Cấu trúc phần tử ngẫu nhiên nhận giá trị trên không gian banach khả ly

Chính điều đó đã khiến tôi muốn đi sâu hơn vào việc nghiên cứu một bộ phận nhỏ trong lý thuyết xác suất đó là: "Cấu trúc phần tử ngẫu nhiên nhận giá trị trên không gian Banach khả ly"..

Trêng §¹i häc Vinh

lời nói đầu

Xác suất - thống kê là một lĩnh vực khoa học đầy khó khăn và phức tạp nhng

cũng đầy lý thú và hấp dẫn Nó có nhiều đóng góp vào việc chứng minh một lớp các bài toán và một vài ứng dụng trong thực tiễn Chính điều đó đã khiến tôi muốn đi sâu

hơn vào việc nghiên cứu một bộ phận nhỏ trong lý thuyết xác suất đó là: "Cấu trúc

phần tử ngẫu nhiên nhận giá trị trên không gian Banach khả ly".

ở phạm vi của khoá luận tác giả chỉ mới nêu lên một số tính chất của các phần

tử ngẫu nhiên và ứng dụng của nó Bên cạnh đó còn nêu lên một số mệnh đề, định lý

có chứng minh

Khoá luận đợc chia làm 3 phần

Phần I: Các kiến thức chuẩn bị

Phần II: Phần tử ngẫu nhiên đơn giản nhận giá trị trên không gian R.

Phần III: Phần tử ngẫu nhiên nhận giá trị trên không gian Banach khả ly.

Khoá luận đợc thực hiện và hoàn thành tại Đại Học Vinh Thông qua khoá luận này tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy giáo: Nguyễn Hữu Minh ngời

đã hớng tình và nhiệt tình giúp đỡ trong suốt quá trình thực hiện để hoàn thành khoá luận

Tác giả cũng xin gửi lời cảm ơn đến quý thầy cô trong khoa Toán Đại Học Vinh và các bạn cùng khoá đã tạo điều kiện giúp đỡ tôi hoàn thành khoá luận này

Do thời gian nghiên cứu không nhiều và hạn chế của bản thân nên đề tài sẽ không tránh khỏi khiếm khuyết Tôi mong muốn nhận đợc sự góp ý của các thầy cô giáo và các bạn để khóa luận của tôi đợc hoàn thiện hơn

Xin chân thành cảm ơn!

Vinh, tháng 5 năm 2007

Tác giả

môc lôc

Trang

§1 §Þnh nghÜa vµ mét sè tÝnh chÊt cña hµm chØ tiªu 7

§3 PhÇn tö ngÉu nhiªn nhËn gi¸ trÞ trªn R (R - gi¸ trÞ) 13

PhÇn III: PhÇn tö ngÉu nhiªn nhËn gi¸ trÞ trªn kh«ng gian Banach kh¶ ly 21

§2 Kú väng to¸n cña phÇn tö ngÉu nhiªn nhËn gi¸ trÞ trªn kh«ng gian Banach

§4 Ph¬ng sai cña phÇn tö ngÉu nhiªn trªn kh«ng gian Banach 29

Phần I Các kiến thức chuẩn bị

1.1 Không gian véc tơ

Định nghĩa:

Một tập hợp E ≠φ cùng với một phép cộng E x E → E và một phép nhân vô ớng /R x E → E đợc gọi là không gian véc tơ nếu thoả mãn các điều kiện sau:

1.2.2 TÝnh chÊt cña chuÈn

d(x, y) = ||x - y|| = ||- (y - x) || = ||y - x|| = d(y, x)+) ∀x, y, z ∈ E ta cã:

Dễ thấy các ánh xạ này là những song ánh.

Kết luận về tính liên tục hai chiều đợc suy ra từ các đẳng thức:

Nếu E là không gian Banach thì E đợc gọi là không gian Hilbert.

1.5 ánh xạ tuyến tính liên tục

Phần II Phần tử ngẫu nhiên R - Giá trịTrong phần này ta sử dụng hàm chỉ tiêu để tìm hiểu sâu hơn định nghĩa theo cấu trúc phần tử ngẫu nhiên.

1.1 Định nghĩa

Cho Ω là một tập hợp bất kỳ A là б - đại số các tập con của Ω Khi đó ta gọi

bộ (Ω, A) là không gian đo Tập con A ∈A đợc gọi là tập đo đợc hay là biến cố

Ta gọi ánh xạ IA: Ω→/R sao cho:

Ngợc lại:

1 nếu ω ∈ A

0 nếu ω∉ A

IA(ω) =

1 nếu biến cố A xảy ra

0 nếu biến cố A không xảy ra

IA(ω) =

Chøng minh

+) IA+B = IA + IB

ThËt vËy: NÕu A x¶y ra th× A + B x¶y ra Do vËy:

IA+B = 1 = 1 + 0 = IA + IB.NÕu A kh«ng x¶y ra ⇒ A + B kh«ng x¶y ra

1 IAk+1 = IA1 IA2 IAk IAk+1

i i A

Đ2 ứng dụng của hàm chỉ tiêu

Ta gọi tổ hợp tuyến tính X =∑

=

n

i A

i i

1

I

x của các hàm chỉ tiêu IAi của các tập Ai

phân hoạch hữu hạn Ω là BNN đơn giản

Khi đó ta gọi kỳ vọng của X là:

Do đó: EIA = O P(A) + 1 P(A) = P(A)

2.1 Sử dụng hàm chỉ tiêu để chứng minh xác suất của hợp nhiều biến cố

P(A1∪ A2∪ A3∪ A4) = P(A1) + P(A2) + P(A3) + P(A4) - P(A1A2)

- P(A1A3) - P(A1A4) - P(A2A3) - P(A2A4) - P(A3A4) + P(A1A2A3) +

+ P(A1A3A4) + P(A1A2A4) + P(A2A3A4) - P(A1A2A3A4)

= P(A1) + P(A2) + P(A3) + P(A4) - P(A1A2) - P(A1A3) - P(A1A4) - P(A2A3)

P(A2A4) - P(A3A4) + P(A1A2A3) + P(A2A3A4) + P(A1A3A4) + P(A1A2A4)

P(A1A2A3A4) = vế phải (đpcm)

2.2 ứng dụng của hàm chỉ tiêu chứng minh một tính chất khác về kỳ vọng

VËy lim tβ P(|x|≥ t) = 0 ∀t > 0 (®pcm).

Đ3 Phần tử ngẫu nhiên nhận giá trị trên R (R - giá trị)

3.1 Định nghĩa 1

Cho không gian đo (Ω, A) và (B; B)

Ta gọi ánh xạ X: Ω→ B là phần tử ngẫu nhiên (PTNN - B giá trị)

Nếu: {ω : X(ω) ∈ A} = X-1(B) ∈B với mỗi A ∈B

Khi (B; B) = (/R ; B(/R)) thì X đợc gọi là biến ngẫu nhiên (BNN).

3.3 Định nghĩa (Về dãy PTNN đơn giản sinh bởi PTNN X bất kỳ).

Cho X là PTNN nhận giá trị trên R xác định trên không gian biến cố sơ cấp Ω

Ta gọi dãy PTNN đơn giản sinh bởi PTNN X - R giá trị là:

Xn = - n I[ X < − n ) +

1

1 j [ −n ≤ < n + n I[ X ≥ n ]

Dãy PTNN đơn giản - R giá trị sinh ra bởi X bất kỳ thì Xn↑ X.

1 j [ −n ≤ < n + n I[ X ≥ n ]

Điều đó suy ra đợc: |Xn(ω) - X(ω)| ≤ 1

n

k → 0 (khi n →∞)Vậy Xn ↑ X

Khi X(ω) = ±∞ thì ∀n Xn = ± n →±∞ (khi n →∞)Hay Xn(ω) →±∞ khi n →∞

Vậy với mọi trờng hợp thì Xn↑ X

4.1 CÊu tróc cña X lµ kh«ng gian vÐc t¬

i, X lµ mét nhãm giao ho¸n cã phÇn tö trung lËp Iθ

3, TÝch cña hai phÇn tö ngÉu nhiªn nhËn gi¸ trÞ trªn R lµ phÇn tö ngÉu nhiªn nhËn gi¸ trÞ trªn R.

4.2 Kú väng cña PTNN trªn tËp X

Ta gäi ¸nh x¹ E: X → R sao cho:

EIA = P(A) lµ kú väng cña PTNN IA nhËn gi¸ trÞ trªn R

EI

=

∏

Chøng minh

Ta cã:

n A j

A B

=U

là kỳ vọng của PTNN đơn giản nhận giá trị trên R sinh ra từ PTNN X và PTNN Y.

n i m j j

mk nk

Phần III Phần tử ngẫu nhiên nhận giá trị trên không gian banach khả ly

Đ1 Cấu trúc phần tử ngẫu nhiên B - giá trị

β(B): б - đại số các tập con của B

Thông thờng β(B) chính là б - đại số Borel sinh bởi B

Chú ý:

Nếu B thay bởi đờng thẳng thực R

β(B) là б - đại số sinh bởi R thì ánh xạ X: (Ω; B(Ω), P) → (R; β(R)) gọi là biến ngẫu nhiên nếu:

X-1(B) ∈B(Ω) ∀ B ∈β(R)Với X-1(B) = {ω∈Ω : X(ω) ∈ B}

1.2 Xây dựng độ đo xác suất trên không gian Banach

1.4 CÊu tróc phÇn tö ngÉu nhiªn B - gi¸ trÞ

n j

−

=

1S(x , )n

Đ2 Kỳ vọng toán của PTNN nhận giá trị trên không gian banach khả ly

Kỳ vọng của đại lợng ngẫu nhiên đóng vai trò quan trọng đối với lý thuyết xác suất Với phần tử ngẫu nhiên thì nó cũng không kém phần quan trọng Trong bài này

ta nghiên cứu những tính chất cơ bản nhất về kỳ vọng toán của PTNN nhận giá trị trên không gian B khả ly

2.1 Định nghĩa

Giả sử X: (Ω; B(Ω), P) → (B; β(B)) là một phần tử ngẫu nhiên nhận giá trị trên B

Ta gọi phần tử EX ∈ B thoả mãn điều kiện: f(EX) = ∫

Ωf(X(ω)) P(dω) (1)với bất kỳ f ∈ B* là kỳ vọng của toán của PTNN trên không gian B

Trong đó B* là tập hợp các phiếm hàm tuyến tính liên tục từ B → R

Ta biết rằng với bất kỳ f ∈ B* thì f(X) là đại lợng ngẫu nhiên nhận giá trị trong

/R Vì vậy ta có thể viết biểu thức (1) nh sau:

f(EX) = Ef(X)

2.2 Định lý

Giả sử X và Y là PTNN nhận giá trị trên B, Z là ĐLNN và λ∈ /R; h ∈ B Khi

đó nếu tồn tại EX; EY và EZ thì:

i, Tồn tại E(X + Y) và E(X + Y) = EX + EY

ii, Tồn tại E(λX) và E(λX) = λ.EX

3i, Tồn tại E(Zh) và E(Zh) = EZ.h

E(X + Y) = EX + EYTính chất ii, 3i, chứng minh tơng tự nh tính chất i.

Chứng minh tính chất 4i

Gọi N là biến cố sao cho X(ω) ≠ h ; với ω ∈ N

Vì P(X(ω) = h) = 1 nên P(X(ω) ≠ h) = 0 (hay P(N) = 0) (*)Với bất kỳ f ∈ B* ta có:

Chứng minh 6i

Giả sử g ∈ B*, với bất kỳ ánh xạ tuyến tính liên tục

T: B → B* thì g(T) ∈ B*

Vì vậy mà g(T(EX)) = Eg(T(X))

Với định nghĩa (2.1) ta đợc đẳng thức T(EX) = E T(X)

2.3 Định lý

Nếu X là PTNN nhận giá trị trên không gian Banach thoả mãn điều kiện

E ||X|| < ∞ thì tồn tại EX và ||EX|| ≤ E ||X||

Chứng minh

Trớc tiên chứng minh cho trờng hợp

X: (Ω; B(Ω), P) → (B; β(B)) là phần tử ngẫu nhiên rời rạc hay phần tử ngẫu nhiên X có dạng:

Trong đó ai∈ B; i = 1, 2

Ai ∈B(Ω) và Ai∩ Aj = φ ∀i ≠ j ;

1

i i

Với ∀f ∈ B* ta có:

f(h) = limn→∞f(EXn) = limn→∞E(f(Xn)) = Ef(X)

Do các hệ thức ||Xn - X|| → 0 khi n →∞ và ||f(X) || ≤ ||f|| ||X|| với n = 1, 2 , thoả mãn P - hầu khắp nơi Vì vậy kỳ vọng toán của PTNN nhận giá trị trên B rời rạc

Đ3 Côvarian của phần tử ngẫu nhiên B - giá trị

3.1 Định nghĩa

Phiếm hàm song tuyến tính, ký hiệu là:

Cov(X)(ϕ, g) = E(ϕ(X - EX).g(X-EX)); ϕ, g ∈ B* đợc gọi là Côvarian của phần

tử ngẫu nhiên X - B giá trị

Trong đó B* là tập hợp các phiếm hàm tuyến tính liên tục đi từ B → R

B* còn đợc gọi là không gian đối ngẫu của B

Định lý sau sẽ nêu các tính chất cơ bản của Côvarian của phần tử ngẫu nhiên B

2, Cov(X) là phiếm hàm song tuyến tính đối xứng trên B*

3, Cov(X+Y) tồn tại và Cov(X+Y) = Cov(X) + Cov(Y)

Chứng minh

1, Cov(X)(ϕ, ϕ) = E(ϕ(X - EX) ϕ(X - EX)) ≥ 0 ∀ϕ∈ B*

2, Cov(X)(ϕ, g) = E(ϕ (X - EX) g(X - EX)

= E(g(X - EX) ϕ (X - EX)

= Cov(X)(g, ϕ)

3, Cov(X+Y)(ϕ, g) = E(ϕ((X + Y) - E(X + Y)).g((X + Y) - E(X + Y)))

= E(ϕ (X - EX) + ϕ(Y - EY)).(g(X-EX) + g(Y - EY))

= E(ϕ(X - EX) g(X - EX)) + E(ϕ(Y - EY) g(Y - EY)) + + E(ϕ(X - EX) g(Y - EY)) + E(ϕ(Y - EY) g(X - EX))

= Cov(X) + Cov(Y)

Ta chứng minh E(ϕ(X - EX) g(Y - EY)) = 0

Thật vậy do X, Y độc lập nên:

E(ϕ(X - EX) g(Y - EY)) = E(ϕ(X - EX)) E(g(Y - EY))

= ϕ(E(X - EX)) g(E(Y - EY)) = 0Chứng minh tơng tự E(ϕ(Y - EY) g(X - EX)) = 0

§4 Ph¬ng sai cña PTNN nhËn gi¸ trÞ trªn kh«ng gian Banach

KÕt qu¶ chÝnh cña khãa luËn n»m ë phÇn II vµ phÇn III

Tài liệu tham khảo

Tài liệu Tiếng Việt:

[1] Nguyễn Duy Tiến - Vũ Việt Yên, Lý thuyết xác suất, Nxb Giáo dục, 2000.

[2] Hoàng Tụy, Giải tích hiện đại tập 1, 2, NXb Giáo dục, 1979

Tài liệu Tiếng Nga:

[3] B.M.Kruglov, Các chơng bổ sung của lý thuyết xác suất, Nxb Tiếng Nga, B.M,

1984

[4] Loève M, Lý thuyết xác suất, Nxb Tiếng Nga, 1962.