Bài giảng: Đồ thị của hàm số và phép tịnh tiến toạ độ (Giải tích 12 - Chương I: ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ)

Bài giảng có phần nâng cao. Biên soạn theo hướng "LẤY HỌC TRÒ LÀM TRUNG TÂM".

Trang 1

Tự học đem lại hiệu quả tư duy cao, điều các em học sinh cần là:

1 Tài liệu dễ hiểu  Nhóm Cự Môn luôn cố gắng thực hiện điều này

2 Một điểm tựa để trả lời các thắc mắc  Đăng kí “Học tập từ xa”.

BÀI GIẢNG QUA MẠNG GIẢI TÍCH 12

CHƯƠNG I ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT

VÀ VẼ ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ

và phép tịnh tiến hệ toạ độ

 Các em học sinh đừng bỏ qua mục “Phương pháp tự học tập hiệu quả”

Học Toán theo nhóm (từ 1 đến 6 học sinh) các lớp 9, 10, 11, 12

Giáo viên dạy: LÊ HỒNG ĐỨC

Địa chỉ: Số nhà 20  Ngõ 86  Đường Tô Ngọc Vân  Hà Nội

Phụ huynh đăng kí học cho con liên hệ 0936546689

Trang 2

PHƯƠNG PHÁP HỌC TẬP HIỆU QUẢ Phần: Bài giảng theo chương trình chuẩn

1 Đọc lần 1 chậm và kĩ có thể bỏ quả nội dung các HOẠT ĐỘNG

Đánh dấu nội dung chưa hiểu

2 Đọc lần 2 toàn bộ:

Ghi nhớ bước đầu các định nghĩa, định lí

Định hướng thực hiện các hoạt động

Đánh dấu lại nội dung chưa hiểu

3 Lấy vở ghi tên bài học rồi thực hiện có thứ tự:

Đọc  Hiểu  Ghi nhớ các định nghĩa, định lí

Chép lại các chú ý, nhận xét

Thực hiện các hoạt động vào vở

4 Thực hiện bài tập lần 1

5 Viết thu hoạch sáng tạo

Phần: Bài giảng nâng cao

1 Đọc lần 1 chậm và kĩ

Đánh dấu nội dung chưa hiểu

2 Lấy vở ghi tên bài học rồi thực hiện các ví dụ

3 Đọc lại và suy ngẫm tất cả chỉ với câu hỏi “Vì sao họ lại nghĩ được cách giải như vậy”

4 Thực hiện bài tập lần 2

5 Viết thu hoạch sáng tạo

Dành cho học sinh tham dự chương trình “Học tập từ xa”: Sau mỗi bài

giảng em hãy viết yêu cầu theo mẫu:

Nôi dung chưa hiểu

Hoạt động chưa làm được

Bài tập lần 1 chưa làm được

Bài tập lần 2 chưa làm được

Thảo luận xây dựng bài giảng

gửi về Nhóm Cự Môn theo địa chỉ nhomcumon86@gmail.com để nhận

được giải đáp

Trang 3

Đ4 đồ thị của hàm số

và Phép tịnh tiến hệ toạ độ

A bài giảng

1 phép tịnh tiến hệ toạ độ và công thức chuyển hệ tọa độ

Cho điểm I(x0; y0) và điểm M(x; y) trong hệ toạ độ Oxy, khi đó trong hệ toạ độ IXY điểm M sẽ có toạ độ:

M 0

 





 



2 phơng trình đờng cong đối với hệ tọa độ mới

Phơng trình của đờng cong y = f(x) đối với hệ toạ độ IXY

Ta có, kết quả:

Y = f(X + x0)  y0



Nhận xét: Ta có hai trờng hợp đặc biệt:

Nếu hàm số Y = F(X) là hàm lẻ ta suy ra rằng I là tâm đối xứng của đờng cong (C)

Nếu hàm số Y = F(X) là hàm chẵn ta suy ra rằng đờng thẳng x = x0 là trục đối xứng của đờng cong (C)

Thí dụ 1: Cho parabol (P): y = 1

2x2  x  3

a Xác định đỉnh I của parabol (P)

b Viết công thức chuyển hệ toạ độ trong phép tịnh tiến theo vectơ OI

và viết phơng trình của parabol (P) đối với hệ toạ độ IXY Từ đó, chỉ ra phơng trình trục đối xứng của parabol (P)

 Giải

a Tọa độ đỉnh I 1; 7

2



b Công thức chuyển hệ toạ độ trong phép tịnh tiến theo vectơ OI là:

7

2

 







 





7

2

 







 



và khi đó trong hệ tọa độ IXY parabol (P) có phơng trình:

(P): Y  7

2 = 1

2(X + 1)2  (X + 1)  3  (P): Y = 1

2X2 Nhận xét rằng, trong hệ tọa độ IXY hàm số Y = 2X2 là hàm số chẵn dó đó đồ thị hàm số nhận đờng thẳng x = 1 làm trục đối xứng



Nhận xét: Qua ví dụ trên, ta có:

1 Với hàm đa thức bậc hai (Parabol) (P): y = ax2 + bx + c, ta có:

Trang 4

Điểm I b ;



  chính là đỉnh của parabol

Đồ thị (P) luôn nhận đờng thẳng x b

2a

 làm trục đối xứng

2 Để chứng minh đồ thị hàm số y = f(x) nhận đờng thẳng x = a làm trục đối xứng, ta thực hiện theo các bớc sau:

Bớc 1: Với phép biến đổi toạ độ:

 









 x X a









hàm số có dạng:

Bớc 2: Nhận xét rằng hàm số (*) là hàm số chẵn nên đồ thị hàm số nhận đ ờng

thẳng x = a làm trục đối xứng

Hoạt động Với yêu cầu nh trong thí dụ 1 cho parabol (P): y = x2 + x  1

Thí dụ 2: Cho hàm số:

y = x2 + 2x1

Chứng tỏ rằng đồ thị hàm số nhận đờng thẳng x =1 làm trục đối xứng

 Giải

Với phép biến đổi toạ độ:

X x 1

Y y

 









y Y

 









ta đợc:

Y = (X1)2 + 2(X1)1  Y = X22 là hàm số chẵn

Vậy, đồ thị hàm số nhận đờng thẳng x = 1 làm trục đối xứng

Hoạt động Chứng tỏ rằng đồ thị hàm số y = x2 + 4x + 2 nhận đờng thẳng

x = làm trục đối xứng

y = x5 + x3 + 2x  1

a Xác định điểm I thuộc đồ thị (C) của hàm số đã cho biết rằng hoành độ của điểm I là nghiệm của phơng trình f"(x) = 0

b Viết công thức chuyển hệ toạ độ trong phép tịnh tiến theo vectơ OI và viết phơng trình của đờng cong (C) đối với hệ toạ độ IXY Từ đó, suy ra rằng I

là tâm đối xứng của đờng cong (C)

 Giải

a Ta lần lợt có:

 Miền xác định D = 

 Đạo hàm:

y' = 5x4 + 3x2 + 2, y'' = 20x3 + 6x,

y'' = 0  20x3 + 6x = 0  x = 0  I(0; 1)







 



 x X







 



Trang 5

và khi đó trong hệ tọa độ IXY đờng cong (C) có phơng trình:

(C): Y  1 = X5 + X3 + 2X  1  (C): Y = X3 + X3 + 2X

Nhận xét rằng, trong hệ tọa độ IXY hàm số Y = X3 + X3 + 2X là hàm số lẻ dó đó

nó nhận điểm I làm tâm đối xứng

Hoạt động Với yêu cầu nh trong thí dụ 1 cho hàm số y = x3  3x2 + 1



Nhận xét: Để chứng minh đồ thị hàm số y = f(x) nhận điểm I(a; b) làm tâm đối

xứng, ta thực hiện theo các bớc sau:

 





 







Y + b = f(X + a)  Y = F(X) (*)

Bớc 2: Nhận xét rằng hàm số (*) là hàm số lẻ nên đồ thị hàm số nhận điểm

I(a; b) làm tâm đối xứng

2 2



Chứng tỏ rằng đồ thị hàm số nhận điểm I(2; 1) làm tâm đối xứng

 Giải

Với phép biến đổi toạ độ:

X x 2

Y y 1

 





 



y Y 1

 





 



ta đợc:

Y 1

Y



 là hàm số lẻ Vậy, đồ thị hàm số nhận đđiểm I(2; 1) làm tâm đối xứng

Hoạt động Chứng tỏ rằng đồ thị hàm số y x 2

x 1





 nhận điểm I(1; 1) làm

tâm đối xứng

bài tập lần 1 Bài tập 1: Cho hàm số:

y = x3  3x2 + 1

a Xác định điểm I thuộc đồ thị (C) của hàm số đã cho biết rằng hoành độ của điểm I là nghiệm của phơng trình y" = 0

và viết phơng trình của đờng cong (C) đối với hệ toạ độ IXY Từ đó, suy ra rằng I

c Viết phơng trình tiếp tuyến của đờng cong (C) tại điểm I đối với hệ tọa độ Oxy Chứng minh rằng trên khoảng(; 1) đờng cong (C) nằm dới tiếp tuyến tại I của (C) và trên khoảng (1; +) đờng cong (C) nằm trên tiếp tuyến đó

Bài tập 2: Cho hàm số:

Trang 6

2x 3

x 1







Chứng minh rằng:

a Đồ thị hàm số nhận điểm I(1; 2) làm tâm đối xứng

b Qua I không kẻ đợc tiếp tuyến nào tới đồ thị hàm số

1

x 1

  



a Đồ thị hàm số nhận điểm I(1; 2) làm tâm đối xứng

y = x44x32x2 + 12x1

Chứng tỏ rằng đồ thị hàm số có một trục đối xứng thẳng đứng Từ đó tìm giao điểm của đồ thị với trục hoành

Bài tập 5: Xác định tâm đối xứng của đồ thị hàm số y 3x 2

x 1







y = x3 + 3mx2 + 6mx + 5(m + 1)

a Xác định m để đồ thị hàm số nhận điểm I(1; 6) làm tâm đối xứng

b Với m tìm đợc ở câu a) tìm các khoảng tăng, giảm và cực trị của đồ thị hàm số

mx 1







a Xác định m để đồ thị hàm số nhận điểm I(2; 1) làm tâm đối xứng

b Với m tìm đợc ở câu a) xét sự biến thiên của hàm số

1



y = x4 + 4x3 + mx2

a Xác định m để đồ thị hàm số có trục đối xứng song song với Oy

Bài tập 10:Cho hàm số:

y = f(x) = 2x2 Hãy tìm vectơ v(a; b) sao cho đồ thị y = f(x) tịnh tiến theo v ta có đồ thị hàm

số y = g(x) = 2x2  3x + 1

 Chú ý: Các bài tập này sẽ đợc trình bày trong phần “Bài giảng nâng cao”

Trang 7

Giáo án điện tử của bài giảng này giá: 750.000đ.

1 Liên hệ thầy LÊ HỒNG ĐỨC qua điện thoại 0936546689

2 Bạn gửi tiền về:

LÊ HỒNG ĐỨC

Số tài khoản: 1506205006941

Chi nhánh NHN0 & PTNT Tây Hồ

3 3 ngày sau bạn sẽ nhận được Giáo án điện tử qua email.

LUÔN LÀ NHỮNG GAĐT

ĐỂ BẠN SÁNG TẠO TRONG TIẾT DẠY

Trang 8

bài giảng nâng cao

Bài toán 1:Phép tịnh tiến hệ tọa độ

Ví dụ 1: Cho hàm số:

y = x3  3x2 + 1

a Xác định điểm I thuộc đồ thị (C) của hàm số đã cho biết rằng hoành độ của điểm I là nghiệm của phơng trình y" = 0

và viết phơng trình của đờng cong (C) đối với hệ toạ độ IXY Từ đó, suy ra rằng I

c Viết phơng trình tiếp tuyến của đờng cong (C) tại điểm I đối với hệ tọa độ Oxy Chứng minh rằng trên khoảng(; 1) đờng cong (C) nằm dới tiếp tuyến tại I của (C) và trên khoảng (1; +) đờng cong (C) nằm trên tiếp tuyến đó

 Giải

a Ta lần lợt có:

 Miền xác định D = 

 Đạo hàm:

y' = 3x26x, y'' = 6x  6, y'' = 0  6x  6 = 0  x = 1  I(1; 1)

 





 



 x X 1

 





 



và khi đó trong hệ tọa độ IXY đờng cong (C) có phơng trình:

(C): Y  1 = (X + 1)3  3(X + 1)2 + 1  (C): Y = X3  3X

Nhận xét rằng, trong hệ tọa độ IXY hàm số Y = X3  3X là hàm số lẻ dó đó nó nhận điểm I làm tâm đối xứng

c Phơng trình tiếp tuyến của đờng cong (C) tại điểm I đối với hệ tọa độ Oxy, có dạng:

(d): y = y'(xI)(x  xI) + f(xI)  (d): y = 3x + 2

Xét hiệu:

H = x3  3x2 + 1  (3x + 2) = x3  3x2 + 3x  1 = (x  1)3

Từ đó, suy ra:

 Nếu H > 0  (x  1)3 > 0  x > 1 Tức là, trên khoảng(1; +) đờng cong (C) nằm trên tiếp tuyến (d)

 Nếu H < 0  (x  1)3 < 0  x < 1 Tức là, trên khoảng(; 1) đờng cong (C) nằm dới tiếp tuyến (d)



Nhận xét:

1 Với hàm đa thức bậc ba (C): y = ax3 + bx2 + cx + d, ta có:

Điểm I thuộc đồ thị của hàm số với hoành độ của điểm I là nghiệm của ph ơng trình y" = 0 đợc gọi là điểm uốn của đồ thị

Đồ thị (C) luôn nhận điểm uốn làm tâm đối xứng

2 Với hàm đa thức bậc bốn dạng trùng phơng: y = ax4 + bx2 + c Đồ thị hàm số luôn nhận trục Oy làm trục đối xứng

Trang 9

2x 3

x 1







a Đồ thị hàm số nhận điểm I(1; 2) làm tâm đối xứng

 Hớng dẫn: Sử dụng kiến thức trong phần lý thuyết.

 Giải

b Với phép biến đổi toạ độ:

X x 1

Y y 2

 





 



y Y 2

 





 



và khi đó trong hệ tọa độ IXY hàm số có phơng trình:

2(X 1) 3

Y 2

(X 1) 1

 

X



X

Hàm số (*) là hàm số lẻ nên đồ thị hàm số nhận điểm I(1; 2) làm tâm đối xứng

c Với điểm M(x0; y0) thuộc (H), phơng trình tiếp tuyến tại M có dạng:

0 2

1



Tiếp tuyến (d) qua I khi:

0 0 2

1



0

0 0

1 2



 2(x0 + 1) = 2x0 + 4  2 = 4, vô nghiệm

Vậy, không tồn tại tiếp tuyến của đồ thị hàm số đi qua điểm I



Nhận xét: Với hàm phân thức bậc nhất trên bậc nhất (H): y = ax b

cx d



 với a  0, c

 0, ta có:

Điểm d a

c c



  chính là giao điểm của hai đờng tiệm cận (tiệm cận đứng và tiệm cân ngang)

Đồ thị (H) luôn nhận điểm I làm tâm đối xứng

Không tồn tại tiếp tuyến của đồ thị qua I

1

x 1

  



a Đồ thị hàm số nhận điểm I(1; 2) làm tâm đối xứng

 Hớng dẫn: Sử dụng kiến thức trong phần lý thuyết.

 Giải

a Với phép biến đổi toạ độ:

Trang 10

X x 1

Y y 2

 





 



y Y 2

 





 



1

Y 2 (X 1) 1

(X 1) 1

Y X

X

Hàm số (*) là hàm số lẻ nên đồ thị hàm số nhận điểm I(1; 2) làm tâm đối xứng

b Với điểm M(x0; y0) thuộc (H), phơng trình tiếp tuyến tại M có dạng:

(d): y = y'(x0)(x  x0) + y0

0 0 2

Tiếp tuyến (d) qua I khi:

0 0 2

2 0

 , vô nghiệm

Vậy, không tồn tại tiếp tuyến của đồ thị hàm số đi qua điểm I



Nhận xét:

1 Với hàm phân thức bậc hai trên bậc nhất (H): y =

2

dx e

 , với a  0, d

 0, ta có:

Điểm e b 2ac2

  chính là giao điểm của hai đờng tiệm cận (tiệm cận

đứng và tiệm cân xiên)

Đồ thị (H) luôn nhận điểm I làm tâm đối xứng

Không tồn tại tiếp tuyến của đồ thị qua I

2 Ví dụ tiếp theo minh hoạ phơng pháp tìm trục đối xứng (hoặc tâm đối xứng) của dạng hàm số không mẫu mực

y = x44x32x2 + 12x1

Chứng tỏ rằng đồ thị hàm số có một trục đối xứng thẳng đứng Từ đó tìm giao điểm của đồ thị với trục hoành

 Giải

Giả sử đồ thị hàm số có trục đối xứng là x = a

Khi đó, với phép biến đổi toạ độ:

 









 x X a









hàm số đợc chuyển về dạng:

Y = (X + a)44(X + a)32(X + a)2 + 12(X + a)1 là hàm số chẵn

Ta có:

Y = (X + a)44(X + a)32(X + a)2 + 12(X + a)1

= X4 + 4a2X2 + a4 + 4aX3 + 2a2X2 + 4a3X4(X3 + 3X2a +

Trang 11

+ 3X a + a)2(X + 2Xa + a) + 12(X + a)1 = X4 + 4(a1)X3 + 2(3a26a1)X2 + 4(a33a2a + 3)X +

+ a44a32a2 + 12a1 Hàm số trên là hàm số chẵn điều kiện là:

3 2







 a = 1

Vậy, đồ thị hàm số có một trục đối xứng x = 1

Hoành độ giao điểm là nghiệm của phơng trình:

x44x32x2 + 12x1 = 0 (*)

Đặt x = X + 1, phơng trình (*) có dạng:

X48X2 + 6 = 0  X2 = 4  10

 X =  4 10  x = 1  4 10

Vậy đồ thị hàm số cắt Ox tại bốn điểm có hoành độ x = 1  4 10

Ví dụ 5: Xác định tâm đối xứng của đồ thị hàm số y 3x 2

x 1







 Giải

Viết lại hàm số dới dạng:

y = 3 5

x 1



Gọi I(x0; y0) là tâm đối xứng của đồ thị hàm số, khi đó công thức chuyển hệ toạ

độ trong phép tịnh tiến theo vectơ OI

là:

0 0

 





 



0

 





 



Y + y0 =

0

5 3



   Y = 0

0

5

3 y

Để I(x0; y0) là tâm đối xứng của đồ thị hàm số điều kiện là hàm số trong (*) phải

là hàm lẻ, suy ra:

0

 







 0 0











 I(1; 3)

Vậy, tâm đối xứng của đồ thị hàm số là I(1; 3)

Bài toán 2:Tìm điều kiện của tham số để đồ thị hàm số nhận điểm I làm tâm

đối xứng của đồ thị

Phơng pháp áp dụng

Để tìm điều kiện của tham số để đồ thị hàm số y = f(x) nhận điểm I(x0; y0) làm tâm

đối xứng, ta thực hiện theo các bớc sau:

0 0

X x x

Y y y

 





 



0

x X x

y Y y

 





 



Trang 12

Y + y0 = f(X + x0)  Y = F(X) (*)

Bớc 2: Đồ thị hàm số nhận điểm I(x0; y0) làm tâm đối xứng điều kiện là:

(*) là hàm số lẻ  Giá trị của tham số



Chú ý: Với các hàm số cơ bản chúng ta cũng có thể sử dụng tính chất của đồ thị

hàm số để tìm điều kiện cho tham số

y = x3 + 3mx2 + 6mx + 5(m + 1)

a Xác định m để đồ thị hàm số nhận điểm I(1; 6) làm tâm đối xứng

 Hớng dẫn: Sử dụng kiến thức trong phần phơng pháp giải toán.

 Giải

a Ta có thể lựa chọn các cách giải sau:

Cách 1: Với phép biến đổi toạ độ:

X x 1

Y y 6

 





 



y Y 6

 





 



Y + 6 = (X  1)3 + 3m(X  1)2 + 6m(X  1) + 5(m + 1)

 Y = X3 + 3(m  1)X2 + 3X + 2m  2 (*)

Hàm số (*) là hàm số lẻ điều kiện là:

3(m 1) 0

2m 2 0







 m = 1

Vậy, với m = 1 đồ thị hàm số nhận điểm I(1; 6) là tâm đối xứng

Cách 2: Ta có:

y' = 3x2 + 6mx + 6m,

y" = 6x + 6m, y" = 0  6x + 6m = 0  x = m

 Điểm uốn I(m; 2m3  6m2 + 5m + 5)

Vì đồ thị hàm số luôn nhận điểm uốn làm tâm đối xứng nên ta có:

3 2







 m = 1

Vậy, với m = 1 đồ thị hàm số nhận điểm I(1; 6) làm tâm đối xứng

b Bạn đọc tự thực hiện.

mx 1







b Với m tìm đợc ở câu a) xét sự biến thiên của hàm số

 Giải

a Ta có thể lựa chọn các cách giải sau:

Cách 1: Với phép biến đổi toạ độ:

Tiêu đề	Đồ thị của hàm số và phép tịnh tiến toạ độ
Người hướng dẫn	Lấ HỒNG ĐỨC
Trường học	Hà Nội
Chuyên ngành	Giải tích
Thể loại	Bài giảng
Thành phố	Hà Nội

Định dạng
Số trang	18
Dung lượng	559 KB