Một số tích chất của độ cong theo phương hai chiều và độ cong ricci luận văn thạc sỹ toán học

Trong đó, ta không thể không nhắc tới các công trình nghiên cứu của Ricci và Levi-Civita đặc biệt là nghiên cứu về tính chất của độ cong và độ xoắn trên đa tạp Riemann.. Chọn đề tài ‘‘Mộ

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH

MỤC LỤC

Trang

LỜI NÓI ĐẤU 2

CHƯƠNG I : ĐA TẠP RIEMANN 4

I.Đa tạp Riemann 4

II Phép đẳng cự 19

CHƯƠNG II:CÁC ĐỘ CONG CƠ BẢN TRÊN ĐA TẠP RIEMANN 21

I.Tenxơ độ cong 21

II Độ cong Ricci 32

KẾT LUẬN 35

TÀI LIỆU THAM KHẢO 36

LỜI NÓI ĐẦU

Hình học Rimann ra đời từ những năm 1850 và được xem như một sự

mở rộng tự nhiên của hình học Lobasevsky, do nhà toán học Rimann xây dựng Từ đó đến nay, hình học Rimann cùng với các phép tính tenxơ đã và đang được nghiên cứu rộng rãi bởi các nhà toán học Trong đó, ta không thể không nhắc tới các công trình nghiên cứu của Ricci và Levi-Civita đặc biệt là nghiên cứu về tính chất của độ cong và độ xoắn trên đa tạp Riemann Chọn đề

tài ‘‘Một số tính chất của độ cong theo phương hai chiều và độ cong Ricci ”

chúng tôi muốn làm rõ hơn một số tính chất về độ cong theo phương hai chiều

và độ cong Ricci trên đa tạp Riemann để phần nào hiểu sâu hơn về hình học Riemann

Độ cong theo phương hai chiều và độ cong Ricci trên đa tạp Riemann có nhiều ứng dụng trong Vật lý, Toán học và nhiều ngành khoa học khác

Luận văn được trình bày trong hai chương:

Chương I Đa tạp Riemann

Trong chương này, chúng tôi trình bày các khái niệm và chứng minh chi tiết một số tính chất quan trọng trên đa tạp Riemann và phép đẳng cự Đây là những kiến thức cơ sở chuẩn bị cho việc trình bày của chương sau

Chương I được chia làm hai phần:

I Đa tạp Riemann

II Phép đẳng cự

Chương II Các độ cong cơ bản trên đa tạp Riemann

Trong chương này, chúng tôi trình bày một số tính chất cơ bản của tenxơ

độ cong, độ cong theo phương 2 chiều, độ cong Ricci trên đa tạp Riemann và ứng dụng của nó Chương II được chia làm 2 phần:

I Tenxơ độ cong

II Độ cong Ricci

Luận văn được hoàn thành vào tháng 12 năm 2011 tại Trường Đại học

Vinh với sự hướng dẫn của PGS TS Nguyễn Hữu Quang Nhân dịp này,

tác giả xin chân thành gửi lời cảm ơn sâu sắc tới Thầy, người đã hướng dẫn tác giả trong suốt quá trình học tập và nghiên cứu

Nhân dịp hoàn thành luận văn, tác giả xin chân thành cảm ơn các thầy cô giáo trong bộ môn Hình học - Tôpô, các thầy cô giáo trong khoa Toán, khoa đào tạo Sau Đại học - Trường Đại học Vinh, đã nhiệt tình giảng dạy, góp ý và tạo điều kiện cho tác giả trong quá trình học tập và thực hiện luận văn

Cũng nhân dịp này, tác giả xin chân thành cảm ơn bạn bè, gia đình đã động viên, giúp đỡ tác giả trong suốt quá trình học tập và hoàn thành luận văn

Vinh, tháng 12 năm 2011

Tác gỉả

CHƯƠNG 1

ĐA TẠP RIEMANN

Trong chương này, chúng tôi trình bày các khái niệm và chứng minh chi tiết một số tính chất quan trọng trên đa tạp Riemann và phép đẳng cự Đây là những kiến thức cơ sở chuẩn bị cho việc trình bày của chương sau

I Đa tạp Riemann

1.1 Định nghĩa: (xem [1;3])

là mêtric (hay mêtric Riemann trên M) , nếu nó thoả mãn hai điều kiện sau:i) gp là tích vô hướng trên TpM ; với ∀p∈M ( Ở đây TpM là không gian véc tơ tiếp xúc với M tại p )

Ở đây B(M) là môđun các trường véc tơ khả vi trên M)

Thay cho viết g(X,Y), ta thường viết là <X,Y> (hoặc X.Y).

Đa tạp khả vi M cùng với một tenxơ mêtric g đã xác định trên nó được

gọi là đa tạp Riemann và được ký hiệu là (M,g) hoặc M

1.2 Chú ý

- Từ nay, ta luôn ký hiệu M là đa tạp Riemann n- chiều có cơ sở đếm được

- Tp(M) = {α→p/ α→p tiếp xúc với M tại p}.

- B(M) = { X/ X lµ trêng vÐc t¬ tiÕp xóc khả vi trªn M}

- F(M) là vành các hàm số khả vi trên M

1.3 Ví dụ

Với mỗi p ∈ S, ta đặt gP(XP,YP) = XP.YP Khi đó S là một đa tạp Riemann (Trong đó: XP.YP là tích vô hướng thông thường của XP và YP trong TPR3)

b) Giả sử φ là hàm số khả vi và luôn dương trên Rn

- Trong trường hợp riêng H = {A(x,y) y >0; A∈Oxy } và φ(x,y) = 2

1

y }Vậy (H, g) là một đa tạp Riemann

là một dìm Khi đó h(X,Y) = g(f*X, f*Y); ∀ X,Y ∈ B(M), xác định một mêtric Riemann trên M

q q

U q khi

U q khi Y

X g q

0

) , (

~ ).

Khi đó g là mêtric trên M

Khi đó độ dài Γ là: l t dt

b

a

p =∫ρ ' ( )b) Khoảng cách d(A,B) được ký hiệu: d(A,B) và được xác định bởi: d(A,B) = infΓlΓ (Γ: là đường cong nối A và B )

ρ = rλ Trong đó λ là vi phôi từ [a,b] →[c,d] ; λ(t) = s, ∀ t∈ [a,b]

∫

1.7 Ví dụ

ρ: [1,2] →H

t  (3; 2t +1) Khi đó: ρ’(t) = ( 0 ; 2)

⇒ ρ’.ρ’ = 4 Vậy , ta có :

2 2 1

1' '

0 4

2

1 ln 2

1 )

1

1 1

1 ( 2

1

u

u du

u

+

= +

2 2 ln 2

được gọi là một liên thông tuyến tính trên

Toán tử ∇X: Y  ∇XY gọi là đạo hàm thuận biến dọc trường véctơ X

2) ∇X+YZ = DX+YZ = DXZ + DYZ

3) ∇ϕ XY = DϕX Y = ϕDXY

i

i E X Z E Y

Y X

1 1

= ∇XY + ∇XZ

1

i i n

i

i

i E Y Z E Z

i

i

i E Y Z E Z

X

1 1

1

= X[ϕ].Y + ϕ DXY

VËy ∇ lµ liªn th«ng tuyÕn tÝnh

3- Gi¶ sö M = Rn vµ S lµ ®a t¹p con trªn Rn Víi X,Y ∈ B(S)

Ta đặt ∇XY = (DXY)T, (ở đõy (DXY)T là thành phần tiếp xúc của DXY

TpS

NpS

RnP

N

T

Ta kiÓm tra c¸c ®iÒu kiÖn cña liªn th«ng tuyÕn tÝnh:

Khi đó ∇α là liên thông tuyến tính trên Uα

Giả sử { }gα α∈Ιlà phân hoạch đơn vị ứng với phủ { }Uα α∈Ι của M.

Tại mỗi điểm p ∈ M luụn cú một lõn cận Up của p và một hàm khả vi ϕ

thỏa món ϕ | Up = 1 và ϕ | M/Ũp = 0 ( Với Ũp là một tập mở nào đú mà Ũp ⊃ Up .)

Ta giả sử cú hai trường vộc tơ Y và Ỹ sao cho Y| U p= Ỹ| U p và ta đặt

Z = Y - Ỹ, khi đú trường vộc tơ ϕZ| U p = 0

Ta cú: ( x ϕZ)|U p = 0 hay (X[ϕ]Z|U p + (ϕx Z)|U p = 0

Do đú ϕ(p) (x Z)p = 0 Vậy (xY - x Ỹ)p = 0

Nghĩa là: (xY)p = (x Ỹ)p

b) Giỏ trị của∇X Y tại điểm p ∈ M chỉ phụ thuộc vào giỏ trị của p Với mỗi Y ∈ B(M), ánh xạ∇Y : Tp(M) → Tp(M)

Giả sử ∇’ và ∇ % là hai liên thông tuyến tính trên M

Ta đặt ∇ = ϕ∇’ + ψ ∇~ Khi đó ∇ là liên thông tuyến tính trên M khi và

1.14 Định nghĩa: (xem [3])

chỉ khi ∇ thỏa mãn hai tiên đề sau:

ThËt vËy, ta thÊy r»ng ∇ lµ mét liªn th«ng tuyÕn tÝnh trªn M, ë ®©y ta kiÓm tra ®iÒu kiÖn cña liªn th«ng Levi – Civita:

i

i

Y X

Z

1

= ( ( [ ] ) ) ( [ ]) )

1

i i i

n

i

i Y Z Y X X

i

i i n

i i i n

i

i

i U Y U Z Y U X U X

Z

1 1

1 1

) (

) (

= Z[ ]X U Y n Z[ ]Y U X

i

i i n

+) Víi X,Y, Z ∈B(M) vµ c«ng thøc (1) cho ta:

g(∇XY,Z) + g(Y, ∇XZ) = Xg(Y,Z) (2)

thøc (1)

Tõ (2) ta cã: X[g(Y,Z)] = g(∇XY,Z) + g(Y, ∇XZ) (3)

Y[g(Z,X)] = g(∇YZ,X) + g(Z, ∇YX) (4)

Z[g(X,Y)] = g(∇ZX,Y) + g(X, ∇ZY) (5)

Do T(X,Y) = ∇XY - ∇YX - [X,Y] = 0 nªn:

Z[g(X,Y)] = g(∇XZ,Y) + g([Z,X],Y) +ƒ(X, ∇YZ) + g(X, [Z,Y]) (6)

Y[g(Z,X)] = g(∇YZ,X) + g(Z, ∇XY) + g(Z, [Y,X]) (7)

Céng vÕ víi vÕ cña (3) vµ (7) råi trõ vÕ víi vÕ cho (6):

g(∇XY,Z) = 21 {X[g(Y,Z)] + Yg(Z, X) - Zg(X,Y) + g(Z, [X,Y])

+ g(Y, [Z,X]) - g(X, [Y,Z])} §©y chÝnh lµ c«ng thøc (1)

Khi đó ∇ là liên thông Lêvi – Civita trên N

1 , 1 2

1 2

3 ( x+ y+ − x+ y

1 , 2

1 2

3 ( X1+ X2 − X1+ X2

2

3 2

1 , 2

1 2

3 ( Y1+ Y2 − Y1+ Y2

Do đó (X Y)p = (X1Y1+X2Y2)p

=f* p(X)  f* p(Y); ∀p ∈R2

.

1 20 Nhận xét

a) Phép đẳng cự bảo tồn độ dài đường cong.

với ρ : [a,b] → M;

t  ρ(t) và Γ~ =f( Γ )

Khi đó Γ’ được cho bởi tham số hóa ρ~=f  ρ: [a,b] → N;

) ( )

( (

( '

( '

* Nhận xét : Như vậy, trong chương một chúng tôi đã trình bày rõ khái

niệm về đa tạp Rimann và chứng minh chi tiết một số tính chất trên đa tạp Riemann Đó là những kiến thức rất cơ bản để chuẩn bị cho chương hai Trong chương hai , chúng tôi trình bày và chứng minh chi tiết một số tính chất cơ bản của tenxơ độ cong, độ cong theo phương hai chiều, độ cong Ricci trên đa tạp Riemann

CHƯƠNG 2 CÁC ĐỘ CONG CƠ BẢN TRÊN ĐA TẠP RIEMANN

tạp Rimann M

I Tenxơ độ cong

2.1 Định nghĩa: (xem [1;3])

Ten xơ độ cong của M đó là ánh xạ R được xác định như sau :

R (X,Y)Z = ∇X∇YZ - ∇Y∇XZ - ∇[X,Y]Z ,với ∀ X, Y, Z ∈ B(M)

u y

u x

cos ), ( 

Thay (1), (2), (3) vào (4) ta thu được kết quả:

i E C E E

ij

=

] ,

k

k ijs s

ij ,

Do M là đa tạp Riemann nên: ∇[ ]X Y, Z = ∇[ ]Z X, Y = ∇[ ]Y Z, X = 0.

Cộng ba đẳng thức trên ta thu được kết quả:

2.8 Mệnh đề: (xem [4])

Giả sử ∇ là liên thông Levi – Civita, với [X Y, ] = ∀0, X Y, ∈B M( ) .

Khi đó: R X Y Z T( , , , ) = −R X Y T Z( , , , )

Mệnh đề 2.6 có thể chứng minh trực tiếp qua cơ sở do tính chất bốn

mệnh đề 2.6

2.9 Bổ đề

Giả sử [X Y, ] = ∀0, X Y, ∈B M( ) thì (∇ ∇X Y Z Z) = ∇ ∇( Y X Z Z Z B M) , ∀ ∈ ( ) Thật vậy: Do [X Y, ] = ∀0, X Y, ∈B M( ) , nên ∀ ∈Z B M( ) ta có:

Mặt khác, với ký hiệu: k1(X,Y) = detGr(X,Y) =

Y Y Y X

Y X X

X

, ,

Gọi σlà không gian véc tơ con của TpM sinh bởi {v, w} và giả sử {v ~~,w}

là một cơ sở bất kỳ của σ, ta có sự biểu diễn :

w

w v v

22 21

12 11

~

~

α α

α α

w v k

, khi đó K là hàm xác định trên mỗi phẳng 2

cơ sở của σ

Ta ký hiệu K(σ) = K(v,w)

Số thực K(σ) được gọi là độ cong thiết diện của TpM tại p theo phương σ

,

, ) , (

w v w v

v w w v R K

−

=

2.13 Chú ý : (xem [1; 3])

2.14 Định lý: (xem [1; 3])

diện K(σ) , ở đó σ là phẳng hai chiều trong TpM, chỉ phụ thuộc vào điểm p ∈ M, thì M là không gian có độ cong hằng

Chứng minh:

Xét trường tenxơ trên M theo công thức

Y X

Z Y X

Khi đó k1(X,Y) = R1(X, Y)Y X

1 X Y k

Y X k

Do đồng nhất thức Bianchi

tức là :

0 X) Z U, - U Z X, Y[K](

U) Z Y, - Y Z U, X[K](

Y) Z X, - X Z Y,

với ∀X, Y, Z, U ∈ B(M)

X[K]Y – Y[K]X = 0

Vì X, Y độc lập tuyến tính nên:

Như vậy K là hàm hằng địa phương

Vì M liên thông nên K là hàm hằng trên M, tức M là không gian có độ cong hằng

II Độ cong Ricci: (xem [1; 3])

là trường tenxơ hai lần hiệp biến, ký hiệu S(X,Y), xác định như sau :

S(X,Y) p : Trace(Zp  R(X,Y)Zp ) ; ∀X, Y, Z ∈ B(M)

Xét dạng toàn phương tương ứng với S

S: v S ( v v,) ( với v∈T p M, v≠ 0)

2.15 Định nghĩa: (xem [1; 3])

) , ( ) (

v

v v S v

+ r(k.v) =r(v) ; với ∀k ≠ 0 + Với v = 1 thì r(v) =s(v,v)+ Giả sử {e1, ,en}là cơ sở trực chuẩn trong TpM.

i j j i

j R e e e e e

r

1

).

, , ( )

2.17 Định lý : (xem [1; 3])

Giả sử g là tenxơ mêtric và S là tenxơ Ricci của đa tạp Rimann liên

Giả sử σ là phẳng hai chiều trong TpM u,v,w là cơ sở trực chuẩn của

TpM sao cho: u∈σ,v∈σ Giả sử α sinh bởi u,w và β sinh bởi v,w là các phẳng tọa độ Khi đó:

Nên K(σ)=λ2 .

Tương tự cách tính trên , ta cũng có: K(β)=λ2 ,

2 )

Do đó K(p)=λ2; ∀p ∈ M

Vậy M có độ cong hằng

KẾT LUẬN

Luận văn đã đạt được những kết quả chính sau:

1.6)

Levi – Civita trên đa tạp Riemann (Mệnh đề 1.10; mệnh đề 1.17 )

phương hai chiều và độ cong Ricci trên đa tạp Riemann (Mệnh đề 2.6; mệnh đề 2.10 )

tính; tenxơ độ cong (ví dụ 1.7; 1.9; 2.2; )

Trong thời gian tới, chúng tôi tiếp tục nghiên cứu sâu hơn các tính chất của độ cong Ricci và việc ứng dụng của độ cong Ricci trên đa tạp Riemann và một số đa tạp khác

TÀI LIỆU THAM KHẢO

Tiếng Việt:

[1] Khu Quốc Anh, Nguyễn Doãn Tuấn (2003), Lý thuyết liên thông và hình

học Riemann, Nxb Đại học Sư phạm.

[2] Nguyễn Hữu Quang (2004), Đa tạp khả vi, Đại học Vinh.

[3] Nguyễn Hữu Quang (2005), Mở đầu hình học Riemann, Đại học Vinh [4] Đoàn Quỳnh (2003), Hình học vi phân, Nxb Đại học Sư phạm.

Tiếng Anh:

[5] Chern S.S, Chen W.H, Lam K.S - Lectures on Differential Geometry,

Copyright @2000 by World Scientific

[6] O’ Neill.B (1966), Elementary Differential Geometry, Academic Press,

New - York and London

[7] Sigmundur Gudmundsson (2009), An Introduction to Riemannian Geometry,

Lund University