40 de thi HSG Toan 8 Dap an

HƯỚNG DẪN CHẤM THI HỌC SINH GIỎI LỚP 8 2... HƯỚNG DẪN CHẤM THI HỌC SINH GIỎI LỚP 8 2..[r]

A x

Suy ra : AB.AH + AB.AH = CF.AC + AF.AC = (CF + AF)AC = AC2 (đfcm) 0,25

HƯỚNG DẪN CHẤM THI HỌC SINH GIỎI LỚP 8 2

HƯỚNG DẪN CHẤM THI HỌC SINH GIỎI LỚP 8 2

Câu 1

(6 điểm)

a x4 + 4 = x 4 + 4x 2 + 4 - 4x 2 = (x 4 + 4x 2 + 4) - (2x) 2 = (x 2 + 2 + 2x)(x 2 + 2 - 2x) ( x + 2)( x + 3)( x + 4)( x + 5) - 24 = (x 2 + 7x + 11 - 1)( x 2 + 7x + 11 + 1) - 24 = [(x 2 + 7x + 11) 2 - 1] - 24

= (x 2 + 7x + 11) 2 - 5 2 = (x 2 + 7x + 6)( x 2 + 7x + 16) = (x + 1)(x + 6) )( x 2 + 7x + 16)





4A3

hoặc

4A5

b DE, BF, CM là ba đường cao của EFC đpcm (2 điểm)

c Có Chu vi hình chữ nhật AEMF = 2a không đổi

HƯỚNG DẪN CHẤM THI HỌC SINH GIỎI LỚP 8 2

a)(1®) Gäi 2 sè ph¶i t×m lµ a vµ b , ta cã a+b chia hÕt cho 3 0,25

Ta cã a 3 +b 3 =(a+b)(a 2 -ab+b 2 )=(a+b) [(a2+2 ab+b2)− 3 ab] =

=(a+b) a+b¿2− 3 ab

¿

¿

0,5 V× a+b chia hÕt cho 3 nªn (a+b) 2 -3ab chia hÕt cho 3 ;

Do vËy (a+b) a+b¿2− 3 ab

ĐKXĐ : x ≠ − 4 ; x ≠ −5 ; x ≠ − 6 ;x ≠ −7 0,25 Phơng trình trở thành :

¿

1 (x+4)(x +5)+

1 (x+5)(x +6)+

1 (x+6)(x +7)=

1 18

Từ đó suy ra ^D1= ^D2 , do đó DM là tia phân giác của góc BDE

Chứng minh tơng tự ta có EM là tia phân giác của góc CED 0,5 c) (1đ) Gọi H, I, K là hình chiếu của M trên AB, DE, AC

3 2 1

2 1

x

y

E D

B

A

xy=2(x+y+x+y-4) xy-4x-4y=-8 (x-4)(y-4)=8=1.8=2.4 0,25

Từ đó ta tìm đợc các giá trị của x , y , z là :

(x=5,y=12,z=13) ; (x=12,y=5,z=13) ;

(x=6,y=8,z=10) ; (x=8,y=6,z=10) 0,25

ẹaựp aựn vaứ bieồu ủieồm 4

0,25 ủ 0,25 ủ 0,25 ủ 0,25 ủ 0,25 ủ

Tửự giaực ADHE laứ hỡnh vuoõng

Hx laứ phaõn giaực cuỷa goực AHB; Hy phaõn giaực cuỷa goực AHC

maứ AHB vaứ AHC laứ hai goực keà buứ neõn Hx vaứ Hy vuoõng goực

Hay DHE = 90 0 maởt khaực ADH AEH   = 90 0

Neõn tửự giaực ADHE laứ hỡnh chửừ nhaọt ( 1)

0,25 ủ

0,25 ủ 0,25 ủ 0,25 ủ 0,25 ủ 0,5 ủ 0,5 ủ

0,25 ủ 0,25 ủ 0,25 ủ

0 0

90 45

90 45

AHB AHD

AHC AHE

AHD AHE

Hay HA là phân giác DHE(2)

Từ (1) và (2) ta có tứ giác ADHE là hình vuông

Một lời giải: 5 Bài 1:

Để tứ giác AEDF là hình vuông thì AD là tia phân

giác của BAC.

b) Do tứ giác AEDF là hình chữ nhật nên AD = EF

Suy ra 3AD + 4EF = 7AD

 OFD OED ODF 90     o(1)

Ta có OFD   OED   ODF   270o(2)

xyz =0⇒ xy+yz+xz=0 ⇒ yz = –xy–xz ( 0,25điểm )

x2+2yz = x2+yz–xy–xz = x(x–y)–z(x–y) = (x–y)(x–z) ( 0,25điểm )

Tương tự: y2+2xz = (y–x)(y–z) ; z2+2xy = (z–x)(z–y) ( 0,25điểm )

Do đó: A=yz

(x − y )(x − z)+

xz (y − x)( y − z )+

xy (z − x )(z − y) ( 0,25điểm )Tính đúng A = 1 ( 0,5 điểm )

HA ' AA '+HB'

BB' +

HC ' CC' =

c)Vẽ Cx CC’ Gọi D là điểm đối xứng của A qua Cx (0,25điểm)

-Chứng minh được góc BAD vuông, CD = AC, AD = 2CC’ (0,25điểm)

(0,5điểm ) (0,5điểm )

⇔

Biến đổi đẳng thức để được

a2+b2−2 ab+b2+c2− 2 bc+c2+a2+2ac=4 a2+4 b2+4 c2− 4 ab −4 ac − 4 bc

0,5đBiến đổi để có (a2+b2− 2ac)+(b2+c2−2 bc)+(a2+c2−2 ac)=0 0,5đBiến đổi để có

¿ ; b − c¿2=0

¿ và a − c¿2= 0

¿ ;

0,5đ0,5đ

Theo bài ra ta có phương trình x +11 x = x +15 x − 7 0,5đ

Chứng minh được AN=MI, từ đó suy ra tứ giác AMNI là hình thang cân 0,5đb,(2điểm)

⇒ SAOB SDOC=SBOC SAOD 0,5đ

(thỏa mãn điều kiện x 1).

+ Nếu x 1: (1)  x2 4x   3 0 x2 x 3x 1  0 x 1 x 3  0

 x 1; x 3 (cả hai đều không bé hơn 1, nên bị loại)

Vậy: Phơng trình (1) có một nghiệm duy nhất là x 1.

0,5 0,5 2.2

Do đó, chúng dồng dạng (c.g.c)

Suy ra: BECADC  1350(vì tam giác AHD vuông cân tại H theo giả thiết).

Nên AEB 450 do đó tam giác ABE vuông cân tại A Suy ra:

BC  BC  AC (do BEC ADC)

mà AD AH 2 (tam giác AHD vuông vân tại H)

nên

BC  AC   AC AB BE (do ABH  CBA)

Do đó BHM  BEC (c.g.c), suy ra: BHM BEC  1350  AHM  450

0,5 0,5

0,5 4.3 Tam giác ABE vuông cân tại A, nên tia AM còn là phân giác góc BAC.



 2đ

b)

1 2

§Ó P > 0 th×

2 5

3 h ) 0,25®

VËn tèc cña ngêi ®i xe g¾n m¸y khi t¨ng lªn 5 km/h lµ:

a) Gọi O là giao điểm 2 đường chéo của hình chữ nhật ABCD

 PO là đường trung bình của tsm giác CAM

 AM//PO

 tứ giác AMDB là hình thang 1đ

b) Do AM //BD nên góc OBA = góc MAE (đồng vị)

Tam giác AOB cân ở O nên góc OBA = góc OAB

Gọi I là giao điểm 2 đường chéo của hình chữ nhật AEMF thì tam giác AIE cân ở I nên góc IAE =góc IEA

Từ chứng minh trên : có góc FEA = góc OAB, do đó EF//AC (1) 1đ

Mặt khác IP là đường trung bình của tam giác MAC nên IP // AC (2)

O M

P

I E

F

=> BĐT (2) đúng => BĐT (1) đúng (dấu ‘’=’’ xảy ra khi x = y) 1đ

Hớng dẫn chấm và biểu điểm 19

Bài 1: (3 điểm)

a) ( 0,75đ) x 3 - 5x 2 + 8x - 4 = x 3 - 4x 2 + 4x – x 2 + 4x – 4 (0,25đ) = x( x 2 – 4x + 4) – ( x 2 – 4x + 4) (0,25đ)

Chứng minh EDF vuông cân

Ta có ADE =CDF (c.g.c) EDF cân tại D

Theo tính chất đường chéo hình vuông  CO là trung trực BD

MàEDF vuông cân  DI =

1 2

A D B

C E

Bài 5: – Gọi số ngày tổ dự định sản xuất là : x ngày

Điều kiện: x nguyên dơng và x > 1

Vậy số ngày tổ đã thực hiện là: x- 1 (ngày)

⇔ x = 10 (thoả mãn điều kiện)

Vậy: số ngày dự định sản xuất là 10 ngày

Số sản phẩm phải sản xuất theo kế hoạch là: 50 10 = 500 (sản phẩm)

0,5 đ0,5 đ0,5 đ0,5 đ

1 đ

1 đ

1 đ

xyz =0⇒ xy+yz+xz=0 ⇒ yz = –xy–xz ( 0,25điểm )

x2+2yz = x2+yz–xy–xz = x(x–y)–z(x–y) = (x–y)(x–z) ( 0,25điểm )

Tương tự: y2+2xz = (y–x)(y–z) ; z2+2xy = (z–x)(z–y) ( 0,25điểm )

Do đó: A=yz

(x − y )(x − z)+

xz (y − x)( y − z )+

xy (z − x )(z − y) ( 0,25điểm )Tính đúng A = 1 ( 0,5 điểm )

HA ' AA '+HB'

BB' +

HC ' CC' =

c)Vẽ Cx CC’ Gọi D là điểm đối xứng của A qua Cx (0,25điểm)

-Chứng minh được gúc BAD vuụng, CD = AC, AD = 2CC’ (0,25điểm)

0,50,50,50,50,50,50,50,50,50,5

c, (2điểm) D=n5-n+2=n(n4-1)+2=n(n+1)(n-1)(n2+1)+2 =n(n-1)(n+1) [(n2− 4)+5] +2= n(n-1)(n+1)(n-2)(n+2)+5 n(n-1)(n+1)+2

Mà n(n-1)(n+1)(n-2)(n+2 ⋮ 5 (tich 5số tự nhiên liên tiếp)

Và 5 n(n-1)(n+1 ⋮ 5 Vậy D chia 5 d 2

Do đó số D có tận cùng là 2 hoặc 7nên D không phải số chính phơng

Vậy không có giá trị nào của n để D là số chính phơng

a, (1điểm) a

ab+a+1+

b bc+b+1+

c ac+c+1=¿

0,5

(0,5điểm ) (0,5điểm )

⇔

c ac+c +1

abc+ac+1 abc+ac+1=1

0,5

0.50.50.50.5

0,50,50,5

0,5

b, (2®iÓm) a+b+c=0 ⇒ a2+b2+c2+2(ab+ac+bc)=0 ⇒ a2+b2+c2= -2(ab+ac+bc)

⇒ a4+b4+c4+2(a2b2+a2c2+b2c2)=4( a2b2+a2c2+b2c2)+8abc(a+b+c) V× a+b+c=0

⇒ a4+b4+c4=2(a2b2+a2c2+b2c2) (1)MÆt kh¸c 2(ab+ac+bc)2=2(a2b2+a2c2+b2c2)+4abc(a+b+c) V×

0,50,50,50,5

0,50,5

c, (1®iÓm) x2-y2+2x-4y-10 = 0 ⇔ (x2+2x+1)-(y2+4y+4)-7=0

⇔ (x+1)2-(y+2)2=7 ⇔ (x-y-1)(x+y+3) =7 V× x,y nguyªn

Câu 4

(5điểm)

a,(1điểm) Vì AB//CD ⇒ S DAB=S CBA

(cùng đáy và cùng đờng cao)

⇒ S DAB –SAOB = S CBA- SAOB

Hay SAOD = SBOC

2 DC=

AB AB+DC ⇒AB+DC

c, (2điểm) +Dựng trung tuyến EM ,+ Dựng EN//MK (N DF) +Kẻ

đờng thẳng KN là đờng thẳng phải dựng

Chứng minh: SEDM=S EMF(1).Gọi giao của EM và KN là I thì

SIKE=SIMN

(cma) (2) Từ (1) và(2) ⇒ SDEKN=SKFN

0,5 0,5

0,5 1,0 0,5 1,0

1,0