b/ Viết phương trình tổng quát của mặt phẳng ABC c/ Viết phương trình mặt cầu đường kính AB... Viết phương trình mp Q đi qua gốc tọa độ O và song song.[r]
Trang 1I PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN
1/ Phương pháp đổi biến số :
Dấu Hiệu: Bài toán thường ở dạng tích của hai loại hàm số:
Dạng nguyên hàm cần
tìm
Cách đặt biến số
f sinxcosxdx t sinx hoac t m sinx n
f cosxsinxdx t cosx hoac t m cosx n
f lnx 1dx
x
t lnx hoac t m lnx n
tan 12
cos
x
t tanx hoac t m tanx n
cot 12
sin
x
t cotx hoac t m cotx n
f x x dx k k 1
f e e dx x x t e x hoac t me x n
2/ Phương pháp từng phần.
/
a
Dấu Hiệu: Bài toán thường ở dạng tích của hai loại hàm
số:
Ta ưu tiên theo thứ tự đặt u = lnx , ax , ax+b…
Trang 2Dạng nguyên hàm
từng phần
Cách đặt biến số
lnaxbxdx
ln
ax2 bx c ln x dx
ln
ax b e dx x
u ax b
dv e dx
ax b sin x dx
Đặt cos
u ax b
dv x dx
ax b cosx dx
Đặt sin
u ax b
dv x dx
3/ Phương pháp khai triển
Dấu Hiệu: Bài toán thường ở dạng tổng, hiệu hoặc có thể
khai triển thành tổng hiệu từng phần nhỏ có công thức tính nguyên hàm, tách ra và tính tích phân
Tính nguyên hàm F(x) của các hàm số sau biết:
1/ f ( x )=x3−2 x +5 và F (2)=5 2/ f ( x )= 2 x +1
x và F (e )=3 e
3/ f (x) =e x+1
(e1x −2)và F(−1) =− 3 e 4/ f ( x )= cos x −sin 2 x
cos x và F (0)=4
5/ f ( x )= 1− x√x
2√x và F ( 4)=7 6/ f ( x )= 2 x2−8
x+2 và F (3)=2
7/ f ( x )= 2
√x −
3
x+4 x −5 và F (1)=6 8/
¿
f ( x )= 2
cos2x +3 sin x − 4 cos x+5
F (0 )=0
¿ {
¿
BÀI TẬP NGUYÊN
HÀM
Trang 3
1/
2
2
0
1.
x x dx
2/
0
π
3
sin 2 x −3 cos x cos x dx 3/
2 2
1
2
x
4/
0
π
4
3+ tan2x
cos2x dx 5/
1
0
ln 1
6/
2
3
1
1
x
dx
x
7/
1
1
.
1
x
dx
x
8/
2 1
3 ln
dx x
9/
2
0
1 x cos 2 x dx
10/
1
1
0
1
2
x
x
e
11/
1
3 0
2x 1 x dx
12/ 1 2
0
4 3x x 1 dx
13/
1
3 0
2x 1 e dx x.
14/ 4 sin 2
0
3 e x .cos 2 x dx
15/
2
2 1
1 3
x dx x
16/ 6 2
0
sin 3x 2 cos3 x dx
17/
tan 2 8
2 0
1 cos 2
x e dx x
18/
2
3
1
2 x
dx x
19/ 1
2 1 ln
e
20/
2 2 0
sin
.
3 3cos
x dx x
21/
0
4 2
x x
e
dx e
2
0
1 sin
23/
6 0
cos 1 3tan x x dx
24/
4
0
4cos 2 3x sin 2 x dx
BÀI TẬP TÍCH PHÂN
Trang 425/
1
3 0
2 1x e x .dx
26/
2 1
ln 3
.
3
dx x
27/
5
4 1
6 1 3
2
x
dx x
28/
2
2
0
cos 3 9
.
3 cos3
x
dx x
29/
1
3 0
2x 1 e dx x
30/
4
2
0
4 3cos 2 sin 2 x x dx
31/
2 1
2 3ln
.
e
x dx x
32/
2 4
2 8
1 3cot 2
sin 2
x dx x
33/
1
2 0
3 x e dx x.
34/ 2 cos3
0
3 e x .6sin 3 x dx
35/ 2 2
0
3 cos x .3sinxdx
36/
4 0
3 1 cos 2 x x dx
37/
2 4
2 0
1 2cos
.
1 sin
x dx x
38/ 1
1 3 2ln 3
2
dx x
39/
2 0
4cos
.
1 2sin
x dx x
39/
2
0
.cos
2
40/
0
9 3
x x
e dx e
41/
6
0
3cos3 2x sin 3 x dx
42/
2
2 1
3 1
2
x dx x
43/
2
0
3 cosx 2 x dx
44/ I=
0
π
3
2 cos x −sin 2 x cos x dx
45/
1
4
.
2
x
dx x
46/
2 0
2 sin 3 x x dx
47/
6 0
6sin 3
.
1 2cos3
x dx x
II ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN
Trang 5Diện tích của hình phẳng giới hạn bởi :
C1 : yf x ; C2: y g x x a x b a b ; ;
(trong đó hai đường thẳng x a x b ; có thể thiếu một hoặc cả hai)
I.1 Công thức :
b
a
b
a
I.2 Các bước thực hiện :
Bước 1 : Giải pt hoành độ giao điểm của C1 & C2:
f x g x x để tìm các nghiệm thuộc a b;
Giả sử được các nghiệm là : x x1 , 2 và a x 1 x2 b
Bước 2 : Áp dụng công thức :
b
a
I.3 Chú ý :
+ Nếu đề bài không cho a và b thì nghiệm nhỏ nhất và nghiệm lớn nhất của phương trình f x g x tương ứng là a và b
+ Nếu đề bài đã cho đủ cả a và b thì khi giải phương trình
f x g x ta chỉ nhận những nghiệm thuộc a b; (nếu có) Nghiệm
không thuộc đoạn a b; phải loại bỏ.
Bài 1: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi y=x3− 3 x2
+4 , và y=4
BÀI TẬP ỨNG DỤNG TÍCH
PHÂN
Trang 6Bài 2: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi: y x 2 4x3 , y2x 6, trục Oy
Bài 3: Tính diện tích hình phẳng được giới hạn bởi:
y=x2, y =2 x −1 , x =−1
Bài 4: Tính diện tích hình phẳng được giới hạn bởi:
3 , 2 , 2
x
Bài 5: Tính diện tích hình phẳng được giới hạn bởi: y x 32 ,x trục
Ox và x = 2
Bài 6: Tính diện tích hình phẳng được giới hạn bởi:
y=x3− 2 , y =−3 và x=− 1
Bài 7: Tính diện tích hình phẳng được giới hạn bởi:
y=x2− 2 , y =−3 x+2
Bài 8: Tính diện tích hình phẳng được giới hạn bởi:
1 Định nghĩa số phức và các khái niệm liên quan :
a Định nghĩa :
Số phức là một biểu thức có dạng a bi ; trong đó a , b ∈ R và i 2 1
b Các khái niệm liên quan :
Cho số phức z a bi Khi đó :
a gọi là phần thực và b là phần ảo, i là đơn vị ảo của số phức
z
Số phức zđược biểu diễn bởi điểm M a b ; trên mặt phẳng tọa
độ Oxy
z OM a b
gọi là modun của số phức z
Số phức z a bi gọi là số phức liên hợp của số phức z
Chuyên đề
2
SỐ PHỨC
Trang 7II Hai số phức bằng nhau :
Cho số phức z a bi và z a b i Khi đó :
a a
z z
b b
2 Các phép toán trên tập hợp số phức :
Các phép toán : cộng, trừ, nhân hai số phức thực hiện như rút gọn biểu thức đại số thông thường với chú ý rằng i 2 1
● Phép chia hai số phức :
.
0
z
3 Phương trình bậc hai :
a Căn bậc hai của số thực âm :
Cho a là số thực âm Khi đó a có hai căn bậc hai là : i a và i a
b Cách giải phương trình bậc hai với hệ số thực :
az2 bz c 0; , ,a b c ;a 0
Tính b2 4ac Kết luận :
Nếu 0 thì phương trình có hai nghiệm thực phân biệt
1,2
2
b z
a
Nếu 0 thì phương trình có một nghiệm kép thực 1 2 2
b
a
Nếu 0 thì có hai căn bậc hai là i và i Khi đó
phương trình có hai nghiệm phức phân biệt là 1 2
b i z
a
và
2
2
b i z
a
BÀI TẬP SỐ PHỨC
Trang 8Bài 1: Tìm phần thực, phần ảo và môđun của :
1/ Số phức 1 2
1
z z biết z1=1− 2i , z2=3+i 2/ Số phức z=z2 (z1+z2) biết z1 2 i; z2 1 3i
3/ Số phức z1 z2 biết z1 2 i; z2 1 3i
4/ Số phức z= z1
z2+2 z1 biết z1 2 i; z2 1 3i
5/ Số phức z2− z1 biết z1=−2 i; z2=3+i
6/ Số phức z=2 z1+3 z2− z1
z2 biết z1=1+2i ; z2=2− i
7/ Số phức z= 2 z1− z2
z1 biết z1=−1+2 i; z2=3 −i 8/ Số phức z=z1 z2−2 z1 biết z1=−1+2 i; z2=3 −i
9/ Số phức z=(1 −2 i)2−(3+2 i)
10/ Số phức z=(1 −2 i)2 (3+2i)
11/ Số phức z2− z biết z=1+2 i
12/ Số phức z=z1− 3 z2+2 z1 z2 biết z1=−1+2 i; z2=3 −i
Bài 2: Giải các phương trình bậc hai sau trên tập số phức:
1/ 4z 2 9 0 2/ 4z2 6z 3 2z 2 3/ z2 6z 5 3 z2 24 4/
2 0
4
5/ 3z2 2z 1 0 6/ 2z2 3z 4 0
7/ z i 2 3 0 8/ z2− iz+1=0 9/ 3 z2−2 iz+1=0 10/ z4 5z2 4 0 11/ z4 5z2 36 0 12/ z3 2z2 10z 0
Bài 3: Giải các phương trình tìm z trên tập số phức:
1/
2
1
3 i z i 2/ (1− 2i)z=−1+3 i 3/ 2 z −(1 −2 i)
2
=−3+2 i
4/ 2 z −(1 −2 i) (3+i) =0 5/ 3iz 3 2i 6 7i 6/
5 2 i z 2 i 7 3i
7/ 4 2 i 1 i z2 0 8/
1
4 2
i
i
9/ 3 i z 2 i 5 2 3 i z 10/ z 2 i2 3 2 i 11/ z+(2− i)2=1+i 12/ z=(1+2 i) −(3 − i)2 13/ z − (1− 2i)2 =3+2 i 14/ 2 z −(1 −2 i)2
=−3+2 i 15/
z −(1− 2i)2= (3+2 i)
Bài 4: Tìm các số thực x, y sao cho:
Trang 91/ 2 x − iy=3 y −2+( x − 1)i 2/ 2 y − x +3=( x − 3 y +4 )i
3/ 2 x +3 yi=x − 2 y +1 4/ 3 x − iy=− 2 yi− 4 +(x − 5)i
5/ 2 z3−9 z2 +14 z− 5=(2 z − 1)(z2
+xz+ y)
Chuyên đề 3 PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ
TRONG
KHÔNG GIAN
1- TỌA ĐỘ ĐIỂM VÀ VECTƠ
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho a ( ; ; )a a a1 2 3 và
( ; ; )
b b b b
ta có
a b (a1 b a1 ; 2 b a2 ; 3 b3 )
a b a b 1 1 a b2 2 a b3 3 ( Tích vô hướng )
k a. (ka ka ka1 ; 2 ; 3 )
, a a ;a a a; a ;
( Tích có hướng )
a a a a
(độ dài vecto)
s( , )
a b
co a b
(với a0 , b0)
a và b vuông góc a b 0 a b1 1 a b2 2 a b3 3 0
2- PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU.
1 Mặt cầu (S) có tâm I(a ; b ; c) , bán kính r có phương trình:
Trang 10(S): (x – a )2 +( y – b)2 + ( z – c )2 = r2
2 Mặt cầu (S): x2 + y2 + z2 – 2ax – 2by – 2cz + d = 0 với
a b c d
Có tâm I (a ; b ; c) , bán kính r = √a2+b2+c2−d
3 PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG
Định nghĩa :
Phương trình có dạng Ax + By + Cz + D = 0 , trong đó
A, B, C không đồng thời bằng 0 , được gọi là phương trình tổng quát của mặt phẳng
Nếu mp ( ) : Ax + By + Cz + D = 0 thì có véctơ pháp tuyến là
( ; ; )
n A B C
Mặt phẳng ( ) đi qua điểm M0(x0;y0;z0) nhận n( ; ; )A B C , n 0
làm vectơ pháp tuyến có phương trình dạng : A(x x0) + B(y -y0) + C(z - z0) = 0.
Nếu mp ( ) có cặp vectơ a ( ; ; ), b ( ; ; )a a a1 2 3 b b b1 2 3 không cùng phương và có giá song song hoặc nằm trên () thì vectơ pháp tuyến của ( ) là: na b,
4 ĐƯỜNG THẲNG
I Phương trình đường thẳng:
Định nghĩa :
Trang 11Phương trình tham số của đường thẳng đi qua điểm
M 0 (x 0 ;y 0 ;z 0 ) và có vectơ chỉ phương a ( ; ; )a a a1 2 3 : Δ:
(t )
Nếu a 1 , a 2 , a 3 đều khác không .Phương trình đường thẳng viết dưới dạng chính tắc như sau:
1
) Vị trí tương đối của đường thẳng và mặt phẳng :
Trong không gian Oxyz cho (α): Ax+By+Cz+D = 0 và
d : x=x0+a1t y= y0 +a2t z=z0+a3t , t ∈ R
¿ { {
Xét phương trình : A(xo+a1t)+B(yo+a2t)+C(z0+a3t)
+D = 0 (1)
Phương trình (1) vô nghiệm thì d // (α)
Phương trình (1) có một nghiệm thì d cắt (α)
Phương trình (1) có vô số nghiệm thì d(α)
Đặc biệt : (d) () a n , cùng phương
k R a k n
2) Khoảng cách
Khoảng cách từ M0(x0 ; y0 ; z0) đến mp
: Ax By Cz D 0
d M
Phương pháp :
Lập phương trình mp( ) đi qua M và vuông góc với d
Tìm tọa độ giao điểm H của mp() và d
Trang 12 d(M, d) =MH
Đường thẳng d đi qua M(x0 ; y0 ; z0) và có vtcp
( ; ; )
a a a a
Đường thẳng d’ qua M’(x’0 ; y’0 ; z’0) và có vtcp
' ( ' ; ' ; ' )
Phương pháp :
Lập phương trình mp( ) chứa d và song song với d’
d(d,d’)= d(M’,( ))
Khoảng cách giữa / /
Lấy M ( x0, y0, z0 )
d(, )= d(M,())
Khoảng cách giữa / /
Lấy M ( x0, y0, z0 )
d( , )= d(M,( ))
Bài 1: Cho ba điểm A(-2;1;0), B(1;2;-2), C(0;-1;2), mp (α ): x −2 y+ 3 z −1=0
a/ Viết phương trình đường trung tuyến BM của Δ ABC
b/ Lập phương trình mặt phẳng (P) qua A và (P) // (α )
Tính khoảng cách từ (P) đến (α)
c/ Viết phương trình mặt cầu qua 4 điểm O, A, B, C
d/ Tính khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng BC
Bài 2: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(3 ; 0 ; -2), B(1 ; -2 ; -4).
a/ Viết phương trình đường thẳng AB
b/ Viết phương trình mặt phẳng trung trực của đọan AB
c/ Viết phương trình mặt cầu tâm A và đi qua điểm B
d/ Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng BC
Bài 3: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho điểm A(1 ; 0 ; 2), B(1 ; 1 ; 5),
C(0 ; -1 ; 2) và D(-2 ; 1 ; 2)
BÀI TẬP PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ
Trang 13a/ Lập phương trình mặt phẳng (P) chứa AB và song song với CD.
b/ Lập phương trình mặt cầu (S) có đường kính là CD
c/ Lập phương trình đường thẳng AB
Bài 4: Trong không gian Oxyz cho ba điểm A(0;1;1), B(-1;0;2),
C(3;1;0)
và một đường thẳng () :
9 2 ,
5 3
x t
a/ Viết phương trình mặt phẳng (α) đi qua ba điểm A, B, C b/ Viết phương trình tham số của đường thẳng d qua B và d //
c/ Viết phương trình mặt cầu qua 4 điểm O, A, B, C
Bài 5: Cho A(-1;-2;0), B(2;0;3), C(2;-3;-1) mp (α): x −3 y − 4=0
a/ Lập phương trình đường thẳng AB, xác định tọa độ giao điểm giửa AB và (α)
b/ Lập phương trình mp (P) đi qua điểm C và (P) // (α )
c/ Viết phương trình mặt cầu tâm A và tiếp xúc với (α )
Bài 6: Trong không gian Oxyz cho mặt cầu (S) : x2 + y2 + z2 2x 4y -6z = 0
mp (α ):2 x − y+ z −3=0 và hai điểm M(-1;1;-2), N(-3;3;0)
a/ Xác định tọa độ tâm I và bán kính của mặt cầu (S)
Tính khoảng cách từ tâm I đến (α )
b/ Viết phương trình đường thẳng MN
c/ Viết phương trình mp (P) qua trung điểm đoạn MN và (P) //
(α)
Bài 7: Trong không gian Oxyz cho A (2;− 1;− 3) , B (0 ;−1 ;1), C (3 ;1 ;−1)
đường thẳng : x −12 =y+2
−3 =
z −5
4
a/ Viết phương trình đường thẳng d qua A và d //
b/ Viết phương trình tổng quát của mặt phẳng (ABC)
c/ Viết phương trình mặt cầu đường kính AB
Trang 14Bài 8: Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng (P): 2x + y - 2z - 6 =
0
a/ Viết phương trình mp (Q) đi qua gốc tọa độ O và song song với mp (P)
Tính khoảng cách từ (Q) đến (P)
b/ Viết pt tham số của đường thẳng đi qua gốc tọa độ O và vuông góc với (P)
c/ Viết phương trình mặt cầu tâm O và tiếp xúc với (P)
Bài 9: Trong không gian Oxyz cho 3 điểm A(-1;2;0) , B(0;-2;4),
C(3;1;-2)
a/ Chứng minh Δ ABC vuông tại A, định M để tứ giác ABMC là hình chử nhật
b/ Viết phương trình tổng quát của mặt phẳng chứa trục Ox
và điểm C
c/ Viết phương trình mặt cầu (S) tâm A, bán kính r = OA
Bài 10: Trong không gian Oxyz cho mặt phẳng (P): x + 2y – z + 5 =
0, điểm
I(1;2;-2) và đường thẳng Δ: x
2=
y −1
−1 =
z+3
1
a/ Tìm giao điểm của (d) và (P)
b/ Viết phương trình mặt cầu (S) tâm I tiếp xúc với mặt phẳng (P)
c/ Viết phương trình mặt phẳng (Q) qua I và (Q) // (P)
Bài 11: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm D(-3 ; 1 ; 2) và mặt phẳng (P): 2x – y + 1 = 0 đi qua ba điểm A(-3 ; 1 ; 2), B(-2 ; -1 ; 1), C(0 ; -1 ; -1).
a/ Xác định tọa độ giao điểm giữa đường thẳng AC và mặt phẳng (P)
b/ Viết phương trình mặt phẳng (Q) qua A và (Q)⊥ BC
c/ Viết phương trình mặt cầu tâm A, bán kính R bằng độ dài đoạn BC
Bài 12: Trong hệ trục Oxyz cho A(3;-4;2), B(1;-2;1), C(-1;0;0), D(-2;1;-1)
a/ Viết phương trình đường thẳng AB
b/ Viết phương trình mặt phẳng ( ) đi qua điểm D và song song với (ABC) c/ Viết phương trình mặt cầu đường kính AC