Cho hình chóp S.ABC có tam giác ABC đều, cạnh a; SA, SB, SC đôi một vuông góc; H là trực tâm của tam giác ABC, D là điểm đối xứng của H qua S.. Chứng minh rằng tứ diện ABCD là tứ diện đề[r]
Trang 1http://toanhocmuonmau.violet.vn
TRƯỜNG THPT
LẠNG GIANG SỐ 2
Ngày thi: 20/01/2013
ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC LẦN THỨ 1 NĂM 2013
Môn: Toán - Khối B, D
Thời gian làm bài:180 phút (không kể thời gian phát đề)
I-PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 điểm)
Câu 1(2,0 điểm) Cho hàm số y= +x3 mx2−4 (1), m là tham số
a Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) khi m = 3
b Tìm m để đồ thị (1) cắt trục hoành tại đúng một điểm
Câu 2 (1,0 điểm) Giải phương trình: sin sin cos sin2 1 2 cos2
Câu 3 (1,0 điểm). Giải hệ phương trình:
Câu 4 (1,0 điểm). Tính tích phân
2
3
1 1
dx I
=
+
Câu 5 (1,0 điểm). Cho hình chóp S.ABC có tam giác ABC đều, cạnh a; SA, SB, SC đôi một vuông góc; H là trực tâm của tam giác ABC, D là điểm đối xứng của H qua S Chứng minh rằng tứ diện ABCD là tứ diện đều
Câu 6 (1,0 điểm). Cho a, b, c là 3 số dương Chứng minh rằng: ( ) 3
a b c
a b c
+ +
II-PHẦN RIÊNG (3,0 điểm) Thí sinh chỉ được làm một trong hai phần (phần A hoặc phần B)
A-Theo chương trình chuẩn
Câu 7.a (1,0 điểm). Trong mặt phẳng Oxy, cho đường tròn x2+ y2−6x+2y+ =6 0(1), điểm
A(1; 3) Lập phương trình tiếp tuyến của (1) biết tiếp tuyến đó đi qua A
Câu 8.a (1,0 điểm). Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng d là giao của hai mặt phẳng
x + y + z – 4 = 0 (1), 2x – y + 5z – 2 = 0 (2), d’:
2
1 2
5 2
= −
= +
= +
Viết phương trình mặt phẳng (α)
chứa d và song song với d’
Câu 9.a (1,0 điểm). Giải phương trình: 2 2
B-Theo chương trình nâng cao
Câu 7.b (1,0 điểm) Trong mặt phẳng Oxy cho A(-1; 7), B(4; -3); C(-4; 1) Viết phương trình đường tròn nội tiếp tam giác ABC
Câu 8.b(1,0 điểm) Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng : 12 9 1
( )α : 3x+ 5y− − =z 2 0 Viết phương trình hình chiếu của ∆ trên (α)
Câu 9.b (1,0 điểm). Chứng minh rằng tổng C n k2+ +C n k2+ +1 là một số chính phương (với k∈ ℕ ,n∈ ℕ *)
HẾT _
Họ và tên thí sinh: ……….Số báo danh:………
Trang 2http://toanhocmuonmau.violet.vn ĐÁP ÁN – THANG ĐIỂM
ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC LẦN 1, NĂM HỌC 2012-2013
Môn : TOÁN; KHỐI B, D
1
(2,0 điểm)
a/ (1,0 điểm) Khi m=3, hàm số trở thành 3 2
y= +x x −
*/ TX Đ: R
*/ Sự biến thiên:
+/ Giới hạn đặc biệt và tiệm cận: ( 3 2 )
+/ Bảng biến thiên:
2
y = x + x= x x+ ; ' 0 0
2
x y
x
=
= ⇔
= −
x -∞ -2 0 +∞
y’ + 0 - 0 +
-∞ -4 Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng (-∞;-2).(0;+∞)……
*/ Đồ thị: +/ Ta có y'' = 6x+ 6; ''y = ⇔ = − 0 x 1 ⇒đồ thị có điểm uốn là I(-1;-2)
+/ Đồ thị cắt Oy tại điểm (0;-4), Cho y=0 ⇔……
+/ Vẽ đồ thị:………
b/ (1,0 điểm) Hàm số là hàm bậc 3, hệ số của 3
x là 1 dương,
2
y = x + mx=x x+ m ; cho
0
3
x
x
=
=
Xét hai trường hợp: 2 0 0 :
3
m
m
− = ⇔ = Hàm đồng biến, đồ thị luôn cắt Ox
tại một điểm
Khi m≠ 0: Đồ thị có cực đại và cực tiểu, bài toán thoả mãn
⇔y(0).y( 2
3
m
−
)>0………
2
(1,0
điểm)
Hạ bậc vế phải và đưa về phương trình tích………
3
(1,0
Nhân phương trình thứ nhất với 2, trừ cho phương trình sau rồi rút x theo y, thế vào phương trình hai ta có phương trình trùng phương
Trang 3http://toanhocmuonmau.violet.vn điểm) ………
4
1,0 điểm Ta có
x dx I
=
+
3
1
3
5
1,0 điểm
Xét các tam giác vuông chung đỉnh S , dễ thấy chúng bằng nhau suy ra hình chóp là hình chóp tam giác đều, suy ra H là tâm của tam giác đều; Xây dựng hệ toạ độ có gốc tại S……
6
1,0 điểm
Hai vế của bất đẳng thức dương, lấy ln hai vế có bất đẳng thức
⇔ (ln ln ln ) ln ln ln
3
a b c
(a b− )(lna− lnb) (+ −b c)(lnb− lnc) (+ −c a)(lnc− lna)≥ 0 (1)
Do hàm số y=lnx đồng biến trên (0;+∞) nên với mọi a,b có (a-b).(lna-lnb)≥ 0, suy ra điều phải chứng minh
7a
1,0 điểm
Xét đường thẳng d qua A, có hai khả năng:
*/ d vuông góc với trục Ox: vec tơ pháp tuyến của d là i=(1;0), suy ra phương trình của d là x=1⇔x-1=0 Đường tròn (1) có tâm I=(3;-1), bán kính r= 2 2
3 + − = 1 6 2 Khoảng cách từ I đến d bằng
2 2
3 1
2
r
−
= =
có một tiếp tuyến của đường tròn (1) là x-1=0
*/ d không vuông góc với trục Ox: d có hệ số góc là k, phương trình d
có dạng y=k x( − + ⇔ 1) 3 kx− − + =y k 3 0 (2) d là tiếp tuyến của đt(1)
2
2 2
1
k
+ − +
+
3 4
k −
⇔ = Thay vào (2)
có tiếp tuyến thứ hai
8a
1,0 điểm
Mặt phẳng cần tìm có vec tơ pháp tuyến là tích có hướng của hai vec tơ chỉ phương của d và d’ và đi qua một điểm của đường thẳng d……… 9a
1,0 điểm
Đặt u= x+ 1 −x, điều kiện u ≥ 0…………