Nghiêm cấm mọi hình thức sao chép nhằm mục đích thương mại1. Một số kiến thức cần nhớ về bất đẳng thức Bunhiacopxki.[r]
Trang 1Bất đẳng thức Bunhiacopxki
Bản quyền thuộc về upload.123doc.net.
Nghiêm cấm mọi hình thức sao chép nhằm mục đích thương mại.
I Một số kiến thức cần nhớ về bất đẳng thức Bunhiacopxki
1 Phát biểu
+ Bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng cơ bản:
a2 b2 c2 d2 ac bd 2 Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi
a b
c d
+ Bất đẳng thức Bunhiacopxki cho 2 bộ số:
Với hai bộ số a a1, , ,2 an
và b b1, , ,2 bn
ta có:
1 1 n 1 2 n 1 1 2 2 n n
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi
n
b b b
Với quy ước nếu một số nào đó (i = 1, 2, 3, …, n) bằng 0 thì tương ứng bằng 0
2 Chứng minh bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng cơ bản
+ Có a2 b2 c2 d2 ac bd 2
2
2 2
ad bc 2 0
(luôn đúng)
3 Hệ quả của bất đẳng thức Bunhiacopxki
Trang 2 a2 b2 c2 d2 4 abcd
II Bài tập về bất đẳng thức Bunhiacopxki lớp 9
Bài 1: Cho a, b, c là các số thực dương bất kỳ Chứng minh rằng:
6
Lời giải:
Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta có:
2 2 2
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a = b = c
Bài 2: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức A x 2 4 x
Lời giải:
Điều kiện: 2 x 4
Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki có:
2 4
A
A
A max = 2 khi
x x (thỏa mãn) Vậy max A = 2 khi và chỉ khi x = 3
Bài 3: Chứng minh rằng nếu a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác có p là nửa
chu vi thì p a p b p c 3p
Trang 3Lời giải:
Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki có:
1 p a 1 p b 1 p c 1 1 1 p a p b p c
(điều phải chứng minh)
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi
a b c
p a p b p c hay tam giác là tam giác đều
III Bài tập bất đẳng thức Bunhiacopxki
Bài 1: Tìm giá trị lớn nhất của các biểu thức sau:
a, A 6 x x2
b, B x 2 x
Bài 2: Cho a, b, c là các số thực dương tùy ý Chứng minh rằng:
3 2
a b b c c a
(gợi ý: biến đổi vế trái thành
a b b c c a rồi áp dung bất đẳng thức Bunhiacopxki)
Bài 3: Cho a, b, c là các số thực dương, a b c , , 1 Chứng minh rằng:
Bài 4: Cho a, b, c > 0 thỏa mãn abc = 1 Chứng minh:
2
a b c b c a c a b
Tải thêm tài liệu tại: