chuyen de toan 9

 Trong một đường tròn, số đo của góc nội tiếp hoặc của góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung bằng nửa số đo cung bị chắn..  Trong một đường tròn: - Góc nội tiếp chắn nửa đường tròn l[r]

Chuyên đề I CĂN BẬC HAI

CÁC DẠNG BÀI TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG cđ I

Dạng 1: Tìm ĐKXĐ của biểu thức rồi thu gọn biểu thức đó.

Dạng 2: Tính giá trị của biẻu thức sau khi đã thu gọn.

Dạng 3: Tìm giá trị của biến để giá trị của biểu thức bằng hoặc lớn hơn một số thực cho trước Dạng 4: Tìm GTLN, GTNN, của biểu thức sau khi đã thu gọn.

Để làm tốt các dạng bài tập trên đề nghị HS tập trung vào các vấn đề sau:

1) Việc tìm ĐKXĐ là vô cùng quan trọng

2) Để thu gọn được biểu thức HS phải tìm được MTC và qui đồng mẫu số

( Khi tìm MTC cần chú ý đến hằng đẳng thức A2− B2=(A+ B) ( A − B) và qui tắc đổi dấu )

+ Vd: x − 3

x +√x xác định

⇔

x ≥ 0 x+√x ≠ 0

II Biểu thức liên hợp và trục căn thức

Ví dụ 1.2 : Tính giá trị các biểu thức sau:

A=√4 −2√3=√ ( √3 −1)2=| √3 −1|=√3 −1

B=√4 +2√3=√ ( √3+1)2=| √3+1|=√3+1

C=√3± 2√2=√ ( √2± 1)2=| √2 ±1|=√2± 1

Chú ý: Khi cần thu gọn các biểu thức trong căn ta cần liên tưởng đến hai hằng đẳng thức quen thuộc

(A ± B)2=A2± 2 AB+ B2 Trong khi viết nên viết số lớn đứng trước để khi bỏ dấu giá trị tuyệt đối ta không phải đổi dấu

Ví dụ 1.3: Khi thu gọn biểu thức K=√9 − 4√5 ta có thể biến đổi theo 2 cách sau:

+ 1

√x − a=

1.( √x+a) ( √x − a) (√x+a)=

√x +a

x − a2+ 3 k

√7 −√33 d) 311 3 4

5

 e)

13

x +1

4+¿

12

b) Tính giá trị của K khi a=3+2√2

c) Tìm các giá trị của a sao cho K < 0

a) Rút gọn P.

b) Tính giá trị của biểu thức khi x= 2

2+√3c) Tìm giá trị của x thỏa mãn: P√x=6√x − 3 −√x − 4

2( x 1)

x

, ĐK: 1≠ x >0 b) Ta có: x( 3 1) 2 x  3 1

x





.b) Khi x = 36, ta có

56

A 

.c) Ta có: |A|>A ⇔ A <0 ⇔√x −1

√x +1 −

√x +1

√x −1)B=¿

1.8 Cho biểu thức: y= x

2+√x

)

2

1 1

1 1

x

x x

x

x A

x2− 4 x −1

x2−1 ).

x+2003 x

1.16 Cho biểu thức: A=(x 2 x +1√x −1 −

1

√x −1):(1 − x +4

x +√x +1) a) Rút gọn A

b) Tìm các số nguyên x sao cho A cũng nhận giá trị nguyên

p 

c) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

12 1.1

x M

P x

1.32 Rút gọn biểu thức: 2

:

x A

25

x x

; c/ Đặt x t  m1 phương trình ẩn t luôn cóhai nghiệm dương

13



c) So sánh P với

32

Chuyên đề 2: Tính chất hai tiếp tuyến của đường tròn.

Định lý: Nếu AB, AC là tiếp tuyến của (O) thì ta có:

5) Tứ giác ABOC nội tiếp đường tròn đường kính OA ( h1)

6) Nếu OA = 2R thì ABC đều ( AB = AC = BC = R 3 ) ( h2 )

7) Nếu OA = R 2thì ABCD là hình vuông ( h3 )

8) OA cắt đường tròn (O) tại I thì I là tâm đường tròn nội tiếp ABC.( h 4 )

9) Vẽ cát tuyến ADE với đường tròn, M là trung điểm DE thì M thuộc đường tròn ngoại tiếp ABC 10) AB2 = AD.AE.( h 6 )

11) Vẽ CH  AB cắt OA tại H thì H là trực tâm của ABC và tứ giác OBHC là hình thoi.( h 5 )

(h 6) C

a) Chứng minh BD // OA.

b) Đường thẳng đi qua O và vuông góc CD cắt DB tại E Chứng minh OEAC là hình chữ nhật c) Dựng BH vuông góc DC, AD cắt BH tại M Chứng minh MB = MH

2) Cho AB, AC là hai tiếp tuyến của (O; R) (B, C là tiếp điểm), OA = 2R Từ điểm M trên cung nhỏ

BC vẽ tiếp tuyến với (O) cắt AC, AB tại D và E

a) Tính chu vi ADE theo R

b) Từ O dựng đường thẳng vuông góc với OA cắt AC, AB tại E, F Tính ED.FE theo R

3) Cho nửa đường tròn(O) đường kính AB = 2R, vẽ các tiếp tuyến Ax, By với nửa đường tròn Trên nửa đường tròn lấy điểm M, tiếp tuyến với (O) tại điểm M cắt các tiếp tuyến Ax, By tại C và D a) Chứng minh AC.BD = R2

b) Chứng minh đường tròn đường kính CD luôn tiếp xúc với một đường thẳng cố định

c) AD cắt BC tại I Chứng minh MI  AB

d) MI cắt AB tại N Chứng minh I là trung điểm của MN

4) Cho (O), một đường thẳng d cắt đường tròn tại hai điểm cố định A, B Từ một điểm M bất kỳ thuộc

d ở bên ngoài đường tròn, vẽ tiếp tuyến MC, MD với (O) (C, D là tiếp điểm )

a) Chứng minh khi M thay đổi trên d đường tròn ngoại tiếpMCD luôn đi qua hai điểm cố định b) Chứng minh khi M thay đổi trên d tâm đường tròn nội tiếpMCD luôn thuộc một đường cố định c) Xác định vị trí của điểm M trên d để MCD luôn là tam giác đều

1) Cho hai đường tròn (O; R) và (O’; R’) ( R > R’ ) tiếp xúc ngoài tại A Vẽ tiếp tuyến chung ngoài

BC ( B(O), C(O’) ) Tiếp tuyến chung tại A cắt BC tại M

a) Chứng minh ABC vuông tại A, OMN vuông tại M

b) Tính BC , chu vi ABC theo R và R’

c) CA cắt (O) tại C’, BA cắt (O’) tại B’ Chứng minh B, O, C’ và C, O’, B’ thẳng hàng

d) Vẽ đường kính EAD của hai đường tròn cắt BC tại S Tính SO’, SC

M

C B

A

Chuyên đề 3: HÀM SỐ BẬC NHẤT

+ Hàm số có dạng: y = ax + b ( a ≠ 0 ) được gọi là hàm số bậc nhất đối với biến số x

+ Hàm số bậc nhất y = ax + b xác định với mọi giá trị của x  R và có tính chất:

+ Hàm số đồng biến trên R khi a > 0

+ Hàm số nghịch biến trên R khi a < 0

+ a được gọi là hệ số góc của đường thẳng y = ax + b ( a ≠ 0 ), b gọi là tung độ gốc

Với hai đường thẳng y = ax + b (d) và y=a ' x +b '(d ') , trong đó a và a ❑' khác 0 ta có:

Ví dụ 2.1: Viết phương trình đường thẳng thỏa mãn một trong các điều kiện sau:

a) Có hệ số góc là 3 và đi qua điểm (1 ; 0)

b) Song song với đường thẳng y=1

2x − 2 và cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 2.

c) Tính góc  của mỗi đường thẳng trên với trục Ox

Lời giải

a) Phương trình đường thẳng có dạng: y = ax + b Vì hệ số góc của đường thẳng là 3, do đó : a = 3

Vì đường thẳng đi qua điểm (1 ; 0) Thay x = 1, y = 0 vào phương trình đường thẳng, ta được: 0 = 3.1 + b ⇒b=−3

Vậy phương trình đường thẳng là: y = 3x - 3.

Vì đường thẳng cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 2  b2 (2)

Vậy phương trình đường thẳng là: y=1

2x +2 .

Ví dụ 2.2: Cho hàm số: y = (2 - m)x + m - 1 (d).

a) Với giá trị nào của m thì y là hàm bậc nhất

b) Với giá trị nào của m thì hàm số y đồng biến, nghịch biến

c) Với giá trị nào của m thì đường thẳng (d) song song với đường thẳng y = 3x + 2.

d) Với giá trị nào của m thì đường thẳng (d) cắt đường thẳng y = - x + 4 tại một điểm trên trục tung e) Với giá trị nào của m thì đường thẳng (d) cắt đường thẳng y = - x + 4 tại một điểm trên trục hoành g) Với giá trị nào của m thì đường thẳng (d) vuông góc với đường thẳng y = 2x + 1 (d1)

h) Với giá trị nào của m thì đường thẳng (d) đi qua điểm M(- 2; 1).

m m m





 và đường thẳng y = - x + 4 cắt trục hoành tại điểm có y = 0 và x = 4 nên hai đường thẳng trên cùng cắt nhau tại một điểm trên trụchoành khi: 1 4 4 2 1 7

h) Đường thẳng (d) đi qua M(-2; 1)  1 2 m 2m1 m2

Ví dụ 2.3: Xác định các hệ số a và b của hàm số y = ax + b, biết rằng đồ thị hàm số đi qua hai điểm

A(1 ; 3) và B(2 ; 1) Tính góc  tạo bởi đường thẳng trên với trục Ox

Lời giải

Đồ thị hàm số y = ax + b đi qua hai điểm A(1 ; 3) và B(2 ; 1) nên:

Chú ý: Ngoài cách giải trên HS có thể tham khảo cách giải tổng quát sau:

Phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm A(x1; y1) và B(x2; y2) là: x − x1

Ví dụ 2.4: Cho hàm số y = kx + 3 – 2x + k

a) Xác định k để hàm số là hàm bậc nhất đồng biến

b) Xác định k để đồ thị là đường thẳng đi qua M(1;3)

c) Xác định k để đồ thị là đường thẳng cắt hai trục toạ độ tạo thành tam giác có diện tích bằng 1.d) Tinh

k B k

+ Nếu k > 2 thì phương trình (1) : k2 + 4 k + 13 = 0, vô nghiệm

+ Nếu k < 2 thì phương trình (1) : k2 + 6k + 5 = 0, k = - 1, k = - 5 ( thỏa k2 )

Ví dụ 2.5 Cho đường thẳng (d) có phương trình: 2(m – 1)x + (m - 2)y = 2 ( m là tham số ).

a) Vẽ đường thẳng (d) với m =

1

2.b) Chứng minh rằng (d) luôn đi qua một điểm cố định với mọi m

c) Tìm m để (d) cách gốc tọa độ O một khoảng lớn nhất

Giải:

a) Hs tự giải

b) Gọi điểm cố định mà mọi đường thẳng (d) đi qua là M(x0; y0), ta có:

2(m – 1)x0 + (m – 2)y0 – 2 = 0  (2x0 + y0)m – 2(x0 + y0 + 1) = 0 Để đẳng thức đúng với mọi m 

  Vậy điểm cố định mà mọi đường thẳng (d) đi qua là M( 1; -2 )

c) Vì (d) không đi qua gốc tọa độ O(0; 0), đường thẳng (d) cắt trục Oy tại A

20;

a) Đi qua điểm A(1; 2011).

b) Song song với đường thẳng x - y + 3 = 0

c) Tiếp xúc với (P): y= −1

4 x

2

b) Cho A(2 ; 5), B(-1 ; 1), C(4 ; 9) Chứng minh rằng A, B, C thẳng hàng và

đường thẳng ABC song song với đường thẳng ở câu a

c) CMR đường thẳng BC và hai đường thẳng 2y + x - 7 = 0, y = 3 đồng quy

a) Các điểm A(-1 ; 3), B(4 ; 7/4) có nằm trên đồ thị hàm số không?

b) Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm A và B

c) Cho biết vị trí tương đối của hai đường thẳng đó Vẽ chúng trên cùng một mặt phẳng tọa độ

d) Tính góc  tạo bởi các đường thẳng trên với trục Ox

(a) A(-1 ; 3) thuộc đồ thị hàm số; b) y = −1

b) Tính độ dài các cạnh và diện tích tam giác ABC

(a/ Phương trình đường thẳng đi qua hai điểm A, B là: y=5

3x +5 , kiểm tra xem điểm M, điểm C có

thuộc đường thẳng AB hay không; b/ Tam giác ABC vuông, S Δ ABC=8,5 )

a) Xác định tọa độ giao điểm M của hai đường thẳng.

b) Hai đường thẳng lần lượt cắt trục hoành tại A và B Tính diện tích tam giác MAB

c) Giả sử (x ; y) là tọa độ của điểm thuộc miền tam giác MAB Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của 2x + y

a) M(-1 ; 4) b) S Δ MAB=12 c) Xét đường thẳng có phương trình 2x + y = k ( D k ).

( D k ) luôn song song hoặc trùng với đường thẳng y = -2x và ( D k ) cắt Oy tại (0 ; k).

Những điển có tọa độ(x ; y) thỏa 2x + y = k nằm trên ( D k ) nên việc tìm GTLN, GTNN của k tương

ứng với vị trí của ( D k ) cắt miền tam giác MAB và

( D k ) cắt Oy sao cho k cao nhất và k thấp nhất.

Do đó: - GTLN của k ứng với ( D k ) đi qua B, nghĩa là 2.3 + 0 = k ⇒k =6

- GTNN của k ứng với ( D k ) đi qua B, nghĩa là 2.(-3) + 0 = k ⇒k=−6

2.6 Cho đường thẳng (d) có phương trình: y = (m – 2)x + 2.

a) Chứng minh rằng đường thẳng (d) luôn đi qua một điểm cố định với mọi giá trị của m (0; 2)

b) Tìm giá trị của m để khoảng cách từ gốc tọa độ đến đường thẳng (d) bằng 1

c) Với giá trị nào của m thì (d ❑2 ) // (d ❑1 )

d) Với giá trị nào của m thì (d ❑2 ) và (d ❑1 ) cắt nhau

2.8 Cho điểm A(0;-1) và B(-4; 3) Viết phương trình đường thẳng (d) là đường trung trực của AB

Tính góc α tạo bởi đường thẳng (d) với trục Ox

2.9 Cho hai điểm A(1;3) và B(-2;1).

a) Hãy lập phương trình đường thẳng (d1) đi qua A và B

b) Xác định khoảng cách từ O đến đường thẳng (k)

c) Hãy lập phương trình đường thẳng đi qua C(2;-1) và:

c1 ) Song song với đường thẳng (d1)

c2 ) Vuông góc với đường thẳng (d1)

Chuyên đề 4 : Phương trình vô tỉ

+ Ta gọi phương trình vô tỉ là phương trình chứa ẩn trong dấu căn

+ Dạng cơ bản :

20

I) Các phương pháp thường dùng để giải phương trình vô tỉ

1) Phương pháp nâng lên lũy thừa :

a) Chứng tỏ tập giá trị của hai vế rời nhau, khi đó phương trình đã cho vô nghiệm





c) Sử dụng tính đơn điệu của hàm số.

vd : 1) Chứng tỏ phương trình 3x 2 x 1 3 có nghiệm duy nhất là x = 3

2) Chứng tỏ phương trình sau vô nghiệm :

6) Cho biểu thức A = x2 6x 9 x26x9 a) Rút gọn biểu thức A

b) Tìm giá trị nhỏ nhất của A.c) b) Tìm x để A = 1

16) √x+2+3√2 x −5+√x − 2−√2 x −5=2√2 17) 4x2 + 4x + 1 - 2 √4 x +1+1=0 18) x2 + x + 12 √x+1=36 19) x2 + 4x + 5 = 2 √2 x +3 20) √5− x=x − 1

21) √− x2+4 x − 2+√−2 x2+8 x − 5=√2+√3 22) x x  2  x x  5  x x 3

30) 4x 1 3x4 1

30) a) x 3 x 4 1 b) 15 x 3 x 6 c) 10 x x 3 5 d) 4x 1 3x4 1 e) x1 x 1 2(VHB- 169)

1 1

x x x x

x x

Chuyên đề 4 : Hệ phương trình.

I) Hệ 2 phương trình bậc nhất hai ẩn, hệ 3 phương trình bậc nhất 3 ẩn

1) Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn:

2) Giải hệ trên khi m 1 ĐS: ( x = - 1, y = - m – 1 )

2) Giải và biện luận hệ phương trình theo tham số m ( m = 0, vô nghiệm; m 0, x= -2/m, y = 1)

2) Tìm giá trị của m để hệ có nghiệm ( x > 0, y < 0 ) ĐS: ( - 3 < m < 2/5 )

2) Với giá trị khác 0 nào của m thì hệ có nghiệm thỏa mãn

2 21

a) Từ phương trình (1) rút một ẩn x hoặc y theo ẩn còn lại

b) Thế vào phương trình (2) để đưa phương trình (2) về phương trình một ẩn

Ví dụ 10: Giải hệ phương trình : a) 2

2 04

2) Với giá trị nào của m thì hệ có 3 nghiệm phân biệt ĐS: ( m > 3/4 ).

Ví dụ 12: Giải hệ phương trình : a ) 4 4

482

* Đưa hệ đã cho về hệ có hai ẩn S, P

* Tìm S, P Khi đó x, y là nghiệm của phương trình : x2 – Sx + P = 0 (1)

3) Chú ý :

a) Điều kiện có nghiệm của phương trình (1) là S2 – 4P  0

b) Nếu (x; y) là một nghiệm của hệ thì (y; x) cũng là một nghiệm của hệ

c) Cần nhớ các kết quả sau để sử dụng khi giải hệ phương trình :

* Lấy (1) – (2) để đưa về phương trình dạng tích số và giải nghiệm này theo nghiệm kia

* Thế vào một phương trình của hệ để giải

2) Phương pháp : Xét hai trường hợp :

* Trường hợp 1: x = 0, thế trực tiếp vào hệ để giải

* Trường hợp 2 : x  0 Đặt y = kx

- Thế vào hệ , khử x ta được một phương trình theo k

- Giải tìm k, ứng với mỗi trường hợp của k ta tìm được nghiệm (x ; y) của hệ

2 2

y y x x

y xy x

132

2

y x

y x

20) Giải phương trình : 3 24x 12 x 6 .

21) Giải hệ phương trình:

2 2

2 2

y y x x

y xy x

26) Giải hệ phương trình: 2 2

1484

xyz

x y xyz

y z xyz

- Số đo của góc có đỉnh ở bên trong đường tròn bằng nửa tổng số đo của hai cung bị chắn.

- Số đo của góc có đỉnh ở bên ngoài đường tròn bằng nửa hiệu số đo của hai cung bị chắn

 Để chứng minh hai góc bằng nhau ta chứng minh hai góc nội tiếp bị chắn bởi cùng một cung

hoặc hai cung bằng nhau.

2) Tứ giác nội tiếp

 Để chứng minh một tứ giác nội tiếp ta chứng minh:

- Tứ giác có tổng hai góc đối bằng 180 0

- Tứ giác có góc ngoài tại một đỉnh bằng góc trong tại đỉnh đối diện của đỉnh đó.

- Tứ giác có 4 đỉnh cách đều một điểm ( điểm đó là tâm của đường tròn ngoại tiếp tứ giác )

- Tứ giác có hai đỉnh kề nhau cùng nhìn cạnh chứa hai đỉnh còn lại dưới một góc  .

 Ta còn có thể dùng dấu hiệu sau đây: Nếu hai đoạn thẳng AC và BD cắt nhau tại M và có

MA.MB = MC.MD thì 4 điểm A, B, C, D cùng nằm trên một đường tròn.

3) Một số dạng toán thường gặp:

 Vận dụng cung tròn để chứng minh hai đoạn thẳng bằng nhau hoặc chứng minh hai đường thẳng vuông góc với nhau

 Vận dụng góc của hai cát tuyến của đường tròn để chứng minh hai góc bằng nhau

 Vận dụng tứ giác nội tiếp để chứng minh hai góc bằng nhau hoặc bù nhau

 Vận dụng tứ giác nội tiếp để chứng minh nhiều điểm cùng nằm trên một đường tròn

3) Cho ABC nội tiếp đường tròn (O), M là điểm bất kỳ thuộc cung nhỏ BC, gọi H, I, K lần lượt là hình chiếu của M lên BC, AB, AC Chứng minh:

MH MI MK

4) Cho tứ giác ABCD nội tiếp (O) Chứng minh AD.BC + AB.CD = AC.BD

5) Cho ABC nhọn Vẽ đường tròn đường kính BC, cắt AB, AC tại E và D BD cắt CE tại H Vẽ các tiếp tuyến AM, AN Chứng minh M, H, N thẳng hàng

6) Chứng minh rằng: trong một tam giác, ba trung điểm của 3 cạnh, ba chân đường cao và ba trung điểm của ba đoạn nối trực tâm với ba đỉnh cùng thuộc một đường tròn

7) Cho đường tròn (O) , vẽ hai dây cung AB và CD vuông góc với nhau tại P

a) Chứng minh rằng: PA2 + PB2 + PC2 + PD2 có giá trị không đổi

b) Gọi H, I, K, L là hình chiếu của P lên các cạnh của tứ giác ACBD, M, N, R, Q lần lượt là trung điểm của các cạnh của tứ giác ACBD Chứng minh rằng 8 điểm H, I, L, M, N, R, Q nằm trên một đường tròn