Điểm toàn bài Lưu ý khi chấm bài: Nếu học sinh giải cách khác đúng thì chấm và cho điểm từng phần tương ứng..[r]
Trang 1ĐỀ THI CHÍNH THỨC
Đề thi có 01 trang
KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH
NĂM HỌC 2012-2013 MÔN THI: TOÁN LỚP 7 Ngày thi: 30/3/2013
Thời gian làm bài 150 phút, không kể thời gian giao đề
Câu 1 (4,0 điểm)
1) Rút gọn:
:
2 5 10 2 3 12
A
2) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P x 2012 x 2013 với x là số tự nhiên
Câu 2 (5,0 điểm)
1) Tìm x biết 2 3 5x2 x1 x 10800
2) Ba bạn An, Bình và Cường có tổng số viên bi là 74 Biết rằng số viên bi của An
và Bình tỉ lệ với 5 và 6; số viên bi của Bình và Cường tỉ lệ với 4 và 5 Tính số viên bi của mỗi bạn
Câu 3 (4,0 điểm)
1) Cho plà số nguyên tố lớn hơn 3 Chứng minh rằng p 2 2012 là hợp số
2) Cho n là số tự nhiên có hai chữ số Tìm n biết n 4 và 2n đều là các số chính phương
Câu 4 (6,0 điểm)
Cho tam giác ABC cân tại A và có cả ba góc đều là góc nhọn
1) Về phía ngoài của tam giác vẽ tam giác ABE vuông cân ở B Gọi H là trung điểm
của BC, trên tia đối của tia AH lấy điểm I sao cho AI BC Chứng minh hai tam giác ABI và BEC bằng nhau và BI CE
2) Phân giác của các góc ABC BDC, cắt AC, BC lần lượt tại D, M Phân giác của
góc BDA cắt BC tại N Chứng minh rằng:
1 2
BD MN
Câu 5 (1,0 điểm)
Cho
2 3 4 2011 2012 2013
S
và
1007 1008 2012 2013
Tính
2013
S P
-Hết -Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.
Họ và tên thí sinh: Số báo danh:
Giám thị 1 (Họ tên và ký) Giám thị 2 (Họ tên và ký)
Trang 2ĐỀ CHÍNH THỨC HƯỚNG DẪN CHẤM
KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH
MÔN THI: TOÁN LỚP: 7
1
10 10 10 12 12 12
A
12 11 :
10 12
6 12 72
5 11 55
0.5đ
Vậy
72 55
A
0.5
2
(2điểm)
2012 2013
P x x + Nếu x 2012 hoặc x 2013 thì P 1 0.5 đ
+ Nếu x 2013 thì P x 2012 x 2013 1 x 2013 1 0.5đ
+ Nếu x 2012 thì P x 2012 x 2013 x 2012 1 1 0.5
+ Do đó giá trị nhỏ nhất của P bằng 1, đạt được khi x 2012 hoặc x 2013 0.5 đ
1
(2.5điểm)
Ta có 2 3 5x2 x1 x10800 2 2 3 3.5x 2 x x 10800 1.0 đ
2.3.5 900
x
0.5 đ
30x 302 x2
0.5
2
(2.5điểm)
+ Gọi số viên bi của An, Bình, Cường lần lượt là a b c, , Vì tổng số viên bi của ba bạn là 74 nên a b c 74
0.5 đ
+ Vì số viên bi của An và Bình tỉ lệ với 5 và 6 nên 5 6 10 12
0.5 đ
+ Vì số viên bi của Bình và Cường tỉ lệ với 4 và 5 nên 4 5 12 15
+ Từ đó ta có
74 2
10 12 15 10 12 15 37
a b c a b c
Trang 3+ Suy ra a20;b24;c30
0.5đ
1
(2điểm) + Vì plà số nguyên tố lớn hơn 3 nên p có dạng p3k1k,k1 0.5
+Với p3k1
suy ra p2 2012 3k 12 2012 9 k2 6k 2013 p2 2012 3
0.5
+Với p3k 1
suy ra p2 2012 3k 12 2012 9 k2 6k 2013 p2 2012 3
0.5
2
(2điểm) + Vì n là số có hai chữ số nên 9n100 18 2 n200
0.5đ
+ Mặt khác 2n là số chính phương chẵn nên 2n có thể nhận các giá trị:
36; 64; 100; 144; 196
0.5đ
+ Với 2n36 n18 n 4 22 không là số chính phương
2n64 n32 n 4 36là số chính phương
2n100 n50 n 4 54không là số chính phương
2n144 n72 n 4 76 không là số chính phương
2n196 n98 n 4 102không là số chính phương
0.5 đ
1
(3điểm)
+ Xét hai tam giác AIB và BCE
Có AI=BC (gt)
+ Góc IAB là góc ngoài của tam giác ABH nên
+ Ta có EBC EBA ABC ABC900 Do đó IAB EBC
+ Do đó ABI BEC c g c( ) 0.5 đ
+ Do ABI BEC c g c( ) nên AIB BCE 0.5 đ
Trang 4+ Trong tam giác vuông IHB vuông tại H có AIB IBH 900.
2
(3điểm) + Do tính chất của đường phân giác, ta có DM DN 0.5 đ
+ Gọi F là trung điểm của MN Ta có FM FD FN 0.5 đ + Tam giác FDM cân tại F nên FMD MDF
( óc ngoài tam giác)
FMD MBD BDM g MBD CDM
0.5 đ
Ta cóMCD CDF CFD (2)
Do tam giác ABC cân tại A nên MCD 2MBD (3) 0.5 đ
Từ (1), (2), (3) suy ra MBD DFC hay tam giác DBF cân tại D Do đó
1 2
Câu 5
(1 điểm) Cho
2 3 4 2011 2012 2013
S
và
1007 1008 2012 2013
Tính
2013
S P
(1 điểm)
+ Ta có:
1007 1008 2012 2013
2 3 1006 1007 1008 2012 2013
2 3 1006
0.5 đ
2 3 1006 1007 1008 2012 2013
2 4 6 2012
2 3 4 2012 2013
=S
Do đó
2013
S P
=0
0.5 đ
Lưu ý khi chấm bài: