Tính vân tốc thực của tàu thuỷ khi nước yên lặng biết vận tốc của dòng nước là 4 km/h.. Bài 4 3 điểm Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn đường kính AD.[r]
Trang 1ĐỀ, ĐA THI HỌC KÌ II LỚP 9 - NĂM HỌC 2012-2013
MÔN THI: TOÁN
Thời gian làm bài: 90 phút (Không kể thời gian giao đề)
ĐỀ BÀI Bài 1 (2điểm):
a) Giải hệ phương trình :
8 5
4 5 3
y x
y x
b) Giải phương trình : x4- x2 -12 = 0 (1)
Bài 2(2 điểm) : Cho phương trình: x2- 4x + 3m -3 =0 (2) với m là tham số
a) giải phương trình khi m=2
b) Tìm điều kiện của m để phương trình (2) có hai nghiêm x1 ,x2 thoả mãn
8
2 2 2
1 x
x
Bài 3 ( 2 điểm)
Một tàu thuỷ xuôi dòng một khúc sông dài 48 km, rồi ngược khúc sông ấy hết tổng thời gian 5 giờ Tính vân tốc thực của tàu thuỷ ( khi nước yên lặng) biết vận tốc của dòng nước là 4 km/h.
Bài 4 ( 3 điểm)
Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn đường kính AD Hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại E Kẻ EF vuông góc với AD tại F Chứng minh rằng:
a) Tứ giác DCEF nội tiếp được
b) góc CDE = góc CFE
c) Tia CA là tia phân giác của góc BCF
Bài 5(1 điểm)
Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho parabol (P): y=x2, đường thẳng (d) đi qua điểm I (0;-1) và có hệ số góc k Chứng minh rằng (d) luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt A,B với mọi k và tam giác OAB vuông.
Trang 2HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ KIỂM TRA HỌC KÌ II
MÔN: TOÁN LỚP 9
Bài 1 (2điểm)
a)
4 12
x
0,25đ
3
x
y
3 1
x y
b) PT: x4 x2 12 0 (1)
Phương trình (1) trở thành: t2 t 12 0 (*)
Giải phương trình (*) tìm được t 1 4 và t 2 3
Giá trị t 2 3 (loại); giá trị t 1 4 thoả mãn điều kiện t 0
0,5đ
Với t t 1 4, ta có x 2 4 => x 1 2 , x 2 2
Vậy phương trình (1) có 2 nghiệm: x 1 2 , x 2 2. 0,25đ
Bài 2 (2điểm)
=>Pt có 2 nghiệm x 1 1
b) Tính: ' 7 3m
Để phương trình (2) có hai nghiệm 1 2
7
3
x x m m
Theo hệ thức Vi-ét:
1 2
1 2
4
3 3
0,25đ
Ta có: x12 x22 8 ( x1 x2)2 2 x x1 2 8 0,25đ
7
3
Giá trị
7 3
m
thoả mãn điều kiện
7 3
m
Vậy
7 3
m
là giá trị cần tìm 0,25đ
Bài 3 (2điểm) Gọi vận tốc tàu thuỷ khi nước yên lặng là x ( km/giờ) ĐK: x 4 0,25đ Lập luận để dẫn tới phương trình:
48 48 5
x x ( 3 )
0,75đ
Trang 3Giải phương trình (3) tìm được x 1 20
; 2
4 5
Loại 2
4
5
x
Vậy vận tốc tàu thuỷ khi nước yên lặng là 20 km/giờ 0,5đ
Bài 4 (3điểm) Hình vẽ:
a)Ta có: ACD = 90 0 ( góc nội tiếp chắn nửa đường tròn đường kính AD )
Xét tứ giác DCEF có:
ECD = 90 0 ( cm trên )
EFD = 90 0 ( vì EF AD (gt) )
0,25đ
ECD + EFD = 90 90 180
, mà ECD , EFD là 2 góc ở vị trí đối diện.
=> Tứ giác DCEF là tứ giác nội tiếp ( đpcm ) 0,5đ b) Vì tứ giác DCEF là tứ giác nội tiếp ( cm phần a ) 0,5đ => CDE = CFE ( góc nội tiếp cùng chắn CE ) ( đpcm ) 0,5đ c) Vì tứ giác DCEF là tứ giác nội tiếp ( cm phần a )
=> C = D 1 1
( góc nội tiếp cùng chắn EF ) (4) 0,5đ Xét đường tròn đường kính AD, ta có:
C = D 2 1
( góc nội tiếp cùng chắn AB ) (5) 0,25
Từ (4) và (5) => C = C 1 2 hay CA là tia phân giác của BCF ( đpcm ) 0,25đ
Bài 5 (1điểm) Vì đường thẳng (d) đi qua điểm I(0; 1) và có hệ số góc k
=> phương trình (d): y kx 1
Xét phương trình hoành độ giao điểm của (d) với (P):
x2 kx 1 x2 kx 1 0 (6)
Số giao điểm của (d) với (P) chính là số nghiệm của phương trình (6)
Ta có: k2 4 0 với k => phương trình (6) luôn có hai nghiệm phân biệt
1, 2
x x với k => (d) luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt A, B với k.
Theo hệ thức Vi-ét: x x 1. 2 1
0,5đ
Gọi hoành độ của A và B lần lượt là x x1; 2
Vì A, B thuộc Parabol y x2 nên A ( ; x1 x12) ; B( ; x2 x22)
Gọi phương trình đường thẳng OA, OB có dạng: y ax a ( 0)
0,25đ
1
1 2
F E
D
C
B
A
Trang 4=> Phương trình OA: y x x1. , phương trình OB: y x x2.
Ta có: ( x1).( x2) x x1 2 1 => OA OB hay tam giác OAB vuông tại O 0,25đ