỏa mãn yêu cầu bài toán
Ví dụ 2: [ĐVH] Cho hàm số( ) = +
−
3
x
x Tìm điểm M thuộc đồ thị hàm số sao cho khoảng cách từ M đến điểm I ngắn nhất, với I là giao điểm của hai
đường tiệm cận
Hướng dẫn giải:
BÀI TOÁN KHOẢNG CÁCH TRONG HÀM SỐ - P1
Thầy Đặng Việt Hùng
Trang 2Gọi ( ) ( ) 2 1 7 7
o
x
+
Đồ thị có tiệm cận đứng là x = 3 và tiệm cận ngang là y = 2 nên giao điểm của hai tiệm cận là I(3 ; 2)
2
2
Áp dụng bất đẳng thức Cô-si ta có ( )
49
3
o
x
+
Vậy có hai điểm M với hoành độ là x o = − ±3 7 thỏa mãn yêu cầu bài toán
Ví dụ 3: [ĐVH].Tìm M thuộc đồ thị hàm số = +
+
1
x y
x sao cho a) khoảng cách từ M đến tiệm cận đứng bằng hai lần khoảng cách từ M đến tiệm cận ngang
b) khoảng cách từ M đến tiệm cận đứng bằng ba lần khoảng cách từ M đến trục Oy
c) tổng khoảng cách từ M đến các tiệm cận nhỏ nhất
Hướng dẫn giải:
Gọi M(x0; y0) là điểm thuộc đồ thị 0 0
0
1
x
M x
x
+
Đồ thị có tiệm cận đứng là x + 1 = 0 và tiệm cận ngang là y − 2 = 0
Khoảng cách từ M đến tiệm cận đứng là d1 = |x0 + 1|
Khoảng cách từ M đến tiệm cận ngang là d2 = |y0 – 2|
0 0
3
1
y x
d d x y
y x
= +
= − +
0
1
x y x
x
+
0
1
x
x
+
Vậy trên đồ thị có hai điểm M thỏa mãn đề bài là M(0; 3) và M(–2; 1)
b) Khoảng cách từ M đến tiệm cận đứng là d1 = |x0 + 1|
Khoảng cách từ M đến trục Oy là d2 = |x0|
Theo bài ta có
Vậy trên đồ thị có hai điểm M thỏa mãn là 1 8; , 1 10;
M M
−
x x
y
Gọi M(x0; y0) là điểm thuộc đồ thị 0
0
1
1
M x
x
+
Khoảng cách từ M đến tiệm cận đứng là h1 = |x0 + 1|
Khoảng cách từ M đến tiệm cận ngang là 2 0
0
1 2
1
h y
x
+
Tổng khoảng cách từ M đến hai tiệm cận là
o-s
BDT C i
Trang 3Chương trình Luyện thi PRO–S: Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2016!
0
7
1
1
x
Vậy trên đồ thị có hai điểm M thỏa mãn yêu cầu là 7 ( )
3
M M
−
II TỔNG KHOẢNG CÁCH ĐẾN HAI TIỆM CẬN
Giả sử có đồ thị hàm số ( ),
( )
f x y
g x
= trong đó f(x) và g(x) là các hàm bậc nhất
Điểm M thuộc đồ thị nên ; ( )
( )
f a
M a
g a
Đồ thị có tiệm cận đứng là x = α hay x – α = 0 và có tiệm cận ngang là y = β hay y – β = 0
Khoảng cách từ M đến các tiệm cận lần lượt là
1
1 2
α
α ( )
α β
d a
k
d d d a k
f a
a d
g a a
−
−
α
k
a
−
Ví dụ 1: [ĐVH] Cho hàm số = ( )
+2 , .
x
x Tìm điểm M thuộc đồ thị sao cho
b) tổng khoảng cách từ M đến hai tiệm cận là nhỏ nhất
Hướng dẫn giải:
x x y
+ −
Gọi M(x; y) thuộc đồ thị, để M có tọa độ là số nguyên thì ( ) 2 1
x x
x
+ = ±
+ ⇔ + = ±
⋮
x+ = ⇔ = −2 1 x 1⇒y= −1⇒M(− −1; 1)
x+ = − ⇔ = −2 1 x 3⇒y=3⇒M(−3;3)
x+ = ⇔ =2 2 x 0⇒y=0⇒M( )0;0
x+ = − ⇔ = −2 2 x 4⇒y=2⇒M(−4;2)
Vậy trên đồ thị hàm số có 4 điểm M có tọa độ là những số nguyên
2
a
a
∈
là điểm cần tìm
Đồ thị có tiệm cận đứng x + 2 = 0 và tiệm cận ngang y – 1 = 0
Khoảng cách từ M đến tiệm cận đứng là d1= +a 2, khoảng cách đến tiệm cận ngang là 2 1 2
a d
Khi đó, tổng khoảng cách từ M đến hai tiệm cận là 1 2 2 2 2 2 2 2 2
2
a
+
Từ đó ta được hai điểm M thỏa mãn là 1 2 2; 2 2 , 2 2 2;2 2
Ví dụ 2: [ĐVH] Cho hàm số = + ( )
−
3
x
x Tìm điểm M thuộc đồ thị sao cho
a) tổng khoảng cách từ M đến hai tiệm cận là nhỏ nhất
Trang 4b) tổng khoảng cách từ M đến hai tiệm cận bằng 8
Hướng dẫn giải:
y
; 2
3
a là điểm cần tìm
Đồ thị có tiệm cận đứng x − 3 = 0 và tiệm cận ngang y – 2 = 0
Khoảng cách từ M đến tiệm cận đứng là d1= −a 3, khoảng cách đến tiệm cận ngang là 2 7 7
d
a a
a) Tổng khoảng cách từ M đến hai tiệm cận là 1 2 3 7 2 3 7 2 7
3
−
a
Từ đó ta được hai điểm M thỏa mãn yêu cầu bài toán
1 2
4
7
10
4
=
=
= −
a
a
a
Tương ứng trên đồ thị có 4 điểm M thỏa mãn là M1( )4;9 ,M2(2; 5 ,− ) M3(10;3 ,) M4(−4;1 )
Ví dụ 3: [ĐVH] Cho hàm số = + ( )
−
2
1
x Gọi M là một điểm thuộc đồ thị hàm số
Tìm m để tổng khoảng cách từ M đến hai tiệm cận đạt giá trị nhỏ nhất bằng 10
Hướng dẫn giải:
;
1
a m
a
+
∈
Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng x – 1 = 0 và tiệm cận ngang là y – 2 = 0
Khoảng cách từ M đến tiệm cận đứng là d1= −a 1 và khoảng cách đến tiệm cận ngang là 2 2 2 2
a m m d
Khi đó, tổng khoảng cách từ M đến hai tiệm cận là 1 2 1 2 2 1 2 2 2
min
23
27
m
m
=
= −
25
25
Vậy có hai giá trị của m thỏa mãn và tương ứng có hai điểm M thỏa mãn yêu cầu bài toán
BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài 1: [ĐVH].Cho hàm số ( ) 2 1
1
x
C y
x
+
=
−
Tìm điểm M trên (C) sao cho
a) khoảng cách từ M đến tiệm cận đứng bằng hai lần khoảng cách từ M đến trục Ox
b) khoảng cach từ M đến hai tiệm cậng bằng nhau
c) khoảng cách MI ngắn nhất, với I là giao của hai tiệm cận
Bài 2: [ĐVH].Cho hàm số ( ) 1
x
C y
x
+
= +
Tìm điểm M trên (C) sao cho
a) tiếp tuyến tại M vuông góc với đường thẳng IM, với I là giao điểm của hai tiệm cận
Trang 5Chương trình Luyện thi PRO–S: Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2016!
b) khoảng cach từ M đến hai tiệm cậng bằng nhau
c) khoảng cách MI ngắn nhất, với I là giao của hai tiệm cận
Bài 3: [ĐVH].Cho hàm số ( ) 1
+
=
−
x
C y
x
Tìm điểm M trên (C) sao cho
a) khoảng cách từ M đến tiệm cận đứng bằng hai lần khoảng cách từ M đến trục Oy
b) tổng khoảng cách từ M đến các tiệm cận nhỏ nhất
c) khoảng cách MI ngắn nhất, với I là giao của hai tiệm cận
d) tổng khoảng cách từ M đến hai tiệm cận bằng 2
Bài 4: [ĐVH].Cho hàm số ( ) 3 2
−
= +
x
C y
x
Tìm điểm M trên (C) sao cho
a) M có tọa độ là số nguyên
b) khoảng cach từ M đến hai trục tọa độ bằng nhau
c) tổng khoảng cách từ M đến các tiệm cận nhỏ nhất
