Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trong các bài toán số học hình học hình học tổ hợp

Bài toán tìm giá trị lớn nhất hoặc nhỏ nhất hay tìm cực trị nói chung đãcó từ lâu và luôn xuất hiện trong mọi lĩnh vực của toán học.. Trong chươngtrình toán phổ thông, bài toán tìm giá t

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

———————o0o——————–

VŨ THỊ THOA

GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT TRONG CÁC BÀI TOÁN SỐ HỌC, HÌNH

HỌC, HÌNH HỌC TỔ HỢP

Chuyên ngành: Phương pháp toán sơ cấp

Mã số: 60460113

LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học:

PGS TS PHAN HUY KHẢI

HÀ NỘI - 2013

Mở đầu 2

1.2 Bài tập đề nghị 23

2 Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất trong hình học 24 2.1 Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trong hình học không gian 24 2.2 Bài tập đề nghị 35

2.3 Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trong hình học phẳng 36

2.4 Bài tập đề nghị 51

3 Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất trong hình học tổ hợp 53 3.1 Một số bài toán về giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất trong hình học tổ hợp 53

3.2 Bài tập đề nghị 71

Kết luận 73

Tài liệu tham khảo 74

Bài toán tìm giá trị lớn nhất hoặc nhỏ nhất hay tìm cực trị nói chung đã

có từ lâu và luôn xuất hiện trong mọi lĩnh vực của toán học Trong chươngtrình toán phổ thông, bài toán tìm giá trị lớn nhất hoặc nhỏ nhất trải dài ởhầu hết các cấp học, có mặt ở tất cả các bộ môn Số học, Đại số, Giải tích,Hình học và Lượng giác Đặc biệt, trong kỳ thi Đại học, Học sinh giỏi quốcgia và quốc tế thường có bài xác định cực trị nói chung nào đó Bởi vậy, bàitoán tìm giá trị lớn nhất hoặc nhỏ nhất là một trong số những bài toán đượcrất nhiều người thuộc nhiều lĩnh vực quan tâm đến Các bài toán về tìm giátrị lớn nhất hay nhỏ nhất rất phong phú, đa dạng, đòi hỏi vận dụng nhiềukiến thức và vận dụng sao cho hợp lý, đôi khi rất độc đáo Hơn nữa, bài toánxác định giá trị lớn nhất hoặc nhỏ nhất còn liên quan đến sự đánh giá, tìmcái chặn hoặc xét xem bài toán sẽ có tính chất gì khi nó đạt cực trị Chính

vì thế, để đáp ứng nhu cầu học tập và giảng dạy môn toán ở bậc phổ thông,luận văn này em xin tập trung trình bày một số bài toán về giá trị lớn nhất,giá trị nhỏ nhất trong số học, hình học và hình học tổ hợp với tên đề tài:

"Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trong các bài toán số học, hình học vàhình học tổ hợp"

Luận văn ngoài mục lục, lời nói đầu, kết luận, tài liệu tham khảo thì luậnvăn được chia ra làm ba chương:

Chương I: Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất trong số học Trong chương nàygiá trị lớn nhất và nhỏ nhất của số học có đặc điểm chính là sử dụng nhuầnnhuyễn các định lí cơ bản của số học và đưa ra các bài toán điển hình về giátrị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trong số học

Chương II: Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất trong hình học Trong chươngnày giới thiệu một vài bài toán cơ bản về giá trị lớn nhất và nhỏ nhất tronghình học không gian và hình học phẳng

Chương III: Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất trong hình học tổ hợp Trongchương này tập trung trình bày một số bài toán về tìm giá trị lớn nhất và giá

trị nhỏ nhất trong hình học tổ hợp và thường liên quan đến các đối tượng làcác tập hợp hữu hạn.

Qua luận văn này, em xin gửi lời cảm ơn sâu sắc đến thầy PGS TS PhanHuy Khải người đã tận tình chỉ bảo, hướng dẫn và giúp đỡ em trong suốt quátrình làm luận văn

Em xin trân trọng cảm ơn ban lãnh đạo khoa Toán Trường Đại học KhoaHọc Tự Nhiên- Đại học Quốc Gia Hà Nội, các thầy cô đã trang bị kiến thức,tạo điều kiện cho em trong thời gian học tập tại trường

Em xin trân trọng cảm ơn!

Hà Nội, tháng 12 năm 2013

Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất trong số học

Trong chương này có sử dụng nhuần nhuyễn các định lí cơ bản của số học,

có kết hợp với các phương pháp truyền thống của giá trị lớn nhất, giá trị nhỏnhất để hình thành các bài toán đặt ra là tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏnhất mang một nội dung số học mà từ trước đến nay giá trị lớn nhất và giátrị nhỏ nhất trong số học chưa được phổ cập như các bài toán trong lượnggiác hay biểu thức nào đó

Sau đây là một vài bài toán điển hình về giá trị lớn nhất và giá trị nhỏnhất trong số học

1.1 Một số bài toán về giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ

cuối cùng của số5n là 5 với mọi số tự nhiên n, nên chữ số cuối cùng của hiệu

số 36m − 5 n là 1 khi 36m > 5n và chữ số cuối cùng của hiệu số 5n − 36 m là 9

khi 36m < 5n Vì vậy chữ số cuối cùng trong cách biểu diễn thập phân của số

N = |36m − 5 n | chỉ có thể là 1 hoặc 9 và giá trị nhỏ nhất có thể được của sốnày có thể là 1, 9 hoặc 11

Với m = 1 và n = 2 rõ ràng ta có N = 11 Ta hãy chứng minh rằng các đẳngthức N = 9 và N = 1 không thể xảy ra, điều đó có nghĩa là N = 11 là giá trịnhỏ nhất

Thật vậy, nếu ta có đẳng thức 5n− 36 m = 9 thì 5n = 36m+ 9 là một bội số

Nếu ta có đẳng thức36m−5n = 1thì5n = 36m−1 = (6m+1)(6m−1); 6m−1 = 5k

và 6m+ 1 = 5n−k là điều vô lí vì số 6m+ 1 tận cùng bằng chữ số7 do đó không

Thật vậy giả sử (1) không đúng, tức là tồn tại hai số nguyên dương m 0 , n 0

x1, x2, x3, , x30 sao cho x1 + x2 + + x30 = 2011. Tìm giá trị lớn nhất vàgiá trị nhỏ nhất của P = x1x2 x30.

Lời giải

Do vai trò bình đẳng giữa x1, x2, , x30 nên không mất tính tổng quát ta giả

sử rằng x1≤ x2 ≤ · · · ≤ x30.

1 Xét bài toán tìm min P.

Từ đó lập luận hoàn toàn tương tự suy ra x 2 = x 3 = · · · = x 29 = 1 cũng

là điều kiện cần để P đạt giá trị nhỏ nhất

Từ đó suy ra min P = 1.1 1(2011 − 29) = 1982.

Vậy min P = 1982 ⇔ có 29 thừa số bằng 1, và một thừa số bằng 1982

2 Xét bài toán tìm max P

đạt giá trị lớn nhất Vì thế điều kiện cần để P đạt giá trị lớn nhất là

x30− x1 < 2 hay x30− x1 ≤ 1 ⇒ x30− x1 ∈ {0; 1} tức là : hoặc x30 = x1

hoặc x30 = x1+ 1.

Kết hợp lại ta có min P = 1982 và max P = 6729.68.

Do vai trò bình đẳng giữa a, b, c nên có thể giả sử a + b = 800 và a < b

với việc a + b − c là số nguyên tố

Rõ ràng a + b + c là số lớn nhất trong 7 số nguyên tố nói trên

Số nguyên tố lớn nhất dưới 800 là 797, vì thế:

a + b + c = 800 + c ≤ 800 + 797 ⇒ a + b + c ≤ 1597. (1)

Rõ ràng a, b, c phải là các số lẻ Thật vậy nếu trái lại tồn tại ít nhất một

có đúng một trong ba số a, b, c là 2, còn hai số còn lại là hai số nguyên tố lẻkhác nhau Từ đó suy ra các số a + b + c, a + b − c, a − b + c, b + c − a đều là

các số chẵn, mà chúng lại khác nhau Như vậy ta có nhiều hơn 2 số nguyên

tố chẵn khác nhau trong 7 số nói trên Điều đó là vô lí

2001 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức A = 5m + 2n.

Lời giải

2.m(m + 1)

2 = m

· · · + (2n − 1) = n2. Vì vậy từ giả thiết suy ra

số có ba chữ số khác nhau sao cho tích của chúng có giá trị nhỏ nhất, giá trịlớn nhất.

Lời giải

a) Trước hết ta tìm giá trị nhỏ nhất: Các chữ số đầu tiên của ba số cần tìm

Ta chứng minh ba điều khẳng định sau đây:

i) A < B < C,

ii) a < b < c,

iii) Mỗi một chữ số a, b và c đều lớn hơn các chữ số A, B và C

Thật vậy:

i) Nếu A > B thì Aa > Bb và ta có:

1Aa.2Bb − 2Aa.1Bb = (100 + Aa)(200 + Bb) − (200 + Aa)(100 + Bb)

= 100(Aa − Bb) > 0.

Như thế ta có: 2Aa.1Bb.3Cc < 1Aa.2Bb.3Cc, điều này không thể có

iii) Lại giả thiết phản chứng chẳng hạn C > a ⇒ C = a + x với x > 0.

số Dĩ nhiên 4 cũng là hợp số Vậy ta có kết quả sau:

" Mọi số chẵn lớn hơn 6 đều có thể biểu diễn dưới dạng là tổng của haihợp số"

Kết hợp với nhận xét trên ta suy ra:

"Chỉ có các số lẻ lớn hơn 11 mới có thể biểu diễn dưới dạng tổng trong

đó có ít nhất hai hợp số"

đều có thể biểu diễn dưới dạng tổng của các hợp số

của các hợp số, nhưng ở đây ta quan tâm đến cách mà trong biểu diễn

này số các hợp số (tức là số các số hạng của tổng) là nhiều nhất có thểđược.

quan tâm thì phải thỏa mãn các yêu cầu sau:

của hai hợp số khác

mặt hai lần trở lên, thì do 6 + 6 = 4 + 4 + 4, ta có thể thay hai hợp

diễn duy nhất mà trong tổng biểu diễn có nhiều số hạng nhất Vìthế từ giả thiết 2002 = a1+ a2+ · · · + am, trong đó am là các hợp số

Vậy 500 là giá trị lớn nhất có thể có của m

Tìm giá trị lớn nhất của hàm số f (x, y, z) = xyz trên miền

D = {(x, y, z) : x, y, z nguyên dương và x + y + z = k}.

Lời giải

Do vai trò bình đẳng giữax, y, znên không giảm tổng quát có thể coix ≥ y ≥ z.

VìDlà tập hữu hạn phần tử (x, y, z)nên dĩ nhiên hàm sốf (x, y, z) = xyz phảiđạt giá trị lớn nhất trên D Giả sử:

max

(x,y,z)∈D f (x, y, z) = f (x0, y0, z0) = x0y0z0. (1)(Chú ý ở đây: x0 ≥ y0 ≥ z0)

Ta sẽ chứng minh rằng:

Thật vậy, nếu trái lại ta có: x0− z0 > 1.

Khi đó chỉ có thể xảy ra ba trường hợp sau đây:

i) Nếux0= y0> z0+1.Vìx0+y0+z0 = knên ta có:x0+(y0−1)+(z0+1) = k

Do x0 = y0> z0+ 1 và z0 > 0 ⇒ x0, y0− 1, z0+ 1 cũng nguyên dương, tứclà: (x0, y0− 1, z0+ 1) ∈ D

Mặt khác:f (x0, y0− 1, z0+ 1) = x0(y0− 1)(z0+ 1) = x0y0z0+ x0(y0− z0− 1).

Vậy trong trường hợp i) không thể xảy ra

iii) Nếu x 0 − 1 > y 0 > z 0 Lập luẫn như trên cũng suy ra mâu thuẫn

Tóm lại giả thiết x 0 − z 0 > 1 là sai, vậy (2) đúng

Tóm lại ta đi đến kết luận sau:

lời giải của bài toán có thể suy trực tiếp một cách đơn giản như sau:Theo bất đẳng thức Cô-si thì với mọi (x, y, z) ∈ D, ta có

Lời giải.

Các bội của5 trong dãy 1, 2, 3, , 2002, 2003là 5, 10, 15, , 1995, 2000 Các bội

đó là

h2003 5

i

= 400 số .

Các bội của 52 trong dãy trên là 25, 50, 75, , 2000. Số các bội đó là

h2003 25

i

= 80 số .

Số các bội của 53 là

h2003 125

i

= 16 số .

Số các bội của 54 là

h2003 625

i

= 3 số .

400 + 80 + 16 + 3 = 499.

Như vậy 2003! = 5499.p, ở đây (p, 5) = 1

Giả sử n là số tự nhiên sao cho 2003! .5 ⇒ 5499 p .5n

Vì (p, 5) = 1 ⇒ 5499 .5n ⇒ n ≤ 499.

(n3+ 4n2− 20n − 48) .125.

Tìm giá trị nhỏ nhất của n thỏa mãn bài toán trên.

Lời giải

Đặt A = n3+ 4n2− 20n − 48. Dễ thấy:

A = n3+ 4n2− 20n − 48 = (n − 4)(n + 2)(n + 6).

Nếu n .5 thì n − 4, n + 2, n + 6 đều không chia hết cho 5, suy ra A 6 .125.

Nếu n ≡ 1(mod 5) hoặc n ≡ 2 (mod 5), bằng cách lập luận như trên suy ra

A 6 .125.

Nếu n ≡ 3(mod 5) thì n − 4 6 .5, n + 6 6 .5. Từ đó theo giả thiết A .5 suy ra

n + 2 .125 ⇒ n + 2 = 125k, k nguyên dương

⇒ n + 2 ≥ 125 ⇒ n ≥ 123. (1)Nếu n ≡ 4(mod 5) thì n + 2 6 .5 và n + 6 .5; n − 4 .5.

khi xóa bỏ hai chữ số cuối thì thu được vẫn là số chính phương Tìm số lớn

Lời giải

có k2= 100a + bc, và từ giả thiết thì 100a cũng là số chính phương, tức là

chính phương và412= 1681, 422= 1764 > 1699) Như thế mọi số chính phương

Bài toán 1.14: Cho n là số tự nhiên lớn hơn1 sao cho 12+ 22+ 32+ · · · + n2

là một số chính phương Tìm số tự nhiên nhỏ nhất thỏa mãn bài toán.Lời giải

k > 4 ⇒ n > 24.

Các trường hợp còn lại cũng xét tương tự như trên

nhiên cần tìm thỏa mãn bài toán

Lời giải

Đặt P = A2 và hai số chính phương có n và 4 chữ số nói trên tương ứng là B2

và C2, (A, B, C là các số nguyên dương) Khi đó ta có

Bài toán 1.16: Biết rằng số nguyên dương n có tính chất sau: n2+ n + 1

thỏa mãn điều kiện trên

Lời giải

Giả sử n2+ n + 1 = p1p2p3p4, trong đó p1, p2, p3, p4 là 4 số nguyên tố và p1 ≤

p2 ≤ p3 ≤ p4. Do n2+ n + 1 = n(n + 1) + 1 ⇒ n2 + n + 1 là số lẻ nên suy ra

p1, p2, p3, p4 là các số nguyên tố lẻ, tức là p1≥ 3.

Do n(n + 1) có tận cùng là 0, hoặc 2, hoặc6 nênn2+ n + 1 có tận cùng là

1, hoặc 3, hoặc 7 Như vậy (n2+ n + 1) 6 .5. Từ đó suy ra p

1 6= 5, ∀i = 1, 2, 3, 4.

• Nếu p1 = 3 ⇒ n2+ n + 1 = 3p2p3p4 ⇒ (n 2 + n + 1) .3 ⇒ n = 3k + 1(k ∈

N).(Thật vậy: Nếun = 3k thì n2+ n + 1 = 9k2+ 3k + 1 6 .3;nếun = 3k + 2 thì

Bài 2: Cho a1, a2, , an là các số tự nhiên và là hợp số sao cho

a1+ a2+ · · · + an = 2001.

toán

Bài 5: Cho n là số tự nhiên sao cho n.192003+ 842003 chia hết cho 13390 Tìmgiá trị nhỏ nhất của n.

nhất của hàm số

f (x, y) = |5x2+ 11xy − 5y2|.

ii) n viết trong hệ thập phân có 4 số tận cùng là 1997.

Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất trong hình học

Trong chương này sẽ đưa ra các bài toán về giá trị lớn nhất và giá trị nhỏnhất trong hình học không gian và hình học phẳng Trong đó có vận dụng linhhoạt, nhuần nhuyễn các phương pháp tìm cực trị của hàm số để giải quyếtcác bài toán trong hình học một cách đơn giản nhất

Sau đây là các bài toán điển hình về giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhấttrong hình học

2.1 Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trong hình

học không gian

ý nằm bên trong tam giác ABC Qua M vẽ các đường thẳng song song với

SA, SB, SC Chúng cắt các mặt(SBC), (SAC), (SAB) tương ứng tạiA0, B0, C0.Tìm thể tích lớn nhất của tứ diện M A0B0C0.

Lời giải

AM, BM, CM tương ứng cắt BC, AC, AB tại P, Q, R

Khi đó từ giả thiết suy ra:

Trong tam giác ABC hiển nhiên ta có:

(Theo định lí Xê Va)

Vậy max VM.A0 B 0 C 0 = 1

27V.

Bài toán 2.1.2: Cho hình chóp tam giác S.ABC có SA = a, BC = b và SA

song song với BC Tìm giá trị nhỏ nhất của diện tích thiết diện

Lời giải

Kẻ M N//SA, M Q//BC Khi đó (M N Q) ∩ (ABC) = N P//M Q

Do M N//SA, N P//BC ⇒ M N P =\ (SA, BC) = 60\ 0.

Ta có:

SM N P Q= M N.N P sin M N P = M N.M Q.\

√ 3

8 Vậy max SM N P Q = ab

√ 3

Bài toán 2.1.3: Cho góc tam diện vuôngOxyz.M là một điểm trong góc tamdiện có khoảng cách xuống ba mặtxOy, xOz, yOztương ứng làc, b, a(a, b, c > 0),

OA + OB + OC. Tìm giá trị lớn nhất của P.

√ a

√

OA+

√ OB

√ b

√

OB +

√ OC

√ c

Dấu bằng trong (2) xảy ra khi và chỉ khi

√ OA

√ a

√ OA

=

√ OB

√ b

√ OB

=

√ OC

√ c

√ OC

OB = √

b( √

a + √

b + √ c);

OC = √

c( √

a + √

b + √ c).

(3)

Từ (2) và (3) suy ra: min P = ( √

a + √

b + √ c)2 ⇔ OA, OB, OC xác định bởi(3)

N Giả sử hình chóp S.ABCD có thể tích là V Tìm giá trị lớn nhất và giá trị

Hoàn toàn tương tự ta có: VS.AM N = xy

3x24(3x − 1)V. (9)

Vậy max VS.AM KN = 3V

8 ⇔ M ≡ B hoặc M là trung điểm của SB

min VS.AM KN = V

3 ⇔ SM = 2

3)

Lời giải

Đặt OA = a, OB = b, OC = c.

Khi đó theo bất đẳng thức Bunhiacopski , ta có:

hay

(a + b + c)(1 + √

2) ≤ a + b + c +pa 2 + b 2 +pb 2 + c 2 +pc 2 + a 2 (1)

Từ giả thiết suy ra ta có:

Tìm giá trị bé nhất ấy.

Lời giải

Do AD//BC ⇒ AD//(SBC) ⇒ d(A, (SBC)) = d(M, (SBC)) = 2a

Vậy

VS.ABCD = 1

3.

4a2sin2α.

a cos α =

4 3

a3sin2α cos α. (1)

Từ (1) suy ra:

min VS.ABCD =

4

3 a3max

0<α< π 2

(sin2α cos α). (2)

Đặt x = cos α Do 0 < α < π

2 ⇒ 0 < x < 1.

3 ) =

2 √ 3

9 ⇔ x =

√ 3

3 .

3a3 ⇔ cos α =

√ 3

3 ⇔ α = arc cos

√ 3

3 .

2 ).

√ 2

√

3 =

√ 2

12xy. (1)

Vậy VADM N nhận giá trị lớn là

√ 2

27 ⇔ AM = AN = 2

3.

VADM N nhận giá trị bé nhất là

√ 2

24 ⇔ x = 1, y = 1

V1 = VS.AM N K và V = VSABCD Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của

V1

V .

3x24(3x − 1).

M ≡ B.

và vuông góc với đáy M là một điểm trên AC và đặt AM = x (0 < x < a √

2)

y, CD = z nội tiếp trong hình cầu bán kínhR.GọiG là trọng tâm của tứ diện

diện AO, BO, CO, DO cắt các cạnh đối diện tương ứng tại A0, B0, C0, D0. Tìmgiá trị lớn nhất của thế tích VA0 B 0 C 0 D 0

M D.SABC.

2.3 Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trong hình

học phẳng

Ở bên ngoài tam giác kẻ các đường song song với các cạnh, cách chúng một

với một cạnh của tam giác và các phần kéo dài của hai cạnh kia một hìnhthang Gọi S10, S20, S30 là ba diện tích hình thang này Giả sửS là diện tích tamgiác ABC Tính giá trị nhỏ nhất của đại lượng P = S10 + S20 + S30.

Lời giải

BCC1B1, ACC2A2, ABB3A3 lần lượt là S, S1, S2, S3, S10, S20, S30 Do 4ABC ∼ 4AB1C1, nên:

S ⇒ S10 = 2S1+S

2 1

S . (2)Lập luận tương tự ta có:

S20 = 2S2+S

2 2

S30 = 2S3+S

2 3

giác ấy Tìm giá trị nhỏ nhất của S.

Lời giải

S = a

2 √ 3

Do các tam giác M B 2 A 3, M B 1 C 3 và M A 1 C 2 là các tam giác đều với cạnh lầnlượt là x, y, z, nên nếu gọi S10, S20, S30 tương ứng là diện tích của chúng thì

(do a = x + y + z)

Từ đó ta có:

S10 + S20 + S30 = x

2 + y2+ z2(x + y + z) 2 S. (1)

Dấu bằng trong (4) xảy ra khi và chỉ khi có dấu bằng trong (3) khi và chỉ khi

x = y = z khi và chỉ khi M là tâm của tam giác đều ABC