[r]
Trang 1UBND HUYỆN NGHĨA ĐÀN
PHÒNG GD & ĐT ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI HUYỆN NĂM HỌC 2012-2013
Môn: Toán 9
Thời gian: 120 phút
Câu 1: (4 điểm)
a) Chứng minh: √6+4√2 −√3 −2√2 là một số nguyên
b) Rút gọn biểu thức: C = sin 2 2 0 +sin 2 3 0 +…+sin 2 88 0
Câu 2: (6 điểm)
a) Giải phương trình: 3x2 + 4x + 10 = 2 14x2 7
b) Giải phương trình nghiệm nguyên: x.y - x - y = 2
c) Chứng minh rằng 3n + 4 không là số chính phương (với n N )
Câu 3: (4 điểm)
a) Cho ba số a, b, c không âm thoả mãn: a + b + c = 1
Chứng minh: b c 16abc
b) Giả sử x, y, z là những số dương thay đổi thỏa mãn điều kiện x + y + z = 1 Hãy tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
P
x 1 y 1 z 1
Câu 4: (5 điểm) Cho đường tròn (O;R) và hai đường kính bất kỳ AB, CD sao cho
tiếp tuyến tại A cắt các đường thẳng BC, BD thứ tự tại E và F Gọi P, Q lần lượt
là trung điểm của các đoạn thẳng EA và AF.
a) Chứng minh rằng O là trực tâm của tam giác BEQ.
b) Chứng minh rằng đường vuông góc với BQ kẻ từ P đi qua trung điểm của đoạn thẳng OA.
c) Hai đường AB và CD có vị trí như thế nào thì tam giác BPQ có diện tích nhỏ nhất? Tính giá trị nhỏ nhất đó theo R.
Câu 5: (1,0 điểm)
Cho tam giác ABC có độ dài ba cạnh thỏa mãn hệ thức:
BC 2 + AB.AC - AB 2 = 0 Tính:
2
3
Chú ý:- Thí sinh bảng B không phải làm câu 2c
- Thí sinh không được sử dụng máy tính
ĐỀ CHÍNH THỨC
Trang 2ĐÁP ÁN VÀ BIỂU ĐIỂM BẢNG A
điểm
1
(4đ)
a
2đ
6 4 2 3 2 2 (2 2) ( 2 1) (2 2) ( 2 1) 3
b
2đ
Ta biết: Với 0 < α < 90 0
Ta có sinα = cos(90 0 -α), sin 2 α + cos 2 α = 1
C = sin 2 2 0 + sin 2 3 0 + … + sin 2 88 0
C = (sin 2 2 0 + sin 2 88 0 ) + + (sin 2 44 0 + sin 2 46 0 ) + sin 2 45 0
C = (cos 2 88 0 + sin 2 88 0 ) + + (cos 2 46 0 + sin 2 46 0 ) + sin 2 45 0
C = 1+1+ +1+
1
2 =
1 87 43
2 2
0,5
0,5 0,5 0,5
2
(6đ)
a
2đ
ĐKXĐ:
x ; x
3x2 + 4x + 10 = 2 14x2 7
x2 4x 4 2x 2 1 2 2x2 1 7 7 = 0
(x 2) ( 2x 1 7) 0
2
x 2
x 2 0
x 2
x 2 2x 1 7 0
x 2
0,5
0,5 0,5 0,5
b
2đ
Ta có: x.y - x - y = 2 x.( y -1) - y = 2
x.(y - 1) - (y - 1) = 3 (x -1).(y - 1) = 3
Do x, y là các số nguyên nên x -1, y-1 cũng là các số nguyên và là ước của 3 Suy ra các trường hợp sau:
x 1 3
y 1 1
;
x 1 1
y 1 3
;
x 1 1
y 1 3
;
x 1 3
y 1 1
Gi¶i c¸c hÖ nµy ta cã nghiÖm cña ph¬ng tr×nh : (4; 2), (2; 4), (0; -2), (-2; 0)
0,25 0,25
0,25 0,75
0,5
c
2đ
-Với n = 2k+1 (k N), ta có:
n 2k 1
3 4 (3 1) 3 4m 3
(m N), không phải là scp
- Với n = 2k, giả sử 32k +4 = p2, suy ra p lẻ nên p có dạng
2l 1 (l N)
k 2 2
k 2
k 2
(3 ) 4 4l 4l 1 4l(l 1) 1 (3 ) 4 8r 1 (r N)
(3 ) 8q 5 (q N)
Điều này vô lý suy ra đpcm
0,5 0,25
0,25 0,5 0,5
3
(4đ)
a
2đ
Áp dụng BĐT Côsi cho hai số không âm a, b+c ta có:
Trang 3a (b c) 2 a(b c) (a b c) 4a(b c)
2
1 4a(b c) (b c) 4a(b c) 16abc
1,0 1,0
b
2đ
Ta có
P 3
x 1 y 1 z 1
Mặt khác, với x, y, z > 0
Ta có
x 1 y 1 z 1 (x 1) (y 1) (z 1)
x 1 y 1 z 1 4
Vậy
9 3
P 3
4 4
x 1 y 1 z 1
x y z 1
Vậy P đạt giá trị lớn nhất là
3 P 4
tại
1
x y z
3
0,5
0,25
0,5
0,25 0,25
0,25
4
(5đ)
Vẽ hình
a
2đ
Do Q và O là trung điểm các cạnh AF và AB nên OQ//BF Suy ra: OQ BE
Vì BA EQ nên O là trực tâm của tam giác BEQ
1,0 1,0
b
2đ
Đường thẳng qua P và BQ cắt AB tại H, dễ thấy PH//EO
Vì P là trung điểm của EA nên H là trung điểm của AO
1,0
1,0 c
1đ
Ta có:
BPQ
Vì AE.AF = AB2 = 4R2 nên SBPQ R 4R2 2R2
Dấu “=” xảy ra khi AE = AF hay tam giác BEF vuông cân tai B
0,25 0,25 0,25
Trang 4Khi đó AB CD
0,25
5
(1đ)
C
A
Tõ BC2 + AB.AC - AB2 = 0
BC AB(AC AB)
Nªn AB > AC Trên AB lấy D sao cho AC = AD
BD = AB – AC
BC BD
AB BC ABC~CBD(c.g.c) ACB CDB (1) Mặt khác: CDB A ACD (2)
Ta có
1800 A ACD
2
(3)
Từ (1), (2), (3) có :
1800 A A 180 0 ACB A
2C 180 A 2 180 (A B) 180 A
3
0,25
0,25
0,25
0,25
Trang 5ĐÁP ÁN VÀ BIỂU ĐIỂM BẢNG B
điểm
1
(4đ)
a
2đ
6 4 2 3 2 2 (2 2) ( 2 1) (2 2) ( 2 1) 3
Do 3 là số nguyên nên ta có đpcm 2,0
b
2đ
Ta biết: Với 0 < α < 90 0
Ta có sinα = cos(90 0 -α), sin 2 α + cos 2 α = 1
C = sin 2 2 0 + sin 2 3 0 + … + sin 2 88 0
C = (sin 2 2 0 + sin 2 88 0 ) + + (sin 2 44 0 + sin 2 46 0 ) + sin 2 45 0
C = (cos 2 88 0 + sin 2 88 0 ) + + (cos 2 46 0 + sin 2 46 0 ) + sin 2 45 0
C = 1+1+ +1+
1
2 =
1 87 43
2 2
0,5
0,5 0,5 0,5
2
(6đ)
a
3đ
ĐKXĐ:
x ; x
3x2 + 4x + 10 = 2 14x2 7
x2 4x 4 2x 2 1 2 2x2 1 7 7 = 0
(x 2) ( 2x 1 7) 0
2
x 2
x 2 0
x 2
x 2
0,75
0,75 0,75 0,75
b
3đ
Ta có: x.y - x - y = 2 x.( y -1) - y = 2
x.(y - 1) - (y - 1) = 3 (x -1).(y - 1) = 3
Do x, y là các số nguyên nên x -1, y-1 cũng là các số nguyên và là ước của 3 Suy ra các trường hợp sau:
x 1 3
y 1 1
;
x 1 1
y 1 3
;
x 1 1
y 1 3
;
x 1 3
y 1 1
Gi¶i c¸c hÖ nµy ta cã nghiÖm cña ph¬ng tr×nh : (4; 2), (2; 4), (0; -2), (-2; 0)
0,5 0,5
0,5 1,0
0,5 3
(4đ)
a
2đ
Áp dụng BĐT Côsi cho hai số không âm a, b+c ta có:
2
a (b c) 2 a(b c) (a b c) 4a(b c)
2
1 4a(b c) (b c) 4a(b c) 16abc
1,0 1,0
b
2đ
Ta có
Trang 6
P 3
x 1 y 1 z 1
Mặt khác, với x, y, z > 0
Ta có
x 1 y 1 z 1 (x 1) (y 1) (z 1)
x 1 y 1 z 1 4
Vậy
9 3
P 3
4 4
x 1 y 1 z 1
x y z 1
Vậy P đạt giá trị lớn nhất là
3 P 4
tại
1
x y z
3
0,25
0,5
0,25
0,25 0,25
4
(5đ)
Vẽ hình
a
2đ
Do Q và O là trung điểm các cạnh AF và AB nên OQ//BF Suy ra: OQ BE
Vì BA EQ nên O là trực tâm của tam giác BEQ
1,0 1,0 b
2đ
Đường thẳng qua P và BQ cắt AB tại H, dễ thấy PH//EO
Vì P là trung điểm của EA nên H là trung điểm của AO
1,0 1,0
c
1đ
Ta có:
BPQ
Vì AE.AF = AB2 = 4R2 nên SBPQ R 4R2 2R2
Dấu “=” xảy ra khi AE = AF hay tam giác BEF vuông cân tai B
Khi đó AB CD
0,25 0,25 0,25 0,25
Trang 7(1đ)
C
A
Tõ BC2 + AB.AC - AB2 = 0
BC AB(AC AB)
Nªn AB > AC Trên AB lấy D sao cho AC = AD
BD = AB – AC
BC BD
AB BC ABC~CBD(c.g.c) ACB CDB (1) Mặt khác: CDB A ACD (2)
Ta có
1800 A ACD
2
(3)
Từ (1), (2), (3) có :
1800 A A 180 0 ACB A
2C 180 A 2 180 (A B) 180 A
3
0,25
0,25
0,25
0,25