Phương Trình,Bất Phương Trình ,Hệ Phương Trình,Biến Đổi Đồng Nhất,Tam Thức Bậc Hai và Định lý Vi-et, Số Học,Hàm Số,Tổ Hợp

Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n , biểu thức Câu IV... Chứng minh rằng nếu trong dãy số đã cho có ít nhất một số dương thì tổng của tất cảcác số được đánh dấu là một số dương...

Phương Trình,Bất Phương Trình ,Hệ Phương Trình,Biến Đổi Đồng Nhất,Tam Thức Bậc Hai

1 1

2 3 4 1

2 9 1 1

Câu II 1) Giả sử a; b; c là các số thực khác 0 thỏa mãn (a+b)(b+c)(c+a)=8abc

1

3 3

y x xy

xy x y y

0

192 3

2

1

3 2

1

x x

x

x

x x

422 2

xy y x

y y

x

Câu II. Tìm tất cả các cặp số nguyên  x; y  thỏa mãn đẳng thức:

xy1xyxy52xy

x x

Câu II 1) Với mỗi số thực a ta gọi phần nguyên của a là số nguyên lớn nhất không vượt

quá avà ký hiệu là   a Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n , biểu thức

Câu IV Giả sử A là một tập con của tập các số tự nhiên Tập A có phần tử nhỏ nhất là 1,

phần tử lớn nhất là 100 và mỗi x thuộc A x 1 , luôn tồn tại ,a b cũng thuộc A sao cho

23 12

8 3

2 2

2 2

y x

xy y

1) Với mỗi số thực a, ta gọi phần nguyên của số a là số nguyên lớn nhất không vượt quá a và ký hiệu là [a] Chứng minh rằng với mọi n nguyên dương ta luôn có.

n  n

n

n n

3 2

7 2 1

3

26 2

2

y x y x x

xy y

x

Câu IV

Trong dãy số gồm 2010 số thực khác 0 được sắp xếp theo thứ tự a1 ,a2 , ,a2010, ta đánh dấu tất cả các số âm và tất cả các số mà tổng của nó với một số liên tiếp liền ngay sau nó là một số dương (Ví dụ với dãy số -8,-4,-1,2,-1,2,-3, ,-2005 thì các số được đánh dấu là a2   4 ,a3  4 ,a4   1 ,a5  2)

Chứng minh rằng nếu trong dãy số đã cho có ít nhất một số dương thì tổng của tất cảcác số được đánh dấu là một số dương

Câu I.1) Giải phương trình 2 2 2 2 1

1

2

2 2

y y x

xy y x

Câu II.1) Tìm chữ số tận cùng của chữ số 13136620092009

Câu I.1) Giải phương trình 14 35 6 1 84 2 36 35

12

34

31

4

1

2

2 4

4 4

M (16,2),(4,32),(6,62),(78,8) bằng cặp số (a + c, b + d)

trong đó cặp số (c, d) cũng thuộc M Hỏi sau một số hữu hạn lần thay thế ta có thể nhận được tập hợp các cặp số M1 (2018,702),(844,2104),(1056,2176),(2240,912) hay không?

Câu 1:

.Câu 2:

2) Trên quãng đường AB dài 210 km, tại cùng một thời điểm, một xe máy khởi hành

từ A đi về B và một ô tô khởi hành từ B đi về A Sau khi gặp nhau, xe máy đi tiếp 4

giờ nữa thì đến B và ô tô đi tiếp 2 giờ 15 phút nữa thì đến A Biết rằng xe máy và ô

tô không thay đổi vận tốc trên suốt chặng đường Tính vận tốc của xe máy và của ô

giá trị nào của m thỡ x1; x2 là độ dài cạnh góc vuông của tam giác vuông có độ dài cạnhhuyền bằng

1 2 2

y x xy y

2 2 2 3

Chứng minh rằng 1-ab là bình phương của một số hưũ tỷ.

Câu 3 Tìm tất cả các số nguyên tố p có dạng pa2 b2 c2 với a, b, c là các số nguyên dương sao cho

4

4

4 b c

a   chia hết cho p

Câu 5 Trong một hộp có chứa 2011 viên bi màu ( mỗi viên bi có đúng 1 màu) ,trong đó có 655 viên bi màu

đỏ ,655 viên bi màu xanh , 656 viên bi màu tím và 45 viên bi còn lại là viên bi màu vàng hoặc màu trắng ( mỗi màu ít nhất 1 viên) Người ta lấy ra từ hộp 178 viên bi bất kì Chứng minh rằng trong số các viên bi lấy

ra luôn có ít nhất 45 viên bi cùng màu Nếu người ta chỉ lấy ra 177 viên bi bất kì thì kết quả bài toán còn đúng không ?

3

3 3

2 2

3

22

2.222

24

22

xy xy

xy y

x

xy P

Giả sử (x, y, z) là một nghiệm của hệ phương trình:

14123

z y x

z y x

Hãy tính giá trị của A = x + y + z

Câu 3 Ba số nguyên dương a, p, q thỏa mãn các điều kiện:

i) ap + 1 chia hết cho q.

ii) aq + 1 chia hết cho p.

Chứng minh

)(

pq a

2 Khi m thay đổi, hãy chứng minh điểm I luôn thuộc đường thẳng cố định.

Câu 3 :Giả sử cho bộ ba số thực (x;y;z) thoả mãn hệ  

) 1 ( 1

z xy

z y x

1 Chứng minh x 2 + y 2 = -z 2 + 12z – 19

2 Tìm tất cả bộ số x,y,z sao cho x 2 + y 2 = 17

Câu 5: Giải phương trình : (x2 -5x + 1)(x 2 - 4) = 6(x-1) 2

Câu 1: 1.Giả sử a và b là hai số dương khác nhau và thoả mãn a b 1 b2  1 a2

Chứng minh rằng 2 2 1



b a

2.Chứng minh rằng số 20092 20092.20102 20102 là số nguyên dương

Câu 2:

Giả sử 4 số thực a , b, c, c, d đôi 1 khác nhau và thoả mãn hai điều kiện sau

2 Ta bắt đầu thực hiện trò chơi như sau :

Mỗi lần chơi ta xoá hai số nào đó trong ba số trên bảng ,giả sử là a và b rồi viết vào 2 vị trí vừa xoá hai số mới

đồng thời giữ nguyên số còn lại Như vậy sau mỗi lần chơi trên bảng luôn có ba

số Chứng minh rằng dù ta có chơi bao nhiêu lần đi chăng nữa thì trên bảng không đồng thời có ba số

21

2

22

2:2

8

x x

x x

x x

x

x x

x A

Cho phương trình bậc 2 : x2-2(m+1)x+4m-m2 =0 ( tham số m)

1-Chứng minh PT có 2 nghiệm phân biệt với mọi m

2-Gọi x1;x2 là 2 nghiệm của phương trình Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

0)(

2

2 2

2 2

y x y x

xy y x y

x

Câu 1 ( 2,0 điểm )

Bài 2 (3,0 điểm)a/ Cho a, b là hai số thực dương thỏa mãn a  ab 6b 0  

Tính giá trị của biểu thức: a b

Bài 5 (1 điểm) Cho các số tự nhiên a, b, c thỏa mãn a2b2c2 2051. Chứng minh rằng tích abc chia

Câu 1 (7,0 điểm).a) Giải phương trình: ( x   1 1)(5  x ) 2  x

Câu 2 (3,0 điểm).Tìm các số tự nhiên xvàythoả mãn 2x   1 y2.

Bài I (2điểm)Với a ≠ ±b giải phương trình: (a4 – b4)x2 – 2(a3 – b3)x + a2 – b2 = 0

Tìm tất cả các số nguyên dương n sao cho n2 – 9n – 3 chia hết cho n – 11

Bài IV(1,5điểm)Tìm tất cả các bộ ba số nguyên dương (x; y; z) thỏa mãn: xyz = x2 – 2z + 2

Bài V(1,0điểm)Chứng minh rằng từ 53 số tự nhiên bất kì luôn chọn được 27 số mà tổng

Câu 1 (3,0 điểm) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đồ thị (P) của hàm số:

a) Cho m 1, tìm hoành độ các giao điểm của (P) và (D)

b) Tìm tất cả các giá trị của tham số m để (P) và (D) cắt nhau tại 2 điểm phân biệt cóhoành độ không âm

x  xy x y  y   Tìmgiá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức S  x y 1

Câu 3 (1,0 điểm) Tìm tất cả các số nguyên dương x x1, , , ,2  x n n thỏa mãn:

x  x x  Câu 5 (1,0 điểm) Trong một hộp có 2010 viên sỏi.

Có hai người tham gia trò chơi, mỗi người lần lượt phải bốc ít nhất là 11 viên sỏi và nhiều nhất là 20 viên sỏi Người nào bốc viên sỏi cuối cùng sẽ thua cuộc Hãy tìm thuật chơi để

đảm bảo người bốc đầu tiên luôn là người thắng cuộc

Câu 1 (3,0 điểm) Cho phương trình : x4  mx3(m1)x2 m m( 1)x(m1)2 0 (1)

(trong đó x là ẩn, m là tham số)

1 Giải phương trình (1) với m 2

2 Tìm tất cả các giá trị của tham số m sao cho phương trình (1) có bốn nghiệm đôi một phân biệt

Câu 2 (1,5 điểm) Tìm tất cả các cặp hai số nguyên ( ; )x y thỏa mãn x4 x3 1 y2

Câu 5 (1,0 điểm) Cho đa giác lồi A A1 2A100 Tại mỗi đỉnh A k (k 1, 2, ,100), người ta ghi một số thực a k sao cho giá trị tuyệt đối của hiệu hai số trên hai đỉnh kề nhau chỉ bằng 2 hoặc 3 Tìm giá trị lớn nhất có thể được của giá trị tuyệt đối của hiệu giữa hai số ghi trên mỗi cặp đỉnh của đa giác đã cho, biết rằng các số ghi tại các đỉnh đã cho đôi một khác nhau

Câu 1: a) Giải phương trình: x2+2x+3=2 x 2x 3

b) Tìm tất cả các số nguyên x,y,z thoả mãn: 3x2+6y2+z2+3y2z2-18x=6

Câu 3: a) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 1 4 22

Câu 6)Giải phương trình 3 x2  5 x   6 2 x x2   x 3

Câu7)Giải hệ phương trình sau:

Cho phương trình x2 – 2x + m = 0 (1), với m là tham số

1) Tìm tất cả giá trị nguyên của m để phương trình (1) có 2 nghiệm x1,x2 thoã x1  0, x2 0

 và 1 x1  1 x2 = 1+ 3

2) Tìm tất cả các giá trị m để phương trình (1) có hai nghiệmx1,x2 sao cho N=(x 1 2 +x 2 ) (x 2 +x 1 ) là một số chính phương.

a) Cho phương trình ax2  bx c   0 có hai nghiệm dương phân biệt

Chứng minh rằng phương trình cx2 bx a 0 cũng có hai nghiệm dương phân biệt.

Người ta gọi “Hình vuông (V) ngoại tiếp tứ giác lồi ABCD”

khi tứ giác ABCD nằm trong (V) và trên mỗi cạnh của (V)

có chứa đúng một đỉnh của tứ giác ABCD (Hình 1).

Giả sử tứ giác lồi ABCD có hai hình vuông ngoại tiếp

khác nhau Chứng minh rằng tứ giác này có vô số hình

vuông ngoại tiếp nó

Bài 1: (3 điểm)

a) Không sử dụng máy tính bỏ túi, hãy chứng minh đẳng thức : 3 3 13 4 3  1

(i) Mỗi chữ số đứng sau lớn hơn chữ số đứng liền trước.

(ii) Tổng p + q lấy giá trị nhỏ nhất, trong đó p là tỉ số của chữ số hàng chục và chữ sốhàng đơn vị còn q là tỉ số của chữ số hàng nghìn và chữ số hàng trăm

Câu 1: Giải hệ phương trình: 2 2

12

1

y x y x

Cho biểu thức:

x x

x

x T

1 1

4 2

3 2

1 Tìm điều kiện của xđể T xác định Rút gọn T

4

1 2

2 2

2

y xy x

xy x

Câu 3 (2,0 điểm)

1 Tìm các số nguyên a để phương trình: x 2 - (3+2a)x + 40 - a = 0 có nghiệm

nguyên Hãy tìm các nghiệm nguyên đó.

2 Cho a ,,b c là các số thoả mãn điều kiện:

00

c b a b a

Chứng minh rằng ít nhất một trong hai phương trình sau có nghiệm

016

)1(

x xy

x

y y x

5))(

1(

111

.

Bài 2 Số đo 2 cạnh góc vuông của một tam giác vuông là nghiệm phương trình bậc

hai: (m - 2)x 2 – 2(m - 1)x + m = 0 Hãy xác định giá trị của m để số đo

đường cao tương ứng với cạnh huyền của tam giác là

52

Bài 3 Cho a, b, c là 3 số khác không Tính giá trị biểu thức: P = x 2010 + y 2010 + z 2010

Biết rằng x, y, z thoả mãn điều kiện: 22 22 22 22 22 22

c

z b

y a

x c b a

z y x

Cho phương trình x2 +mx+1=0 ( m là tham số)

a) Xác định các giá trị của m để phương trình có nghiệm

b) Tim m để phương trình có 2 nghiệm x1, x2 Thỏa mãn

c) Xác định các giá trị của m để phương trình có nghiệm

d) Tim m để phương trình có 2 nghiệm x1, x2 Thỏa mãn điều kiện

Câu III (2,0 điểm)

1) Tìm các cặp số nguyên (x; y) thỏa mãn điều kiện x2  4 xy  5 y2  2( x y  )

Tìm tất cả các số nguyên tố p sao cho 1 p p2 p3 p là số hữu tỷ4

Bài 1: (1.5đ) Giải hệ phương trình

Bài 2: (1.5đ) Cho phương trình x4+(1−m)x2+2m−2=0 (m là tham số)

1.Tìm các giá trị của m để phương trình có 4 nghiệm phân biệt.

2.Trong trường hợp pt có 4 nghiệm phân biệt là x1, x2, x3, x4, hãy tìm các giá trị của m sao

cho

Bài 3: a) Giải phương trình x 1  4x 1 4 

Tính giá trị của biểu thức

b Cho các số thực dương x, y thỏa mãn

2) Cho trước a b R,  ; gọi x y, là hai số thực thỏa mãn

Câu 2 (2,0 điểm) Cho phương trình: x3  ax2  bx  1 0 (1) 

1) Tìm các số hữu tỷ a và b để phương trình (1) có nghiệm x   2 3.

2) Với giá trị a b, tìm được ở trên; gọi x x x1; ; 2 3 là ba nghiệm của phương trình (1) Tính giá

Cho a b c, , là các số thực dương thỏa mãn a b c   1

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 1 1

Chữ số hàng đơn vị trong hệ thập phân của số M a2ab b 2(a, b ∈ N* )là 0.

a) Chứng minh rằng M chia hết cho 20.

a) Chứng minh rằng nếu n là số nguyên dương thì  2013 2013 2013

2 1 2  n chia hết cho n n   1

b) Tìm tất cả các số nguyên tố p q, thỏa mãn điều kiện p2  2q2 1

Câu 5 (1,0 điểm) Hỏi cĩ hay khơng 16 số tự nhiên, mỗi số cĩ ba chữ số được tạo thành từ ba chữ số a, b,

c thỏa mãn hai số bất kỳ trong chúng khơng cĩ cùng số dư khi chia cho 16?

Câu I: Cho phương trình: x2 4mx m 2 2m 1 0(1)  với m là tham số.

a) Tìm m sao cho phương trình (1) có hai nghiệm x ;x1 2 phân biệt Chứng minh rằng: khi đó x ;x1 2 không thể trái dấu nhau.

Câu IV: Cho M a 3a 1 2  với a là số nguyên dương.

a) Chứng minh rằng mọi ước của M đều là số lẻ.

Tìm a sao cho M chia hết cho 5 Với những giá trị nào của a thì M là lũy thừa của 5

Câu VI: Trong một kỳ thi, 60 thí sinh phải giải 3 bài toán Khi kết thúc kỳ thi, người ta nhận thấy rằng: với hai thí

sinh bất kỳ luôn có ít nhất một bài toán mà cả hai thí sinh đó đều giải được Chứng minh rằng:

a) Nếu có một bài toán mà mọi thí sinh đều không giải được thì phải có một bài toán khác mà mọi thí sinh đều giải được.

Có một bài toán mà có ít nhất 40 thí sinh giải được

a) Cho ,a b là hai số nguyên dương thỏa mãn a 20 và b 13 cùng chia hết cho 21 Tìm số

dư của phép chia 4a 9b

A    cho 21.a b

b) Có thể phủ kín bảng 20 13 ô vuông bằng các miếng lát có một trong hai dạng dưới (cóthể xoay và sử dụng đồng thời cả hai dạng miếng lát) sao cho các miếng lát không chờmlên nhau không?

Câu 2.

Cho phương trình: x2 5mx4m0 (1).

a) Định m để phương trình có hai nghiệm phân biệt.

b) Gọi x1, x2 là hai nghiệm của phương trình Tìm m để biểu thức:

2 2

Có hay không một hình vuông diện tích bằng S và có độ dài cạnh là một số nguyênmét?

a Cho biết A và B là giao điểm của đường thẳng (d): y 1x 1

2

  và parabol (P):y 1x2

2

Xác định điểm M trên trục hoành sao cho chu vi tam giác MAB đạt giá trị nhỏ nhất

b Nhà trường tổ chức tham quan hè cho cán bộ giáo viên bằng ô-tô 12 chỗ ngồi Lúc đầuban tổ chức sắp xếp hết chỗ ngồi trên các xe thì xe cuối cùng chỉ chở 5 người Sau đó, ban

tổ chức sắp xếp lại thì số người trên mỗi xe đều bằng nhau Bài 1: (2,0 điểm)Giải hệ

2 2

z c cy

x

z b

b y x

z a ay

2 2

2 4

y x xy y x

y x

Bài 5: (1,25 điểm) Giải hệ phương trình

Câu 3 (1,5 điểm) Giải hệ phương trình 3 4 10 0.

Câu 1.(1,5 điểm) Giả sử a, b, c là các số nguyên sao cho a2 b2 c2 chia hết cho 4 Chứng

minh rằng a, b, c đồng thời chia hết cho 2.

Câu 2 (1,5 điểm) Giải phương trình 4 | 2 2 3 | 2 0

z

yz z

y

xy y

x

5 )

( 12

11 )

( 30

9 )

( 20

ĐỀ THI HSG TOÁN 9 HUYỆN THANH OAI 2013 – 2014 VÒNG 2

Bài 1 ( 5 điểm )1 Chứng minh rằng: Nếu n là số nguyên thì n5 + 5n 3 – 6n chia hết cho 30

3

3 3

2010

2012

2 2012

1

f f

f f

Bài 2 ( 5 điểm )1 Giải hệ phương trình :

2 2

3 3

y x

y x y x

2 Giải phương trình nghiệm nguyên: 5(x 2 + xy + y 2 ) = 7(x + 2y)

Bài 3 ( 3 điểm )Cho ba số thực dương a, b, c thỏa mãn điểu kiện

2014 1

1 1 10 1 1

b

2 2 5

1 2

2 5

1 2

2

5

1

a ca c c

bc b b

Bài 4 ( 6 điểm )Cho hai đường tròn ( O; R) và ( O’ ; R ’ ) cắt nhau tại hai điểm phân biệt A và B Từ một điểm C thay đổi trên tia đối của tia AB Vẽ các tiếp tuyến CD; CE với đường tròn tâm O ( D; E là các tiếp điểm và E nằm trong đường tròn tâm O ’ ) Hai đường thẳng AD và AE cắt đường tròn tâm O ’ lần lượt tại M và N ( M và

N khác với điểm A) Đường thẳng DE cắt MN tại I Chứng minh rằng:

a MI.BE = BI.AE

b Khi điểm C thay đổi thì đường thẳng DE luôn đi qua một điểm cố định.

Bài 5 ( 1 điểm )Cho x, y là các số nguyên khác 1 thỏa mãn

1

1 1

Câu 3.(3,0 điểm) Tìm tất cả các số nguyên x, y, z thỏa mãn :3x2 + 6y2 +2z2 + 3y2z2 -18x = 6.

Câu 4.(3,0 điểm) a) Cho x, y, z, a, b, c là các số dương Chứng minh rằng:

3abc + xyz3 3(a + x)(b + y)(c + z) b) Giải hệ phương trình:

b)Biết hai phương trình x2 + ax + bc = 0 và x2 + bx + ca = 0 ( c 0) chỉ có một nghiệm

chung Chứng minh hai nghiệm còn lại là nghiệm của phương trình x2 + cx + ab = 0.

Câu 4 (2,5 điểm) a) Chứng minh rằng với mọi x, y > 0 : 2 2

Câu 2 Tìm tất cả các cặp số nguyên x y, thoả mãn phương trìnhx y2(  1)  y x2(  1) 1 

Câu 4 Cho a, b, c là ba số thực dương Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

Câu 5 Mỗi điểm của mặt phẳng được tô bởi một trong ba màu Đỏ, Xanh, Vàng

Chứng minh rằng tồn tại hai điểm A B, được tô bởi cùng một màu mà độ dài AB1

Câu 1 (3.0 điểm)Giải hệ phương trình:

2 2 2

222

Câu 3 (1.0 điểm)Tìm tất cả các số nguyên dương m, n thỏa mãn 9m  3m n42n3n2 2n

Câu 4 (2.0 điểm)Cho các số thực dương a b c, , thỏa mãn abc 2 Chứng minh rằng