Các câu hỏi lý thuyết về tích phân | Toán học, Lớp 12 - Ôn Luyện

Sử dụng định nghĩa, tính chất của tích phân + bảng nguyên hàm các hàm số 1.. Dạng 1: Các câu hỏi liên quan đến lý thuyết..[r]

CHƯƠNG 3: NGUYÊN HÀM -TÍCH PHÂN -ỨNG DỤNG

BÀI 2: TÍCH PHÂN

A – LÝ THUYẾT

1 Định nghĩa: Cho hàm số y= f x( )

liên tục trên [a b; ]

Giả sử F x( )

là một nguyên hàm của hàm ( )

f x

trên [a b; ]

b

b a a

f x x=F x =F b - F a

ò

Lưu ý:

 Quy ước: + Nếu a b thì

( )d 0

a a

f x x= ò

+ Nếu a b thì ( )d ( )d



2 Tính chất:







f x x= f x x+ f x x a< <c b

Một số tính chất mở rộng:

 Nếu f x   0 x a b; 

thì:

b a

f x dx  x a b



 Nếu:

x a b f x g x f x dx g x dx

(Bất đẳng thức trong tích phân)

 Nếu:  x a b; 

và với hai số M, N ta luôn có: M f x N

thì:

b a

M b a f x dx N b a 

(Tính chất giá trị trung bình của tích phân)

B – PHƯƠNG PHÁP GIẢI

I Sử dụng định nghĩa, tính chất của tích phân + bảng nguyên hàm các hàm số

1 Dạng 1: Các câu hỏi liên quan đến lý thuyết

Ví dụ 1: Giả sử F x( ) là một nguyên hàm của hàm số y=x6sin5x trên khoảng (0;+¥ ) Khi đó

2

6 5

1

sin d

ò

có giá trị bằng

A F( )2 - F( )1

B F( )2 +F( )1

C F( )1 - F( )2

D F( ) ( )1 F 2

Hướng dẫn giải Chọn A

Ví dụ 2: Giả sử hàm số f liên tục trên khoảng K và , , a b c là ba số bất kì thuộc K Khẳng định nào

sau đây sai?

A

 d  d  d

f x x f x x f x x

B

 d 0

a

a

f x x 



C

 d  d

f x x f t t

D

 d  d

f x x f t t

Hướng dẫn giải Chọn C

Do tích phân không phụ thuộc vào cách viết biến nên

 d  d

f x x f t t

Ví dụ 3: Tích phân

2 12

0

d

I cos x sin x x

p

=ò

, sau khi đổi biến u=cos x, ta được

A

2 12

0 d

p

=ò

B

2 12

0 d

p

=- ò

C

1 12

0 d

I=- òu u

D

1 12

0 d

I =òu u

Hướng dẫn giải Chọn D

Đặt u=cos xÞ du=- sin x xd

Đổi cận: Khi x= Þ0 u= 1

x 2 u 0

p

= Þ =

Khi đó:

2

p

A. Với mọi hàm số f liên tục trên ¡ , ta có

f ( x ) x= f ( x ) ( x )

B. Với mọi hàm số f liên tục trên đoạn [- 3 3; ]

, luôn có

3

3

f ( x ) x

-= ò

C Nếu hàm số f liên tục trên đoạn [ a;b , sao cho ] d 0

b a

f ( x ) x³ ò

thì f ( x )³ 0 " Îx [a;b]

D. Với mọi hàm số f liên tục trên đoạn [1 5; thì ] [ ]

[ ]3 5

5

2

1 1

d

3

f ( x )

f ( x ) x= ò

Hướng dẫn giải Chọn A

Có

Ví dụ 5: Cho hai hàm số y = f x y ( ) , = g x ( )

là các hàm số liên tục trên é ùÌ ê ú ë û ¡ a b ;

và các số thực

k Î ¡ , c Î ê ú é ù ë û a b ; Khi đó biểu thức nào sai?

A

B

( ) = ( )

C Nếu f x ( ) ³ 0 " Î ê ú x é ù ë û a b ;

thì

b

a

f x x

D

Hướng dẫn giải Chọn D

A Nếu f là hàm số chẵn trên ¡ thì

f ( x ) x f ( x ) x

-=

B Nếu

f ( x ) x f ( x ) x

-=

thì f là hàm số chẵn trên đoạn [- 1 1; ].

C Nếu

1

1

f ( x ) x

-= ò

thì f là hàm số lẻ trên đoạn [- 1 1; ]

D Nếu

1

1

f ( x ) x

-= ò

thì f là hàm số chẵn trên đoạn [- 1 1; ]

Hướng dẫn giải Chọn A

Đặt t=- Þx dx=- dt

Đổi cận x= Þ =0 t 0

x= Þ =-1 t 1

Khi đó

f ( x ) x f ( t) t f ( t) t f ( x ) x f (x) x

(Do f x( ) là hàm chẵn).

BÀI TẬP TỰ LUYỆN

Câu 1.Giả sử f x ( )

là hàm liên tục trên ¡ và các số thực a b c < < Mệnh đề nào sau đây là sai?

A

( ) = - ( )

B

( ) = ( ) + ( )

C

D

Câu 2.Cho hàm số f x( )

liên tục trên đoạn [a b; ]

Hãy chọn mệnh đề sai dưới đây:

A

f x x=- f t t

B

C

b

a

k x=k b a- " Îk

D

Câu 3.Giả sử hàm số f x( )

liên tục trên khoảng K và ,a b KÎ , ngoài ra k là một số thực tùy ý Khi đó

(I)

a

a

f x x=

ò

(II)

(III)

k f x x=k f x x

Trong 3 mệnh đề trên:

A Chỉ có (II) sai B Chỉ có (I) sai C Có (I) và (II) sai D Cả ba đều đúng.

A Nếu f x( ) liên tục và không âm trên đoạn [a b; ] thì ( )d 0

b a

f x x³ ò

B

1

1

dx 1

-=

ò

C

1 2 d 1 d 2 d

D. Nếu

( )

0

a

f x x=

ò

thì f x( )

là hàm số lẻ

Câu 5.Cho f x là hàm số liên tục trên đoạn ( ) [a;b và ] F x là một nguyên hàm của ( ) f x trên ( ) [a;b ]

Mệnh đề nào dưới đây đúng?

b

a

b

a

B Diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi hai đường thẳng x a,x b= = ; đồ thị hàm số y= f x( )và trục hoành được tính theo công thức S=F b( )- F a( ).

a

b

f x x F b  F a

b

a

k f x x k F b   F a    k

Câu 6.Cho f x( )

là hàm số lẻ và liên tục trên [- a;a]

Mệnh đề nào sau đây đúng:

A

a

a

f x x

-= ò

B

0

a

-=

C

a

-=

D

0

a

-

Câu 7.Cho f x( )

là hàm số liên tục trên đoạn [a;b]

Giả sử F x( )

là một nguyên hàm của f x( )

trên đoạn [a;b].Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng?

A

b

b a a

f x x=F x =F a - F b

ò

B

b

a b a

f x x=F x =F a - F b

ò

C

b

b a a

f x x=F x =F b - F a

ò

D

b

b a a

f x x= f x =f b - f a

ò

Câu 8.Nếu u=u x ,v( ) =v x( ) là hai hàm số liên tục trên [a;b] Khẳng định nào sau đây là khẳng định

đúng?

A

( )

a b

u v= u.v - v u

B

( )

b a

u v= u.v - v v

C

( )

b a

u v= u.v - u u

D

( )

b a

u v= u.v - v u

Câu 9.Cho hai hàm số f , g liên tục trên đoạn [a;b]

và số thực k tùy ý Trong các khẳng định sau,

khẳng định nào sai?

A

xf x x=x f x x

C

kf x x=k f x x

Câu 10. Cho hàm số f liên tục trên ¡ và số thực dương a Trong các khẳng định sau, khẳng định nào

luôn đúng?

A

( )d 0

a

a

f x x=

ò

( )d 1

a a

f x x= ò

( )d 1

a a

f x x =-ò

( )d

a a

f x x= f ( a )

ò

Câu 11. Xét hàm số f liên tục trên ¡ và các số thực a , b , c tùy ý Trong các khẳng định sau, khẳng

định nào sai?

A

C

Câu 12. Xét hai hàm số f và g liên tục trên đoạn [a;b Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?]

A Nếu f ( x )³ m " Îx [a b ; ] thì ( )d ( )

b a

f x x³ m a- b

ò

B Nếu f ( x ) m³ " Îx [a b ; ]

thì

b a

f x x³ m b- a

ò

C. Nếu f ( x ) M£ " Îx [a b ; ] thì ( )d ( )

b a

f x x£ M b- a

ò

D. Nếu m£ f ( x )£ M " Îx [a b ; ] thì ( ) ( )d ( )

b a

f x x

-

Câu 13. Cho hai hàm số f và g liên tục trên đoạn [a;b]

sao cho g( x )¹ 0 với mọi xÎ [a;b]

Xét các khẳng định sau:

I

II

III

IV

( ) ( )

( ) ( )

d d

d

b b

a b a

a

f x x

f x

x

g x

g x x

=ò ò

ò

Trong các khẳng định trên, có bao nhiêu khẳng định sai?

Câu 14. Cho hàm số y = f x ( ) liên tục trên đoạn é ù ê ú a b ; Gọi D là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị ( ) : C y = f x ( ), trục hoành, hai đường thẳng x = a x , = b Giả sử Slà diện tích của hình phẳng D

Chọn công thức đúng?

A

= ò ( )d

b

a

= ò ( )d

a

b

C

= ò ( ) d

a

b

= ò ( ) d

b

a

Câu 15. Cho hàm số f liên tục trên R và hai số thực a b Nếu

( )d

b a

f x x



thì tích phân 2

2

(2 )d

b

a



có giá trị bằng



Câu 16. Cho hai hàm số liên tục f và g liên tục trên đoạn [ ; ]a b Gọi F và G lần lượt là một nguyên

hàm của f và g trên đoạn [ ; ]a b Đẳng thức nào sau đây luôn đúng?

A

( ) ( )d ( ) ( ) ( ) ( )d

b a

f x G x x F x g x  F x G x x

B

( ) ( )d ( ) ( ) ( ) ( )d

b a

f x G x x F x G x  F x g x x

C

( ) ( )d ( ) ( ) ( ) ( )d

b a

f x G x x f x g x  F x g x x

D

( ) ( )d ( ) ( ) ( ) ( )d

b a

f x G x x F x G x  f x g x x

Câu 17. Cho hàm số f x 

liên tục trên đoạn [ ; ]a b có một nguyên hàm là hàm F x 

trên đoạn [ ; ]a b

Trong các phát biểu sau, phát biểu nào sai ?

A F x'( )f x( ) với mọi x( ; )a b

B

( )d ( ) ( )

b a

f x xf b  f a



C

( )d ( ) ( )

b a

f x x F b  F a



D Hàm số G x 

cho bởi G x( )F x( ) 5 cũng thỏa mãn

( )d ( ) ( )

b a

f x x G b  G a



Câu 18. Giả sử F x 

là một nguyên hàm của hàm số

sin x y

x



trên khoảng (0;) Khi đó

2

1

sin 3 d

x x x



có giá trị bằng

A F(6) F(3) B 3F(6) F(3) C 3F(2) F(1) D F(2) F(1)

BẢNG ĐÁP ÁN

11 C 12 A 13 B 14 D 15 D 16 B 17 B 18 A

(Các câu lý thuyết này đều ở mức độ nhận biết, thông hiểu, vận dụng thấp nên không làm đáp án chi tiết các câu)