GTLNGTNN ON THI DAI HOC

Nếu nó có dạng tích hoặc là tổng của hai phần không âm và đặc biệt sau khi vận dụng bất đẳng thức Côsi thì xuất hiện biểu thức của giả thiết ban đầu và đưa được về hằng số thì ta có thể [r]

TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT

CỦA HÀM SỐ HOẶC BIỂU THỨC

2.1 KIẾN THỨC CẦN NHỚ

2.1.1 Định nghĩa

Cho biểu thức P( , , , )x x1 2 x n ( hàm số f x x( , , , )1 2 x n ), xác định trên D

- NếuP( , , , ) Mx x1 2 x n  (hoặc f x x( , , , ) M1 2 x n  ) ( , , , ) Dx x1 2 x n  và  ( , , , ) Dx x1 2 x n  saocho:P( , , , ) Mx x1 2 x  n

thì M gọi là giá trị lớn nhất của P( , , , )x x1 2 x n (hoặc f x x( , , , )1 2 x n ) Kí hiệu làmaxP hoặc Pmax (max ( , , , )f x x1 2 x n hoặc f x x( , , , )1 2 x n max)

- Nếu P( , , , ) mx x1 2 x n  ( hoặc f x x( , , , ) m1 2 x n  ) thì m gọi là giá trị nhỏ nhất của

là một trong những phương pháp thông dụng và hiệu quả nhất để tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất củabiểu thức và hàm số Đối với phương pháp này, ta sử dụng các bất đẳng thức thông dụng như: bất đẳngthức Côsi, Bunhiacopski, Schwartz, Bernouli, bất đẳng thức vectơ… để đánh giá biểu thức P (hoặc hàm

số f x x( , , , )1 2 x n ), từ đó suy ra giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất cần tìm

Phương pháp này, như tên gọi của nó, dựa trực tiếp vào định nghĩa của giá trị lớn nhất và nhỏnhất của biểu thức và hàm số Lược đồ chung của phương pháp này có thể miêu tả như sau:

- Trước hết chứng minh một bất đẳng thức có dạng P ( , , , ) D x x1 2 x n  với bài toán tìm giátrị nhỏ nhất (hoặc P ( , , , ) D x x1 2 x n  đối với bài toán tìm giá trị lớn nhất), ở đây P là biểu thức

hoặc hàm số xác định trên D

- Sau đó chỉ ra một phần tử ( ,x x01 02, ,x  sao cho 0n) D P( ,x x01 02, ,x0n) Tùy theo dạng của bài

toán cụ thể mà ta chọn một bất đẳng thức thích hợp để áp dụng vào việc tìm giá trị nhỏ nhất và lớnnhất

Ví dụ : Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số

2 3

2( )

Lưu ý: Để biết được bài toán nào sử dụng bất đẳng Côsi ta cần chú ý đến các thành phần của

hàm số hoặc biểu thức Nếu nó có dạng tích hoặc là tổng của hai phần không âm và đặc biệt sau khivận dụng bất đẳng thức Côsi thì xuất hiện biểu thức của giả thiết ban đầu và đưa được về hằng số thì ta

có thể sử dụng bất đẳng thức Côsi để đánh giá để tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất

Bài 1: Cho ba số thực dương a,b,c Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau:

c 1+c

Áp dụng bất đẳng thức Côsi ta được:

M abc Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi

1a 1b 1c a b c  2 (thỏa điều kiện ban đầu)Vậy

18

Mmax 

tại

12

a b c  

Bài toán tổng quát:

Lập luận như trên ta được Mmax 2 n tại 1 2

1

Bài 4: Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số thực sau:

Vậy min ( ) 4f x  tại x 12

Bài 5: Cho ba số thực dương , ,a b c

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P

 với mọi số thực dương , ,a b c thỏa a b c 

Bài 6: Cho ba số thực dương , ,a b c thỏa: a b c   Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức1

a b c  

Vậy ax

8S

Nhận thấy D là miền xác định của ( )f x

11

Vậy MinA = 6 tại a b c  1

Bài toán tổng quát:

Vậy Pmin = 18 tại a b c  1

Bài 11: Cho n số dương x x x1, , , , 2 3 x n n  thỏa mãn 2 x1x2 x n 1

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức S 1a1 2a2 a n

2.2.2 Sử dụng bất đẳng thức Bunhiacopski

Lưu ý: Để áp dụng được bất đẳng thức Bunhiacopski thì hàm số hoặc biểu thức hoặc các biểu

thức giả thiết phải có dạng tích của hai biểu thức hoặc tổng của các biểu thức mà chúng là tích của haithừa số Và sau khi áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopski thì phải có phần đưa về biểu thức giả thiết banđầu và đưa được về hằng số

Bài 1: Cho

3, ,

Bài 2: Cho các hằng số dương , ,a b c và các số dương , , x y z thay đổi sao cho 1

x  y  z  Tìm giátrị nhỏ nhất của biểu thức A x y z  

x  y z

Vậy ( , , ) D

1Max ( , , )

a b c

Vậy MinP =

16

Bài 5: Cho hai số dương ,a b thỏa 0a1,0  Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thứcb 1

Bài toán tổng quát:

f x trên miền xác định của nó.

x x

tại x  2008 min ( )D 2008 2008

a b c

2.3 Sử dụng bất đẳng thức vectơ

Lưu ý: Để sử dụng bất đẳng thức vectơ thì biểu thức giả thiết hoặc biểu thức cần tìm giá trị lớn

nhất, nhỏ nhất có dạng tổng bình phương của các số hạng hoặc căn bậc hai của tổng bình phương hoặc

là tổng của các tích của các thừa số

Bài 1: Cho hai số thực x, y thỏa mãn 2x+3 y=1 Tìm giá trị nhỏ nhất của tổng

Bài 2: Cho x y z   Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 1 P x 2 y2z2

Kết hợp với điều kiện ban đầu a2+b2=1

Suy ra: a=b= √ 2

2

Vậy Amax= √ 2+ √ 2 khi a=b= √ 2 2

Bài 4: Cho ba số dương x, y , z và x+ y+ z=1

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau P= √ x2+ 1

x2+ √ y2+ 1

y2+ √ z2+ 1

z2Giải:

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy ta chọn:

Bài 5: Cho a+b +c=2 và ax+by+cz=6 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

Giá trị nhỏ nhất của P: Pmin = 10

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi:

a Có hai trong ba vectơ bằng vectơ ⃗ 0

b Có một trong ba vectơ bằng vectơ ⃗ 0

Vậy Amin=5 √ 2 tại a=0,b=2

Bài 8: Cho a∈R Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

Mà: |⃗ u|+|⃗v|≥|⃗u+⃗v|⇒ √ ( a−2 )2+ 9+ √ ( a+1 )2+4≥ √ 34

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a= 1

5

Vậy: Mmin= √ 34 khi a= 1 5

Bài 9: Cho ba số dương a,b,c thỏa: ab+bc+ca=abc Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a=b=c=3

Vậy Bmin= √ 3 khi a=b=c=3

5 4

x x

Bài 9: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức Pa100 10a1010

Bài 10: Cho x, y ,z thỏa mãn hệ sau: