DE CUONG ON THI MON TOAN 11 HKII

Ta chia cả tử và mẫu cho n với lũy thừa lớn nhất của nó.Sau đó áp dụng các công thức giới hạn đặc biệt để tìm.. * Phương pháp tìm giới hạn dạng    Ta nhân cả tử và mẫu cho biểu thức l[r]

ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP HỌC KỲ II - MÔN TOÁN LỚP 11

NĂM HỌC : 2012 - 2013

A PHẦN GIẢI TÍCH

I Giới hạn

*Phương pháp tìm giới hạn

dạng



:

Ta chia cả tử và mẫu cho n với

lũy thừa lớn nhất của nó.Sau

đó áp dụng các công thức giới

hạn đặc biệt để tìm

* Phương pháp tìm giới hạn

Ta nhân cả tử và mẫu cho biểu

thức liên hợp

2

( A B )( A B )  A B

2

(A B A)(  B) A  B

( A B)( A B)  A B

*Phương pháp tìm

 

 



x a

f x

g x dạng00.

TH1 : Nếu f(x) , g(x) là các

hàm đa thức thì ta chia cả tử

và mẫu cho (x-a).chia cho đến

khi nào không còn dạng

0 0

nữa thì thế số vào để tính.

TH2:Nếu f(x) , g(x) là các

biểu thức chứa căn thì nhân tử

và mẫu cho các biểu thức liên

hợp

Phương pháp xét tính liên tục của hàm số tại x x 0:Có 2 TH

TH1 :

( ) ( )

( )

f x khi x x

f x

f x khi x x











Tính f x( ) 0 = ? và 0

lim ( )

x x f x

 Nếu lim ( ) 0 ( ) 0

x x f x f x

thì f x( ) liên tục

 Nếu lim ( ) 0 ( ) 0

x x f x f x

thì f x( )không liên tục

TH2 :

( ) ( )

( )

f x khi x x

f x

f x khi x x











Tính f x( ) 0 = ? ; 0

lim ( ) ?

x x f x







và 0

lim ( ) ?

x x f x







 Nếulim ( ) 0 lim ( ) 0 ( ) 0

x x f x x x f x f x

thì f x( ) liên tục  Nếu 0 0

lim ( ) lim ( )

x x f x x x f x



thì f x( ) không liên tục

 Phương pháp tìm điều kiện để hàm số liên tục Các bước làm cũng giống như xét tính liên tục của hàm số tại 1 điểm.Sau đó dùng điều kiện để hàm số liên tục

 f x( ) liên tục tại 0 lim ( ) 0 ( ) 0

x x



 f x( ) liên tục tại 0 lim ( ) 0 lim ( ) 0 ( ) 0

* Phương pháp Chứng minh phương trình f(x) = 0

có nghiệm trong khoảng (a;b).

 Chứng tỏ f(x) liên tục trên đoạn [a;b]

 Chứng tỏ f(a).f(b)<0 Khi đó f(x) = 0 có ít nhất một nghiệm thuộc (a;b) Nếu chưa có (a;b) thì ta cần tính các giá trị f(x) để tìm a và b Muốn chứng minh f(x)=0 có hai , ba nghiệm thì ta tìm hai , ba khoảng rời nhau và trên mỗi khoảng f(x)=0 đều có nghiệm

Bài 1 :Tính các gi i h n sau:ớ ạ

1)

3

3

lim

2 5

 

2 6

2 3 11 lim

n n

 

9

( 1) (2 3) (3 4)

n

lim

5 1

n



5)

8 (3 5)

lim

( 8) (2 6 )

n n



6)

2

lim

n n

 

3 3

2 9 lim

8)

2 2

lim

4 1

  

  

lim

5 8

n n





10)

2

lim

 

11)

lim

12)

  

2

lim

Bài 2 :Tính các giới hạn sau:

4 5

lim

2







x

x

2 2 1

2 3 lim

x

x x



 

  3)lim 1





1

2 2







x x

x

4)

4

2

16 lim

2

x

x

 





5) 2

2

lim

7 3

x

x

x





4x 1 3 lim

x 4



 

x 5 2x 1 lim

x 4



x 1 x 4 3 lim

x



   

9)

3 2

3

lim

x

 

lim

x

x x

x x x

 

  

lim

x

x x



 

lim

16

x

x



lim

4





x

2 1

lim

x

x



3

lim

x

0

lim

x

x x

17)

 





2

lim

1

1 x x x

3 2

lim

6

x

19)

5

1

1 lim

1

x

x x







20)

5x x

x 3

lim



Bài 3: Tính các giới hạn sau:

1) 3

2 1

lim

3

x

x

x







3 3 lim

2







x x

x

2

1 ( 1 )

3 5 lim







x x

x

4) 3

lim

x

x x

 

 

Bài 4: Tính các giới hạn sau:

3 lim









x

3

3 2

lim

1

x

x x

 

 

5 lim

2









x x

2 3 2 lim

3 1

x

x

  



5) lim ( 2 3 )

x





2  







2 2















x

8)

2

2

8 6

lim

4 5 3 1

x

 

 



2 1 lim

x

x

Bài 5: Tính các giới hạn sau:

1)

3 2

      

2) lim ( 2 3)

2 4









) 3 2

2 (











x

4)

2

lim 3 5 4

    

5)

 

  

2

lim 16 5 3 7

6)

 

x x x x x 7) lim 3 10 5 6 2 4 3 2

Bài 5: Xét tính liên tục của hàm số sau:

a)

2 4

2

x

 





 













2

2

1

1 )

(

x x

x x f

, 1

1 ,





x

x

tại x 0 1

Bài 6: a) Cho hàm số

2a khi

x 2 f(x)

x 1

 











Với giá trị nào của a thì hàm số liên tục tại x = - 2

b) Cho hàm số

x +x khi khi







f(x)

Với giá trị nào của a thì hàm số liên tục tại x = 1

Bài 7: CMR phương trình sau có ít nhất hai nghiệm:

a) 2x3 10x 7 0  b) 2x3 6 x   1 0

II Đạo hàm.

Đạo hàm của hàm số sơ cấp cơ bản Đạo hàm của hàm số hợp

( x ) ′ =1 (kx)’=k (k lµ

h»ng sè ) (ku)’=k.u’ (k lµ h»ng sè )

(x n)′ =n.xn-1

(n N, n 2)  u n 

=n.un-1.u'

2



 



 

 



 

u u (u 0) 

√x¿′

¿ = 21

2 u (u 0) 

 

/

/

2

2

sin cos

cos sin

1

1 tan cos

1

sin

x

x





/ /

/ / 2 / /

2

sin cos cos sin tan

cos cot

sin

u u

u u u

u









 PP viết phương trình tiếp tuyến của hàm số yf x( ) tại điểm M x y( ; ) 0 0

Sử dụng CT : y y 0 f x'( )( 0 x x 0 )

 Nếu tiếp tuyến song song với đt : y ax b  thì ta có : f x'( ) 0 a

 Nếu tiếp tuyến vuông góc với đt : y ax b  thì ta có : f x a '( ) 0 1

Từ đó tính được các giá trị x0 và y0 Sau đó thay vào công thức y y 0 f x'( )( 0 x x 0 )

Bài 1: Tìm đạo hàm các hàm số sau:

1) yx3  2x1 2)y2x4  2x2 3x 3)

) 3 5 )(

(x2 x x2

y   4) y(t3 2)(t1)

5)

) 2 3 )(

1

2

y 6) y(x1)(x2)2(x3)3 7) y(x2 5)3 8) y = (1- 2t)10 9) y = (x3 +3x-2)20

10) y (x  7  x) 2 11) y x2 3x 2 12) y x4 6x2 7

3 2







x

x

y

5 6

2 2









x

x x y

2

2





x

x y

16) ( 2 1)3

3







x x y

2

17.





y

2

x

+ 19) y= x 1 x 2 20) y x 1 x2

21) y x 6 x

3





6 5 4 3

x x x x

y   

4 3

2 2











x x

x x y

24)

3

3 1 6 















x x y

25)

1 x

y

1 x





 26) y  x x

27)

1 y

x x

 28)y(x1) x2 x1

2

a x

x

y





, ( a là hằng số)

30) y = 3x2  ax2a , ( a là hằng số)

Bài 2: Tìm đạo h m các h m s sau:à à ố

1) y = sin2x –

cos2x

2) y = sin5x – 2cos(4x +

x x

y 2 sin 2 cos 3 4) ysin 2x1

5) y sin2x 6) ysin2 xcos3x 7) y(1cotx)2 8) ycosx.sin2 x

9) y= sin(sinx) 10)y = cos( x3 + x -2) 11)y sin (cos3x)  2 12) y = x.cotx

13)

1 sin

2 sin

x

y

x





3

y cot (2x )

4



15)

x 1

y tan

2





16)

sin x x y

x sin x

17)y 1 2tan x 18)y 2 tan x 2

x x

y

cos sin

cos sin







20) sin 2

4 x

y 

Bài 3: Tìm đạo hàm cấp 2 của của hàm số sau:

1) yx3  2x1 2)y2x4  2x2 3

3 2







x

x y

5 6

2 2









x

x x y

5) y = sin2x – cos2x 6) y = x.cos2x 7) y  x 8) yx 1 x 2

Bài 4: Tìm vi phân của của hàm số:

1)yx4  2x1 2) y(x3 2)(x1) 3) 2 4

5 6

2 2









x

x x y

4) y3sin2 x.sin3x

Bài 5: a) Cho f(x) 3x1, tính f ’(1) b) Cho f x   x 10 6.Tính f '' 2  

Bài 6: Cho hàm số: (C) y = x3 + 4x +1 Viết PT tiếp tuyến của (C ) biết :

a) Tại điểm có hoành độ x0 = 1;

b) Tiếp tuyến có hệ số góc k = 31;

c) Tiếp tuyến song song với đường thẳng d: y = 7x + 3;

d) Tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng : y = -

1

5

Bài 7 : Cho hàm số : (C)

1

x y x





 Viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết :

a) Tại điểm có tung độ y0 =

5

2;

b) Tiếp tuyến song song với đường thẳng d: y = -x + 2013;

c) Tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng : y =

4x  5

d) Tiếp tuyến tạo với trục hoành 1 góc bằng 450

Bài 8: Chứng minh rằng của hàm số sau thoả mãn của hệ thức:

a) f(x)x5 x3  2x 3 thoả mãn: f'(1) f'(1) 4f(0); b)

2

x 3

x 4





c) y = a.cosx +b.sinx thỏa mãn hệ thức: y’’ + y = 0

d) y = cot2x thoả mãn hệ thức: y’ + 2y2 + 2 = 0

Bài 9: Giải phương trình : y’ = 0 bi t r ng:ế ằ

1) yx3  3x2  9x5 2) yx4  2x2 5 3) yx4  4x3 3 4)yx 1 x 2

15 5

2









x

x x

y

6) y x x

4









x

x y

8) 2sin2 sin 3

1





y

9) ycos x sin x  x 10) y 3 sinx cosxx 11)y20cos3x12cos5x 15cos4x

Bài 10: Giải của bất phương trình sau:

1) y’ > 0 với y x 3x 3 22 2) y’ < 4 với 2 2 3

1 3







y

3) y’ ≥ 0 với 1

2

2









x

x x y

4) y’>0 với yx4  2x2 5) y’≤ 0 với 2

2x x

y 

Bài 11: Cho hàm số: 3 ( 1) 3( 1) 2











y

1) Tìm m để phương trình y’ = 0:

a) Có 2 nghiệm b) Có 2 nghiệm trái dấu

c) Có 2 nghiệm dương d) Có 2 nghiệm âm phân biệt

2) Tìm m để y’ > 0 với mọi x.

B PHẦN HÌNH HỌC

 PP chứng minh đtd ( ) ta cm:

( ) , ( )

d a

d b

d

a b

a b









 









 



 PP chứng minh ab ta CM :

( )

( )

a

a b

b















 Để chứng minh ( ) ( )   ta CM

( )

( ) ( ) ( )

d

d















PP xác định góc giữa đường thẳng a và

mp  ta làm theo các bước sau:

 Tìm hoặc chứng minh 1 đt d nào đó và

( )

d  

Từ đó xác định hình chiếu vuông góc

của a lên  là a’

Kết luận :  



a,   a a , '

PP xác định góc giữa   và   ta có thể làm theo các cách sau :

 Cách 1 : Tìm a, b sao cho

 ,        ,    ,

 Cách 2 : Nếu        thì tìm

O   Từ O, trong   vẽ a   tại O ; trong   vẽ b   tại O Suy ra

   

  ,    a b ,

(đã trình bày ở câu d) )

 Cách 3 : Trong trường hợp tổng quát

:

 Tìm        ;

 Tìm   sao cho     ;

 Tìm       a,       b; Kết luận :    



  ,    a b ,

Bài 1 :Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B, AC =2a, SA a 2

và SA(ABC)

a CMR (SAB)  (SBC)

b Tính góc giữa SC và mp ( ABC )

c Tính góc giữa hai mặt phẳng ( SBC ) và ( ABC)

Bài 2:Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại C và SB(ABC), biết

AC = a √2 , BC = a, SB = 3a

a Chứng minh: AC (SBC)

b Gọi BH là đường cao của tam giác SBC Chứng minh: SA BH

c Tính góc giữa đường thẳng SA và mặt phẳng (ABC)

Bài 3 Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi, tâm O và SA = SC, SB = SD

a Chứng minh SO (ABCD)

b Gọi I, K lần lượt là trung điểm của AB và BC Chứng minh IK SD

Bài 4.Tứ diện S.ABC có góc ABC = 1v, AB = 2a, BC = a√3 , SA vuông góc với

(ABC),

SA = 2a.Gọi M là trung điểm của AB

a.Tính góc giữa (SBC) và (ABC)

b.Tính đường cao AK của tam giác AMC

c.Tính góc giữa (SMC) và (ABC)

d.Tính khoảng cách từ A đến (SMC)

Bài 5 Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông, tâm O và SA (ABCD) Gọi H, K lần lượt là hình chiếu vuông góc của A lên SB, SD

a Chứng minh BC (SAB), BD (SAC) b Chứng minh SC (AHK)

c Chứng minh HK (SAC)

Bài 6 Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy và cạnh bên bằng 2a, Gọi O là

tâm của hình vuông

a Chứng minh (SAC) (SBD)

b Gọi M là trung điểm của AB.Chứng minh AB (SOM)

c Xác định và tính góc giữa đường thẳng SD và (ABCD)

d Xác định và tính góc giữa 2 mặt phẳng (SBD) và (ABCD)

Bài 7 :Cho hình chóp S.ABCD có cạnh đáy bằng 2a và cạnh bên bằng

3a

2 , Gọi M là trung điểm của AB và O là tâm của đáy

a Tính SO b Chứng minh CD SM

b Chứng minh (SBD) (ABCD)

c Xác định và tính góc giữa đường thẳng SD và (ABCD)

d Xác định và tính góc giữa 2 mặt phẳng (SOM) và (SCD)

Bài 8: Tứ diện S.ABC có góc ABC = 1v, AB = 2a, BC = a√3 , SA vuông góc với (ABC), SA = 2a.Gọi M là trung điểm của AB

a)Tính góc giữa (SBC) và (ABC)

b)Tính đường cao AK của tam giác AMC

c)Tính góc giữa (SMC) và (ABC)

d)Tính khoảng cách từ A đến (SMC)

HẾT