* Chú ý đối với học sinh: Khi gặp tích phân của hàm số có chứa √ 1− x 2 thì thờng đặt x = sint hoặc gặp tích phân của hàm số có chứa 1+x 2 thì đặt x = tgt nhng cần chú ý đến cận của tích[r]
Trang 1TICH PHAN
Bài 1: Tính tích phân: I =
x+1¿2
¿
¿
dx
¿
∫
− 2
2
¿
* Sai lầm thờng gặp: I =
x+1¿2
¿
¿
dx
¿
∫
− 2
2
¿
=
x +1¿2
¿
¿
d (x+1)
¿
∫
−2
2
¿
=- 1
x +1 ¿− 22 =- 1
3 1 =
-4 3
* Nguyên nhân sai lầm :
Hàm số y =
x+1¿2
¿
1
¿
không xác định tại x= -1 [−2 ;2] suy ra hàm số không liên
tục trên [−2 ;2] nên không sử dụng đợc công thức newtơn – leibnitz nh cách giải trên
* Lời giải đúng
Hàm số y =
x+1¿2
¿
1
¿
không xác định tại x= -1 [−2 ;2] suy ra hàm số không liên
tục trên [−2 ;2] do đó tích phân trên không tồn tại
* Chú ý đối với học sinh:
Khi tính ∫
a
b
❑f (x)dx cần chú ý xem hàm số y=f(x) có liên tục trên [a ;b]
không? nếu có thì áp dụng phơng pháp đã học để tính tích phân đã cho còn nếu không thì kết luận ngay tích phân này không tồn tại
* Một số bài tập t ơng tự :
Tính các tích phân sau:
Trang 21/
x − 4¿4
¿
¿
dx
¿
∫
0
5
¿
2/
x2
¿
x¿
∫
− 2
3
¿
3/ ∫
0
π
2
1
cos4x dx
4/ ∫
− 1
1
− x3 e x+x2
x3 dx
Bài 2 :Tính tích phân: I = ∫
0
π
dx
1+sin x
* Sai lầm thờng gặp: Đặt t = tg x
2 thì dx =
2dt
1+t2 ;
1
1+t¿2
¿
1+t2
¿
1+t¿2
¿
¿
2dt
¿
=
t+1¿− 2
2 ¿
d(t+1) = ❑
❑
2
t +1 + c
⇒ I = ∫
0
π
dx
− 2
tg x
2+1
¿0π =
−2
tgπ
2+1
- 2
tg 0+1
do tg π
2 không xác định nên tích phân trên không tồn tại
*Nguyên nhân sai lầm:
Đặt t = tg x
2 x [0 ;π] tại x = π thì tg
x
2 không có nghĩa.
* Lời giải đúng:
Trang 3I = ∫
0
π
dx
dx 1+cos(x − π
2)=¿∫0
π d(2x −
π
4)
cos2(2x −
π
4)=tg(
x
π
4)¿0π
∫
0
π
¿
= tg
π
4− tg(− π4 )=2
* Chú ý đối với học sinh:
Đối với phơng pháp đổi biến số khi đặt t = u(x) thì u(x) phải là một hàm số liên tục và có đạo hàm liên tục trên [a ;b]
*Một số bài tập t ơng tự:
Tính các tích phân sau:
1/ ∫
0
π
dx
sin x
2/ ∫
0
π
dx
1+cos x
Bài 3: Tính I = ∫
0
4
√x2− 6 x +9 dx
* Sai lầm thờng gặp:
I = ∫
0
4
√x2− 6 x +9 dx = ∫
0
4
√( x − 3)2dx=∫
0
4
(x −3) d ( x −3 )= ( x −3 )
2
4
9
2=− 4
* Nguyên nhân sai lầm:
Phép biến đổi √( x −3 )2=x −3 với x [0 ;4] là không tơng đơng
* Lời giải đúng:
I = ∫
0
4
√x2− 6 x +9 dx
= ∫
0
4
√( x − 3)2dx=∫
0
4
|x −3|d ( x − 3)=∫
0
3
− ( x −3 ) d ( x − 3)+∫
3
4
( x − 3) d ( x −3)
= - (x −3)
2
3
+( x −3)2
4
2+
1
* Chú ý đối với học sinh:
2 n
√(f ( x))2n=|f ( x )| (n ≥1 , n ∈ N )
Trang 4I = ∫
a
b
2 n
√(f ( x ))2 n= ¿ ∫
a
b
|f ( x )|dx ta phải xét dấu hàm số f(x) trên [a ;b] rồi dùng
tính chất tích phân tách I thành tổng các phân không chứa dấu giá trị tuyệt đối
Một số bài tập t ơng tự:
1/ I = ∫
0
π
√1− sin 2 x dx ;
2/ I = ∫
0
3
√x3− 2 x2+x dx
3/ I = ∫
1
2
2
√ (x2
x2− 2) dx
4/ I = ∫
π
6
π
3
√tg2x+cot g2x − 2 dx
Bài 4: Tính I = ∫
− 1
0
dx
x2+2 x+2
* Sai lầm thờng gặp:
I = ∫
− 1
0
d ( x+1)
(x +1)2+1=arctg ( x +1)¿−1
0
=arctg 1− arctg 0= π
4
* Nguyên nhân sai lầm :
Học sinh không học khái niệm arctgx trong sách giáo khoa hiện thời
* Lời giải đúng:
Đặt x+1 = tgt ⇒dx=(1+tg 2t)dt
với x=-1 thì t = 0
với x = 0 thì t = π
4
Khi đó I = ∫
0
π
4
(1+tg2t)dt
0
π
4
dt=t¿0
π
4
4
* Chú ý đối với học sinh:
Các khái niệm arcsinx , arctgx không trình bày trong sách giáo khoa hiện thời Học sinh có thể đọc thấy một số bài tập áp dụng khái niệm này trong một sách tham khảo, vì các sách này viết theo sách giáo khoa cũ (trớc năm 2000) Từ năm
2000 đến nay do các khái niệm này không có trong sách giáo khoa nên học sinh
Trang 5không đợc áp dụng phơng pháp này nữa Vì vậy khi gặp tích phân dạng
∫
a
b
1
1+ x2dx ta dùng phơng pháp đổi biến số đặt t = tgx hoặc t = cotgx ;
∫
a
b
1
√1 − x2dx thì đặt x = sint hoặc x = cost
*Một số bài tập t ơng tự :
1/ I = ∫
4
8
√x2−16
2/ I = ∫
0
1
2 x3+2 x+3
x2+ 1 dx
3/ I = ∫
0
1
√ 3
x3dx
√1 − x8
Bài 5:
Tính :I = ∫
0
1
4
x3
√1 − x2 dx
*Suy luận sai lầm: Đặt x= sint , dx = costdt
√1 − x2 dx=∫sin|cos t3t|dt
Đổi cận: với x = 0 thì t = 0
với x= 1
4 thì t = ?
* Nguyên nhân sai lầm:
Khi gặp tích phân của hàm số có chứa √1− x2 thì thờng đặt x = sint nhng đối
với tích phân này sẽ gặp khó khăn khi đổi cận cụ thể với x = 1
4 không tìm đợc
chính xác t = ?
* Lời giải đúng:
Đặt t = √1− x2 ⇒ dt = x
√1 − x2 dx⇒ tdt=xdx
Đổi cận: với x = 0 thì t = 1; với x = 1
4 thì t = √
15 4
Trang 6I = ∫
0
1
4
x3
∫
1
√ 15
4
(1 −t2)tdt
1
√ 15 4
(1 −t2)dt=(t − t3
3)¿1
√ 15 4
=(√15
15√15
33√15
2 3
* Chú ý đối với học sinh: Khi gặp tích phân của hàm số có chứa √1− x2 thì th-ờng đặt x = sint hoặc gặp tích phân của hàm số có chứa 1+x2 thì đặt x = tgt nhng cần chú ý đến cận của tích phân đó nếu cận là giá trị lợng giác của góc đặc biệt thì mới làm đợc theo phơng pháp này còn nếu không thì phải nghĩ đếnphơng pháp khác
*Một số bài tập t ơng tự:
1/ tính I = ∫
0
√ 7
x3
√1+x2 dx
2/tính I = ∫
1
2
dx
x√x2 +1
Bài 6: tính I = ∫
− 1
1
x2−1
1+ x4 dx
* Sai lầm thờng mắc: I = ∫
− 1
1 1− 1
x2
1
x2+x
2
−1
1 (1 − 1
x2)
(x +1
x)2−2
dx
Đặt t = x+ 1
x ⇒ dt=(1− 1
x2)dx
Đổi cận với x = -1 thì t = -2 ; với x=1 thì t=2;
I = ∫
− 2
2
dt
t2−2 =
1
t+√2
t −√2)dt
∫
−2
2
¿
=(ln |t+√2| -ln |t −√2| ) ¿− 22 =ln|t +√2
t −√2|¿−22
= ln 2+√2
2 −√2− ln|−2+√2
−2 −√2|=2 ln 2+√2
2 −√2
Trang 7* Nguyên nhân sai lầm: x2−1
x2
1
x2 +x2
là sai vì trong [−1 ;1] chứa x = 0 nên
không thể chia cả tử cả mẫu cho x = 0 đợc
* Lời giải đúng:
xét hàm số F(x) = 1
2√2ln
x2− x√2+1
x2+x√2+1
F’(x) =
ln x
2
− x√2+1
x2+x√2+1¿
'
=x2− 1
x4+ 1 1
2√2¿
Do đó I = ∫
− 1
1
x2−1
1+ x4dx =
1
2√2ln
x2− x√2+1
x2+x√2+1 ¿− 1
1
√2ln
2 −√2 2+√2
*Chú ý đối với học sinh: Khi tính tích phân cần chia cả tử cả mẫu của hàm số cho
x cần để ý rằng trong đoạn lấy tích phân phải không chứa điểm x = 0