+ Xác định một số điểm đặc biệt của đồ thị nhƣ giao điểm của đồ thị với các trục toạ độ trong trƣờng hợp đồ thị không cắt các trục toạ độ hoặc việc tìm toạ độ giao điểm phức tạp thì có t[r]
Qui tắc 1: Dùng định lí
Tìm các điểm x i (i = 1, 2, …) mà tại đó đạo hàm bằng 0 hoặc không có đạo hàm
Xét dấu f (x) Nếu f (x) đổi dấu khi x đi qua x i thì hàm số đạt cực trị tại x i
Qui tắc 2: Dùng định lí
Giải phương trình f (x) = 0 tìm các nghiệm x i (i = 1, 2, …)
+ Nếu f (x i ) < 0 thì hàm số đạt cực đại tại x i
+ Nếu f (x i ) > 0 thì hàm số đạt cực tiểu tại x i
Vấn đề 2: Tìm điều kiện để hàm số cĩ cực trị
1 Nếu hàm số y = f(x) đạt cực trị tại điểm x 0 thì f (x 0 ) = 0 hoặc tại x 0 không có đạo hàm
2 Để hàm số y = f(x) đạt cực trị tại điểm x 0 thì f (x) đổi dấu khi x đi qua x 0
Hàm số bậc ba y ax 3 bx 2 cx d có cực trị Phương trình y = có hai nghiệm phân biệt
Khi đó nếu x 0 là điểm cực trị thì ta có thể tính giá trị cực trị y(x 0 ) bằng hai cách:
+ y x( ) 0 Ax 0 B, trong đó Ax + B là phần dư trong phép chia y cho y
Q x (aa 0) có cực trị Phương trình y = 0 có hai nghiệm phân biệt khác '
a Khi đó nếu x 0 là điểm cực trị thì ta có thể tính giá trị cực trị y(x 0 ) bằng hai cách:
Khi sử dụng điều kiện cần để xét hàm số có cực trị cần phải kiểm tra lại để loại bỏ nghiệm ngoại lai
Khi giải các bài tập loại này thường ta còn sử dụng các kiến thức khác nữa, nhất là định lí Vi–et
Vấn đề 3: Đường thẳng đi qua hai điểm cực trị
1 Hàm số bậc ba y f x ( ) ax 3 bx 2 cx d
Chia f(x) cho f (x) ta được: f(x) = Q(x).f (x) + Ax + B
Khi đó, giả sử (x 1 ; y 1 ), (x 2 ; y 2 ) là các điểm cực trị thì:
Các điểm (x 1 ; y 1 ), (x 2 ; y 2 ) nằm trên đường thẳng y = Ax + B
Giả sử (x 0 ; y 0 ) là điểm cực trị thì 0
Giả sử hàm số có cực đại và cực tiểu thì phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị ấy là:
Vấn đề 4: ĐƯỜNG TIỆM CẬN CỦA ĐỒ THỊ
Định nghĩa
Đường thẳng x x 0 đgl đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y f x ( ) nếu ít nhất một trong các điều kiện sau đƣợc thoả mãn:
Đường thẳng y y 0 đgl đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y f x ( ) nếu ít nhất một trong các điều kiện sau đƣợc thoả mãn: lim ( ) 0 x f x y
Đường thẳng y ax b a , 0 đgl đường tiệm cận xiên của đồ thị hàm số y f x ( ) nếu ít nhất một trong các điều kiện sau đƣợc thoả mãn:
Chú ý
Q x là hàm số phân thức hữu tỷ
Nếu Q(x) = 0 có nghiệm x0 thì đồ thị có tiệm cận đứng x x 0
Nếu bậc(P(x)) bậc(Q(x)) thì đồ thị có tiệm cận ngang
Nếu bậc của P(x) lớn hơn bậc của Q(x) đúng một đơn vị, đồ thị sẽ có tiệm cận xiên Để tìm các hệ số a và b trong phương trình tiệm cận xiên, chúng ta có thể sử dụng các công thức phù hợp.
Vấn đề 5: KHẢO SÁT SỰ BIẾN THIÊN VÀ VẼ ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ
Các bước khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (quan trọng)
Tìm tập xác định của hàm số
Xét sự biến thiên của hàm số:
+ Tìm các điểm tại đó đạo hàm y bằng 0 hoặc không xác định
+ Tìm các giới hạn tại vô cực, giới hạn vô cực và tìm tiệm cận (nếu có)
+ Lập bảng biến thiên ghi rõ dấu của đạo hàm, chiều biến thiên, cực trị của hàm số
Vẽ đồ thị của hàm số:
+ Tìm điểm uốn của đồ thị (đối với hàm số bậc ba và hàm số trùng phương)
– Tìm các điểm tại đó y = 0 và xét dấu y
+ Vẽ các đường tiệm cận (nếu có) của đồ thị
Để vẽ đồ thị chính xác, cần xác định các điểm đặc biệt như giao điểm với các trục tọa độ Nếu đồ thị không cắt các trục tọa độ hoặc việc tìm tọa độ giao điểm quá phức tạp, có thể bỏ qua bước này Ngoài ra, việc tìm thêm một số điểm thuộc đồ thị cũng giúp cải thiện độ chính xác trong quá trình vẽ.
+ Nhận xét về đồ thị: Chỉ ra trục đối xứng, tâm đối xứng (nếu có) của đồ thị y x m A (C) c (d) : y y C y C x y x A y = kx
Vấn đề 6: BIỆN LUẬN SỐ NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH BẰNG ĐỒ THỊ (Quan Trọng)
Cơ sở của phương pháp: Xét phương trình: f(x) = g(x) (1)
Số nghiệm của phương trình (1) = Số giao điểm của (C 1 ): y = f(x) và (C 2 ): y = g(x)
Nghiệm của phương trình (1) là hoành độ giao điểm của (C 1 ): y = f(x) và (C 2 ): y = g(x)
Để biện luận số nghiệm của phương trình F(x, m) = 0 (*) bằng đồ thị ta biến đổi (*) về một trong các dạng sau:
Dạng 1:F(x, m) = 0 f(x) = m (1)
Khi đó (1) có thể xem là phương trình hoành độ giao điểm của hai đường:
d là đường thẳng cùng phương với trục hoành
Dựa vào đồ thị (C) ta biện luận số giao điểm của (C) và d Từ đó suy ra số nghiệm của (1)
Dạng 2: F(x, m) = 0 f(x) = g(m) (2)
Thực hiện tương tự như trên, có thể đặt g(m) = k Biện luận theo k, sau đó biện luận theo m.
Dạng 3: F(x, m) = 0 f(x) = kx + m (3)
(k: không đổi) Khi đó (3) có thể xem là phương trình hoành độ giao điểm của hai đường:
Vì d có hệ số góc k không đổi nên d cùng phương với đường thẳng y = kx và cắt trục tung tại điểm A(0; m)
Viết phương trình các tiếp tuyến d1, d2, … của (C) có hệ số góc k
Dựa vào các tung độ gốc m, b1, b2, … của d, d1, d2, … để biện luận.
Dạng 4: F(x, m) = 0 f(x) = m(x – x 0 ) + y 0 (4)
Khi đó (4) có thể xem là phương trình hoành độ giao điểm của hai đường:
d quay quanh điểm cố định M0(x0; y0)
Viết phương trình các tiếp tuyến d1, d2, … của (C) đi qua M0
Cho d quay quanh điểm M0 để biện luận
Nếu F(x, m) = 0 có nghiệm thoả điều kiện: x thì ta chỉ vẽ đồ thị (C): y = f(x) với x
Nếu có đặt ẩn số phụ thì ta tìm điều kiện của ẩn số phụ, sau đó biện luận theo m
Để biện luận số nghiệm của phương trình F(x, m) = 0, ta cần biến đổi phương trình này về một dạng phù hợp Trong quá trình này, cần lưu ý rằng y = f(x) là hàm số đã được khảo sát và vẽ đồ thị.
Vấn đề 8: Biện luận số nghiệm của phương trình bậc ba bằng đồ thị
Cơ sở của phương pháp: Xét phương trình bậc ba: ax 3 bx 2 cx d 0 (a 0) (1)
Gọi (C) là đồ thị của hàm số bậc ba: y f x ( ) ax 3 bx 2 cx d
Số nghiệm của (1) = Số giao điểm của (C) với trục hoành x 1 x A x B x C
Dạng 1: Biện luận số nghiệm của phương trình bậc 3
Vấn đề 9: SỰ TIẾP XệC CỦA HAI ĐƯỜNG TIẾP TUYẾN CỦA ĐƯỜNG CONG
Nếu cho y 0 thì tìm x 0 là nghiệm của phương trình f(x) = y 0
Phương trình tiếp tuyến là: y – y 0 = f (x 0 ).(x – x 0 )
2 Bài toán 2: Viết phương trình tiếp tuyến của (C): y =f(x), biết có hệ số góc k cho trước
Cách 1: Tìm toạ độ tiếp điểm
Gọi M(x 0 ; y 0 ) là tiếp điểm Tính f (x 0 )
Giải phương trình (1), tìm được x 0 và tính y 0 = f(x 0 ) Từ đó viết phương trình của
Cách 2: Dùng điều kiện tiếp xúc
Phương trình đường thẳng có dạng: y = kx + m
tiếp xúc với (C) khi và chỉ khi hệ phương trình sau có nghiệm:
Giải hệ (*), tìm được m Từ đó viết phương trình của
Chú ý: Hệ số góc k của tiếp tuyến có thể được cho gián tiếp như sau:
+ tạo với chiều dương trục hoành góc thì k = tan
+ song song với đường thẳng d: y = ax + b thì k = a
+ vuông góc với đường thẳng d: y = ax + b (a 0) thì k = 1
a + tạo với đường thẳng d: y = ax + b một góc thì tan
3 Bài toán 3: Viết phương trình tiếp tuyến của (C): y = f(x), biết đi qua điểm A x y( ; ) A A
Cách 1: Tìm toạ độ tiếp điểm
Gọi M(x 0 ; y 0 ) là tiếp điểm Khi đó: y 0 = f(x 0 ), y 0 = f (x 0 )
Phương trình tiếp tuyến tại M: y – y 0 = f (x 0 ).(x – x 0 )
Giải phương trình (2), tìm được x 0 Từ đó viết phương trình của
Cách 2: Dùng điều kiện tiếp xúc
Phương trình đường thẳng đi qua A x y( ; ) A A và có hệ số góc k: y – y A = k(x – x A )
tiếp xúc với (C) khi và chỉ khi hệ phương trình sau có nghiệm:
Vấn đề 11: Tìm điều kiện để hai đường tiếp xúc
1 Điều kiện cần và đủ để hai đường (C 1 ): y = f(x) và (C 2 ): y = g(x) tiếp xúc nhau là hệ phương trình sau có nghiệm:
Nghiệm của hệ (*) là hoành độ của tiếp điểm của hai đường đó
2 Nếu (C 1 ): y = px + q và (C 2 ): y = ax 2 + bx + c thì
(C 1 ) và (C 2 ) tiếp xúc nhau phương trình ax 2 bx c px q có nghiệm kép.
Bài toán 1: Viết phương trình tiếp tuyến của (C): y =f(x) tại điểm M x y 0 0 0 ;
Nếu cho y 0 thì tìm x 0 là nghiệm của phương trình f(x) = y 0
Phương trình tiếp tuyến là: y – y 0 = f (x 0 ).(x – x 0 )
Bài toán 2: Viết phương trình tiếp tuyến của (C): y =f(x), biết có hệ số góc k cho trước
Cách 1: Tìm toạ độ tiếp điểm
Gọi M(x 0 ; y 0 ) là tiếp điểm Tính f (x 0 )
Giải phương trình (1), tìm được x 0 và tính y 0 = f(x 0 ) Từ đó viết phương trình của
Cách 2: Dùng điều kiện tiếp xúc
Phương trình đường thẳng có dạng: y = kx + m
tiếp xúc với (C) khi và chỉ khi hệ phương trình sau có nghiệm:
Giải hệ (*), tìm được m Từ đó viết phương trình của
Chú ý: Hệ số góc k của tiếp tuyến có thể được cho gián tiếp như sau:
+ tạo với chiều dương trục hoành góc thì k = tan
+ song song với đường thẳng d: y = ax + b thì k = a
+ vuông góc với đường thẳng d: y = ax + b (a 0) thì k = 1
a + tạo với đường thẳng d: y = ax + b một góc thì tan
Bài toán 3: Viết phương trình tiếp tuyến của (C): y = f(x), biết đi qua điểm A x y ( ; ) A A
Cách 1: Tìm toạ độ tiếp điểm
Gọi M(x 0 ; y 0 ) là tiếp điểm Khi đó: y 0 = f(x 0 ), y 0 = f (x 0 )
Phương trình tiếp tuyến tại M: y – y 0 = f (x 0 ).(x – x 0 )
Giải phương trình (2), tìm được x 0 Từ đó viết phương trình của
Cách 2: Dùng điều kiện tiếp xúc
Phương trình đường thẳng đi qua A x y( ; ) A A và có hệ số góc k: y – y A = k(x – x A )
tiếp xúc với (C) khi và chỉ khi hệ phương trình sau có nghiệm:
Vấn đề 11: Tìm điều kiện để hai đường tiếp xúc
1 Điều kiện cần và đủ để hai đường (C 1 ): y = f(x) và (C 2 ): y = g(x) tiếp xúc nhau là hệ phương trình sau có nghiệm:
Nghiệm của hệ (*) là hoành độ của tiếp điểm của hai đường đó
2 Nếu (C 1 ): y = px + q và (C 2 ): y = ax 2 + bx + c thì
(C 1 ) và (C 2 ) tiếp xúc nhau phương trình ax 2 bx c px q có nghiệm kép
Vấn đề 12: Lập phương trình tiếp tuyến chung của hai đồ thị(C 1 ): y = f(x) và C 2 ): y = g(x)
1 Gọi : y = ax + b là tiếp tuyến chung của (C 1 ) và (C 2 ) u là hoành độ tiếp điểm của và (C 1 ), v là hoành độ tiếp điểm của và (C 2 )
tiếp xúc với (C 1 ) và (C 2 ) khi và chỉ khi hệ sau có nghiệm:
Thế (2), (5), (6) vào (3) v a u b Từ đó viết phương trình của
2 Nếu (C 1 ) và (C 2 ) tiếp xúc nhau tại điểm có hoành độ x 0 thì một tiếp tuyến chung của (C 1 ) và (C 2 ) cũng là tiếp tuyến của (C 1 ) (và (C 2 )) tại điểm đó
Vấn đề 13: Tìm những điểm trên đồ thị (C): y = f(x) sao cho tại đĩ tiếp tuyến của (C) song song hoặc vuông góc với một đường thẳng d cho trước
Gọi M(x 0 ; y 0 ) (C) là tiếp tuyến của (C) tại M Tính f (x 0 )
Giải phương trình (1) hoặc (2) tìm được x 0 Từ đó tìm được M(x 0 ; y 0 ) (C)
Vấn đề 14: Tìm những điểm trên đường thẳng d mà từ đĩ cĩ thể vẽ được 1, 2, 3, … tiếp tuyến với đồ thị (C): y = f(x)
Phương trình đường thẳng qua M có hệ số góc k: y = k(x – x M ) + y M
tiếp xúc với (C) khi hệ sau có nghiệm:
Thế k từ (2) vào (1) ta được: f(x) = (x – x M ).f (x) + y M (3)
Số tiếp tuyến của (C) vẽ từ M = Số nghiệm x của (3)
Vấn đề 15: Tìm những điểm mà từ đĩ cĩ thể vẽ đƣợc 2 tiếp tuyến với đồ thị (C): y = f(x) và 2 tiếp tuyến đó vuông góc với nhau
Phương trình đường thẳng qua M có hệ số góc k: y = k(x – x M ) + y M
tiếp xúc với (C) khi hệ sau có nghiệm:
Thế k từ (2) vào (1) ta được: f(x) = (x – x M ).f (x) + y M (3)
Qua M vẽ được 2 tiếp tuyến với (C) (3) có 2 nghiệm phân biệt x 1 , x 2
Hai tiếp tuyến đó vuông góc với nhau f (x 1 ).f (x 2 ) = –1
Chú ý: Qua M vẽ được 2 tiếp tuyến với (C) sao cho 2 tiếp điểm nằm về hai phía với trục hoành thì
Vấn đề 16: HỌ ĐỒ THỊ
Cho họ đường (Cm): y = f(x, m) (m là tham số)
M(x 0 ; y 0 ) (C m ) y 0 = f(x 0 , m) (1) Xem (1) là phương trình theo ẩn m
Tuỳ theo số nghiệm của (1) ta suy ra số đồ thị của họ (Cm) đi qua M
Nếu (1) nghiệm đúng với mọi m thì mọi đồ thị của họ (Cm) đều đi qua M
Khi đó, M đƣợc gọi là điểm cố định của họ (Cm)
Nếu (1) có n nghiệm phân biệt thì có n đồ thị của họ (Cm) đi qua M
Nếu (1) vô nghiệm thì không có đồ thị nào của họ (Cm) đi qua M
Vấn đề 17: Tìm điểm cố định của họ đồ thị (C m ): y = f(x, m)
Gọi M(x 0 ; y 0 ) là điểm cố định (nếu có) của họ (C m )
Biến đổi (1) về một trong các dạng sau:
Giải hệ (2a) hoặc (2b) ta tìm được toạ độ (x 0 ; y 0 ) của điểm cố định
Chú ý: Các hệ (2a), (2b) là các hệ phương trình có 2 ẩn x 0 , y 0
Gọi M(x 0 ; y 0 ) là điểm cố định (nếu có) của họ (C m )
Giải (3) tìm được x 0 Thay x 0 vào (1) tìm được y 0 Từ đósuy ra được các điểm cố định
Vấn đề 18: Tìm điểm mà khơng cĩ đồ thị nào của họ đồ thị (C m ): y = f(x, m) đi qua
Gọi M(x 0 ; y 0 ) là điểm mà không có đồ thị nào của họ (C m ) đi qua
Biến đổi (1) về một trong các dạng sau:
Dạng 2: (1) Am 2 Bm C 0vô nghiệm m
Chú ý: Kết quả là một tập hợp điểm
Những điểm nằm trên tiệm cận đứng cố định của hàm hữu tỷ là những điểm đồ thị không đi qua
Vấn đề 19: Tìm điểm mà một số đồ thị của họ đồ thị (C m ): y = f(x, m) đi qua
Biến đổi (1) về một trong các dạng sau:
Số nghiệm của (2a) hoặc (2b) theo m = Số (C m ) đi qua M
Vấn đề 20: TẬP HỢP ĐIỂM
Bài toán: Tìm tập hợp các điểm M(x; y) thoả tính chất
Nhận xét: Tìm tập hợp điểm M trong mặt phẳng toạ độ là tìm phương trình của tập hợp điểm đó.
Dạng 2
Trường hợp 1: (1) có 3 nghiệm dương phân biệt
(C) cắt Ox tại 3 điểm phân biệt có hoành độ dương
Cẹ CT f có cực trị y y x x a f hay ad
rường hợp 2: (1) có 3 nghiệm có âm phân biệt
(C) cắt Ox tại 3 điểm phân biệt có hoành độ âm 2.2.
Cẹ CT f có cực trị y y x x a f hay ad
Vấn đề 9: SỰ TIẾP XÚC CỦA HAI ĐƯỜNG TIẾP TUYẾN CỦA ĐƯỜNG CONG
1 Ý nghĩa hình học của đạo hàm: Đạo hàm của hàm số y = f(x) tại điểm x0 là hệ số góc của tiếp tuyến với đồ thị (C) của hàm số tại điểm M x f x 0 0 ; ( ) 0
Khi đó phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm M x f x 0 0 ; ( ) 0 là: y – y0 = f (x0).(x – x0) (y0 = f(x0))
2 Điều kiện cần và đủ để hai đường (C1): y = f(x) và (C2): y = g(x) tiếp xúc nhau là hệ phương trình sau có nghiệm:
(*)Nghiệm của hệ (*) là hoành độ của tiếp điểm của hai đường đó
3 Nếu (C1): y = px + q và (C2): y = ax 2 + bx + c thì (C1) và (C2) tiếp xúc nhau phương trình ax 2bx c px q có nghiệm kép
Vấn đề 10: Lập phương trình tiếp tuyến của đường cong (C): y = f(x) (Quan trọng)
1 Bài toán 1: Viết phương trình tiếp tuyến của (C): y =f(x) tại điểm M x y 0 0 0 ; :
Nếu cho y 0 thì tìm x 0 là nghiệm của phương trình f(x) = y 0
Phương trình tiếp tuyến là: y – y 0 = f (x 0 ).(x – x 0 )
2 Bài toán 2: Viết phương trình tiếp tuyến của (C): y =f(x), biết có hệ số góc k cho trước
Cách 1: Tìm toạ độ tiếp điểm
Gọi M(x 0 ; y 0 ) là tiếp điểm Tính f (x 0 )
Giải phương trình (1), tìm được x 0 và tính y 0 = f(x 0 ) Từ đó viết phương trình của
Cách 2: Dùng điều kiện tiếp xúc
Phương trình đường thẳng có dạng: y = kx + m
tiếp xúc với (C) khi và chỉ khi hệ phương trình sau có nghiệm:
Giải hệ (*), tìm được m Từ đó viết phương trình của
Chú ý: Hệ số góc k của tiếp tuyến có thể được cho gián tiếp như sau:
+ tạo với chiều dương trục hoành góc thì k = tan
+ song song với đường thẳng d: y = ax + b thì k = a
+ vuông góc với đường thẳng d: y = ax + b (a 0) thì k = 1
a + tạo với đường thẳng d: y = ax + b một góc thì tan
3 Bài toán 3: Viết phương trình tiếp tuyến của (C): y = f(x), biết đi qua điểm A x y( ; ) A A
Cách 1: Tìm toạ độ tiếp điểm
Gọi M(x 0 ; y 0 ) là tiếp điểm Khi đó: y 0 = f(x 0 ), y 0 = f (x 0 )
Phương trình tiếp tuyến tại M: y – y 0 = f (x 0 ).(x – x 0 )
Giải phương trình (2), tìm được x 0 Từ đó viết phương trình của
Cách 2: Dùng điều kiện tiếp xúc
Phương trình đường thẳng đi qua A x y( ; ) A A và có hệ số góc k: y – y A = k(x – x A )
tiếp xúc với (C) khi và chỉ khi hệ phương trình sau có nghiệm:
Vấn đề 11: Tìm điều kiện để hai đường tiếp xúc
1 Điều kiện cần và đủ để hai đường (C 1 ): y = f(x) và (C 2 ): y = g(x) tiếp xúc nhau là hệ phương trình sau có nghiệm:
Nghiệm của hệ (*) là hoành độ của tiếp điểm của hai đường đó
2 Nếu (C 1 ): y = px + q và (C 2 ): y = ax 2 + bx + c thì
(C 1 ) và (C 2 ) tiếp xúc nhau phương trình ax 2 bx c px q có nghiệm kép
Vấn đề 12: Lập phương trình tiếp tuyến chung của hai đồ thị(C 1 ): y = f(x) và C 2 ): y = g(x)
1 Gọi : y = ax + b là tiếp tuyến chung của (C 1 ) và (C 2 ) u là hoành độ tiếp điểm của và (C 1 ), v là hoành độ tiếp điểm của và (C 2 )
tiếp xúc với (C 1 ) và (C 2 ) khi và chỉ khi hệ sau có nghiệm:
Thế (2), (5), (6) vào (3) v a u b Từ đó viết phương trình của
2 Nếu (C 1 ) và (C 2 ) tiếp xúc nhau tại điểm có hoành độ x 0 thì một tiếp tuyến chung của (C 1 ) và (C 2 ) cũng là tiếp tuyến của (C 1 ) (và (C 2 )) tại điểm đó
Vấn đề 13: Tìm những điểm trên đồ thị (C): y = f(x) sao cho tại đĩ tiếp tuyến của (C) song song hoặc vuông góc với một đường thẳng d cho trước
Gọi M(x 0 ; y 0 ) (C) là tiếp tuyến của (C) tại M Tính f (x 0 )
Giải phương trình (1) hoặc (2) tìm được x 0 Từ đó tìm được M(x 0 ; y 0 ) (C)
Vấn đề 14: Tìm những điểm trên đường thẳng d mà từ đĩ cĩ thể vẽ được 1, 2, 3, … tiếp tuyến với đồ thị (C): y = f(x)
Phương trình đường thẳng qua M có hệ số góc k: y = k(x – x M ) + y M
tiếp xúc với (C) khi hệ sau có nghiệm:
Thế k từ (2) vào (1) ta được: f(x) = (x – x M ).f (x) + y M (3)
Số tiếp tuyến của (C) vẽ từ M = Số nghiệm x của (3)
Vấn đề 15: Tìm những điểm mà từ đĩ cĩ thể vẽ đƣợc 2 tiếp tuyến với đồ thị (C): y = f(x) và 2 tiếp tuyến đó vuông góc với nhau
Phương trình đường thẳng qua M có hệ số góc k: y = k(x – x M ) + y M
tiếp xúc với (C) khi hệ sau có nghiệm:
Thế k từ (2) vào (1) ta được: f(x) = (x – x M ).f (x) + y M (3)
Qua M vẽ được 2 tiếp tuyến với (C) (3) có 2 nghiệm phân biệt x 1 , x 2
Hai tiếp tuyến đó vuông góc với nhau f (x 1 ).f (x 2 ) = –1
Chú ý: Qua M vẽ được 2 tiếp tuyến với (C) sao cho 2 tiếp điểm nằm về hai phía với trục hoành thì
Vấn đề 16: HỌ ĐỒ THỊ
Cho họ đường (Cm): y = f(x, m) (m là tham số)
M(x 0 ; y 0 ) (C m ) y 0 = f(x 0 , m) (1) Xem (1) là phương trình theo ẩn m
Tuỳ theo số nghiệm của (1) ta suy ra số đồ thị của họ (Cm) đi qua M
Nếu (1) nghiệm đúng với mọi m thì mọi đồ thị của họ (Cm) đều đi qua M
Khi đó, M đƣợc gọi là điểm cố định của họ (Cm)
Nếu (1) có n nghiệm phân biệt thì có n đồ thị của họ (Cm) đi qua M
Nếu (1) vô nghiệm thì không có đồ thị nào của họ (Cm) đi qua M
Vấn đề 17: Tìm điểm cố định của họ đồ thị (C m ): y = f(x, m)
Gọi M(x 0 ; y 0 ) là điểm cố định (nếu có) của họ (C m )
Biến đổi (1) về một trong các dạng sau:
Giải hệ (2a) hoặc (2b) ta tìm được toạ độ (x 0 ; y 0 ) của điểm cố định
Chú ý: Các hệ (2a), (2b) là các hệ phương trình có 2 ẩn x 0 , y 0
Gọi M(x 0 ; y 0 ) là điểm cố định (nếu có) của họ (C m )
Giải (3) tìm được x 0 Thay x 0 vào (1) tìm được y 0 Từ đósuy ra được các điểm cố định
Vấn đề 18: Tìm điểm mà khơng cĩ đồ thị nào của họ đồ thị (C m ): y = f(x, m) đi qua
Gọi M(x 0 ; y 0 ) là điểm mà không có đồ thị nào của họ (C m ) đi qua
Biến đổi (1) về một trong các dạng sau:
Dạng 2: (1) Am 2 Bm C 0vô nghiệm m
Chú ý: Kết quả là một tập hợp điểm
Những điểm nằm trên tiệm cận đứng cố định của hàm hữu tỷ là những điểm đồ thị không đi qua
Vấn đề 19: Tìm điểm mà một số đồ thị của họ đồ thị (C m ): y = f(x, m) đi qua
Biến đổi (1) về một trong các dạng sau:
Số nghiệm của (2a) hoặc (2b) theo m = Số (C m ) đi qua M
Vấn đề 20: TẬP HỢP ĐIỂM
Bài toán: Tìm tập hợp các điểm M(x; y) thoả tính chất
Nhận xét: Tìm tập hợp điểm M trong mặt phẳng toạ độ là tìm phương trình của tập hợp điểm đó
1 Dạng 1: Tìm toạ độ của điểm M
1) Tìm điều kiện (nếu có) của tham số m để tồn tại điểm M
2) Tính toạ độ điểm M theo tham số m
Có các trường hợp xảy ra:
Khử tham số m giữa x và y, ta có một hệ thức giữa x, y độc lập với m có dạng:
F(x, y) = 0 (gọi là phương trình quĩ tích)
Khi đó điểm M nằm trên đường thẳng x = a
Khi đó điểm M nằm trên đường thẳng y = b
Giới hạn quĩ tích được xác định dựa trên điều kiện của m từ bước 1, giúp tìm ra các điều kiện cần thiết cho x hoặc y để tồn tại điểm M(x; y) Đây chính là giới hạn của quĩ tích.
4) Kết luận: Tập hợp các điểm M có phương trình F(x, y) = 0 (hoặc x = a, hoặc y = b) với điều kiện của x hoặc y (ở bước 3)
Khi không thể tính toán tọa độ của điểm M dựa vào tham số m, ta cần thiết lập một hệ thức liên quan đến tọa độ của M Tiếp theo, chúng ta sẽ khử tham số m trong hệ thức đó để tìm ra hệ thức có dạng F(x, y) = 0.
Chú ý: Nếu bài toán chỉ hỏi : Điểm M chạy trên đường nào thì ta chỉ tìm phương trình
F(x, y) = 0 mà không cần tìm giới hạn của quĩ tích
Vấn đề 21: HÀM SỐ CĨ CHỨA DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI (quan trọng)
Bài toán: Vẽ đồ thị của hàm số y = f(x) với f(x) có chứa dấu giá trị tuyệt đối
Cách 1: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị
Xét dấu biểu thức có chứa dấu giá trị tuyệt đối
Chia miền xác định thành nhiều khoảng, trong mỗi khoảng ta bỏ dấu giá trị tuyệt đối
Vẽ đồ thị hàm số tương ứng trong các khoảng của miền xác định
Cách 2: Thực hiện các phép biến đổi đồ thị.
Dạng 1: Vẽ đồ thị hàm số y f x ( )
Đồ thị (C) của hàm số y f x( ) có thể đƣợc suy từ đồ thị (C) của hàm số y = f(x) nhƣ sau:
+ Giữ nguyên phần đồ thị (C) ở phía trên trục hoành
+ Lấy đối xứng phần đồ thị của (C) ở phía dưới trục hoành qua trục hoành
+ Đồ thị (C) là hợp của hai phần trên.
Dạng 2: Vẽ đồ thị của hàm số y f x
Khi không thể tính toán tọa độ của điểm M theo tham số m, ta cần thiết lập một hệ thức liên quan đến tọa độ của M Tiếp theo, chúng ta sẽ khử tham số m trong hệ thức này để có được một hệ thức có dạng F(x, y) = 0.
Chú ý: Nếu bài toán chỉ hỏi : Điểm M chạy trên đường nào thì ta chỉ tìm phương trình
F(x, y) = 0 mà không cần tìm giới hạn của quĩ tích
Vấn đề 21: HÀM SỐ CĨ CHỨA DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI (quan trọng)
Bài toán: Vẽ đồ thị của hàm số y = f(x) với f(x) có chứa dấu giá trị tuyệt đối
Cách 1: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị
Xét dấu biểu thức có chứa dấu giá trị tuyệt đối
Chia miền xác định thành nhiều khoảng, trong mỗi khoảng ta bỏ dấu giá trị tuyệt đối
Vẽ đồ thị hàm số tương ứng trong các khoảng của miền xác định
Cách 2: Thực hiện các phép biến đổi đồ thị
1 Dạng 1: Vẽ đồ thị hàm số y f x( ) Đồ thị (C) của hàm số y f x( ) có thể đƣợc suy từ đồ thị (C) của hàm số y = f(x) nhƣ sau:
+ Giữ nguyên phần đồ thị (C) ở phía trên trục hoành
+ Lấy đối xứng phần đồ thị của (C) ở phía dưới trục hoành qua trục hoành
+ Đồ thị (C) là hợp của hai phần trên
2 Dạng 2: Vẽ đồ thị của hàm số y f x Đồ thị (C) của hàm số y f x có thể đƣợc suy từ đồ thị (C) của hàm số y = f(x) nhƣ sau:
+ Giữ nguyên phần đồ thị (C) ở bên phải trục tung, bỏ phần bên trái trục tung
+ Lấy đối xứng phần bên phải trục tung qua trục tung
+ Đồ thị (C) là hợp của hai phần trên
Vấn đề 22: Tìm điểm trên đồ thị (C): y = f(x) cĩ toạ độ nguyên
Tìm các điểm trên đồ thị hàm số hữu tỉ ( )
Q x có toạ độ là những số nguyên:
Q x , với A(x) là đa thức, a là số nguyên
Q(x) là ước số của a Từ đó ta tìm các giá trị x nguyên để Q(x) là ước số của a
Thử lại các giá trị tìm được và kết luận
Vấn đề 23: Tìm cặp điểm trên đồ thị (C): y = f(x) đối xứng qua đường thẳng d: y = ax + b
Cơ sở của phương pháp: A, B đối xứng nhau qua d d là trung trực của đoạn AB
Phương trình đường thẳng vuông góc với d: y = ax = b có dạng:
Phương trình hoành độ giao điểm của và (C): f(x) = 1 x m
Tìm điều kiện của m để cắt (C) tại 2 điểm phân biệt A, B Khi đó x A , x B là các nghiệm của (1)
Tìm toạ độ trung điểm I của AB
Từ điều kiện: A, B đối xứng qua d I d, ta tìm được m x A , x B y A , y B A, B
Chú ý: A, B đối xứng nhau qua trục hoành A B
A, B đối xứng nhau qua trục tung A B
A, B đối xứng nhau qua đường thẳng y = b
A, B đối xứng nhau qua đường thẳng x = a A B 2
Vấn đề 24: Tìm cặp điểm trên đồ thị (C): y = f(x) đối xứng qua điểm I(a; b)
Cơ sở của phương pháp: A, B đối xứng nhau qua I I là trung điểm của AB
Phương trình đường thẳng d qua I(a; b), có hệ số góc k có dạng: y k x a b ( )
Phương trình hoành độ giao điểm của (C) và d: f(x) = k x a b ( ) (1)
Tìm điều kiện để d cắt (C) tại 2 điểm phân biệt
A, B khi đó x A , x B là 2 nghiệm của (1)
Từ điều kiện: A, B đối xứng qua I I là trung điểm của AB, ta tìm được k x A , x B
Chú ý: A, B đối xứng qua gốc toạ độ O A B
1) Khoảng cách giữa hai điểm A, B: AB= ( x B x A ) 2 ( y B y A ) 2
2) Khoảng cách từ điểm M(x 0 ; y 0 ) đến đường thẳng : ax + by + c = 0: d(M, ) = 0 0
3) Diện tích tam giác ABC:
2AB AC A2 AB AC AB AC
Vấn đề 1: Công thức lượng giác
HỆ THỨC CƠ BẢN ( 6 công thức )
CÔNG THỨC CỘNG ( 8 công thức )
Nhớ: “ Sin thì sin cos, cos sin
Cos thì cos cos, sin sin nhớ trừ (dấu đối)”
CÔNG THỨC NHÂN
GÓC CHIA ĐÔI : ( 3 công thức)
TỔNG THÀNH TÍCH : ( 8 công thức)
Nhớ: “Sin cộng sin bằng hai lần sin cos Sin trừ sin bằng hai lần cos sin
Cos cộng cos bằng hai lần cos cos Cos trừ cos bằng hai lần cos sin”
TÍCH THÀNH TỔNG : ( 3 công thức)
CUNG LIEÂN KEÁT
Cos đối Cos(–) = Cos ; Sin(–) = – Sin
Sin buứ Sin( – ) = Sin ; Cos( – ) = – Cos
Phuù cheựo Sin(/2 – ) = Cos ; Cos(/2 – ) = Sin
Khác Tan Tan( + ) = Tan ; Cot( + ) = Cot
Sai keùm / 2 Sin(/2 + ) = Cos ; Cos(/2 + ) = – Sin
Vấn đề 2: PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
CƠ BẢN
PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT ĐỐI VỚI Sin và Cos
Vấn đề 3: PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC KHÔNG MẪU MỰC
Giả sử giải phương trình A = B (*)
Vấn đề 3: PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC KHƠNG MẪU MỰC
Phương pháp 1: Dùng các công thức lượng giác đưa về phương trình dạng tích
Ví dụ 1 Giải phương tình: sin 2 x + sin 2 3x = cos 2 2x + cos 2 4x (1)
Phương trình (1) tương đương với: 1 cos 2 1 cos 6 1 cos 4 1 cos8
Ví dụ 2 Giải phương trình: cos 6 x+sin 6 x = 2 ( cos 8 x+sin 8 x) (2)
Ta có (2) cos 6 x(2cos 2 x1) = sin 6 x(12sin 2 x)
cos2x(sin 2 x–cos 2 x)(1+sin 2 x.cos 2 x) = 0
Ví dụ 3: Giải phương trình: 8 2 cos 6 x 2 2 sin 3 x sin 3 x 6 2 cos 4 x 1 0(3)
(3) 2 2 cos (4 cos 3cos ) 2 2 sin sin 3 1 0
2 cos 2 cos cos 3 2 sin 2sin sin 3 2
(1 cos 2 )(cos 2 cos 4 ) (1 cos 2 )(cos 2 cos 4 ) 2
2(cos 2 cos 2 cos 4 ) 2 cos 2 (1 cos 4 ) 2
Phương pháp 2: Đặt ẩn phụ đưa phương trình lượng giác về phương trình đại số
Ví dụ 4 Giải phương trình lượng giác: 8 8 17 sin cos x x32 (4)
Đặt cos 2 2x = t, với t[0; 1], ta có 2 2
Ví dụ 5 Giải phương trình lương giác: 2sin 3 x – cos2x + cosx = 0 (5)
Ta có (5) 2(1 cos 2 x)sinx + 2 – 2 cos 2 x + cosx – 1 = 0
(1 – cosx)(2sinx+ 2cosx + 2sinxcosx+1) = 0 cos 1 2 , ( )
Giải (*): Đặt sinx + cosx = t, điều kiện | |t 2, khi đó phương trình (*) trở thành:
Vậy nghiệm của phương trình đã cho là:
Phương pháp 3: Quy phương trình lượng giác về việc giải hệ phương trình lượng giác bằng cách đánh giá, so sánh, sử dụng bất đẳng thức
Ví dụ 6 Giải phương trình: π |sin x | cos x (6)
Do | sin x| 0, nên π |sin x | π 0 1, mà |cosx| ≤ 1
(Vì k, n Z) Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = 0.
Phương pháp 4: Sử dụng tính chất hàm số
Ví dụ 7: (ĐH Sư phạm 2) Giải phương trình:
2 f x x x Dễ thấy f(x) = f(x), x , do đó f(x) là hàm số chẵn vì vậy trước hết ta chỉ xét với x
Ta có: f’(x)=sinx+x, f”(x) = cosx+1, x≥0 f’(x) là hàm đồng biến, do đó f’(x)≥f’(0), với x≥0 f(x) đồng biến với x≥0
Mặt khác ta thấy f(0)=0, do đó x=0 là nghiệm duy nhất của phương trình
Ví dụ 8: (ĐH Bách Khoa) Với n là số tự nhiên bất kì lớn hơn 2, tìm x thuộc khoảng 0;
Giải Đặt f(x) = sin n x + cos n x, ta có : f’(x) = ncosx.sin n-1 x – nsinx.cos n-1 x
Lập bảng biến thiên của f(x) trên khoảng 0;
là nghiệm duy nhất của phương trình đã cho
Giải các phương trình sau:
1 cos 3 x +cos 2 x +2sin x –2 = 0 (Học Viện Ngân Hàng) ĐS: 2 ; 2 x k x 2 n
2 tan x sin 2 x 2sin 2 x =3(cos2 x +sin x cos x ) (ĐH Mỏ Địa Chất)
HD: Chia hai vế cho sin 2 x ĐS: ; 2
3 2sin3 x (1/sin x ),os3 x + (1/cos x ) (ĐH Thương Mại) ĐS: 7
4 |sin x cos x | + |sin x +cos x |=2 (ĐH Quốc Gia Hà Nội) ĐS: x k 2
5 4(sin3 x cos2 x )=5(sin x 1) (ĐH Luật Hà Nội) ĐS: 2 ; 2 ; 2 ; x 2 k x n x l với 1 sin 4
6 sin x 4sin 3 x +cos x =0 (ĐH Y Hà Nội) ĐS: x 4 k
8 sin 3 x cos3 x +cos 3 x sin3 x =sin 3 4 x
HD: sin 2 x.sinx.cos3x+cos 2 x cosx.sin3x=sin 3 4x ĐS: x k 12
10 sin 3 x 3 cos 3 x sin cos x 2 x 3 sin 2 x cos x
HD: Chia hai vế cho cos 3 x ĐS: x 3 k
HD: Đƣa về cung x đặt thừa số ĐS: 2
2cos 2 x+(2sinx+3)cosx–(sinx+2)=0 Đặt t=cosx, ĐK t 1, ta đƣợc: 2t 2 +(2sinx+3)t–(sinx+2)=0 =(2sinx+3) 2 +3.2.(sinx+2)=(2sinx+5) 2
HD: Tương tự câu a ta có phương trình 2(1–2cosx)sin 2 x–sinx+cosx=0 Đặt t=sinx, ĐK t 1
HD: (1+ sin2x)+(sinx+cosx)+2cos2x=0
(sinx+cosx) 2 +(sinx+cosx)+2(cos 2 x–sin 2 x)=0
(sinx+cosx) 2 +(sinx+cosx)+2(sinx+cosx)(sinx–cosx)=0 Đặt thừa số, giải tiếp …
15 Giải phương trình lượng giác: 1 2 cos sin tan cot 2 cot 1 x x x x x
Giải Điều kiện: cos sin 2 sin tan cot 2 0 cot 1 x x x x x x
Từ (1) ta có: 1 2 cos sin cos sin 2
2 sin sin cos 2 cos cos cos sin 2 sin 1 x x x x x x x x x x x x
So với điều kiện, ta được họ nghiệm của phương trình đã cho là 2 x 4 k k
16 Giải phương trình: sin 4 cos 4 1 tan cot sin 2 2 x x x x x
4 4 sin cos 1 tan cot sin 2 2 x x x x x
Vậy phương trình đã cho vô nghiệm
17 Giải phương trình: 2 sin 2 2 sin 2 tan x 4 x x
(cosx 0 ) 1 cos 2 cos 2 sin 2 cos sin x 2 x x x x
(1–sin2x)(cosx–sinx) = 0 sin2x = 1 hoặc tanx = 1
18 Giải phương trình: sin 2 x cos x 3 2 3 os c 3 x 3 3 os2 c x 8 3 cos x s inx 3 3 0
2 3 2 sin 2 (cos 3) 2 3.cos 3 3.cos 2 8( 3.cos sin ) 3 3 0
2sin cos 6sin cos 2 3.cos 6 3 cos 3 3 8( 3.cos sin ) 3 3 0 x x x x x x x x x x x x x x
0 ) sin cos 3 ( 8 ) sin cos 3 ( cos 6 ) sin cos 3 ( cos
( 3 cos sin )( 2 cos 6 cos 8) 0 tan 3
3 cos sin 0 cos 1 cos 3cos 4 0 cos 4 ( ai) x x x x x x x x x x x
19 Giải phương trình: cos x =8sin 3 x 6
3 3 sin 3 x 9sin 2 x cos x 3 3 sin cos x 2 x cos 3 x cos x 0 (3)
Ta thấy cosx = 0 không là nghiêm
20 Giải phương trình lượng giác: 1 2 cos sin tan cot 2 cot 1 x x x x x
Giải Điều kiện: cos sin 2 sin tan cot 2 0 cot 1 x x x x x x
Từ (1) ta có: 1 2 cos sin cos sin 2
2 sin sin cos 2 cos cos cos sin 2 sin 1 x x x x x x x x x x x x
So với điều kiện, ta được họ nghiệm của phương trình đã cho là 2 x 4 k k Z
21 Giải phương trình: cos 2 x 5 2(2 cos )(sin x x cos ) x
Phương trình (cosx–sinx) 2 – 4(cosx–sinx) – 5 = 0 cos sin 1 cos sin 5 ( cos sin 2) x x x x loai vi x x
22 Giải phương trình: 2cos3 x + 3 sin x + cos x = 0
23 Giải phương trình cos3 x cos 3 x – sin3 x sin 3 x = 2 3 2
Ta có: cos3xcos 3 x – sin3xsin 3 x = 2 3 2
cos3x(cos3x + 3cosx) – sin3x(3sinx – sin3x) = 2 3 2
cos 3 2 sin 3 2 3 cos 3 cos sin 3 sin 2 3 2 x x x x x x 2 2 cos 4 ,
24 Định m để phương trình sau có nghiệm
4sin 3 sin 4 cos 3 cos cos2 2 0
* 4 cos 3 cos 2 cos 2 cos 4 2 sin 2 cos 4
Do đó phương trình đã cho tương đương:
2 2 x x x m Đặt cos 2 sin 2 2 cos 2 t x x x4 (điều kiện: 2 t 2)
Khi đó sin 4 x 2sin 2 cos 2 x x t 2 1 Phương trình (1) trở thành:
(2) t 2 4 t 2 2 m Đây là phuơng trình hoành độ giao điểm của 2 đường ( ) : D y 2 2 m (là đường song song với Ox và cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 2 – 2m và (P): y t 2 4 t với 2 t 2 x 2 2 y’ + y 2 4 2
2 4 2 Trong đoạn 2; 2 , hàm số y t 2 4 t đạt giá trị nhỏ nhất là 2 4 2 tại t 2 và đạt giá trị lớn nhất là 2 4 2 tại t 2
Do đó yêu cầu của bài toán thỏa mãn khi và chỉ khi 2 4 2 2 2 m 2 4 2
Vấn đề 4: HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC
Tam giác thường ( các định lý)
S p(pa)(pb)(pc)(pa).r a Bán kính đường tròn nội tiếp ( ) tan 2 ( ) tan 2 ( ) tan 2 c C
Bán kính đường tròn bàng tiếp tan 2 p A r a
ha: Đường cao tương ứng với cạnh a
ma: Đường trung tuyến vẽ từ A
R, r : Bán kính đường tròn ngoại, nội tiếp tam giác
2 c b p a Nửa chu vi tam giác
2 Hệ thức lượng tam giác vuông:
Vấn đề 5: MỘT VÀI VẤN ĐỀ CẦN NHỚ
3/ TanATanBTanCTanA.TanB.TanC( tam giác ABC không vuông)
6/ Sin 2 A Sin 2 B Sin 2 C 2 2 CosA CosB CosC
7/ Cos 2 ACos 2 BCos 2 C12CosA.CosB.CosC
Vấn đề 1: PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT: Ax = B
A 0 : phương trình có nghiệm duy nhất
A = 0 và B 0 : phương trình vô nghiệm
A = 0 và B = 0 : phương trình vô số nghiệm
MỘT SỐ VÍ DỤ VỀ PT VÀ BPT ÔN THI ĐẠI HỌC: Vấn đề 2: HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN SỐ
Vd1: Giải bất phương trình 2 x 2 6 x 1 x 2 0 1
1 2 x 2 6 x 1 x 2 bất phương trình tương đương với hệ:
Ví dụ 2: Tìm m để phương trình 2 x 2 mx 3 x 1 có hai nghiệm phân biệt
, phương trình (*) luôn có 2 nghiệm:
2 2 m m m m m m x x Phương trình đã cho có 2 nghiệm (*) có 2 nghiệm x 1
Chú ý: + x 1 > 0, x 2 < 0 vì x 1 > x 2 và a.c < 0 nên pt có 2 nghiệm trái dấu
+ Cách 1 thường dùng khi hệ số a luôn dương hoặc luôn âm
+ Cách 2: Đặt t = x + 1 suy ra x = t – 1, khi đó với x 1 t 0
(*) trở thành: t 1 2 m 2 t 1 4 0 (**) Để (*) có 2 nghiệm x 1thì (**) phải có 2 nghiệm t 0
Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm x=0, 9 x8 Vấn đề 2: HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN SỐ
D 0 : hệ có nghiệm duy nhất
* D = Dx = Dy = 0 : Hệ vô số nghiệm hay vô nghiệm tùy thuộc a, b, c, a / , b / , c /
Khi đó x,y là nghiệm của phương trình: X 2 – SX + P = 0
Lấy (1) trừ (2) vế theo vế ta đƣợc: (y – x) h(x,y) = 0
5/ Dạng: Hệ tổng quát: Thường biến đổi để nhận ra ẩn số phụ, sau đó dùng phương pháp thế để giải tiếp.
MỘT SỐ VÍ DỤ GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH ÔN THI ĐẠI HỌC: Phương pháp đưa về dạng tích
Vấn đề 3: PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI MỘT ẨN ax 2 + bx + c = 0 ( a 0)
Aùp dụng
Nếu bất phương trình chứa ẩn ở mẩu
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là: x10 34
1.5.2 TH2: Mẩu âm dương trên từng khoảng thì ta chia thành từng trường hợp:
Ví dụ 2: Giải các bất phương trình: a x 3 x 2 4 x 2 9 b 51 2 2 1
HD: a Xét ba trường hợp x=3, x>3 và x 0 suy ra y’ > 0 nên hàm số đồng biến
1 Vậy phương trình có nghiệm khi và chỉ khi 1 < m < 1
Việc xác định giới hạn hàm số trong bài toán khảo sát là rất quan trọng để tránh ngộ nhận rằng tập giá trị của hàm số là R Nếu không thực hiện bước này, chúng ta có thể kết luận sai rằng phương trình có nghiệm với mọi giá trị của m Do đó, tìm giới hạn là cần thiết để xác định chính xác tập giá trị của hàm số.
Ví dụ 2: Tìm m để bất phương trình sau có nghiệm: mx x 3 m 1, ĐK: x3
Vậy bất phương trình có nghiệm 5 3 1 y m m 4
Ví dụ 3: Tìm m để phương trình: x x x 12 m 5 x 4 x có nghiệm
( 12) 5 4 pt x x x x x m xét hs y f x ( x x x 12) 5 x 4 x Miền xác định: D 0; 4
Nhận xét: Hàm số h x x x x 12 đồng biến trên D
Hàm số g x 5 x 4x đồng biến trên D
Suy ra y = f(x) = h(x).g(x) là hàm đồng biến trên D Vậy phương trình có nghiệm khi và chỉ khi
Ví dụ 4: Biện luận theo m số nghiệm phương trình: x 3 m x 2 1
Giải: Phương trình được viết lại dưới dạng:
Số nghiệm của phương trình là số giao điểm của (C):
1 KL: m 1 m 10: phương trình vô nghiệm
hoặc m 10: phương trình có nghiệm duy nhất
1 m 10: phương trình có 2 nghiệm phân biệt
Ví dụ 5: Tìm m để phương trình sau có nghiệm: x 1 3 x x 1 3 x m , (1)
Giải: ĐK: 1 x 3 Đặt t x 1 3x, lập BBT của t(x) với 1 x 3 ta có 2 t 2
Khi đó phương trình (1) trở thành: 1
2t 2 + t + 1 = m, lập bảng biến thiên của hàm số vế trái với 2 t 2 từ đó kết luận: 1 m 2
Vấn đề 8: PHƯƠNG TRÌNH CÓ DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI
Vấn đề 9: BẤT PHƯƠNG TRÌNH CHỨA GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI
Vấn đề 1: BẢNG TÍCH PHÂN
Công thức NewTon _ Leibnitz
b a b a F b F a x F dx x f( ) ( ) ( ) ( ) với F(x) là nguyên hàm của f(x) trên [a, b}
Tích phân từng phần
b a b a b a vdu v u udv [ ] với u, v liên tục và có đạo hàm liên tục trên [a, b]
Đổi cơ số
( ' với x = (t) là hàm số liên tục và có đạo hàm ’ (t) liên tục trên [a, b] , t a = (), b = (), f[(t)] là hàm số liên tục trên [, ]
Tính chaát
a) b a a b dx x f dx x f( ) ( ) b) a ( ) 0 a dx x f c) b c c a b a dx x f dx x f dx x f( ) ( ) ( ) d) b a b a b a dx x g dx x f dx x g x f( ) ( )] ( ) ( )
Bảng tích phân
12 Sin ( ax b ) dx a 1 Cos ( ax b ) c
14 Cos ( ax b ) dx a 1 Sin ( ax b ) c
29 Chú ý: b eb x a ea f (t)dt f (e )dx
Lưu ý: Đối với các bài tích phân dạng lượng giác nhớ áp dụng các công thức lượng giác phù hợp để giải
Vấn đề 2: Tính tích phân bằng phương pháp đổi biến số
Dạng 1: Giả sử ta cần tính b ( ) a g x dx
Nếu viết được g(x) dưới dạng: g x( ) f u x u x ( ) '( ) thì
Dạng 2: Giả sử ta cần tính f x dx ( )
Đặt x = x(t) (t K) và a, b K thoả mãn = x(a), = x(b) thì ( ) b ( ) '( ) b ( ) a a f x dx f x t x t dt g t dt
Dạng 2 thường gặp ở các trường hợp sau:
Vấn đề 3: Tính tích phân bằng phương pháp tích phân từng phần
Với P(x) là đa thức của x, ta thường gặp các dạng sau:
Thứ tự đặt u: Logarit – Đ a th ứ c -L ượng giác - Mũ
Vấn đề 4: Thiết lập công thức truy hồi
Giả sử cần tính tích phân n b ( , ) a
I f x n dx (n N) phụ thuộc vào số nguyên dương n Ta thường gặp một số yeâu caàu sau:
Thiết lập một công thức truy hồi, tức là biểu diễn I n theo các I n-k (1 k n)
Chứng minh một công thức truy hồi cho trước
Vấn đề 5: ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN
Dieọn tớch hỡnh phaỳng
Diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi các đường:
– Đồ thị (C) của hàm số y = f(x) liên tục trên đoạn [a; b]
Diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi các đường:
– Đồ thị của các hàm số y = f(x), y = g(x) liên tục trên đoạn [a; b]
Chuù yù: f(x) có chứa Cách đổi biến hoặc hoặc hoặc
Nếu trên đoạn [a; b], hàm số f(x) không đổi dấu thì: b ( ) b ( ) a a f x dx f x dx
Trong các công thức tính diện tích ở trên, cần khử dấu giá trị tuyệt đối của hàm số dưới dấu tích phân
Ta có thể làm như sau:
Bước 1: Giải phương trình: f(x) = 0 hoặc f(x) – g(x) = 0 trên đoạn [a; b] Giả sử tìm được 2 nghiệm c, d (c < d)
Bước 2: Sử dụng công thức phân đoạn:
(vì trên các đoạn [a; c], [c; d], [d; b] hàm số f(x) không đổi dấu)
Diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi các đường:
– Đồ thị của x = g(y), x = h(y)(g và h là hai hàm số liên tục trên đoạn [c; d])
Thể tích vật thể
Gọi B là phần vật thể giới hạn bởi hai mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại các điểm các điểm a và b
S(x) là diện tích thiết diện của vật thể bị cắt bởi mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ x (a x b) Giả sử S(x) liên tục trên đoạn [a; b]
Thể tích của khối tròn xoay:
Thể tích của khối tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi các đường:
(C): y = f(x), trục hoành, x = a, x = b (a < b) sinh ra khi quay quanh truùc Ox:
Chú ý: Thể tích của khối tròn xoay sinh ra do hình phẳng giới hạn bởi các đường sau quay xung quanh trục Oy:
Vấn đề 1: MỘT SỐ KIẾN THỨC CƠ BẢN VÀ THƯỜNG DÙNG TRONG VIỆC GIẢI TOÁN
TT HÌNH VẼ KIẾN THỨC
2 a// nếu và chỉ nếu trên có a’ , a’//a
5 Nếu chứa a và b cắt nhau, trong đó a// , b// thì //
7 Nếu P // Q // R thì chúng sẽ chắn tr6n hai cát tuyến bất kỳ a, b những đoạn thẳng tỉ lệ
10 a nếu và chỉ nếu a vuông góc với hai đường thẳng b, c cắt nhau trong d a
* Có mộ tvà chỉ một đường vuông góc chung
* Có một và chỉ một mặt phẳng chứa đường thẳng này và song song với đường kia
* Có hai mặt phẳng song song và mỗi mặt chứa một đường
14 ĐƯỜNG VUÔNG GÓC VÀ ĐƯỜNG XIÊN
* Đoạn vuông góc chung OH là đoạn ngắn nhất
* Hai đoạn xiên dài bằng nhau có hình chiếu dài bằng nhau và ngược lại
*Hai đoạn xiên có độ dài khác nhau thì đoạn xiên dài hơn có hình chiếu dài hơn và ngược lại
15 ĐỊNH LÝ 3 ĐƯỜNG VUÔNG GÓC a và đường xiên b có hình chiếu vuông góc trên là b’ , ta có : a b ' a b
Nếu và d thì với mọi a mà adthì a
17 S : Diện tích của một hình phẳng H
S’: Diện tích của hình chiếu vuông góc của H là H’
: Góc giữa mặt phẳng chứa H và mặt phẳng chứa H’
S ' S Cos Vấn đề 2: Khoảng cách trong không gian
Tính các khoảng cách giữa một điểm và mặt phẳng
Để tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng, cần xác định đoạn vuông góc từ điểm đó đến mặt phẳng Hai phương pháp thường được sử dụng để thực hiện điều này.
Tìm một mặt phẳng (Q) chứa M và vuông góc với (P)
MH P suy ra MH là đoạn cần tìm
Khoảng cách từ một đường thẳng đến một mặt phẳng
Khoảng cách từ một mặt phẳng đến một mặt phẳng
Khoảng cách giữa hai đường thẳng
Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau :
Đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau
và ' là đường thẳng a cắt ở M và cắt
' ở N đồng thời vuông góc với cả và '
Đoạn MN được gọi là đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau và '
Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau là độ dài đoạn vuông góc chung của hai đườngthẳng đó
Cách 1 : Dựng mặt phẳng (P) chứa đường thẳng a và song song với b Tính khoảng cách từ b đến mp(P)
Cách 2 : Dựng hai mặt phẳng song song và lần lượt chứa hai đường thẳng Khoảng cách giữa hai mặt phẳng đó là khoảng cách cần tìm
Cách 3 : Dựng đoạn vuông góc chung và tính độ dài đoạn đó
Cách dựng đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau :
Đoạn HK là đoạn vuông góc chung của a và b
Dựng a ' hch a P , bằng cách lấy M a dựng đoạn MN , lúc đó a’ là đường thẳng đi qua N và song song a
HK là đoạn vuông góc chung cần tìm
Vấn đề 3: Cách xác định góc trong không gian
Góc giữa hai đường thẳng
Góc giữa hai mặt phẳng
Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng
o Để tìm a ' hch a ta lấy tùy ý điểm M a , dựng MH tại H , suy ra
Vấn đề 4: HÌNH VẼ MỘT SỐ HÌNH CHĨP ĐẶC BIỆT
Hình chóp tam giác đều
Hình chóp tam giác đều có đáy là một tam giác đều và các mặt bên là những tam giác cân Đặc biệt, hình tứ diện đều cũng có đáy là tam giác đều và các mặt bên là những tam giác đều Để vẽ hình chóp tam giác đều, bạn cần tuân theo các bước cụ thể để đảm bảo tính chính xác và thẩm mỹ.
Vẽ trung tuyến AI Dựng trọng tâm H
SH là chiều cao của hình chóp Góc giữa cạnh bên và mặt đáy là: ̂ Góc giữa mặt bên và mặt đáy là: ̂
Hình chóp tứ giác đều
Hình chóp tứ giác đều: Đáy là hình vuông
Các mặt bên là những tam giác cân Cách vẽ:
Vẽ đáy ABCD Dựng giao điểm H của hai đường chéo AC và BD
SH là chiều cao của hình chóp Góc giữa cạnh bên và mặt đáy là: ̂ Góc giữa mặt bên và mặt đáy là: ̂
Hình chóp có một canh bên vuông góc với đáy
SA (ABC) Góc giữa cạnh bên SB và mặt đáy là: ̂ Góc giữa cạnh bên SC và mặt đáy là: ̂
SA (ABCD) Góc giữa cạnh bên SB và mặt đáy là: ̂ Góc giữa cạnh bên SC và mặt đáy là: ̂ Góc giữa cạnh bên SD và mặt đáy là: ̂ β α h
Chuyên Đề Ôn Thi Đại Học 2013 Toán Học
Phương pháp xác định đường cao các loại khối chóp
- Loại 1: Khối chóp có 1 cạnh góc vuông với đáy đó chính là chiều cao
- Loại 2: Khối chóp có 1 mặt bên vuông góc với đáy thì đường cao chính là đường kẻ từ mặt bên đến giao tuyến
- Loại 3: Khối chóp có 2 mặt kề nhau cùng vuông góc với đáy thì đường cao chính là giao tuyến của 2 mặt kề nhau đó
Khối chóp loại 4 có đặc điểm là các cạnh bên bằng nhau hoặc các cạnh bên tạo với đáy một góc bằng nhau, do đó chân đường cao chính là tâm của vòng tròn ngoại tiếp đáy.
- Loại 5: Khối chóp có các mặt bên đều tạo với đáy 1 góc bằng nhau thì chân đường cao chính là tâm vòng tròn nội tiếp đáy
Vấn đề 5: DIỆN TÍCH & THỂ TÍCH HÌNH CHÓP
DIỆN TÍCH
Diện tích xung quanh, toàn phần của hình chóp ĐỀU:
1.1. n: số cạnh đáy; a: độ dài cạnh đáy; d: độ dài trung đoạn
Diện tích toàn phần: B: là diện tích đáy
3 Bh (diện tích đáy là đa giác)
Thể tích tứ diện: a, b: độ dài hai cạnh đồi d: độ dài đoạn vuông góc chung α: góc của hai cạnh đối
TỶ SỐ THỂ TÍCH (chú ý)
+ Cách 1: o Xác định đa giác đáy o Xác định đường cao ( phải chứng minh đường cao vuông gới với mặt phẳng đáy) o Tính thể tích khối chóp theo công thức
Để xác định thể tích của khối chóp cần tìm, trước tiên cần xác định đa giác đáy của khối chóp Sau đó, tính toán các tỷ số độ dài của đường cao nếu chúng có cùng đa giác đáy, hoặc tính tỷ số diện tích đáy nếu chúng có cùng đường cao Cuối cùng, có thể kết luận thể tích khối chóp cần tìm bằng k lần thể tích của khối chóp đã cho.
+ Cách 3: dùng tỷ số thể tích
Hai khối chóp S.MNK và S.ABC có chung đỉnh S và góc ở đỉnh S
Chuyên Đề Ôn Thi Đại Học 2013 Toán Học
Khối chóp S.ABCD có đáy là hình vuông ABCD với cạnh dài a, và cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy, có độ dài SA = 2a Gọi I là trung điểm của cạnh SC Để tính thể tích của khối chóp I.ABCD, ta cần áp dụng công thức thể tích cho khối chóp với đáy là hình vuông và chiều cao từ điểm I đến mặt phẳng đáy.
Gọi O là giao điểm AC và BD
Ta có : IO // SA và SA (ABCD)
THỂ TÍCH
3 Bh (diện tích đáy là đa giác)
Thể tích tứ diện: a, b: độ dài hai cạnh đồi d: độ dài đoạn vuông góc chung α: góc của hai cạnh đối
3 TỶ SỐ THỂ TÍCH (chú ý)
+ Cách 1: o Xác định đa giác đáy o Xác định đường cao ( phải chứng minh đường cao vuông gới với mặt phẳng đáy) o Tính thể tích khối chóp theo công thức
Để xác định thể tích của khối chóp cần tìm, trước tiên cần xác định đa giác đáy của khối chóp Sau đó, tính toán tỷ số độ dài của đường cao nếu hai khối chóp có cùng đa giác đáy, hoặc tỷ số diện tích đáy nếu chúng có cùng đường cao Cuối cùng, kết luận rằng thể tích của khối chóp cần tìm bằng k lần thể tích của khối chóp đã cho.
+ Cách 3: dùng tỷ số thể tích
Hai khối chóp S.MNK và S.ABC có chung đỉnh S và góc ở đỉnh S
Chuyên Đề Ôn Thi Đại Học 2013 Toán Học
Khối chóp S.ABCD có đáy là hình vuông ABCD với cạnh dài a, và cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy, có độ dài SA = 2a Gọi I là trung điểm của cạnh SC Để tính thể tích của khối chóp I.ABCD, ta cần áp dụng công thức thể tích chóp với đáy là hình vuông và chiều cao từ điểm I đến mặt phẳng đáy.
Gọi O là giao điểm AC và BD
Ta có : IO // SA và SA (ABCD)
Hình chóp cụt là phần hình chóp nằm giữa đáy và thiết diện song song với đáy
Hình chóp cụt từ hình chóp đều gọi là hình chóp cụt đều
Diện tích xung quanh của hình chóp cụt đều: ( ) n: số cạnh đáy; a, a’: cạnh đáy d: độ dài trong đoạn, chiều cao của mặt bên
V: thể tích hình chóp cụt
: thể tích hình chóp trên
B, B’: là diện tích đáy; h: là chiều cao
Vấn đề 6: HÌNH LĂNG TRỤ
- Lăng trụ đứng là lăng trụ có cạnh bên vuông góc với đáy
- Lăng trụ đều là lăng trụ đứng có đáy là đa giác đều
- Lăng trụ đều có các mặt bên là những hình chữ nhật bằng nhau
- Lăng trụ xiên có các cạnh bên không vuông góc với đáy
Chuyên Đề Ôn Thi Đại Học 2013 Toán Học Trong đó: p: chu vi thiết diện phẳng l: độ dài cạnh bên
Trong đó: p: chu vi đáy h: chiều cao
- Thể tích lăng trụ: V= B.h ; trong đó: {
- Thể tích lăng trụ tam giác cụt:
Lăng trụ tam giác cụt là hình đa diện có hai đáy là tam giác có cạnh bên song song không bằng nhau
Vấn đề 7: HÌNH TRỤ - HÌNH NĨN – HÌNH CẦU
HÌNH TRỤ
Trong đó: R: bán kính đáy; h: chiều cao
; R: bán kính đáy; h: chiều cao
Trong đó: R: bán kính đáy; l: độ dài đường sinh
; R: bán kính đáy; h: chiều cao
Trong đó: R, R’: bán kính đáy; l: độ dài đường sinh
Chuyên Đề Ôn Thi Đại Học 2013 Toán Học
( ) ; R,R’: bán kính đáy; h: chiều cao
Diện tích mặt cầu: ; trong đó: R: bán kính mặt cầu
Vấn đề 8: GIẢI HÌNH HỌC KHƠNG GIAN BẰNG PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ
PHƯƠNG PHÁP
Bước 1: Chọn hệ trục toạ độ Oxyz thích hợp (chú ý đến vị trí của gốc O)
Bước 2: Xác định toạ độ các điểm có liên quan
(có thể xác định toạ độ tất cả các điểm hoặc một số điểm cần thiết)
Khi xác định tọa độ các điểm ta có thể dựa vào :
Ý nghĩa hình học của tọa độ điểm (khi các điểm nằm trên các trục tọa độ, mặt phẳng tọa độ)
Dựa vào các quan hệ hình học như bằng nhau, vuông góc, song song ,cùng phương , thẳng hàng, điểm chia đọan thẳng để tìm tọa độ
Xem điểm cần tìm là giao điểm của đường thẳng, mặt phẳng
Dưạ vào các quan hệ về góc của đường thẳng, mặt phẳng
Bước 3: Sử dụng các kiến thức về toạ độ để giải quyết bài toán
Các dạng toán thường gặp:
Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng
Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng
Khoảng cách giữa hai đường thẳng
Góc giữa hai đường thẳng
Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng
Góc giữa hai mặt phẳng
Theồ tớch khoỏi ủa dieọn
Chứng minh các quan hệ song song , vuông góc
Bài toán cực trị, quỹ tích
1) Nếu một tam giác có diện tích S thì hình chiếu của nó có diện tích S ' bằng tích của S với cosin của góc giữa mặt phẳng của tam giác và mặt phẳng chiếu
2) Cho khối chóp S.ABC Trên ba đường thẳng SA, SB, SC lấy ba điểm A ' , B ' , C ' khác với S
Chọn hệ trục tọa độ Oxyz trong không gian
Trong không gian ba chiều, các trục tọa độ Ox, Oy, và Oz vuông góc với nhau Khi mô hình có các cạnh vuông góc, ưu tiên chọn các đường thuộc các trục tọa độ theo thứ tự lần lượt.
Chuyên Đề Ôn Thi Đại Học 2013 Toán Học ếp
Với hình lập phương hoặc hình hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D'
Chọn hệ trục tọa độ sao cho :
Với hình hộp chữ nhật
Chọn hệ trục tọa độ sao cho :
Với hình hộp đáy là hình thoi ABCD.A'B'C'D' Chọn hệ trục tọa độ sao cho :
- Gốc tọa độ trùng với giao điểm O của hai đường chéo của hình thoi ABCD
- Trục Oz đi qua 2 tâm của 2 đáy
Với hình chóp tứ giác đều S.ABCD
Chọn hệ trục tọa độ nhƣ hình vẽ
Giả sử cạnh hình vuông bằng a và đường cao
Chọn O(0;0;0) là tâm của hình vuông
Với hình chóp tam giác đều S.ABC
Chọn hệ trục tọa độ nhƣ hình vẽ
Giả sử cạnh tam giác đều bằng a và đường cao bằng h Gọi I là trung điểm của BC
Chọn hệ trục tọa độ nhƣ hình vẽ sao cho
Chuyên Đề Ôn Thi Đại Học 2013 Toán Học
Với hình chóp S.ABCD có ABCD là hình chữ nhật và SA (ABCD)
ABCD là hình chữ nhật ABa AD; b chiều cao bằng h
Chọn hệ trục tọa độ nhƣ hình vẽ sao cho
Với hình chóp S.ABC có ABCD là hình thoi và SA (ABCD)
ABCD là hình thoi cạnh a chiều cao bằng h
Chọn hệ trục tọa độ nhƣ hình vẽ sao cho
Với hình chóp S.ABC có SA (ABC) và ABC vuông tại A
Tam giác ABC vuông tại A có
ABa ACb đường cao bằng h
Chọn hệ trục tọa độ nhƣ hình vẽ sao cho
Chuyên Đề Ôn Thi Đại Học 2013 Toán Học ếp
Với hình chóp S.ABC có SA (ABC) và ABC vuông tại B
Tam giác ABC vuông tại B có
BAa BCb đường cao bằng h
Chọn hệ trục tọa độ nhƣ hình vẽ sao cho
Với hình chóp S.ABC có (SAB) (ABC), SAB cân tại S và ABC vuông tại C
ABC vuông tại C CAa CB; b chiều cao bằng h
H là trung điểm của AB
Chọn hệ trục tọa độ nhƣ hình vẽ sao cho
Với hình chóp S.ABC có (SAB) (ABC), SAB cân tại S và ABC vuông tại A
ABC vuông tại A ABa AC; b chiều cao bằng h
H là trung điểm của AB
Chọn hệ trục tọa độ nhƣ hình vẽ sao cho
Chuyên Đề Ôn Thi Đại Học 2013 Toán Học
Với hình chóp S.ABC có (SAB) (ABC), SAB cân tại S và ABC vuông cân tại C
Tam giác ABC vuông cân tại C có
CACBa đường cao bằng h
H là trung điểm của AB
Chọn hệ trục tọa độ nhƣ hình vẽ sao cho
Chuyên Đề Ôn Thi Đại Học 2013 Toán Học
Vấn đề 1: BẤT ĐẲNG THỨC
ẹũnh nghúa
Tính chaát
BẹT Coõ Si
Cho n số tự nhiên không âm a1, a2, a3, , an n n n a a a a n a a a a
Dấu đẳng thức xảy ra a1 = a2 = a3 = = an
BẹT Bunhia Coõp ski (chỳ ý)
Cho a1, a2, a3, , an, b1, b2, b3, , bn là những số tực khi đó:
Dấu đẳng thức xảy ra ai = k.bi , i = 1 , 2 , 3, , n
BẹT BecnuLi
Cho : a > –1, n N Ta có : (1 + a) n 1 + na Đẳng thức xảy ra
Chuyên Đề Ôn Thi Đại Học 2013 Toán Học
BĐT tam giác
A Đẳng thức xảy ra AB 0
Vấn đề 2: Cấp số cộng, cấp số nhân
Cấp số cộng
Định nghĩa: Dãy số u 1 , u 2 , , u n gọi là một cấp số cộng có công sai d nếu: u k u k 1 d
Tổng n số hạng đầu tiên:
Cấp số nhân
- Định nghĩa: Dãy số u 1 , u 2 , , u n gọi là một cấp số nhân có công bội q nếu: u k u k 1 q Số hạng thứ n:
Tổng n số hạng đầu tiên: q u q u u u
Vớ duù
9 a Chứng minh: a b c ab bc ca ; a,b,c 0
2 2 2 2 a b c a b c 2ab 2bc 2ca ab bc ca
5 Chứng minh: bc ca ab a b c ; a, b, c 0 a b c Áp dụng BĐT Côsi cho hai số không âm
2 bc ca 2 abc 2c a b ab , bc ba 2 b ac 2 2b a c ac , ca ab 2 a bc 2 2a b c bc
Chuyên Đề Ôn Thi Đại Học 2013 Toán Học
Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho hai số không âm
Cho tam giác ABC có diện tích bằng 3
2 Gọi a, b, c lần lượt là độ dài các cạnh BC, CA, AB và h a , h b , h c tương ứng là độ dài các đường cao kẻ từ các đỉnh A, B, C Chứng minh rằng:
Ta có diện tích tam giác: S = 1 ah a 1 bh b 1 ch c
1 1 1 1 1 1 1 (a b c) 1 1 1 a b c h h h 2S a b c Áp dụng BĐT Côsi ta có: (a + b + c)
Cho các số dương x, y, z thoả mãn xyz = 1 Chứng minh rằng:
Khi nào đẳng thức xảy ra?
Tương tự: 1 y 3 z 3 3 yz yz (2); 1 z 3 x 3 3 zx zx (3)
Mặt khác 3 3 3 3 3 3 3 3 xy yz zx xy yz zx 3 3 3 3 3 xy yz zx (4)
Cộng các bất đẳng thức (1), (2), (3), (4) ta có đpcm Đẳng thức xảy ra (1), (2), (3), (4) là các đẳng thức x = y = z = 1
Chuyên Đề Ôn Thi Đại Học 2013 Toán Học
Vấn đề 1: VECTƠ VÀ TỌA ĐỘ :
3) Tọa độ trung điểm I của AB :
4) Tọa độ điểm M chia AB theo tỉ số k 1 :
Phửụng trỡnh tham soỏ
Chuyên Đề Ôn Thi Đại Học 2013 Toán Học
Phương trình tổng quát : Ax + By + C = 0 ( A 2 + B 2 0)
Nếu A = 0 nên // Ox ( C = 0 thì Ox)
Nếu B = 0 nên // Oy ( C = 0 thì Oy)
Phương trình pháp dạng
Phương trình đường thẳng qua M( x 0 , y 0 ) có hệ số góc K
Phương trình đường thẳng qua A(x A , y A ) và B(x B , y B )
Phương trình đường thẳng qua A( a, 0) , B( 0,b) ( đọan chắn)
Phửụng trỡnh chớnh taộc
Phương trình đường thẳng qua A(a, 0), B(0, b) ( đoạn chắn )
Lưu ý: Cho d: Ax + By + C = 0 d’ // d d’: Ax + By + C’ = 0 (C’ ≠ C) d’ d d’: Bx – Ay + C’ = 0 hay –Bx + Ay + C’ = 0
Khoảng cách từ một điểm M(x 0 , y 0 ) đến Ax + By + C = 0
Chuyên Đề Ôn Thi Đại Học 2013 Toán Học d(M, Ox) = y M d(M, Oy) = x M
Vị trí tương đối của hai đường thẳng
Góc của hai đường thẳng d 1 và d 2
Xác định bởi công thức :
Nếu d1, d2 là các đường thẳng không đứng: d1 : y = k1x + b1; d2 : y = k2x + b2
Phương trình đường phân giác của các góc tạo bởi d 1 và d 2
* Chuù yù : Tìm phân giác góc nhọn hay góc tù
Dấu của n 1 n 2 Phương trình đường phân giác góc nhọn tạo bởi d1, d2
Phương trình đường phân giác góc tù tạo bởi d1, d2
Chuyên Đề Ôn Thi Đại Học 2013 Toán Học
Phương trình đường tròn
Đường tròn (C) có tâm I(a;b) bán kính R
Phương trình chính tắc: (C): (x – a) 2 + (y – b) 2 = R 2 Phương trình tổng quát: (C): x 2 + y 2 – 2ax – 2by + c = 0
Trong đó: c = a 2 + b 2 – R 2 R = √ Cho đường cong (C): x 2 + y 2 – 2ax – 2by + c = 0 Điều kiện để (C) là đường tròn là: a 2 + b 2 – c > 0
Sự tương giao giữa đường thẳng và đường tròn
Cho (C): x 2 + y 2 – 2ax – 2by + c = 0, có tâm I(a;b), bán kính R d: Ax + By + C = 0
Xét vị trí tương đối giữa (C) và d:
Phương pháp 1: d(I,d) > R d không cắt (C) d(I,d) = R d tiếp xúc (C) d(I,d) < R d cắt (C) tại hai điểm phân biệt
Xét hệ phương trình tạo bởi d và (C):
Hệ vô nghiệm d không cắt (C)
Hệ có nghiệm kép d tiếp xúc (C)
Hệ có hai nghiệm phân biệt d cắt (C) tại hai điểm phân biệt.