Đề cương ôn thi môn toán THPT Quốc Gia 2016 phần 1

a Viết phương trình tiếp tuyến với C tại giao điểm của C với trục hồnh... Tìm m để tiếp tuyến của đồ thị 1 tại điểm có hoành độ bằng 1 cắt các trục Ox, Oy lần lượt tại các điểm A và B sa

Đề cương toán THPT 2016

CHUYÊN ĐỀ 1.

KHẢO SÁT HÀM SỐ VÀ CÁC BÀI TỐN LIÊN QUAN

1 Chủ đề 1: Bài tốn về tiếp tuyến

1.1 Dạng 1: Tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại một điểm M( , ) ( ) :x y0 0  C y f x( )

* Tính y' f x'( ) ; tính k f x'( )0 (hệ số gĩc của tiếp tuyến)

* Tiếp tuyến của đồ thị hàm số yf x( ) tại điểm M x y cĩ phương trình  0; 0

b) Tại điểm cĩ hồnh độ x = 2

c) Tại điểm cĩ tung độ y =5

Ta cĩ y’(0) = -3

Do đĩ phương trình tiếp tuyến là: y 53(x 0)hay y = -3x +5

+) Phương trình tiếp tuyến tại của (C) tại điểm ( 3;5)

2'( 3) 3( 3) 3 6

Do đĩ phương trình tiếp tuyến là: y 5 6( x 3) hay y6x6 3 5

+) Tương tự phương trình tiếp tuyến của (C) tại ( 3;5) là: y6x 6 3 5

Ví dụ 2: Cho đồ thị (C) của hàm số y x 3 2x22x 4

a) Viết phương trình tiếp tuyến với (C) tại giao điểm của (C) với trục hồnh

b) Viết phương trình tiếp tuyến với (C) tại giao điểm của (C) với trục tung.

c) Viết phương trình tiếp tuyến với (C) tại điểm x0 thỏa mãn y”(x0) = 0

Giải:

Ta có y' 3 x2 4x Gọi 2 M x y là tiếp điểm thì tiếp tuyến có phương trình: 0; 0

0 '( )(0 0) '( )(0 0) 0 (1)

a) Khi M ( )C Ox thì y0 = 0 và x0 là nghiệm phương trình:

x3 2x22x 4 0  x ; y’(2) = 6, thay các giá trị đã biết vào (1) ta được phương trình2tiếp tuyến: y6(x 2)

b) Khi M ( )C Oy thì x0 = 0 y0 y(0) và 4 y x'( )0 y'(0) 2 , thay các giá trị đã biết vào (1) ta được phương trình tiếp tuyến: y2x 4

c) Khi x0 là nghiệm phương trình y”= 0 Ta có: y” = 6x – 4

a) Viết phương trình tiếp tuyến d với (C) tai điểm có hoành độ x=2

b)Tiếp tuyến d cắt lại đồ thị (C) tại điểm N, tìm tọa độ của điểm N

Giải a) Tiếp tuyến d tại điểm M của đồ thị (C) có hoành độ x0  2 y0 3

Vậy phương trình tiếp tuyến d tại điểm M của đồ thị (C) là y9x 15

b) Giả sử tiếp tuyến d cắt (C) tại N

Ví dụ 4: Cho hàm số y x 3 3x1 ( )C và điểm A x y  (C), tiếp tuyến của đồ thị (C) tại ( , )0 0điểm A cắt (C) tại điểm B khác điểm A tìm hoành độ điểm B theo x0

Đề cương toán THPT 2016Tiếp tuyến của đồ thị hàm cĩ dạng:

0 0 0

( 0)2

y x  và chứng minh d là tiếp tuyến của (C) cĩ hệ số gĩc

Vậy tiếp tuyến d của đồ thị (C) tại điểm

22;

3

M 

  cĩ phương trình y y 0 f x'( )0 x x 0suy ra 2 1 2

3

hay

83

x y x

+ Tại tiếp điểm M2(2; 4) thì y’(2) = -3 nên tiếp tuyến có phương trình: y3x10

Tóm lại có hai tiếp tuyến thỏa mãn yêu cầu bài toán là: y3x 2 và y3x10

Rõ ràng tiếp tuyến song song với đường thẳng d

Vậy m  là giá trị cần tìm.4

Ví dụ 8: Cho hàm số y x 3 3x2m (1)

Tìm m để tiếp tuyến của đồ thị (1) tại điểm có hoành độ bằng 1 cắt các trục Ox, Oy lần lượt tại

các điểm A và B sao cho diện tích tam giác OAB bằng

Đề cương toán THPT 2016

1.2 Dạng 2: Viết tiếp tuyến của đồ thi hàm số yf x( ) (C) khi biết trước hệ số gĩc của nĩ

+ Gọi M x y là tiếp điểm, giải phương trình ( , )0 0 '

( )

f x  k x x , y0 f x( )0

+ Đến đây trở về dạng 1,ta dễ dàng lập được tiếp tuyến của đồ thị: y k x x (  0) y0

 Các dạng biểu diễn hệ số gĩc k:hoctoancapba.com

*) Tiếp tuyến song song với đường thẳng (d): y = ax + b Khi đĩ hệ số gĩc k = a

*) Tiếp tuyến vuơng gĩc với đường thẳng (d): y = ax + b

11

Phương trình tiếp tuyến cần tìm là y3(x1) 2  y3x1

Ví dụ 10: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y x 3 3x2 (C) Biết tiếp tuyến đĩ 1song song với đường thẳng y = 9x + 6

Theo giả thiết, tiếp tuyến đó song song với đường thẳng y = 9x + +6  tiếp tuyến có hệ số góc k

Phương trình tiếp tuyến của (C) tại M(3;1) là: y9(x 3) 1  y9x 26

Ví dụ 11: Cho hàm số y x 3 3x (C) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến 2

đó vuông góc với đường thẳng

19

, biết tiếptuyến vuông góc với đường thẳng (d): x5y 2010 0

Giải:

(d) có phương trình:

14025

nên (d) có hệ số góc là

-1

5 Gọi  là tiếp tuyến cần tìm có hệ số góc k thì

4

M 

 

Đề cương toán THPT 2016Tiếp tuyến cĩ phương trình:





 (C) Viết phương trình tiếp tuyến với (C) biết rằng tiếp tuyến cắt trục hồnh tại A, trục tung tại B sao cho tam giác OAB vuơng cân tại O, ở đây O là gĩc tọa độ

y x 

0 2

0 0

21

1

1(2 3)

x x x

Với x  thì 0 2 y  lúc đĩ tiếp tuyến cĩ dạng 0 4 y x 2

Vậy tiếp tuyến cần tìm là yx 2

Ví dụ 14: Cho hàm số y =

2 11

x x



 cĩ đồ thị (C)

Lập phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) sao cho tiếp tuyến này cắt các trục Ox, Oy lần lượt tại

các điểm A và B thỏa mãn OA = 4OB

Giải

Giả sử tiếp tuyến d của (C) tại M x y( ; ) ( )0 0  C cắt Ox tại A, Oy tại B sao cho OA4OB

Do OAB vuơng tại O nên

1tan

4

OB A OA



1.3 Dạng 3: Tiếp tuyến đi qua điểm

Cho đồ thị (C): y = f(x) Viết phương trình tiếp tuyến với (C) biết tiếp tuyến đi qua điểm( ; )

Cách giải

+ Tiếp tuyến có phương trình dạng: y f x( )0 f x'( )(0 x x 0), (với x0 là hoành độ tiếpđiểm)

+ Tiếp tuyến qua ( ; )A  nên  f x( )0 f x'( )(0   x0) (*)

+ Giải phương trình (*) để tìm x0 rồi suy ra phương trình tiếp tuyến.

Ví dụ 15: Cho đồ thị (C): y x 3 3x , viết phương trình tiếp tuyến với (C) biết tiếp1

tuyến đi qua điểm A(-2; -1)

1.4 Dạng 4 Một số bài toán tiếp tuyến nâng cao.

Ví dụ 16: Tìm hai điểm A, B thuộc đồ thị (C) của hàm số: y x 3 3x sao cho tiếp2

tuyến của (C) tại A và B song song với nhau và độ dài đoạn AB = 4 2

Giải:

Gọi A a a( ; 3 3a2) , ( ;B b b3 3b2) ,a b là hai điểm phân biệt trên (C)

Ta có: y' 3 x2 3 nên các tiếp tuyến với (C) tại A và B có hệ số góc lần lượt là:

Đề cương toán THPT 2016

Tĩm lại cặp điểm A, B cần tìm cĩ tọa độ là: ( 2; 0) à (2; 4) v

Ví dụ 17: Tìm hai điểm A, B thuộc đồ thị (C) của hàm số:

2 11

x y x

m m





 , biết rằngkhoảng cách từ điểm I(-1; 2) đến tiếp tuyến là lớn nhất

Đề cương toán THPT 2016Vậy

Do đĩ,

2 0 2

  Vậy cĩ hai tiếp điểm là: M1(0;1) ,M 2( 1;0).

+ Tại điểm M1(0; 1) ta cĩ phương trình tiếp tuyến là: y = - x + 1: thỏa mãn song song với d

+ Tại điểm M2(-1; ) ta cĩ phương trình tiếp tuyến là: y = - x - 1: thỏa mãn song song với d

Vậy cĩ hai tiếp tuyến cần tìm cĩ phương trình là: yx1; y x1

Ví dụ 21: Cho hàm số

31

x y x





 a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số

b) Cho điểm M x y thuộc đồ thị (C) Tiếp tuyến của (C) tại M o( ; )o o 0 cắt các tiệm cận của (C)

tại các điểm A và B Chứng minh Mo là trung điểm của đoạn thẳng AB.

x y x





 (C) a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số

b) Chứng minh rằng mọi tiếp tuyến của đồ thị (C) đều lập với hai đường tiệm cận mộttam giác có diện tích không đổi

a a a

1

a A a

IA a







1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.

2) Cho M là điểm bất kì trên (C) Tiếp tuyến của (C) tại M cắt các đường tiệm cận của (C) tại

A và B Gọi I là giao điểm của các đường tiệm cận Tìm tọa độ điểm M sao cho đường tròn ngoại

tiếp tam giác IAB có diện tích nhỏ nhất.

Đề cương toán THPT 2016

Phương trình tiếp tuyến () với (C) tại M: ( )

0 0

2

0 0

22

x

x x

-

-

-Tọa độ giao điểm A, B của () với hai tiệm cận là:

0

0 0

0 0

11

( 2)

3( 2)

x x

x x

x y x

9

( 1) 2 9 6(x 1)  x    , vây d  6

Ví dụ 25: Cho hàm số

2 11

x y x





 Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C), biết rằng tiếp

tuyến cách đều hai điểm A(2; 4), B(4; 2).

Giải

Gọi x0 là hoành độ tiếp điểm (x  ) 0 1

PTTT (d) là

0 0

Chú ý: Bài toán này có thể giải bằng cách sau: Tiếp tuyến cách đều A, B nên có 2 khả năng: Tiếp

tuyến song song (trùng) AB hoặc tiếp tuyến đi qua trung điểm của AB

Ví dụ 26: Cho hàm số

2( )1

x

x



 tìm điểm M ( ) C sao cho tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại

M cắt hai trục tọa độ tại A, B sao cho tam giác OAB có diện tích bằng

14

( 1)

y x



Tiếp tuyến tại M có dạng:

( ,0)

00

Đề cương toán THPT 2016

S =

1

2 OA.OB =

4 0 2 0





 (C) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C), trục Oy và tiếptuyến của (C) tại điểm cĩ hồnh độ x = 3

Bài 5 Cho hàm số y x4 x2 Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) biết tiếp tuyến6

đĩ vuơng gĩc với đường thẳng d:

116

y x

Bài 6 Lập phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) của hàm số

2 11

x y x

x x



 cĩ đồ thị (C) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) đi qua A(-6,5)

Bài 8 Lập phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) của hàm số y = 2x3 + 3x2 - 12x - 1 kẻ từ điểm23





 cĩ đồ thị (C)

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (C)

b) Tìm trên (C) những điểm M sao cho tiếp tuyến tại M của (C) cắt hai tiệm cận của (C) tại

A, B sao cho AB ngắn nhất

Bài 10 Cho hàm số:

11

x y x

Bài 11 Cho hàm số y x 3 1 m x( 1) (C Tìm m để tiếp tuyến của ( ) m) C tại giao điểm của m

nó với trục tung tạo với hai trục tọa độ một tam giác có diện tích bằng 8

Bài 12 Cho hàm số:

12( 1)

x y x





a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số

b) Tìm những điểm M trên (C) sao cho tiếp tuyến với (C) tại M tạo với hai trục tọa độ mộttam giác có trọng tâm nằm trên đường thẳng 4x + y = 0

y x y

0)('

0

0

x y

x y

b/ Điều kiện để hàm số có cực đại tại x 0 :

0

0

'( ) 0' doi dau tu

0 ) ( ' 0

0

x y

x y

c/ Điều kiện để hàm số có cực tịểu tại x 0 :

Đề cương toán THPT 2016

0

0

'( ) 0' doi dau tu

e/ Điều kiện để hàm bậc 4 cĩ 3 cực trị: y/ = 0 cĩ 3 nghiệm phân biệt

2.1.3 Tìm điều kiện để các điểm cực trị của hàm số thỏa mãn điều kiện cho trước.

Phương pháp:

 Tìm điều kiện để hàm số cĩ cực trị

 Biễu diễn điều kiện của bài tốn qua tọa độ các điểm cực trị của đồ thị hàm số, từ

đĩ đưa ra điều kiện của tham số

Vậy hàm số đạt cực đại tại x = -1 và giá trị cực đại y CĐ

3 2

Đề cương toán THPT 2016Vậy hàm số đạt cực đại tại 2

* Giáo viên cần làm cho học sinh hiểu rõ thế mạnh của việc sử dụng quy tắc 1 và quy tắc 2

Chú ý: Quy tắc 1 cĩ ưu điểm là chỉ cần tính đạo hàm cấp một rồi xét dấu y’ và lập bảng

xét dấu y’, từ đĩ suy ra các điểm cực trị Nhưng quy tắc 1 cĩ nhược điểm là nĩ địi hỏi phải xétdấu y’, điều này khơng phải bao giờ cũng đơn giản

Nếu bài tốn khơng yêu cầu tìm điểm cực trị thì quy tắc 1 là hơi thừa, khi đĩ ta sử dụng quy tắc 2.Song quy tắc 2 cũng cĩ nhược điểm là nhiều khi việc tính y” là rất phức tạp, đặc biệt khi khơng

sử dụng được trong trường hợp f x =,( )0 ,,

0( )

Ví dụ 4: Cho hàm số: y x 3 3(m1)x29x m , với m là tham số thực.Xác định m để hàm số

đã cho đạt cực trị tại x x sao cho 1, 2 x1 x2  2

Giải

 Ta cĩ y' 3 x2 6(m1)x9.

 Hàm số cĩ cực đại, cực tiểu x1, x2  PT y’ = 0 cĩ hai nghiệm phân biệt là x1, x2

 x2 2(m1)x  cĩ hai nghiệm phân biệt là 3 0 x x 1, 2

Từ (1) và (2) suy ra giá trị m cần tìm là: 3 m  1 3 hoặc 1  3m1.

Ví dụ 5: Cho hàm số yf x( )mx33mx2 m 1x , m là tham số Xác định các giá trị của1

m để hàm số yf x( ) khơng cĩ cực trị

m m

Đề cương toán THPT 2016

Ta cĩ: y’ = 3x2  6mx = 0 

02

Trung điểm của đoạn AB là I(m; 2m3)

Điều kiện để AB đối xứng nhau qua đường thẳng y = x là AB vuơng gĩc với đường thẳng y = x và

I thuộc đường thẳng y = x

3 3

m 

; m = 0

Kết hợp với điều kiện ta cĩ:

22

     cĩ 2 nhiệm phân biệt    1 0, m

Khi đĩ, điểm cực đại (A m1;2 2 ) m và điểm cực tiểu (B m  1; 2 2 )m

0;1 ;  ;1 4 ; ;1 4

Do đĩ nếu ba điểm cực trị tạo thành một tam giác vuơng cân, thì đỉnh sẽ là A

Do tính chất của hàm số trùng phương, tam giác ABC đã là tam giác cân rồi, cho nên để thỏa mãnđiều kiện tam giác là vuông, thì AB vuông góc với AC.

+) CM tam giác ABC cân đỉnh A Tọa độ trung điểm I của BC là I(0 ; 1 – m4)

+)

5 4

Ví dụ 12 Cho hàm số y x 4  2mx2 (1) Tìm các giá trị của tham số m để đồ thi hàm số (1)1

có ba điểm cực trị và đường tròn đi qua ba điểm này có bán kính bằng 1

 phương trình y’ = 0 có 3 nghiệm phân biệt  m > 0

Khi m > 0, đồ thị hàm số (1) có 3 điểm cực trị là

Gọi I là tâm và R là bán kính của đường tròn đi qua 3 điểm A, B, C

Vì 2 điểm A, B đối xứng qua trục tung nên I nằm trên trục tung

Đặt I(0 ; y0) Ta có: IC = R

0 2

I O

  hoặc (0 ; 2)I

* Với I O (0 ; 0)

Đề cương toán THPT 2016

IA = R

01

Phương trình (*) vơ nghiệm khi m > 0

Vậy bài tốn thỏa mãn khi m = 1 và m =

2

 

Ví dụ 13 Cho hàm số y x 4 2mx2 m  (1), với m là tham số thực Xác định m để hàm số 1

(1) cĩ ba điểm cực trị, đồng thời các điểm cực trị của đồ thị tạo thành một tam giác cĩ bán kính đường trịn ngoại tiếp bằng 1

y đổi dấu khi x đi qua

.2

12

d) Tìm m để đồ thị hàm số có hai điểm cực trị nằm về hai phía trục hoành

Bài 7 Tìm m để đồ thị hàm số y2x3 3m1x26mx có hai điểm cực trị A và B sao cho

đường thẳng AB vuông góc với đường

Bài 8 Tìm m để đồ thị hàm số y x 3 3mx23m3 có hai điểm cực trị A và B sao cho tam giácOAB có diện tích bằng 48

Bài 9 Cho hàm số y x 3 3mx24m3 (1), với m là tham số thực Tìm m để đồ thị hàm số (1)

có hai điểm cực trị A và B sao cho OA2OB2 20

1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1)

2 Gọi A, B lần lượt là các điểm cực đại, cực tiểu của đồ thị hàm số (1) Tìm điểm M thuộc trụchoành sao cho tam giác MAB có diện tích bằng 2

Đề cương toán THPT 2016

Bài 13 Cho hàm số y x33x23m2 1x 3m2 1  1

Tìm m để hàm số (1) cĩ cực đại,cực tiểu, đồng thời các điểm cực đại và cực tiểu cùng với gốc tọa độ O tạo thành một tam giácvuơng tại O

Bài 14 Cho hàm số y = 2x3 + 9mx2 + 12m2x + 1, trong đĩ m là tham số.Tìm tất cả các giá trịcủa m để hàm số cĩ cực đại tại xCĐ, cực tiểu tại xCT thỏa mãn: x2

CĐ= xCT

Bài 15 Cho hàm số y x 3 3x23 1  m x  1 3m C mTìm m để hàm số cĩ cực đại, cựctiểu, đồng thời các điểm cực đại và cực tiểu cùng với gốc tọa độ O tạo thành một tam giác cĩ diệntích bằng 4

Bài 16 Cho hàm số y x 3 3x23(1 m x2) 2m2 2m  (m là tham số)Tìm tất cả các giá1trị của tham số thực m để hàm số đã cho cĩ cực đại, cực tiểu; đồng thời hai điểm cực trị của đồ thị

hàm số đối xứng nhau qua đường thẳng :d x 4y 5 0.

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi m  2

b) Tìm m  để đồ thị hàm số (1) cĩ giá trị cực đại, giá trị cực tiểu lần lượt là 0 y CĐ,y thỏa CT

Bài 23 Cho hàm số y x 4 2(m1)x2m (1), m là tham số

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) khi m = 1

b) Tìm m để đồ thị hàm số (1) cĩ ba điểm cực trị A, B, C sao cho OA = BC, O là gốc tọa

độ, A là cực trị thuộc trục tung, B và C là hai điểm cực trị cịn lại

Bài 24 Cho hàm số y x42mx2 4 cĩ đồ thị C (mlà tham số thực) m

Tìm tất cả các giá trị của m để các điểm cực trị của đồ thị C nằm trên các trục tọa độ m

Bài 25 Cho hàm số y x 4 2m x2 2m4m  1 , m là tham số thực

Tìm m để đồ thị hàm số  1 có ba điểm cực trị lập thành một tam giác có diện tích bằng 1

Bài 26 Cho hàm số y x42mx2 2m  (1), m là tham số.1

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) khi m  2

b) Tìm m để ĐTHS (1) có ba điểm cực trị nằm trên một đường tròn có bán kính bằng 1.

Bài 27 Cho hàm số y x 4 4m 1x22m có đồ thị 1 C m

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị  C của hàm số khi m 32.

b) Xác định tham số m để hàm số có 3 cực trị tạo thành 3 đỉnh của một tam giác đều

Bài 28 Cho hàm số y x 4 2m x2 2m41(1).Tìm m để đồ thị của hàm số (1) có ba điểm cựctrị , ,A B C sao cho các điểm , , A B C và điểm O nằm trên một đường tròn, trong đó O là gốc tọa

độ

Bài 29 Cho hàm số y x 4 2m x2 2m4m  1 , m là tham số thực

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m  1

b) Tìm m để đồ thị hàm số  1 có ba điểm cực trị lập thành một tam giác có diện tích bằng32

Bài 30 Cho hàm số y x 4 2mx2m có đồ thị 1 C Tìm các giá trị thực của tham số m để m

đồ thị C có ba điểm cực trị nằm trên đường tròn có bán kính bằng 1 m

Bài 31 Cho hàm số

1

2 2 (1)3

, với m là tham số Tìm m để đồ thị của hàm số (1)

có ba điểm cực trị tạo thành một tam giác có tâm đường tròn ngoại tiếp trùng với gốc tọa độ

Bài 32 Cho hàm số yf x  x42m 2 x2m2 5m 5

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C ) hàm số với m = 1

b) Tìm các giá trị của m để đồ thị hàm số có các điểm cực đại, cực tiểu tạo thành 1 tamgiác vuông cân

3 Chủ đề 3: Bài toán tương giao

3.1 Kiến thức cơ bản

3.1.1 Bài toán tương giao tổng quát:

Cho hai đồ thị hàm số: y = f(x, m) và y = g(x,m) Hoành độ giao điểm của hai đồ thị là nghiệmcủa phương trình

f(x, m) = g(x,m) (1)

 Nhận xét: Số nghiệm của (1) chính là số giao điểm của hai đồ thị hàm số.

Đề cương toán THPT 2016Sau đĩ lập phương trình tương giao của d và (C).

3.1.2 Bài tốn cơ bản:

Cho hai đồ thị hàm số: y = f(x, m) và d: y =ax+b

Hồnh độ giao điểm của hai đồ thị là nghiệm của phương trình f(x,m) = ax+b (1)

+ Nếu (1) dẫn đên một phương trình bậc hai, ta cĩ thể sử dụng định lý Viet

 Phương pháp nhẩm nghiệm hữu tỷ

 (p, q)=1 thì \q a và n p a \ 0

 Phương pháp hàm số

Chuyển phương trình hồnh độ tương giao về: g(x) = m

Khi đĩ số nghiệm chính là số giao điểm của đồ thị y = g(x) và đường thẳng y = m

 Hàm số đồng biến trên (0 ; 2); hàm số nghịch biến trên ( ;0) và (2; )

 Hàm số đạt cực đại tại x = 2, yCĐ = 3; hàm số đạt cực tiểu tại x = 0, yCT = -1

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (C)

b) Dựa vào đồ thị (C) tìm m để phương trình x4 3x2m có 4 nghiệm phân biệt.0

Giải

a)

Thực hiện các bước tương tự như bài tập 2, ta được đồ thị hàm số sau:

Đề cương toán THPT 2016

b)

 x4 3x2m  0 x43x2  1 m 1

 Số nghiệm của phương trình là số giao điểm của đồ thị (C) với đường thẳng y=m+1

 Dựa vào đồ thị, phương trình cĩ 4 nghiệm phân biệt

x y x





 cĩ đồ thị (C)

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C)

b) Chứng minh rằng với mọi giá trị của m, đường thẳng y = x – m luơn cắt đồ thị (C) tại hai điểm phân biệt

x

x m x x





2 2

Ví dụ 4.Cho hàm số y x 3 3x24  C Gọi d là đường thẳng đi qua điểm A(- 1; 0) với hệ sốgóc là k ( k thuộc R) Tìm k để đường thẳng d cắt (C) tại ba điểm phân biệt và hai giao điểm B, C(B, C khác A ) cùng với gốc tọa độ O tạo thành một tam giác có diện tích bằng 1.

 có ba nghiệm phân biệt  g(x) = x2 – 4x + 4 – k = 0 có hai

nghiệm phân biệt khác - 1

Với điều kiện: (*) thì d cắt (C) tại ba điểm phân biệt A, B, C.Với A(-1;0), do đó B,C có hoành độ

là hai nghiệm của phương trình g(x) = 0

Gọi B x y C x y với  1; 1;  2; 2 x x là hai nghiệm của phương trình: 1; 2 x2 4x 4 k  Còn0

k



Vậy theo giả thiết:

3 2

Đề cương toán THPT 2016Gọi A x 1; 2 x1m B x;  2; 2 x2m Với: x x là hai nghiệm của phương trình (1) 1, 2

Ta cĩ ABx2 x1;2x1  x2   AB x2 x124x2 x12 x2 x1 5

.Gọi H là hình chiếu vuơng gĩc của O trên d, thì khoảng cách từ O đến d là h:

          Với m thỏa mãn (*) thì d cắt (1) tại ba điểm A(0; 4), cịn hai điểm B,C cĩ hồnh độ là hai nghiệm

- Theo giả thiết: S = 4  x2 x1  4; 2   ' 4; m2 m 2 4  m2 m 6 0

Kết luận: với m thỏa mãn: m 2 m 3 m (chọn).3

Hàm số là chẵn nên hình phẳng trong bài toán nhận Oy làm trục

đối xứng Khi đó đồ thị có dạng như hình bên

Bài toán thỏa mãn

KL: m  thỏa mãn yêu cầu5

Ví dụ 8 Gọi C là đồ thị của hàm số m y x 4 2m1 x22m  Tìm mđể đường thẳng21

y  cắt C tại bốn điểm phân biệt A, B, C, D sao cho m OA OB OC OD    4 2 2

Đề cương toán THPT 2016Với điều kiện trên phương trình (*) cĩ hai nghiệm dương t t Theo Vi-et ta cĩ,1, 2



m m

0

m m

Tìm m để đồ thị (C) cắt Ox tại ba điểm phân biệt có hoành độ dương.

Bài 5 Cho hàm số y = 2x3 – 3x2– 1, có đồ thị là (C) Gọi (d k ) là đường thẳng đi qua A(0; –1) và có

hệ số góc bằng k Tìm k để đường thẳng d k cắt (C) tại

Đề cương toán THPT 2016

a) 3 điểm phân biệt.

b) 3 điểm phân biệt, trong đĩ hai điểm cĩ hồnh độ dương.

Bài 6 Cho hàm số y = x3 + 2mx2 + (m + 3)x + 4, cĩ đồ thị (Cm)

a) Khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số khi m = 1.

b) Cho d là đường thẳng cĩ phương trình y = x + 4 và điểm K(1 ; 3) Tìm m để d cắt (Cm)

tại ba điểm phân biệt A(0 ; 4), B, Csao cho tam giác KBC cĩ diện tích bằng 8 2

Bài 7 Cho hàm số yx32mx23(m 1)x (1), m là tham số thực2

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số khi m  0

b) Tìm m để đồ thị hàm số cắt đường thẳng : yx tại 3 điểm phân biệt (0;2)2 A ; B;

C sao cho tam giác MBC cĩ diện tích 2 2 , với M(3;1).

Bài 8 Cho hàm số yx36x29x cĩ đồ thị là (C) và hai điểm A( 1;3), B(1; 1)3  

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.

b) Tìm các điểm M thuộc (C) sao cho tam giác ABM cân tại M

Bài 9 Cho hàm số: yx3 3x 1

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) C) của hàm số.

b) Viết phương trình đường thẳng d cắt (C) C) tại 3 điểm phân biệt A, M, N sao cho x  và A 2

2 2

MN 

Bài 10 Cho hàm số yx3 3x2.

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho

b) Gọi A, B là hai điểm cực trị của đồ thị (C) Tìm tọa độ các điểm M thuộc (C) sao chotam giác MAB cân tại M

3

y mx

cắt (C) tại ba điểm phân biệt A, B, C sao cho A

cố định và diện tích tam giác OBC gấp hai lần diện tích tam giác OAB

Bài 12 Cho hàm số yx3 2mx2(m3)x cĩ đồ thị là (C4 m).Tìm m để đường thẳng (d): y

= x + 4 cắt (Cm) tại ba điểm phân biệt A(0; 4), B, C sao cho SBCD 2 2 với D(1; 3)

Bài 13 Cho hàm số y x 3 3x2m1 x1 1  cĩ đồ thị C với m là tham số m

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số (1) khi m 1

b) Tìm m để đường thẳng  d :y x  cắt đồ thị 1 C tại 3 điểm phân biệt m P0,1 , , M N

sao cho bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác OMN bằng

Bài 15 Cho hàm số y = x3 + 3x2 + mx + 1 có đồ thị là (C m ); (m là tham số) Xác định m để (C m)

cắt đường thẳng y = 1 tại ba điểm phân biệt C(0;1), D, E sao cho các tiếp tuyến của (C m ) tại D và

E vuông góc với nhau

Bài 16 Cho hàm số y = x3- (m+1)x2 + (m - 1)x + 1Chứng tỏ rằng với mọi giá trị khác 0 của m, đồthị của hàm số cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt A, B, C trong đó B, C có hoành độ phụ thuộctham số m Tìm giá trị của m để các tiếp tuyến tại B, C song song với nhau

Bài 17 Cho hàm số yx4 2m1 x22m có đồ thị là (C1 m), m là tham số.

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m = 0.

b) Tìm m để đồ thị (Cm) cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt đều có hoành độ nhỏ hơn 3

Bài 18 Cho y =x4 -2(m+1)x2 +2m+1Tìm m để đồ thị hàm số cắt trục hoành tại 4 điểm phân biệt





 có đồ thị ( C ).

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị ( C )

b)Xác định m để đường thẳng (d): y x m  cắt đồ thị (C) tại hai điểm phân biệt A, B saocho tam giác OAB có diện tích bằng 2 3 (với O là gốc tọa độ)

Bài 20 (KB-2010) Cho hàm số: y =

1

x x



a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị ( C )

b) Tìm m để đường thẳng y = -2x + m cắt đồ thị (C) tại hai điểm phân biệt A, B sao chotam giác OAB có diện tích bằng 3 (O là gốc tọa độ)

x y x





 có đồ thị (C)

Đề cương toán THPT 2016a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.

b) Tìm m để đường thẳng y x m  cắt (C) tại hai điểm A, B sao cho AB  4

Bài 23 Cho hàm số

2 12

x y x

x y x





 cĩ đồ thị là (C).

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số

b) Tìm m để đường thẳng (d): y = mx+3 cắt (C) tại hai điểm phân biệt A, B sao cho tam

giác OAB vuơng tại O

Bài 25 Cho hàm số

2

2 1

x y x





 ( C )a) Khảo sát và vẽ đồ thị ( C ) của hàm số

b) Tìm m để (dm) cắt (C) tại hai điểm phân biệt thuộc cùng một nhánh của (C)

Bài 26 Cho hàm số y =

2

x x



 (1) Tìm m để đường thẳng dm: y = mx + 2 - 2m cắt đồ thị củahàm số (1) tại hai điểm phân biệt thuộc hai nhánh khác nhau

Bài 27 Cho hàm số:

22

x y x





 a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C)

b) Chứng minh rằng với mọi giá trị m thì trên (C) luơn cĩ cặp điểm A, B nằm về hai nhánh

của (C) thỏa mãn

00

x x



 (C) và đường thẳng d: y = x+m cắt đồ thị  C tại các điểm A vàB

sao cho tam giác IAB nhận điểm H4; 2  làm trực tâm Với I là giao điểm của hai đường tiệmcận

Bài 29 Cho hàm số 2

x m y

x

 



 (C) Tìm số thực dương m để đường thẳng  d : 2x2y 1 0cắt (C) tại hai điểm A và B sao cho tam giác OAB cĩ diện tích bằng 1 trong đĩ O là gốc tọa độ

Bài 30 Cho hàm số

2 11

x y

x

 



 Tìm những điểm trên (C) sao cho tiếp tuyến với (C) tại điểm

đĩ tạo với hai trục tọa độ một tam giác cĩ trọng tâm cách trục hồnh một khoảng bằng





 (1).Gọi I là giao điểm hai tiệm cận của (C), đường thẳng

( ) :d x 2y  cắt ( )5 0 C tại hai điểm A, B với A có hoành độ dương Viết phương trình các

tiếp tuyến của ( )C vuông góc với IA.

Bài 32 Cho hàm số

2 11

x y x





 (C)

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số

b) Tìm m để đường thẳng d: y x m  cắt (C) tại hai điểm phân biệt A, B sao cho OABvuông tại O

Bài 33 Cho hàm số

11

x y x

Đồ thị chứa dấu trị tuyệt đối

+Lấy đối xứng qua Ox với phần

phía dưới trục Ox.

+Bỏ đi phần (C) nằm ở phía dưới Ox

+Lấy đối xứng qua Oy vớ́i phần đồ thị (C) ở bờn phải Oy

x

y

(C')

f(x)=abs(x)^3-2x^2-0.5 f(x)=x^3-2x^2-0.5

x y

(C'')

Đề cương toán THPT 2016

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số: y = 2x3 – 9x2 + 12x – 4 (C)

*) Khảo sát sự biến thiên:

+) Phần từ trục hồnh trở lên của đồ thị hàm số y = f(x)

+) Đối xứng phần đồ thị phía dưới trục hồnh của đồ thị hàm số y = f(x)

.

x y’

.

.

.

.

4

+) Phần bên phải Oy của đồ thị hàm số y = f(x).

+) Đối xứng phần đồ thị trên qua Oy

Vi

́ du 2 Cho hàm số

11

x y x





  có đồ thị (C)

1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị  C của hàm số.

2 Biện luận theo m số nghiệm của phương trình

1.1

x

m x

.

.

.

-1 -2