chuyên đề toán khai thác sâu hình học không gian bằng tương tự hóa bài toán phẳng

ỨNG DỤNG ĐỂ TÌM TỶ SỐ THỂ TÍCH: Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông cân tại C cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng ABC có SA=AB... Mặt phẳng α qua MN song song với SC ch

KHAI THÁC SÂU HÌNH HỌC KHÔNG GIAN BẰNG TƯƠNG TỰ HÓA BÀI

TOÁN PHẲNG Xuất phát từ bài toán hình học phẳng cơ bản sau và xem nó như là bài toán gốc

và tương tự hóa bài toán này sang không gian và khai thác sâu các hệ quả của bài toán đó

ABC

S = AB AC sin A ;

2 1

 Suy ra điều phải chứng minh

B BÀI TOÁN TƯƠNG TỰ HÓA:

Trong SKG hình học 12 ban cơ bản có bài tập sau, nhận thấy rằng đây là bài toán mở rộng sang không gian từ bài toán phẳng cơ bản nêu trên.

Cho khối chóp S.ABC trên các cạnh SA, SB, SC lần lượt lấy các điểm A’, B’, C’ khác

A

S.A 'B 'C ' S.ABC

V SA ' SB' SC'

V SA SB SC

Vậy ta có điều phải chứng minh

C BÀI TOÁN KHAI THÁC:

Lại xem bài toán mở rộng nêu trên là bài toán gốc, ta lần lượt khai thác bài toán

trên dưới những góc độ khác nhau Sau đây, tôi xin đưa ra ba hướng khai thác bài toán mở rộng trên như sau:

I ỨNG DỤNG ĐỂ TÌM TỶ SỐ THỂ TÍCH:

Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông cân tại C cạnh bên SA

vuông góc với mặt phẳng (ABC) có SA=AB Mặt phẳng () qua A vàvuông góc với SB cắt SB tại B’ cắt SC tại C’ (B’ và C’ khác S) Tìm tỉ

số thể tích hai phần của khối chóp cắt bởi ()?

Lời giải:

Ta đặt: CB = CA = a; AB =SA = a 2;

SB = 2a; SC = a 3

S.AB'C ' S.ABC

Ví dụ 2: Cho khối chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành Gọi B’,

D’ lần lượt là trung điểm của SB và SD Mặt phẳng (AB’D’) cắt SC

Gọi O là giao điểm của AC

và BD và I là giao điểm của

I S

C

B M

NB Mặt phẳng (α) qua MN song song với SC chiakhối chóp thành hai phần, tìm tỉ số thể tích của hai phần đó

Vậy: AMDBNE

SMDCEN

VV

Ví dụ 4: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh 2a;

SA SB SC 2a   Gọi M là trung điểm của cạnh SA; N là giao điểmcủa đường thẳng SD và mặt phẳng (MBC) Gọi V, V1 lần lượt là thể tíchcủa các khối chóp S.ABCD và S.BCNM Tính tỷ số V 1

VV

Trong quá trình tính thể tích của khối đa diện, không phải khi nào chúng ta cũng

có thể tính trực tiếp được một cách dễ dàng Việc vận dụng bài toán mở rộng trên để tính thể tích khối đa diện chúng ta gặp thường xuyên trong các đề thi nhất là các kỳ thi ĐH và các kỳ thi HSG Sau đây tôi xin đưa ra một số bài toán điển hình về ứng dụng bài toán mở rộng trên để tính thể tích.

M

O A

B

D

C S

N

(Trích đề thi ĐH & CĐ khối B năm 2008)

Lời giải :

Áp dụng công thức ta có:

S.BCM S.BCA

V SB SC SA 2

S.CMN S.CAD

Ví dụ 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, mặt bên

SAD là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy Gọi

M, N, P lần lượt là trung điểm của các cạnh SB, BC, CD Tính thể tíchkhối tứ diện CMNP theo a

a

2a 2a

a

N M

S

A

D

O N

M

B

C

A S

a 3V

96

 (đvtt)

Ví dụ 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, AB = a; BC = a 2

Cạnh bên SA vuông góc với đáy và SA = b Gọi M là trung điểm SD, N

là trung điểm AD Gọi (P) là mặt phẳng đi qua BM và cắt mặt phẳng(SAC) theo một đường thẳng vuông góc với BM Chứng minh rằng: AC

 (BMN) và tính thể tích khối đa diện S.KMHB

Lời giải :

Dễ CM được AC  BN (1)Lại có: MN // SA

Từ (1) và (2) ta có:

AC  (BMN) Giả sử (P) cắt (SAC) theogiao tuyến (d)  BM

SMBK SDBA

V SD SB SA 3

SMHB SDCB

3 (đvtt)

Ví dụ 4: Cho tứ diện ABCD có các cạnh bằng 1 Gọi M, N lần lượt là trung điểm

các cạnh BD và AC Trên đường thẳng AB lấy điểm P, trên DN lấy điểm Qsao cho PQ song song với CM Tính thể tích khối tứ diện AMNP

(Tích đề thi HSG tỉnh Nghệ An 2009 )

Lời giải :Qua B kẻ đường thẳng d song

song CM Gọi K là giao điểmcủa đường thẳng CD và d Khi

đó Q là giao điểm của DN và

AK Từ Q kẻ đường thẳng d’

song song với AK Khi đó P làgiao của d’ và AB Gọi I làgiao của AM và DP ta có NI,

CM, PQ đôi một song song

Trong mặt phẳng (ACM) kẻNI//CM ( I AM );

Gọi E là trung điểm PB suy ra ME // PI và P là trung điểm AE nên ta có:

B

C

D A

Ví dụ 5: Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vuông cạnh a; SA = a 3 và SA

vuông góc với đáy, mặt phẳng (P) qua A vuông góc với SC và cắt SB,

SC, SD lần lượt tại B’, C’, D’.Tính thể tích khối chóp S.AB’C’D’ theo a

(Trích đề thi HSG Tỉnh Hải Dương 2012)

Lại có: VS.AB 'C' D ' Vs.AB 'C 'VS.AD 'C '

Việc chứng minh và ứng dụng các đẳng thức thức hình học không gian là rất quan trọng song không hề dễ dàng để chứng minh các đẳng thức đó Sau đây tôi xin đưa ra một ra một số đẳng thức quan trong và việc chứng minh hết sức đơn giản bằng việc vận dụng bài toán mở rộng trên

III ỨNG DỤNG ĐỂ CHỨNG MINH CÁC ĐẲNG THỨC:

Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành Mặt phẳng

() cắt các cạnh SA, SB, SC, SD lần lượt tại A’, B’, C’, D’

Chứng minh rằng: SA SC SB SD

SA ' SC' SB' SD'   .

Lời giải :

C'

D' S

(3)

Tương tự xét các hình chóp S.ABD và S.BCD ta có:

S.A ' B' D ' S.ABC

(6)

Từ (3) và (6) ta có:

SD' SB' SC' SA ' Suy ra điều phải chứng minh.

Ví dụ 2: Cho hình chóp S.ABC Gọi G là trong tâm tam giác ABC Mặt phẳng

() bất kì cắt các cạnh SA, SB, SC, SG lần lượt tại các điểm A’, B’, C’,G’ khác S

Do G là trọng tâm của tam

giác ABC nên:

B

A S

G

C

Mặt khác ta có:

S.A 'B 'C ' S.A ' B'G ' S.A 'C 'G ' S.B'C 'G '

SA ' SB' SC'   SG ' Suy ra điều phải chứng minh

Ví dụ 3 : Cho tứ diện đều ABCD cạnh bằng a ,AH là đường cao của tứ diện và O là

trung điểm của AH Một mặt phẳng qua O cắt các cạnh AB, AC, AD lần

A.MNP A.MON A.NOP A.PON

A.MON A.NOP A.PON

A.MON A.NOP A.PON

AMANAPa Suy ra điều phải chứng minh

Ví dụ 4: Cho hình chóp S.ABC, Lấy điểm M nằm trong tam giác ABC các đường

thẳng qua M song song với SA, SB, SC cắt các mặt bên lần lượt tại các

điểm A’, B’, C’.Chứng minh rằng: M.A ' B'C'

Khi đó hình chóp S.A B C là ảnh của hình chóp 2 2 2 M.A B C qua phép1 1 1

tịnh tiến theo véc tơ MS

B' A' C'

Ví dụ 5 : Cho hình chóp S.ABCD đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với

đáy.Góc tạo bởi SC và mặt phẳng (SAB) là  Một mặt phẳng đi qua A vuông góc với SC và cắt SB, SC, SD lần lượt tại M, N, P

CMR:

2 S.AMNP

  Vậy ta có điều phải CM

Đối với bài toán tìm giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của một đại lượng biến thiên là không

hề dễ dàng Bởi vậy việc tìm giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của một đại lượng biến thiên đối với hình học không gian lại càng khó khăn Sau đây tôi xin đưa ra một số bài toán hay và khó mà việc vận dụng bài toán mở rộng để giải quyết thì thực sự thuận lợi và đơn gian.

a O

D BÀI TOÁN PHÁT TRIỂN:

Ví dụ 1: Cho hình chóp đều S.ABC có SA = a Gọi G là trọng tâm tam giác

SBC, mặt phẳng (P) đi qua AG cắt các cạnh SB, SC lần lượt tại M, N.Gọi V1, V lần lượt là thể tích khối chóp S.AMN và S.ABC

Tìm giá trị lớn nhất của

1

VV

(Trích đề thi HSG lớp 12 Tỉnh Hải Dương năm

Từ (*) ta có:

A S

G

N M

B

C

43xy 2 xy xy

.

SB SC 3

Ví dụ 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành Gọi K là trung

điểm SC Mặt phẳng () qua AK cắt SB và SD lần lượt tại M và N Đặt

Khi mặt phẳng () song song BD tỉnh tỉ số V 1

V

B A

C D

K N

M

V SB SC 2  4 Tượng tự ta có:

2

 

  Xét hàm số:

f(x) = V1 3xy

2 3x 4(3x 1)  với x 1;1



Bảng biến thiên:

x

2

1

32 1f’(x) - 0 +

f(x) 3

1

C'

D' I

G

D

C B

A

8

3

Ví dụ 3: Cho tứ diện ABCD có G là trọng tâm tam giác BCD Mặt phẳng () đi

qua trung điểm I của đoạn thẳng AG và cắt các cạnh AB, AC, AD tạicác điểm (khác A) Gọi hA, hB, hC, hD lần lượt là khoảng cách từ cácđiểm A, B, C, D đến mặt phẳng () Chứng minh rằng:

AB'C'D' AIB'C' AIC'D' AID'B'

 AB'.AC'.AD' AI.AB'.AC' AI.AC'.AD' AI.AD'.AB'

AB.AC.AD 3.AG.AB.AC 3.AG.AC.AD 3.AG.AD.AB 

x

y

B' C'

A' M

 Vậy ta có điều phải chứng minh

Ví dụ 4: Cho góc tam diệnOxyz và một điểm M cố định trong góc đó Một mặt

phẳng () qua M cắt các tia Ox , Oy , Oz lần lượt tai A’ ,B’ , C’ Tìm() để khối tứ diện OABC có thể tích lớn nhất

(Trích đề thi HSG Tỉnh Bà Rịa Vũng Tàu - 2009)

Lời giải :

Giả sử () cắt Ox, Oy, Oz lần lượttại A, B, C Qua M kẻ các đườngthẳng song song với các tia Ox, Oy,

Oz lần lượt cắt các mặt (yOz),(zOx), (xOy) tại các điểm A1, B1, C1.Theo ví dụ trên ta có:

Vì VM.A B C 1 1 1không đổi nên ta có:

OABC

V đạt giá trị nhỏ nhất khi lớnnhất

Gọi A’, B’, C’ lần lượt là giao điểm của AM, BM,CM với các cạnh đốidiện của ABC ta có:

;BB' S







Vậy khi () cắt Ox, Oy, Oz sao cho M là trọng tâm tam giác ABC thìthể tích khối tứ diện tạo thành lớn nhất

Ví dụ 5 Cho hình chóp S.ABCD, đáy ABCD là hình chữ nhật có AB a AD b ,  , SAvuông góc với đáy và SA2a Gọi M là điểm nằm trên cạnh SA sao cho

Thiết diện là hình thang vuông MNCB, vuông tại B và M

Tính diện tích thiết diện:

S

Bài tập 1 Cho hình chop tam giác S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh a, SA(ABC) ;

SA =2a Gọi M, N lần lượt là hình chiếu vuông góc của A lên SB, SC Tính thể tích khối chop A.BCNM theo a

Bài tập 2 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang cân, đáy lớn AD = 2a,

AB = BC = a, SB = 2a, hình chiếu vuông góc của S lên mặt phẳng (ABCD) trùng với trung điểm O của AD Trên các cạnh SC, SD lấy các cạnh M, N sao cho

SM = 2 MC, SN = DN Mặt phẳng ( ) qua MN song song với BC cắt SA, SB lần lượt tại P và Q Tính thể tích khối chóp S.MNPQ theo a

Bài tập 3 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh 2a; SA = SB = SC =2a

Gọi M là trung điểm của SA; N là giao điểm của đường thẳng SD và mặt phẳng (MBC) Gọi V, V1 lần lượt là thể tích của các khối chóp S.ABCD và S.BCNM

a) Tính tỷ số V1

V b) Chứng minh

3

V 2a 

Bài tập 4 Cho hình chóp S.ACD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a góc  BAD 60  0 ,

SA (ABCD)  , SA=a Gọi C’ là trung điểm của SC mặt phẳng (P) qua của AC’ và song song song với BD cắt SB ,SD lầ lượt tại B’ và D’

Bài tập 5 Cho tứ diện ABCD cạnh bằng a AH là đường cao của tứ diện và O là trung điểm của AH Một mặt phẳng đi qua Ocawts AB, AC, AD lần lượt tại M, N, P

CMR: 1 1 1 6

AMANAPa