he phuong trinh bac hai hai an

Định nghĩa: Hệ phương trình hai ẩn

BÀI 6 – HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI HAI ẨN

Hệ gồm một phương trình bậc nhất và một phương trình bậc hai ⤏ dùng phương pháp thế

 Từ phương trình bậc nhất, tính ẩn này theo ẩn kia (𝑥 theo 𝑦 hoặc 𝑦 theo 𝑥)

 Thay vào phương trình bậc hai còn lại, được phương trình một ẩn

 Suy ra giá trị ẩn còn lại

Giải các hệ phương trình sau

① 𝑥 + 2𝑦 = 5

𝑥2+ 2𝑦2− 2𝑥𝑦 = 5

② 2𝑥 − 𝑦 − 7 = 0 −𝑥2+ 𝑦2+ 2𝑥 + 2𝑦 + 4 = 0

③ 2𝑥 + 3𝑦 = 12 𝑥2+ 11 = 5𝑦2

④ 𝑥𝑦 = 3 𝑥 + 𝑦 − 92𝑥 − 4𝑦 + 1 = 0

⑤ 𝑥 − 2𝑦 = 3 𝑥2+ 2𝑦2+ 2𝑥𝑦 − 𝑥 − 𝑦 = 6

⑥ 2𝑥 − 3𝑦 = 1 7𝑥2 + 9𝑦2− 12𝑥𝑦 + 5𝑥 + 3𝑦 + 5 = 0

⑦ 3𝑥 − 2𝑦 + 9 = 0 9𝑥2 + 4𝑦2+ 6𝑥𝑦 + 42𝑥 − 40𝑦 + 135 = 0

⑧

3𝑥 + 𝑦

𝑥 − 1 −

𝑥 − 𝑦 2𝑦 = 2

𝑥 − 𝑦 = 4

⑨

1 3𝑥−

1 2𝑦 =

1

3 1

9𝑥2− 1 4𝑦2 = 1

4

⑩

1

𝑥 + 1+

1

𝑦=

1

3 1

(𝑥 + 1)2− 1

𝑦2 = 1 4

Hệ đối xứng loại 1

1 Định nghĩa: Hệ phương trình hai ẩn 𝑥, 𝑦 gọi là hệ đối xứng loại 1 nếu từng phương trình không

thay đổi khi ta đổi chỗ 𝑥, 𝑦 cho nhau

2 Phương pháp: Đặt 𝑆 = 𝑥 + 𝑦; 𝑃 = 𝑥𝑦 (đk: 𝑆2− 4𝑃 ≥ 0)

 Đưa hệ đã cho về hệ phương trình 2 ẩn 𝑆, 𝑃

 Giải hệ trên tìm 𝑆, 𝑃 và so sánh với điều kiện để nhận hay loại nghiệm

 Với mỗi cặp 𝑆, 𝑃 tìm được, thì 𝑥, 𝑦 là 2 nghiệm của phương trình: 𝑋2− 𝑆𝑋 + 𝑃 = 0 ⤏ 𝑥, 𝑦

Chú ý:

 Nếu mỗi phương trình không thay đổi khi ta thay 𝑥 bởi – 𝑦 và thay 𝑦 bởi – 𝑥 thì ta đặt

𝑆 = 𝑥 − 𝑦; 𝑃 = 𝑥𝑦 và không cần đặt điều kiện 𝑆2− 4𝑃 ≥ 0

 Với mỗi cặp nghiệm (𝑥, 𝑦) thì (𝑦, 𝑥) cũng là nghiệm của hệ phương trình

 𝑥2 + 𝑦2 = 𝑆2− 2𝑃  𝑥3+ 𝑦3 = 𝑆3− 3𝑃

Giải các hệ phương trình sau

① 2 𝑥 + 𝑦 = 3𝑥𝑦

𝑥2+ 𝑦2 = 5

② 𝑥 + 𝑦 + 𝑥𝑦 = 2 𝑥2+ 𝑦2+ 𝑥𝑦 = 4

③ 5 𝑥 + 𝑦 + 2𝑥𝑦 = −19 15𝑥𝑦 + 5 𝑥 + 𝑦 = −175

④ 𝑥 + 𝑦 = 6 𝑥2+ 𝑦2 = 2(𝑥𝑦 + 2)

⑤ 𝑥 + 𝑦 = −1

𝑥2+ 𝑥𝑦 + 𝑦2 = 13

⑥ 𝑥 + 𝑥𝑦 + 𝑦 = 11 𝑥2+ 𝑦2− 𝑥𝑦 − 2 𝑥 + 𝑦 = −31

⑦ 3𝑥 − 2𝑦 + 9 = 0 9𝑥2+ 4𝑦2+ 6𝑥𝑦 + 42𝑥 − 40𝑦 + 135 = 0

⑧ 𝑥 + 𝑥𝑦 + 𝑦 = −3𝑥2𝑦 + 𝑦2𝑥 = 2

⑨ 𝑥2 + 𝑦2+ 𝑥 − 𝑦 = 4

𝑥 𝑥 − 𝑦 + 1 + 𝑦 𝑦 − 1 = 2

⑩ 𝑥𝑥𝑦 + 𝑥 − 𝑦 = −1 2+ 𝑦2− 𝑥 + 𝑦 = 2

⑪

𝑦

𝑥+

𝑥

𝑦=

13 6

𝑥 + 𝑦 = 5

⑫

1

𝑥+

1

𝑦= 5 1

𝑥2+ 1

𝑦2 = 13

⑬

𝑦2

𝑥 +

𝑥2

𝑦 = 18

𝑥 + 𝑦 = 12

⑭

1 2𝑥 + 𝑦+ 𝑥 = 3 𝑥

2𝑥 + 𝑦= −4

⑮

𝑥 + 2𝑦 2+ 1

2𝑥 − 𝑦 2 = 10

𝑥 + 2𝑦 2𝑥 − 𝑦= 3

⑯ 𝑥3 + 𝑦3 = 35

𝑥 + 𝑦 = 5

⑰ (𝑥2− 𝑥𝑦)2+ (𝑥 + 𝑦)2 = 100

𝑥2− 𝑥𝑦 𝑥 + 𝑦 − 𝑥2− 𝑥𝑦 + 𝑥 + 𝑦 = 34

⑱ (𝑥 − 2𝑦)2+ (𝑦2+ 2𝑥𝑦)2+ 𝑥 − 2𝑦 (𝑦2+ 2𝑥𝑦) = 13

𝑥 − 2𝑦 𝑦2+ 2𝑥𝑦 𝑥 − 2𝑦 + 𝑦2+ 2𝑥𝑦 = −12

Hệ đối xứng loại 2

1 Định nghĩa: Hệ phương trình hai ẩn 𝑥, 𝑦 gọi là hệ đối xứng loại 2 khi ta đổi chỗ 𝑥, 𝑦 cho nhau thì

phương trình trở thành phương trình kia

2 Phương pháp:

 Trừ vế theo vế của hai phương trình, chuyển hết sang một vế và luôn phân tích được về dạng:

𝑥 − 𝑦 𝑓 𝑥; 𝑦 = 0 ⇔ 𝑥 − 𝑦 = 0 𝑓 𝑥; 𝑦 = 0

 Ứng với mỗi trường hợp 𝑥 − 𝑦 = 0 hoặc 𝑓 𝑥; 𝑦 = 0 kết hợp với một phương trình của đề bài

để giải tiếp

Chú ý: Với mỗi cặp nghiệm (𝑥, 𝑦) thì (𝑦, 𝑥) cũng là nghiệm của hệ phương trình

Giải các hệ phương trình sau

① 𝑥2− 3𝑥 = 2𝑦

𝑦2− 3𝑦 = 2𝑥

② 𝑥2 = 2𝑦

𝑦2 = 2𝑥

③ 2𝑥2 + 𝑥𝑦 = 3𝑥

2𝑦2 + 𝑥𝑦 = 3𝑦

④ 2𝑥 = 𝑦2− 4𝑦 + 5 2𝑦 = 𝑥2− 4𝑥 + 5

⑤ 𝑥3 = 5𝑥 + 2𝑦

𝑦3 = 2𝑥 + 5𝑦

⑥ 𝑥2− 2𝑦2 = 2𝑥 + 𝑦

𝑦2− 2𝑥2 = 2𝑦 + 𝑥

⑦

𝑥 − 3𝑦 = 4𝑦

𝑥

𝑦 − 3𝑥 = 4𝑥

𝑦

𝑦2 3𝑦 =𝑦

𝑥2

Hệ đẳng cấp bậc hai

1 Dạng: 𝑎𝑥2+ 𝑏𝑥𝑦 + 𝑐𝑦2 = 𝑑

𝑎′𝑥2 + 𝑏′𝑥𝑦 + 𝑐′𝑦2 = 𝑑′

2 Phương pháp:

 Xét 𝑥 = 0, thay vào đề bài giải tìm 𝑦 (nếu có)

 Xét 𝑥 ≠ 0, đặt 𝑦 = 𝑘𝑥 thay vào hệ phương trình đề bài

 Khử 𝑥2 (lấy hai phương trình chia nhau vế theo vế) ⤏ tìm được k ⤏ thay vào 1 trong hai

phương trình tìm được 𝑥 ⇢ 𝑦

Giải các hệ phương trình sau

① 2𝑥2+ 3𝑥𝑦 + 𝑦2 = 12

𝑥2− 𝑥𝑦 + 3𝑦2 = 11

② 2𝑥2− 13𝑥𝑦 + 15𝑦2 = 0

𝑥2− 2𝑥𝑦 + 3𝑦2 = 9

③ 𝑥2+ 2𝑥𝑦3 + 𝑦2 = 9

2𝑥2+ 2𝑥𝑦 + 𝑦2 = 2

④ 3𝑥2− 2𝑥𝑦 = 16

𝑥2− 3𝑥𝑦 − 2𝑦2 = 8

⑤ 3𝑥2+ 2𝑥𝑦 + 𝑦2 = 1

𝑥2+ 2𝑥𝑦 + 3𝑦2 = 3

⑥ 3𝑥2− 4𝑥𝑦 + 𝑦2 = 1

𝑦2− 3𝑥𝑦 = 4

Các hệ phương trình có tham số

① Định 𝑚 để hệ có nghiệm ② Định 𝑚 để hệ có nghiệm 𝑥 > 0; 𝑦 > 0

① Giải hệ khi 𝑚 = −1 ② Định 𝑚 để hệ vô nghiệm

③ Định 𝑚 để hệ có nghiệm 𝑥 > 0; 𝑦 > 0

𝑥 + 𝑦 = 𝑥2+ 𝑚

① Giải hệ khi 𝑚 = 0 ② Định 𝑚 để hệ có nghiệm duy nhất

① Giải hệ khi 𝑚 = 3 ② Định 𝑚 để hệ có nghiệm duy nhất

𝑥2+ 𝑦2 = 2(𝑚 + 1)

① Giải hệ khi 𝑚 = 2 ② Định 𝑚 để hệ có nghiệm duy nhất

Bài 6: Định m để các hệ phương trình sau có nghiệm:

① 𝑥2𝑥 − 𝑦 = 1 2+ 𝑥𝑦 = 𝑚

② 𝑥2+ 𝑦2 = 𝑚

𝑥𝑦 = 1

③ 𝑥𝑥 + 𝑦 = 2 2− 𝑦2+ 𝑚𝑥 = 1

④ 𝑥2+ 𝑦2 = 𝑚

𝑥 + 𝑦 = 2

Bài 7: Định m để các hệ phương trình sau vô nghiệm:

① 𝑥2+ 𝑦2 = 2𝑚

𝑥2+ 2𝑥𝑦 + 𝑦2 = 4 ② 𝑥𝑥𝑦 = 1 2+ 𝑦2 = 𝑚

Bài 8: Định m để các hệ phương trình sau có nghiệm duy nhất:

① 𝑥 + 𝑦 + 𝑥𝑦 = 3𝑥2 + 𝑦2 = 𝑚

② 𝑥2+ 𝑚 = 𝑥 + 𝑦 − 3

𝑦2+ 𝑚 = 𝑥 + 𝑦 − 3

③ 𝑥 + 𝑦 + 𝑥𝑦 = 𝑚 + 2𝑥2𝑦 + 𝑦2𝑥 = 𝑚 + 1

④ 𝑥 + 𝑦 + 2 = 2 𝑥 + 1 (𝑦 + 1)𝑥 + 𝑦 + 𝑥𝑦 = 𝑚

⑤ 𝑥 + 𝑦 + 𝑥𝑦 = 3𝑥2 + 𝑦2 = 𝑚

⑥ 𝑥𝑥 + 𝑦 + 𝑥𝑦 = 2𝑚2 + 𝑦2 = 2𝑚

⑦ 𝑥2− 2𝑦2 = 𝑚𝑥 + 𝑦

𝑦2− 2𝑥2 = 𝑚𝑦 + 𝑦

Một số hệ phương trình khó

① 2𝑥𝑦 + 𝑥 + 2𝑦 = 7𝑥2+ 4𝑦2 = 5

②

𝑥 𝑥 + 𝑦 + 1 − 3 = 0

(𝑥 + 𝑦)2− 5

𝑥2+ 1 = 0

③ 𝑥4− 𝑥3𝑦 + 𝑥2𝑦2 = 1

𝑥3𝑦 − 𝑥2+ 𝑥𝑦 = −1

④ 𝑥2− 𝑥𝑦 + 𝑦2 = 3(𝑥 − 𝑦)

𝑥2+ 𝑥𝑦 + 𝑦2 = 7(𝑥 − 𝑦)3

⑤ 𝑥3+ 𝑦3 = 1

𝑥2𝑦 + 𝑦3+ 2𝑥𝑦2 = 2

⑥ 𝑦3− 𝑥3 = 𝑦 − 𝑥2

𝑥2+ 𝑦2 = 𝑥 − 𝑦

⑦ 𝑥2+ 𝑥𝑦 = 2

𝑥3− 2𝑦 + 2𝑥𝑦2 = 𝑥

⑧ 𝑥 − 1 𝑦 − 1 𝑥 + 𝑦 − 2 = 6

𝑥2+ 𝑦2− 2𝑥 − 2𝑦 = 0

⑨ 𝑥𝑦 + 𝑥 − 2 = 0 2𝑥3− 𝑥2𝑦 + 𝑥2+ 𝑦2− 2𝑥𝑦 − 𝑦 = 0

⑩

𝑥3− 3𝑥2− 9𝑥 + 22 = 𝑦3+ 3𝑦2− 9𝑦

𝑥2+ 𝑦2− 𝑥 + 𝑦 =1

2

⑪ 5𝑥2𝑦 − 4𝑥𝑦2+ 3𝑦3− 2 𝑥 + 𝑦 = 0

𝑥𝑦 𝑥2+ 𝑦2 + 2 = (𝑥 + 𝑦)2

⑫ (𝑥 + 𝑦)2−

5

𝑥2 + 1 = 0

𝑥 𝑥 + 𝑦 + 1 − 3 = 0

⑬

3𝑦 = 𝑦2+ 2

𝑥2 3𝑥 = 𝑥2+ 2

𝑦2

⑭ 𝑥4+ 2𝑥3𝑦 + 𝑥2𝑦2 = 2𝑥 + 9

𝑥2 + 2𝑥𝑦 = 6𝑥 + 6

⑮ 𝑥𝑥𝑦 + 𝑥 + 1 = 7𝑦 2𝑦2+ 𝑥𝑦 + 1 = 13𝑦2

⑯ 𝑥

2+ 𝑦 + 𝑥3𝑦 + 𝑥𝑦2+ 𝑥𝑦 = −5

4

𝑥4+ 𝑦2+ 𝑥𝑦 1 + 2𝑥 = −5

4

“SUY NGHĨ – HÀNH ĐỘNG – THÓI QUEN – ĐỊNH MỆNH”