Tìm tọa độ điểm M trên trục Ox để tam giác AMB có diện tích nhỏ nhất.. Chọn ngẫu nhiên ra hai viên bi.[r]
Trang 1TRƯỜNG THPT QUẾ VÕ SỐ 1 ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC LẦN 4, NĂM HỌC 2012 - 2013
Môn thi: TOÁN; Khối D
Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề
I PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 điểm)
Câu 1 (2,0 điểm) Cho hàm số
2 2 1
x y x
(1)
1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị ( )C của hàm số (1)
2 Gọi I là giao điểm hai tiệm cận của (C), đường thẳng( ) :d x 2y 5 0cắt ( )C tại hai điểm A, B với A có hoành độ dương Viết phương trình các tiếp tuyến của( )C vuông góc với IA.
Câu 2 (1,0 điểm) Giải phương trình 4sin 3xsin 5x 2sin cos 2x x0.
Câu 3 (1,0 điểm) Giải hệ phương trình
( 4 )(2 4) 36
x y
Câu 4 (1,0 điểm) Tính tích phân 2 2
0
cos sin
Câu 5 (1,0 điểm) Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ có đáy là hình thoi ABCD cạnh a, tâm O và góc BAD 600;
D’O vuông góc với (ABCD), cạnh bên tạo với đáy một góc = 60o Hãy tính diện tích xung quanh và thể tích
khối chóp C.ADC’.
Câu 6 (1,0 điểm) Cho ba số thực không âm a b c, , có tổng bằng 1 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
2
abc
P a b c
II PHẦN RIÊNG (3,0 điểm) Thí sinh chỉ được làm một trong hai phần riêng (phần A hoặc phần B)
A Theo chương trình Chuẩn
Câu 7.a (1,0 điểm) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC vuông tại A(1; 2) có góc ABC 300, đường thẳng d: 2x y 1 0 là tiếp tuyến tại B của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Tìm tọa độ các điểm B
và C.
Câu 8.a (1,0 điểm) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai mặt phẳng( ) :P x1 2y2z 3 0 ,
2
( ) : 2P x y 2z 4 0 và đường thẳng d: x +2 −1 = y
−2=
z − 4
3 Lập phương trình mặt cầu (S) có tâm I (d)
và tiếp xúc với hai mặt phẳng (P1), (P2)
Câu 9.a (1,0 điểm) Gọi A, B, C lần lượt là điểm biểu diễn các số phức
4 ; (1 )(1 2 ); 2 6
phẳng phức Chứng minh rằng tam giác ABC vuông
B Theo chương trình Nâng cao
Câu 7.b (1,0 điểm) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho elíp
25 9
với hai tiêu điểm F F1, 2
(hoành độ của F1 âm) Điểm P thuộc elíp sao cho góc 0
PF F Tính diện tích tam giác PF F1 2.
Câu 8.b (1,0 điểm) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(1; 2; 1), ( 2;1;3) B Tìm tọa độ điểm M trên trục Ox để tam giác AMB có diện tích nhỏ nhất.
Câu 9.b (1,0 điểm) Một hộp đựng 4 viên bi xanh , 3 viên bi đỏ và 2 viên bi vàng Chọn ngẫu nhiên ra hai viên bi Tính xác suất để chọn được 2 viên bi khác màu
- HẾT -
Trang 2Thí sinh không được sử dụng tài liệu Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm
ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC LẦN 4, NĂM HỌC 2012 - 2013
Môn thi: TOÁN; Khối D
1
(2,0 điểm)
a (1,0 điểm)
+ Tập xác định D R \ 1
+ Sự biến thiên
Đt y 2 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.
x1 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số
0.25
2
4
1
x
Hàm số nghịch biến trên ;1 , 1;
Hàm số không có cực trị
0.25
Bảng biến thiên:
x 1
'
y + 0 || 0
b.(1,0 điểm)
Ta có I1,2
,
5 :
2
x
Phương trình hoành độ giao điểm của (C) và d là
x
0.25
3
3;4
x
A
Hệ số góc của IA là
3 1
1
4 2
0.25
Gọi x0 là hoành độ tiếp điểm Do tiếp tuyến vuông góc với IA nên
Tiếp tuyến có hệ số góc
0 2
0 0
3 4
1
1
x x x
Từ đó, ta xác định được các tiếp tuyến là: y x7,y x1 0.25
2
2
Trang 3(1,0 điểm)
Phương trình đã cho tương đương với: 4sin 3xsin 5x sin 3x s inx 0
0.25 3sin 3x sin 5x sinx 0 3sin 3x 2sin 3 cos 2x x 0 sin 3 (3 2cos 2 ) 0x x
sin 3x 0
; 3
k
3
(1,0 điểm) (1,0 điểm)
ĐK: x y , 0
3 3
1
x y
0.25
Trường hợp x = y thay vào phương trình: (x 4 )(2y x y 4)36
ta được phương trình:
4 12 0
2
x
x
Hệ có nghiệm ( 6; 6);(2;2)
0.25
Trường hợp
x y
Do y2xy y 2 0 với x y, 0 nên nếu ( ; )x y là nghiệm thì xy 0
0.25
Mặt khác (x 4 )(2y x y 4)36 2x24y2 9xy4x16y36
2(x1)24(y 2)2 9xy18 (*)
Do xy 0 nên PT(*) vô nghiệm
Vậy hệ đã cho có hai nghiệm ( 6; 6);(2;2)
0.25
4
(1,0 điểm)
(1,0 điểm)
Đặt
cos
2
cos cos 1 2sin cos cos
0.5
3
x
5
(1,0 điểm) (1,0 điểm)
O
A
D'
A' C'
B'
H
0.25
Trang 4Từ giả thiết: D ' DO 600
Tam giác ABD đều,
Gọi O’ là tâm của hình thoi A’B’C’D’ Ta có: OO ' a DD ' và OO'AC
(do ACBDD B' '
), nên diện tích tam giác ACC’ là:
2 ACC ' ACC ' A '
0.25
Diện tích tam giác ACD là
2 ACD
S
4
Kẻ OH vuông góc với CD thì D ' HCD v OD'H à vuông tại O Do đó
a DH 4
Suy ra
4
2
C ' CD CDD ' C '
Vậy diện tích xung quanh của hình chóp C.ADC’ là:
0.25
Thể tích
1 3
'
C AC D C ACD ACD
6
(1,0 điểm)
(1,0 điểm)
2
abc
2
abc
2
a
2
a
0.25
Không mất tình tổng quát giả sử a min a b c ( , , )nên
1 [0; ] 3
a
Khi đó hàm
2
9 ( ) ( 2) 2 2 1
2
a
f t t a a
là hàm nghịch biến
9
2
a
0.25
Từ đó ta lại khảo sát hàm f(0) 2 a2 2a1 với
1 [0; ] 3
Khi đó ta có MaxP 1 khi a1;b c 0 và các hoán vị 0.25
7.a
(1,0 điểm) (1,0 điểm) cho tam giác ABC vuông tại A(1; 2) có góc
300
ABC , đường thẳng d: 2x y 1 0 là
tiếp tuyến tại B của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Tìm tọa độ các điểm B và C.
Gọi H là hình chiếu của A trên d là
7 9
;
5 5
H
, AH d A d( ; )
1 5 Tâm đường tròn ngoại tiếp của tam giác ABC là trung điểm BC
d vuông góc BC nên BC//AH suy ra ABH 600
1 tan 60 15
AH
0.25
Trang 5Gọi tọa độ của B t t ( ; 2 1)
2
15
BH t t t t
0.25
TH1:
7 3 9 2 3
;
5 15 5 15
Phương trình BC qua B vuông góc với d là
1
3
1
3
C BC C a a
31 2 3 13 3 31 2 3
0.25
TH2:
7 3 9 2 3
;
5 15 5 15
Phương trình BC qua B vuông góc với d là
1
3
1
3
C BC C a a
31 2 3 13 3 31 2 3
AC AB a C
0.25
8.a
(1,0 điểm)
(1,0 điểm)
Giả sử I( ) :d x +2 −1 = y
−2=
z − 4
3 I( 2 t; 2 ;4 3 ) t t là tâm của mặt cầu (S) 0.25 Mặt cầu (S) tiếp xúc với (P1), (P2) ⇔ d (I, (P1)) = d (I ; (P2))
⇔
1
3|9 t+3|=
1
3|10 t+16|⇔
t=−13
¿
t=−1
¿
¿
¿
¿
¿
0.25
⇒ I1(11;26; 35); ( 1;2;1) I2
Vậy có hai mặt cầu cần tìm:
1
( ) : (S x11) (y 26) (z35) 38 , ( ) : (S2 x1)2(y 2)2(z1)2 4 0.25
9.a
(1,0 điểm) (1,0 điểm)
Ta có:
4
2 2
i i i
i
có điểm biểu diễn A= (2; -2)
1 i 1 2 i 3 i
có điểm biểu diễn B= (3; 1)
0.5
Trang 6
2 6 3
2 6
2
i
i
có điểm biểu diễn C= (0; 2)
Xét
7.b
(1,0 điểm)
(1,0 điểm)
25 9
có
2
2
1 2
25
16 9
a
b
Theo định nghĩa elip và định lí cô sin ta có:
2
10
2 10
0.25
1
2
9 7 61 7
PF PF
0.25
1 2
0
1 1 2
.sin120 8
PF F
8.b
(1,0 điểm)
(1,0 điểm)
Khi đó, AM t 1; 2;1 ; AB 3; 1;4 AM AB; 7; 4 1; t t 5
0.25
2
ABM
0.25
Hàm số f t( ) 17t22t75đạt GTNN tại
1 17
t Vậy
1
;0;0 17
M
là điểm cần tìm 0.25
9.b
(1,0 điểm) (1,0 điểm)Gọi A là biến cố “ Chọn được 2 viên bi xanh”, B là biến cố “ Chọn được 2 viên bi đỏ”, C là
biến cố “ Chọn được 2 viên bi vàng”, và H là biến cố “ Chọn được 2 viên cùng màu ”
Ta có: H A B C và các biến cố A , B , C đôi một xung khắc
0.25
Vậy theo quy tắc cộng xác suất ta có:
2
3
5 18
C
Biến cố “ Chọn được hai viên bi khác màu” chính là biến cố H Suy ra,
18 18
0.25