Tài liệu tham khảo và tuyển tập đề thi ,đáp án đề thi đại học, cao đẳng môn toán giúp các bạn ôn thi tốt và đạt kết quả cao trong kỳ thi tốt nghiệp trung học phổ thông và tuyển sinh cao đẳng, đại học . Chúc các bạn thi tốt!
Trang 1S GD- T V NH PHÚC THI KH O SÁT CH T L NG L N IV N M H C 2012 – 2013
TR NG THPT CHUYÊN Môn: TOÁN 12 – Kh i A,A1
V NH PHÚC Th i gian: 180 phút (Không k giao )
I PH N CHUNG CHO T T C CÁC THÍ SINH
Câu 1 Cho hàm s y= − +x3 (2m+1)x2 − − (m là tham s ) m 1
1 Kh o sát s bi n thiên và v th c a hàm s khi m= 1
2 Tìm t t c các giá tr c a tham s th c m th c a hàm s ã chi ti p xúc v i ng th ng
y= mx m− −
Câu 2 Gi i ph ng trình 3 2cos( 2x+cosx− + −2) (3 2cos sinx) x= 0
Câu 3. Gi i h ph ng trình 2 1 1
Câu 4 Tìm di n tích hình ph ng gi i h n b i th hàm s y= e x+ tr c hoành và hai 1, ng
th ng x=ln 3,x=ln8
Câu 5 Cho hình l ng tr ABC A B C ′ ′ ′ có áy là tam giác u c nh a, hình chi u c a nh A′ trên
m t ph ng (ABC) trùng v i tâm O c a tam giác ABC Bi t r ng kho ng cách gi a hai ng th ng
BC và AA′ b ng 3
4 ,
a
hãy tính th tích c a hình l ng tr và di n tích c a thi t di n khi c t l ng
tr b i m t ph ng i qua BC vuông góc v i AA′
Câu 6 Cho các s th c , ,a b c b t k Ch ng minh r ng (a2+2)(b2+2)(c2+ ≥2) 3(a b c+ + )2
II PH N RIÊNG (Thí sinh ch c m t trong hai ph n riêng, ph n A ho c ph n B )
A Theo ch ng trình chu n
Câu 7a Trong m t ph ng v i h t!a " Oxy, cho ng tròn ( ) :C x2+y2+2x−4y−27 0= và
i m (1; 2).M − Hãy vi t ph ng trình c a ng th ng ∆ i qua M, c t ng tròn ã cho t i hai
i m A và B sao cho các ti p tuy n c a ( ) C t i A và B vuông góc v i nhau
Câu 8a Trong không gian v i h tr c t!a " Oxyz cho m t ph ng ( ) : 3 P x−2y z+ − = và hai 4 0
i m (1;3;2), (2;3;1).A B G!i I là trung i m c a o n th ng AB Tìm t!a " i m J sao cho IJ
vuông góc v i m t ph ng ( )P ng th i J cách u g c t!a " O và m t ph ng ( ) P
Câu 9a Tìm h s c a x4 trong khai tri n (1+ −x 3 )x2 n , bi t r ng n là s nguyên d ng th#a mãn
1 2 3 156
A +A +A =
B Theo ch ng trình nâng cao
Câu 7b Trong m t ph ng v i h t!a " Oxy, cho tam giác ABC v i các ng th ng ch a ng cao k$ t% B, phân giác trong k$ t% A l&n l 't có ph ng trình x+3y− =4 0,3x y+ − = Bi t 12 0
r ng i m M(0;2) là m" i m n m trên ng th ng AB và cách nh C m"t kho ng b ng 2 10, tìm t!a " các nh c a tam giác
Câu 8b Trong không gian v i h t!a " Oxyz cho i m (3;2;1), A m t ph ng ( ) :P x y z+ + + = 2 0
và ng th ng ∆:1x = y2−1= −z+11 Vi t ph ng trình c a ng th ng d i qua A, c t ∆ và ( )P
theo th t t i B và C sao cho A là trung i m BC
3
2
Cán b coi thi không gi i thích gì thêm!
Trang 2S GD- T V NH PHÚC THI KH O SÁT CH T L NG L N IV N M H C 2012 – 2013
TR NG THPT CHUYÊN HD ch m môn TOÁN 12 – Kh i A,A1
V NH PHÚC
H ng d n chung:
- M(i m"t bài toán có th có nhi u cách gi i, trong HDC này ch trình bày s l 'c m"t cách gi i
H!c sinh có th gi i theo nhi u cách khác nhau, n u ý và cho k t qu úng, giám kh o v)n
cho i m t i a c a ph&n ó
- Câu (Hình h!c không gian), n u h!c sinh v hình sai ho c không v hình chính c a bài toán, thì không cho i m; câu (Hình h!c gi i tích) không nh t thi t ph i v hình
- i m toàn bài ch m chi ti t n 0.25, không làm tròn
- HDC này có 04 trang
Chi u bi n thiên: y′=3 (2x −x y), ′= ⇔ = ∨ = 0 x 0 x 2
Xét d u y′ và k t lu*n:
hàm s ng bi n trên (0;2), ngh ch bi n trên các kho ng (−∞;0),(2;+∞ ; )
hàm s t c c i t i x=2,y cd = y(2) 2;= hàm s t c c ti u t i x=0,y ct = y(0)= − 2
0.25
V th
2
2
0.25
2 th hàm s ti p xúc v i ng th ng y=2mx m− − khi và ch khi h sau có nghi m 1
2
0.25
Ph ng trình (1) t ng ng v i x x( 2−(2m+1)x+2 ) 0m = do ó luôn có nghi m x=0,x= 1
Do ó, h (1)-(2) có nghi m khi và ch khi ít nh t m"t trong ba nghi m c a (1) là nghi m c a (2)
0
x= th#a mãn (2): m= ; 0 x= th1 #a mãn (2): 1
2
m= ; x=2m th#a mãn (2): tìm 'c m= và 0 1
2
m=
0.25
2 Ph ng trình ã cho t ng ng v i (2 3 cos2x−2 3 2sin cos− x x) (+ 3 cosx+3sinx)= 0
ý r ng sin2x+cos2x=1, nhân t+ hóa, thu 'c (cosx+ 3 sinx)( 3 2sin− x)= 0 0.25
Trang 3Gi i ph ng trình 3 2sin− x= thu 0 'c 2 · ( )
3
3
x= π + mπ m∈ 0.25
6
t 2x y+ + =1 a, x y b a b+ = , ( , ≥0), ý r ng 3x+2y=(2x y y+ + + + +1) (x y) 1,− ta
a b
+ =
0.25
1
x y
x y
+ = + = Gi i h , thu 'c ( ; ) (2; 1)x y = −
i chi u i u ki n và k t lu*n
0.25
4
Di n tích c&n tính b ng
ln8
ln 3
1
x
t e x+ =1 t, khi ó 2
2
2
1
t
− H n n a, ln 3≤ ≤x ln8 ~ 2≤ ≤ t 3 0.25
5 (Hình v trang cu i)
4
ABC
a
3 2
a
a
AO= AI =
0.25
a
IH = = AI (H là hình chi u c a I trên AA′ ), suy ra
0
30
A AI′
6
ABC A B C
a
V ′ ′ ′ = = ( v.t.t)
0.25
4
a
AH = > AA′ nên A′ n m gi a , A H và
12
a
A H′ = G!i J là giao i m c a IH v i
m t ph ng (A B C′ ′ ′), ( )P là m t ph ng qua BC, vuông góc v i AA′ Khi ó, do BC (A B C′ ′ ′),
nên giao tuy n c a ( )P v i (A B C′ ′ ′) là ng th ng qua J song song v i BC, hay thi t di n là
hình thang BCMN (hình v )
0.25
8
HJ A H
JI IK
′
= = (K là trung i m B C′ ′) nên 8 2
a
8
1
3 2
BCMN
S = BC MN IJ a+ ⋅ = ( v.d.t)
0.25
6 B t ng th c c&n ch ng minh t ng ng v i
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
2(a b +b c +c a )+a + + +b c a b c + ≥8 6(ab bc ca+ + ) 0.25
Trang 4Do (ab−1)2+(bc−1)2+(ca−1)2 ≥ nên 0 2(a b2 2+b c2 2+c a2 2) 6 4(+ ≥ ab bc ca+ + )
Do ó, ta ch c&n ch ng minh a2+ + +b2 c2 a b c2 2 2+ ≥2 2(ab bc ca+ + ) là 0.25
Do trong ba s a2−1,b2−1,c2 luôn có hai s cùng d u, nên
2( 2 1)( 2 1) 0 2 2 2 2 2 2 2 2
B i v*y, ta c&n ch ng minh a2+ + +b2 2 b c2 2+c a2 2 ≥2(ab bc ca+ + ) (1)
ý r ng (1)⇔ −(a b)2+(bc−1)2+(ca−1)2 ≥ , luôn úng nên ta có 0 'c i u ph i ch ng minh 0.25
+ Kh ng nh: ng th ng c&n tìm cách tâm I m"t kho ng b ng 4
2
+ : (∆ a x− +1) b y( + = v i 2) 0, a2+b2 ≠ 0
2 2
| 2 4 |
− +
+
0.25
+ V i a= thì 0 b≠ tùy ý, do ó :0, ∆ y+ = 2 0
8a
Do OJ d J P= ( ;( )) nên thu 'c ph ng trình 14 2 27 (14 4)2 173
t
+ Khi n= 6 :
Trong khai tri n trên, x ch xu t hi n trong các s h ng 4 C x6k k(1 3 ) ,− x k v i k=2,3, 4
Do ó h s c a x ph i tìm là t4 ,ng các h s c a x trong các khai tri n trên 4
0.25
+ V i k = h s c a 2 : x b ng 4 2
6
9C ; V i k = h s c a 3: x b ng 4 3
6
9C
− ; V i k= h s c a 4 :
4
x b ng 4
6
+ H s c&n tìm b ng 2 3 4
7b G!i ,h theo th t là ng cao k$ t% B, phân giác trong k$ t% A; ( ; ) N x y là i m i x ng v i
M qua Khi ó, x, y là nghi m c a h
0
2 3
2
x
y
x y
− = − +
Trang 5Do AC h AC AN⊥ , nên t!a " c a A là nghi m c a h
x y
+ − =
T% ó, tìm 'c
13
( ; 1)
3
0.25
Do B là giao i m c a các ng th ng h và AM, nên … tìm 'c ( ; )13 5
7 7
Do MC=2 10 cà C n m trên AC, nên C có t!a " là nghi m c a h
( )2 2
x y
− − =
gi i h , thu 'c 1( ;18 16), (6;4)2
0.25
8b + a ph ng trình ∆ v d ng tham s x t y= , = +1 2 ,t z= − − , do ó m1 t !i i m c a ∆ u có
+ Xét i m ( ;1 2 ; 1 )B t + t − − ∈∆ , l y C i x t ng v i B qua A Khi ó (6 ;3 2 ;3 ) C −t − t + t 0.25
+ Do ó … AB=(1;7; 6)− , suy ra ng th ng c&n tìm có ph ng trình
x− = y− = z−
−
0.25
3
x= ∨ = − i chi u i u ki n và k t lux *n 0.25
Hình v cho câu 5
K H
A'
O
Hình 1
H M
N J
K C'
B'
C
O
B A'
Hình 2
Trang 6S GD- T V NH PHÚC THI KH O SÁT CH T L NG L N IV N M H C 2012 – 2013
TR NG THPT CHUYÊN Môn: TOÁN 12 – Kh i B,D
V NH PHÚC Th i gian: 180 phút (Không k giao )
I PH N CHUNG CHO T T C CÁC THÍ SINH (7 i m)
Câu 1 Cho hàm s y x= −3 3x2+3(1−m x2) +2m2−2m − (m là tham s ) 1
1 Kh o sát s bi n thiên và v th c a hàm s ã cho khi m= − 1
2 Tìm t t c các giá tr c a tham s th c m hàm s ã cho có c c i, c c ti u; ng th i hai i m
c c tr c a th hàm s i x ng nhau qua ng th ng d x: −4y− = 5 0
4
≤ ≤
Câu 3. Gi i h ph ng trình
3 3 3
Câu 4 Tính tích phân
1
ln
e x
x x x
+
=
Câu 5 Cho hình chóp S ABCD có áy ABCD là hình bình hành, v i SA SB AB= = =2a=2BC và
0
120
ABC
(SCD K), n m trong tam giác SCD và 3
5
HK a= Tìm th tích c a hình chóp theo a
Câu 6 Cho a, b là các s th c d ng th a mãn ab a b+ + = Ch ng minh r ng 3
2 2
II PH N RIÊNG (3 i m): Thí sinh ch c m t trong hai ph n riêng, ph n A ho c ph n B
A Theo ch ng trình chu n
Câu 7a Trong m t ph ng v i h t a Oxy, cho ng tròn ( ) : (C x−1)2+ +(y 1)2 = có tâm I và 16
i m (1A + 3; 2) Vi t ph ng trình ng th ng ∆ i qua A và c t ( ) C t i hai i m B, C phân bi t sao
cho tam giác IBC không có góc tù ng th i có di n tích b ng 4 3
Câu 8a Trong không gian v i h t a Oxyz, cho i m M(0;4;2) và hai m t ph ng ( ),( )P Q l n l t
có ph ng trình 3x y− − =1 0,x+3y+4z− = Vi t ph ng trình c a 7 0 ng th ng ∆ i qua M và
song song v i giao tuy n c a ( )P và ( ) Q
Câu 9a Tìm t t c các s th c a, b sao cho s ph c z= + là nghi m c a ph ng trình 2 3i
z + + = az b
B Theo ch ng trình nâng cao
Câu 7b Trong m t ph ng v i h t a Oxy, cho i m M(3;4) và ng tròn
2 2
ω + − + + = Vi t ph ng trình c a ng tròn Γ v i tâm M, c t ω t i hai i m A, B ssao cho AB là c nh c a m t hình vuông có b n nh n m trên ω
Câu 8b Trong không gian v i h t a Oxyz, vi t ph ng trình c a m t c u có tâm (1;2;3) I và ti p xúc
−
Câu 9b Hãy gi i ph ng trình sau trên t p h p s ph c (z i− ) (2 z i+ )2−5z2− = 5 0
Cán b coi thi không gi i thích gì thêm!
Trang 7S GD- T V NH PHÚC THI KH O SÁT CH T L NG L N IV N M H C 2012 – 2013
TR NG THPT CHUYÊN HD ch m môn TOÁN 12 – Kh i B,D
V NH PHÚC
H ng d n chung:
sinh có th gi i theo nhi u cách khác nhau, n u ý và cho k t qu úng, giám kh o v n cho i m t i
a c a ph n ó
- Câu (Hình h c không gian), n u h c sinh v hình sai ho c không v hình chính c a bài toán, thì
không cho i m, nh ng không nh t thi t ph i v hình 1; câu (Hình h c gi i tích) không nh t thi t
ph i v hình
- HDC này có 04 trang
Chi!u bi n thiên: y′= =3 (x x−2), y′= ⇔ = ∨ = 0 x 0 x 2
Xét d u y′ và k t lu n: hàm s ng bi n trên (−∞;0),(2;+∞ , ngh ch bi n trên (0;2) )
Hàm s t c c i t i x=0,y cd = ; hàm s t c c ti u t i 3 x=2,y ct = − 1
0.25
V th
4
2
0.25
2 y′ =3x2−6x+3(1−m2) Hàm s có c c i, c c ti u khi và ch khi y′= có hai nghi m phân bi t và 0 "i d u khi qua hai
nghi m ó i!u này t ng ng v i ph ng trình x2−2x+ −1 m2 = có hai nghi m phân bi t, 0
t c là m≠ 0
0.25
Khi ó, th c a hàm s có hai i m c ctr A(1+ −m; 2m3−m2+1), (1B −m m;2 3−m2+ 1) 0.25
Hai i m này i x ng nhau qua d khi và ch khi trung i m c a AB n m trên d và AB d⊥ i!u
2 2
2
m
m m
⇔ = ±
0.25
2 Bi n "i tích thành t"ng, thu c cos( ) cos 4 (1 cos 2 )(1 cos 2 ) 1
k
4
8
x= π
0.25
Trang 83 Nh n xét y ≠ nhân hai v ph ng trình th hai v i 7y, tr0, # i ph ng trình th nh t, c
(3 )xy −7(3 )xy +14(3 ) 8 0xy − =
T# ó tìm c ho c xy= ho c 1 xy= ho c 2 xy= 4
0.25
V i xy= thay vào ph ng trình th nh t, 1, c 319
7
19
V i xy= thay vào ph ng trình th nh t, 2, c 3 26
2 7
26
V i xy= thay vào ph ng trình th nh t, 4, c 23 215
7
215
4 Vi t l i bi u th c d i d u tích phân ln 2·
−
t ln x t= th thì khi 1≤ ≤ thì 0x 2 ≤ ≤ và t 1 dx dt,
Khi ó
1
t
−
5
G i I là trung i m CD Ch ra các tam giác ADH HDI IHB BCI là các tam giác , , , !u c nh a Suy
4
ABCD
a
G i J là trung i m DI Khi ó HJ ⊥AB CD, và do ó CD⊥(SHJ)
0.25
2
a
HJ = H n n$a, do tam giác SAB là tam giác !u c nh 2a và H là trung i m AB nên SH ⊥ AB và SH a= 3
0.25
3
a
a
a
a a
a
C
I
B
H
Hình 1
a
2a
2a
J I H
D
B
A
C S
K
Hình 2
Trang 9V y 3
.
S ABCD
V = = ( v.t.t) a
6 T# gi thi t suy ra (1+a)(1+ = +b) 1 ab a b+ + = t 4 a b x x+ = , > th thì 0
Do a2+b2 = +(a b)2−2ab nên a2+b2 =x2 −2(3− =x) x2+2x− do ó (1) tr6, % thành
2 2 6 3 12 10 0 3 2 4 12 0
x
ý r ng x3− +x2 4x− = −12 (x 2)(x2+ + ≥ nên b t ng th c cu i cùng luôn úng Suy ra x 6) 0
2
CIB
∠ = T# ó, do ∠CIB≤900 và IC IB= nên
tam giác CIB !u, v i dài ba c nh b ng 4 B%i v y, bài toán quy v! vi t ph ng trình ng
th ng ∆ i qua (1A + 3;2) và cách (1; 1)I − m t kho ng b ng 2 3
0.25
ng th ng ∆ có ph ng trình (a x− −1 3)+b y( − = v i 2) 0 a2+b2 ≠ 0
Ta có ph ng trình | a 23 3 |2b 2 3
0.25
8a M t ph ng ( )P có véct pháp tuy n p=(3; 1;0)− và m t ph ng ( )Q có véct pháp tuy n
(1;3;4)
Giao tuy n d c a (P) và (Q) có véct ch ph ng
2
x = y− = z−
a b a
+ + =
Gi s& tìm c ng tròn Γ: (x−3)2 +(y−4)2 =ρ2 th a mãn yêu c u Khi ó, do AB là dây
cung chung, nên AB⊥IM, hay ng th ng AB nh n IM =(0;5) làm véct pháp tuy n H n
n$a, I và M % v! hai phía c a AB Do ó, ng th ng AB có ph ng trình d ng 5 y c+ = v i 0
− < < (1)
0.25
Trang 10AB là c nh c a hình vuông n i ti p ω khi và ch khi ( ; ) 2
2
R
d I AB = = T# ó, k t h p v i (1), tìm c c= − Suy ra 5 AB y: − = 1 0
0.25
M t khác AB là tr'c ng ph ng c a ,ω Γ nên AB có ph ng trình 2 23 0
10
ó
2 13
ρ = , b%i v y Γ: (x−3)2+(y−4)2 = 13
0.25
8b + ng th ng d i qua (0; 2;0) M − , có véct ch ph ng u= −(1; 2;2)
MI u
d I d
u
+ Kh ng nh m t c u c n tìm có bán kính b ng ( ; )d I d và vi t ph ng trình
9
