Phương pháp dạy học các bài toán giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất ở lớp 9 trung học cơ sở

Để đảm bảo được mục đích trên “ Bài toán GTNN và GTLN ” ngoài hệ thống kiến thức về lý thuyết thì hệ thống bài tập giữ một vai trò, vị trí quan trọng trong việc giải toán cực t

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC GIÁO DỤC

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC GIÁO DỤC

LUẬN VĂN THẠC SĨ SƯ PHẠM TOÁN

Cán bộ hướng dẫn khoa học: PGS TS Nguyễn Vũ Lương

HÀ NỘI - 2013

i

LỜI CẢM ƠN

Tác giả xin trân trọng cảm ơn các thầy giáo, cô giáo của Trường Đại học Giáo dục, Đại học Quốc gia Hà Nội đã nhiệt tình giảng dạy và hết lòng giúp đỡ tác giả trong quá trình học tập và nghiên cứu đề tài

Luận văn được hoàn thành tại Trường Đại học Giáo dục với sự hướng dẫn khoa học của PGS TS Nguyễn Vũ Lương Tác giả bày tỏ lòng kính trọng

và biết ơn sâu sắc tới thầy

Tác giả xin chân thành cảm ơn Ban Giám hiệu, các thầy, cô trường THCS Hồ Tùng Mậu- Ân Thi- Hưng Yên đã tạo điều kiện và giúp đỡ tác giả trong quá trình hoàn thành Luận văn này Tác giả cũng đặc biệt cảm ơn các

em học sinh các lớp 9A, 9B của trường đã giúp đỡ trong quá trình thực nghiệm

để kiểm chứng các kết quả nghiên cứu

Sự quan tâm giúp đỡ của gia đình và bạn bè, đặc biệt là lớp Cao học Toán K7 Trường Đại học Giáo dục, là nguồn động viên cổ vũ và tiếp thêm sức mạnh cho tác giả trong suốt những năm tháng học tập và thực hiện đề tài nghiên cứu

Mặc dù có nhiều cố gắng, song Luận văn không thể tránh khỏi những thiếu sót, tác giả mong được lượng thứ và nhận được những ý kiến đóng góp quý báu của thầy, cô và các bạn

Hà Nội, tháng 11 năm 2013

Tác giả

Đặng Tuấn Anh

ii

DANH MỤC CHƢ̃ VIẾT TẮT

iii

MỤC LỤC

Trang

Lời cảm ơn i

Danh mục viết tắt ii

Mục lục iii

Danh mục các bảng v

MỞ ĐẦU 1

Chương 1: CỞ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN 7

1.1 Khái niệm cơ bản 7

1.1.1 Phương pháp dạy học là gì? 7

1.1.2 Một vài phương pháp dạy học tích cực 7

1.1.3 Phương pháp dạy học trực quan 8

1.1.4 Phương pháp chương trình hóa 12

1.1.5 Xu hướng dạy học hiện nay 13

1.2 Dạy học các bài toán về GTNN-GTLN ở trường THCS 14

1.2.1 Nội dung chương trình GTNN - GTLN ở trường THCS 14

1.2.2 Thực tra ̣ng da ̣y ho ̣c các bài toán về GTNN - GTLN ở trường THCS 14

Kết luận Chương 1 17

Chương 2: PHƯƠNG PHÁP DẠY HỌC CÁC BÀI TOÁN GTNN-GTLN Ở LỚP 9 THCS 18

2.1 Định nghĩa 18

2.1.1 GTLN - GTNN của hàm số 18

2.1.2 Một số tính chất của GTNN-GTLN cơ bản của hàm số 18

2.1.3 Một số bất đẳng thức cơ bản 19

2.2 Hướng dẫn dạy học các bài toán GTNN-GTLN theo từng phương pháp 20

2.2.1 Tìm giá trị lớn nhất , giá trị nhỏ nhất của một biểu thức bằng cách đưa về dạng Ax 0 hoặc Ax  0 33

iv

2.2.2 Tìm GTNN và GTLN dựa trên miền giá trị của hàm số 36

2.2.3 Tìm GTNN và GTNN của biểu thức đại số bằng cách áp dụng bất đẳng thức 46

Kết luâ ̣n Chương 2 70

Chương 3: THỰC NGHIỆM SƯ PHẠM 72

3.1 Mục đích và nhiệm vụ thực nghiệm 72

3.1.1 Mục đích thực nghiệm 72

3.1.2 Nhiệm vu ̣ thực nghiê ̣m 72

3.2 Phương pháp thực nghiê ̣m 72

3.3 Tổ chứ c và nô ̣i dung thực nghiê ̣m 72

3.3.1 Tổ chứ c thực nghiê ̣m 72

3.3.2 Nội dung thực nghiê ̣m 73

3.4 Kết quả thực nghiê ̣m 83

3.4.1 Nhận xét của giáo viên qua tiết dạy thực nghiệm 83

3.4.2 Ý kiến của học sinh về giờ day thực nghiệm 83

3.4.3 Những đánh giá từ kết quả bài kiểm tra 83

Kết luâ ̣n Chương 3 89

KẾT LUẬN 90

TÀI LIỆU THAM KHẢO 91

v

DANH MỤC CÁC BẢNG

Trang Bảng 3.1 Đặc điểm của học sinh lớp đối chứng- lớp thực nghiệm 73 Bảng 3.1 Kết quả kiểm tra 84 Bảng 3.2 Phân loại bài kiểm tra 84

1

MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Sự nghiệp xây dựng xã hội chủ nghĩa ở nước ta đang phát triển với tốc độ ngày càng cao, trong điều kiện cách mạng khoa học kỹ thuật phát triển như vũ bão Một trong những trọng tâm của Đảng, Nhà nước và của ngành giáo dục là đào tạo những con người.“ Lao động – sáng tạo – tự chủ”

Để bồi dưỡng cho học sinh năng lực sáng tạo, năng lực tự giải quyết vấn đề cần phải đưa học sinh vào vị trí chủ thể hoạt động nhận thức, chiếm lĩnh kiến thức bộ môn toán ở bậc THCS Trang bị cho học sinh hệ thống kiến thức cơ bản và biết cách khai thác kiến thức mở rộng, áp dụng kiến thức vào giải nhiều loại toán, nhiều dạng bài tập là hết sức quan trọng Đặc biệt trong những năm gần đây các đề thi học sinh giỏi; thi vào THPT yêu cầu vận dụng kiến thức cơ bản vào giải các bài tập ngày một nâng cao Trong đó một phần kiến thức được vận dụng và ứng dụng nhiều đó là “ Bài toán GTNN và GTLN

” Tôi thấy đây là một vấn đề hay với trò, còn là một chân trời mới lạ bởi mỗi dạng toán lại mở ra những cách giải khác nhau từ truyền thống đến độc đáo Việc nắm vững kiến thức cơ bản góp phần nâng cao chất lượng đào tạo ở bậc phổ thông chuẩn bị cho học sinh tham gia các hoạt động sản xuất sáng tạo sau này

Để đảm bảo được mục đích trên “ Bài toán GTNN và GTLN ” ngoài hệ thống kiến thức về lý thuyết thì hệ thống bài tập giữ một vai trò, vị trí quan trọng trong việc giải toán cực trị cho học sinh bậc THCS nói chung và đặc biệt là lớp 9 nói riêng

Qua nhiều năm giảng dạy môn Toán ở trường THCS Tôi nhận thấy, phát hiện và bồi dưỡng nhân tài là vấn đề rất quan trọng trong dạy học, nhất là môn Khoa học tự nhiên đặc biệt là môn Toán Nhằm phát huy năng lực tư duy của học sinh trong quá trình giải Toán và phát hiện những học sinh có năng lực về Toán Ai cũng thấy rằng: học thuộc bài học hoàn toàn không đủ, mà

2

phải biết vận dụng kiến thức và rèn luyện kĩ năng trong việc giải Toán Chuẩn bị cho việc vận dụng các kiến thức Toán vào thực tiễn công tác sau này Số bài toán thì nhiều không kể xiết, mỗi bài mỗi vẻ, thời gian học tập lại hạn chế,

do đó cần rèn luyện óc phân tích bài toán và nắm vững tính đặc thù của từng dạng bài

Hơn nữa việc đổi mới phương pháp dạy học ở trường Phổ thông nhằm đào tạo nguồn nhân lực, bồi dưỡng nhân tài đáp ứng yêu cầu của xã hội trong thời

kỳ hội nhập quốc tế, đòi hỏi người giáo viên phải chú trọng đến việc thiết kế và hướng dẫn học sinh thực hiện các dạng bài tập phát triển tư duy và rèn luyện kỹ năng, động viên khuyến khích, tạo cơ hội và điều kiện cho học sinh tham gia một cách tích cực, chủ động, sáng tạo vào quá trình khám phá và lĩnh hội nội dung bài học, chú ý khai thác vốn kiến thức, kinh nghiệm và kĩ năng đã có của học sinh, bồi dưỡng hứng thú, nhu cầu hành động và thái độ tự tin trong học tập của học sinh, góp phần phát triển tối đa tiềm năng của bản thân

Từ những cơ sở và nhận thức trên và cũng để đáp ứng nhu cầu tìm hiểu, học tập của giáo viên và nhiều học sinh trong quá trình bồi dưỡng học sinh giỏi Phương pháp giải những dạng toán khó đã được xây dựng Một trong những dạng toán đó là: tìm GTNN và GTLN toán lớp 9 Trung học cơ sở Tuy nhiên việc biên soạn các bài toán này trong các cuốn sách chưa hoàn chỉnh và còn hạn chế về phương pháp giải Bài toán tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất

có ý nghĩa quan trọng trong chương trình toán phổ thông Chuyên đề này sẽ trình bày một số phương pháp thường gặp để tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất trong đó những phương pháp quan trọng như đưa về tổng các bình phương, phương pháp sử dụng điều kiện có nghiệm của phương trình bậc 2

Do đó trong quá trình dạy học bản thân luôn cố gắng tìm tòi và nghiên cứu tài liệu, tích lũy kinh nghiệm trong nhiều năm để viết đề tài:

3

“Phương pháp dạy học các bài toán Giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất ở lớp 9 Trung học cơ sở”

2 Lịch sử nghiên cứu

Đã có mô ̣t số công trình nghiên cứu gần gũi với đề tài này như : " Thực hành giảng dạy nội dung “Các bài toán cực trị lượng giác cho học sinh trung học phổ thông theo phương pháp dạy học tích cực " - Luâ ̣n văn tha ̣c sĩ của Trịnh Quang Anh, ĐHGD-ĐHQG HN, năm 2010; " Rèn luyện kỹ năng tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức cho học sinh khá, giỏi cuối cấp trung học phổ thông " - Luâ ̣n văn tha ̣c sĩ của Nguyễn Thị Thanh Thủy , ĐHGD-ĐHQG HN, năm 2010; “Một phương pháp xây dựng và giải các đẳng thức và bất đẳng thức đại số từ đẳng thức và bất đẳng thức lượng giác ”- Luận văn thạc sĩ của Nguyễn Đức Đại, ĐHGD-ĐHQG HN, năm 2008; “Phát triển tư duy sáng ta ̣o cho ho ̣c sinh THPT qua da ̣y ho ̣c các bài toán về giá tri ̣ lớn nhất và giá trị nhỏ nhất” - Luận văn thạc sĩ của Đinh Thị Mỹ Hạnh , ĐHGD-ĐHQG

HN, năm 2012… Nhưng theo tôi biết còn ít công trình nghiên cứu về đối tượng học sinh Trung học cơ sở, và chưa có công trình nghiên cứu nào đi sâu

vào nghiên cứu “Phương pháp dạy học các bài toán Giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất ở lớp 9 Trung học cơ sở”

3 Mục tiêu và nhiệm vụ nghiên cứu

- Khi viết đề tài này này tôi luôn cố gắng hệ thống, xây dựng cô đọng và đầy đủ những phương pháp giải, phát triển bài toán nhằm nâng cao năng lực

tự học của học sinh, ứng dụng kết quả của bài toán vào giải quyết một số bài toán thực tế khác Từ đó rèn luyện cho học sinh khả năng tư duy, phân tích bài toán, tránh những sai lầm, ngộ nhận trong suy luận logic, phát hiện và bồi dưỡng những học sinh có năng khiếu về toán Hơn nữa trong các kỳ thi học sinh giỏi cấp huyện, thường có bài toán tìm GTNN và GTLN đại số nên đây cũng là một tài liệu cho giáo viên tham khảo giúp ích cho việc bồi dưỡng học

- Đưa ra được những khó năng cần thiết khi biến đổi và tìm GTLN, GTNN

- Tạo ra sự đam mê tìm hiểu, nghiên cứu, sáng tạo trong việc dạy học toán

- Thực tra ̣ng da ̣y ho ̣c các bài toán về cực trị

- Đề xuất các bài giảng nhằm khai thác các bài toán về GTNN và GTLN

3 Phạm vi nghiên cứu nghiên cứu

Nghiên cứ u các bài toán về nội dung “GTNN và GTLN” trong chương trình toán lớp 9 trường Trung học cơ sở

4 Câu hỏi nghiên cứu

Một câu hỏi đặt ra rằng: Tại sao có thể làm tốt được nội dung “Các bài toán tìm GTNN và GTLN” ở lớp 9 THCS?

- Phần này bản thân tôi có được những kết quả tốt từ khi còn học THCS

- Bản thân đã giảng dạy nội dung này được hơn 10 năm và đã ấp ủ nhiều ý tưởng cho nội dung này

- Hiện nay, tôi có thể làm được tốt hơn

Vậy những điểm gì là mới trong luận văn này?

- Tạo được nhiều cơ hội để học sinh rèn luyện khả năng tự học, tự nghiên cứu

- Có một phương pháp thích hợp cho dạy nội dung này

5 Mẫu kha ̉ o sát

Dự kiến khảo sát ở lớp 9A, 9B trường THCS Hồ Tùng Mậu- Ân Thi- Hưng Yên

6 Phương pha ́ p nghiên cứu

5

6.1 Nghiên cứu tài liệu:

- Trong nhiều năm liền tôi đã tích cực tham khảo và nghiên cứu tài liệu liên quan đến chủ đề của đề tài, tích góp những nội dung, những kinh nghiệm quan trọng về tìm GTLN, GTNN theo trình tự cho từng dạng bài toán riêng

6.2 Phân tích tổng hợp giữa lý luận và thực tiễn:

- Nghiên cứ u lí luâ ̣n: tư duy sáng ta ̣o cho ho ̣c sinh qu a da ̣y ho ̣c toán, phương pháp tạo các bài giảng phù hợp với học sinh

- Trên cơ sở những lý luận về đổi mới phương pháp dạy học và thực tế học sinh của trường tôi tiến hành nghiên cứu nội dung tìm cực trị đại số môn Toán và thiết kế hoạt động dạy học này theo hướng tích cực hóa hoạt động của học sinh và khi giảng dạy tôi kiểm tra, so sánh các yêu cầu sau:

+ Tích cực suy nghĩ lĩnh hội kiến thức, rèn luyện kĩ năng

+ Phát triển tư duy khái quát hóa, tổng hợp hóa

+ Sáng tạo trong cách giải bài tập, mạnh dạn trình bày và bảo vệ ý kiến, quan điểm cá nhân

+ Rèn luyện kĩ năng bộ môn Toán

Cùng những kinh nghiệm của đồng nghiệp, từ thực tế lên lớp, qua những tiết bồi dưỡng học sinh giỏi Bản thân luôn có sự thử nghiệm, so sánh và ghi chép những điều cần thiết cho tiết dạy sau tốt hơn, hiệu quả hơn tiết dạy trước

- Thực hiện chuyên đề về “Phương pháp dạy học các bài toán Giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất ở lớp 9 Trung học cơ sở” trong tổ chuyên môn để

tranh thủ tiếp thu những ý kiến đóng góp của đồng nghiệp trong tổ

- Điều tra , quan sát: điều tra thu thâ ̣p ý kiến của giáo viên và ho ̣c sinh về thực tra ̣ng da ̣y ho ̣c các bài toán tìm GTNN và GTLN

- Thực nghiê ̣m sư pha ̣m

7 Giả thuyết khoa học

6

Nếu sử du ̣ng hợp lý phương pháp trong dạy nội dung tìm GTNN và GTLN trong các bài toán thì có thể làm cho học sinh có nhiều cơ hội tự rèn luyện tìm

ra lời giải, góp phần nâng cao hiệu quả dạy học nội dung này

8 Cấu tru ́ c luâ ̣n văn

Ngoài phần mở đầu , kết luận, danh mu ̣c tài liệu tham khảo nội dung chính của luận văn gồm ba chương:

Chương 1 Cơ sở lý luâ ̣n và thực tiễn

Chương 2 Phương pháp dạy học các bài toán Giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất ở lớp 9 Trung học cơ sở

Chương 3 Thực nghiê ̣m sư pha ̣m

7

CHƯƠNG 1

CỞ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN 1.1 Khái niệm cơ bản

1.1.1 Phương pháp dạy học là gì ?

Thuật ngữ phương pháp trong tiếng Hy Lạp là “Méthodos” có nghĩa là con đường, cách thức hoạt động nhằm đạt được mục đích nhất định Vì vậy, phương pháp là hệ thống những hành động tự giác, tuần tự nhằm đạt được những kết quả phù hợp với mục đích đã định

Trong phương pháp dạy học, chủ thể tác động – người thầy giáo và đối tượng tác động của họ là học sinh Còn học sinh lại là chủ thể tác động của mình vào nội dung dạy học Vì vậy, người thầy giáo phải nắm vững những quy luật khách quan chi phối tác động của mình vào học sinh và nội dung dạy

học thì mới đề ra những phương pháp tác động phù hợp

1.1.2 Một vài phương pháp dạy học tích cực

1.1.2.1 Khái niệm tính tích cực

Tính tích cực là một phẩm chất vốn có của con người trong đời sống xã hội Khác với động vật, con người không chỉ tiêu thụ những gì sẵn có trong thiên nhiên mà còn chủ động, bằng lao động, sản xuất ra những của cải vật chất cần cho sự tồn tại của xã hội, sáng tạo ra nền văn hóa ở mỗi thời đại Hình thành và phát triển tính tích cực xã hội đã là củng cố một trong các nhiệm vụ chủ yếu của giáo dục nhằm đào tạo những con người năng động, thích ứng và góp phần phát triển cộng đồng Có thể xem tính tích cực như là một điều kiện đồng thời là một kết quả của sự phát triển nhân cách trong quá trình giáo dục

1.1.2.2 Phương pháp tích cực

Phương pháp tích cực để chỉ những phương pháp dạy học phát huy tính tích cực, chủ động sáng tạo của người học Phương pháp tích cực hướng tới việc hoạt động hóa, tích cực hóa hoạt động nhận thức của người học nghĩa là

8

tập trung vào phát huy tính tích cực của người học chứ không phải là tâp

trung vào người dạy

1.1.2.3 Những dấu hiệu đặc trưng của các phương pháp tích cực

Có bốn dấu hiệu cơ bản:

- Dạy học thông qua các hoạt động của học sinh

- Dạy học chú trọng rèn luyện phương pháp tự học

- Tăng cường học tập cá thể phối hợp với học nhóm

- Kết hợp đánh giá của thầy với tự đánh giá của trò

- Ngoài ra, còn có một số phương pháp như: phương pháp chương trình hóa,

…

1.1.3 Phương pha ́ p dạy học trực quan

Có thể chia phương pháp trực quan thành phương pháp trình bày trực quan và phương pháp quan sát

1.1.3.1 Phương pha ́ p trình bày trực quan:

Đây là phương pháp sử du ̣ng những phương tiê ̣n trực quan, phương tiê ̣n kĩ thuâ ̣t da ̣y ho ̣c trước, trong và sau khi nắm tài liê ̣u mới trong khi ôn tâ ̣p, củng cố, hệ thống hóa và kiểm tra tri thức, kỹ năng, kỹ xảo

Thông qua sự trình bày thí nghiê ̣m của giáo viên mà ho ̣c sinh không chỉ lĩnh

hô ̣i dễ tri thức còn giúp ho ̣ ho ̣c tâ ̣p được những đô ̣ng tác mẫu mực của giáo viên, nhờ vâ ̣y dễ dàng hình thành kỹ năng, kỹ xảo biểu diễn thí nghiệm Ở trường phổ thông, thí nghiệm có thể do giáo viên hướng dẫn và do học sinh tiến hành trong khi ho ̣c bài mới hoă ̣c luyê ̣n tâ ̣p trong phòng thí nghiê ̣m

1.1.3.2 Phương pha ́ p quan sát

Quan sát là sự tri giác có chủ đi ̣nh, có kế hoạch tạo khả năng theo dõi tiến hành và sự biến đổi diễn ra trong đối tượng quan sát Quan sát là hình thức cảm tính tích cực nhằm thu thập những sự kiện, hình thành những biểu tượng ban đầu về đối tượng của thế giới xung quanh Quan sát gắn liền với tư duy Quan Sát được ho ̣c sinh sử du ̣ng khi giáo viên trình bày phương tiê ̣n trực quan, phương tiện da ̣y ho ̣c hoă ̣c khi ho ̣c sinh tiến hành làm việc trong phòng thí nghiệm

Phân loại: căn cứ vào cách thức quan sát có thể chia thành quan sát trực tiếp và quan sát gián tiếp

Căn cứ và thời gian quan sát có thể phân chia thành quan sát ngắn ha ̣n, quan sát dài hạn

- Chúng cũng là phương tiện minh hoạ để khẳng định những kết luận có tính suy diễn và còn là phương tiện tạo nên những tình huống vấn đề và giải quyết vấn đề

- Vì vậy, phương pháp dạy học trực quan góp phần phát huy tính tích cực nhận thức của học sinh

- Với phương pháp dạy học trực quan sẽ giúp học sinh huy động sự tham gia của nhiều giác quan kết hợp với lời nói sẽ tạo điều kiện dễ hiểu, dễ nhớ và nhớ lâu, làm phát triển năng lực chú ý, năng lực quan sát, óc tò mò khoa học của học sinh

* Nhược điểm

Nếu không ý thức rõ phương tiện trực quan chỉ là một phương tiện nhận thức mà lạm dụng chúng thì dễ làm cho học sinh phân tán chú ý, thiếu tập trung vào những dấu hiệu bản chất, thậm chí còn làm hạn chế sự phát triển năng lực tư duy trừu tượng của trẻ

1.1.3.4 Những yêu cầu cơ bản của việc sử dụng phân nhóm phương pháp dạy học trực quan

- Lựa chọn thận trọng các phương tiện trực quan, phương tiện kỹ thuật dạy học sao cho phù hợp với mục đích, yêu cầu của tiết học

11

- Giải thích rõ mục đích trình bày những phương tiện trực quan, phương tiện

kỹ thuật dạy học theo một trình tự nhất định tuỳ theo nội dung bài giảng

- Các phương tiện đó cần chuẩn bị tỉ mỉ, chu đáo, cần giải thích rõ ràng những hiện tượng, diễn biến quá trình và kết quả của chúng, hướng dẫn học sinh quan sát để phát hiện nhanh những dấu hiệu bản chất của sự vật, hiện tượng

- Cần chuẩn bị đủ hoă ̣c thừa số lượng phương tiện trực quan, phương tiện kỹ thuật dạy học phù hợp với nội dung của tiết học và số lượng ho ̣c sinh Không lạm dụng quá nhiều phương tiện gây sự phân tán trong quá trình học của học sinh

- Để học sinh quan sát có hiệu quả cần xác định mục đích, yêu cầu, nhiệm vụ quan sát, hướng dẫn quan sát, cách ghi chép những điều quan sát được Từ đó học sinh có thể rút ra những kết luận đúng đắn, có tính khái quát và biểu đạt những kết luận đó dưới dạng văn nói hoặc văn viết một cách rõ ràng, chính xác

- Bảo đảm cho tất cả học sinh quan sát sự vật, hiện tượng rõ ràng, đầy đủ, nếu có thể thì phân phát các vật thật cho họ Để các đồ dùng trực quan dễ quan sát cần dùng các thiết bị có kích thước đủ lớn, bố trí thiết bị ở nơi cao, chú ý tới ánh sáng, tới những quy luật cảm giác, tri giác

- Chỉ sử dụng những phương tiện dạy học khi cần thiết Sau khi sử dụng xong nên cất ngay đi để tránh làm mất sự tập trung chú ý của học sinh

- Đảm bảo phát triển năng lực quan sát chính xác của học sinh

- Đảm bảo phối hợp lời nói với việc trình bày các phương tiện trực quan và phương tiện kỹ thuật dạy học Có bốn hình thức phối hợp như sau:

+ Hình thức thứ nhất: Dưới sự chỉ đạo bằng lời của giáo viên, học sinh quan sát trực tiếp các sự kiện, hiện tượng Từ đó, chính họ rút ra những thuộc tính, những mối quan hệ của chúng, những kết luận không cần suy luâ ̣n

12

+ Hình thức thứ hai: Trên cơ sở quan sát các đối tượng và dựa vào tri thức đã học của học sinh, giáo viên dẫn dắt họ biện luận, nêu ra các mối liên hệ giữa những hiện tượng bằng các biện pháp quy nạp, từ đó rút ra kết luận

+ Hình thức phối hợp thứ ba là biện pháp minh hoạ đối với những hiện

tượng đơn giản Bằng lời nói giáo viên thông báo trước những hiện tượng, sự kiện, kết luận rồi sau đó trình bày phương tiện trực quan nhằm minh hoạ điều

đã trình bày Hình thức này ngược với trường hợp thứ nhất

+ Hình thức thứ tư là hình thức có tính chất suy diễn Với nội dung phải nghiên cứu phức tạp thì giáo viên bằng lời nói mô tả diễn biến của hiện tượng, kích thích học sinh tái hiện những tri thức đã học có liên quan đến hiện tượng

để giải thích hiện tượng đó Tiếp đó, giáo viên trình bày phương tiện trực quan để minh hoạ nhằm khẳng định những điều đã trình bày của mình Hình thức phối hợp này ngược với hình thức thứ hai

1.1.4 Phương pha ́ p chương trình hóa

1.1.4.2 Các hình thức trình bày bài học chương trình hóa

Có các hình thức trình bày bài học trương trình hóa đó là:

- Sử du ̣ng văn bản tĩnh

- Sử du ̣ng da ̣ng chương trình

- Dạng trình diễn đơn giản (ví dụ trên PowerPoint)

- Dạng trình diễn cấp cao (ví dụ trên Flash)

- Dạng trang web

13

1.1.4.3 Kết luâ ̣n

Phương pháp da ̣y ho ̣c chương trình hóa có thể giúp ho ̣c sinh tự ho ̣c qua web, bên ca ̣nh đó giáo viên có thể hướng dẫn ho ̣c sinh sau đó đưa bà i giảng cho học sinh với nhiều hình thức trình bày khác nhau (trình bày trên giấy , dạng powerpoint,…) và trên cơ sở được giáo viên hướng dẫn và bài giảng học sinh

có thể tự học ở nhà Lúc này người giáo viên chỉ đóng va i trò phu ̣ và viê ̣c tự học của học sinh là rất quan trọng và cần thiết

1.1.5 Xu hướng dạy học hiện nay

- Xu hướng dạy học hiện nay là người thầy tìm cách dạy ít nhất, trong

khi đó học sinh được làm việc nhiều nhất

- Người thầy luôn tìm cách đối thoại với người học nhiều nhất có thể, từ

đó đánh giá được đúng khả năng và năng lực của người học

- Để làm tốt những điều trên người dạy có thể làm tốt những điều sau

đây:

+ Tạo các bài giảng tự học Đây là một khâu khá quan trọng nhằm đánh giá đúng khả năng của người học Người giáo viên chỉ định hướng cho người học, phát vấn ra những câu hỏi liên quan đòi hỏi người học phải biết tự tìm tòi

và khám phá Những câu hỏi đó phải mang tính vừa sức, kích ứng được sự tìm tòi và khám phá từ phía người học Từ đó người học sinh có thể tự tìm tòi kiến thức cho riêng bản thân mình áp dụng vào làm các bài tập cụ thể, do giáo viên định hướng giao cho hoặc do bản thân mình tìm tòi và sáng tạo ra

+ Tạo ra các bài giảng trình bày, nhằm giúp cho người học có thể hình dung

ra vấn đề đơn giản nhất, qua đó có thể hiểu được ngay vấn đề người giáo viên trình bày Thực tế cho thấy, nếu người dạy làm tốt ở phần tạo bài giảng trình bày thì việc truyền đạt kiến thức đến người học là vô cùng đơn giản Qua đó người học cũng thích thú hơn trong việc lĩnh hội kiến thức, và mong muốn đi tìm hiểu sâu hơn ở những kiến thức cao hơn

14

+ Thực hành nội dung bài giảng Đó là đưa ra hệ thống các bài tập đồ sộ, nhằm đánh giá khả năng vận dụng các kiến thức đã học của học sinh Qua đó đưa ra những điều chỉnh cho phù hợp với người học, các bài tập ở các mức độ khác nhau Đánh giá khả năng nhớ của người học, khả năng thực hành và khả năng giải quyết vấn đề ở mức độ cao của người học

1.2 Dạy học các bài toán về GTLN - GTNN ơ ̉ trường THCS

1.2.1 Nô ̣i dung chương trình GTLN - GTNN ở trường THCS

- Học sinh được học về GTLN - GTNN thông qua nội dung giá trị của biểu thức ở lớp 8

- Học sinh được học về GTLN - GTNN thông qua nội dung giá trị hàm số ở lớp 9

- Học sinh được học khái niệm và cách tính GTLN - GTNN ở lớp 9

- Qua nghiên cứ u SGK , SBT Đa ̣i số ; các chuyên đề Đại số ở lớp 8, 9 có thể thấy được mô ̣t số đă ̣c điểm nô ̣i dung chương trình về các bài toán GTLN - GTNN như sau:

- Các bài toán tìm GTLN - GTNN nằm rải rác ở các chương của Đại số ; chủ yếu ở chương trình lớp 8, 9

- Các bài toán tìm GTLN - GTNN có thể thấy ở hầu hết các phần kiến thức như: hàm số; bất đẳng thức; giá trị của biểu thức…không có hê ̣ thống bài tâ ̣p theo da ̣ng, không có được những phương pháp cụ thể

1.2.2 Thư ̣c trạng dạy học các bài toán về GTLN - GTNN ở trường THCS

Về phía giáo viên

Qua trao đổi với mô ̣t số giáo vi ên toán ở mô ̣t số trường THCS trên đi ̣a bàn huyện Ân Thi- Hưng Yên và tìm hiểu thực tra ̣ng viê ̣c da ̣y ho ̣c nô ̣i dung GTLN

- GTNN ở các trường THCS tôi có mô ̣t vài nhâ ̣n xét như sau:

- Đa số giáo viên đều đồng ý với quan điểm các bài toán tìm GTLN – GTNN cần có phương pháp dạy học phù hợp với học sinh, tạo tiền đề nền tảng cho viê ̣c theo ho ̣c các bâ ̣c ho ̣c cao hơn sau này;

15

- Đa số các giáo viên đều cho rằng đây là những bài toán khó đối với ho ̣c sinh các lớp đa ̣i trà , do đó các giáo viên giảng da ̣y ở các lớp đa ̣i trà thường không chú tr ọng cho học sinh vấn đề này Ở các lớp chuyên , lớp cho ̣n giáo viên mới chỉ cho ho ̣c sinh giải các bài toán tìm GTLN - GTNN ở da ̣ng tường minh từ đó hình thành cho ho ̣c sinh phương pháp giải bài toán da ̣ng này ;

- Hầu hết các giáo viên cũng cho rằng nếu có một hệ thống bài toán và có một phương pháp truyền đa ̣t phù hợp thì không những có thể nâng cao hiê ̣u quả viê ̣c giảng da ̣y nô ̣i dung này mà còn giúp cho ho ̣c sinh đa ̣i trà tiếp câ ̣n tốt được với các bài toán tìm GTLN - GTNN;

- Do các bài toán tìm GTLN - GTNN rất đa da ̣ng , phong phú nên giáo viên phải mất nhiều công sức chọn lọc một hệ thống bài toán phù hợp với nhiều trình độ nhận thức của học sinh;

- Đa số các giáo viên khi dạy bài toán tìm GTLN - GTNN chỉ dừng la ̣i ở mức đô ̣ rèn cho học sinh kỹ năng tính toán đối với từng dạng bài toán cụ thể;

- Một phần lớn các giáo viên có chú ý đến viê ̣c phát triển tư duy sáng ta ̣o cho học s inh nhưng hiê ̣u quả không cao : các giáo viên chưa thực sự coi trọng những bài tâ ̣p trong đó ho ̣c sinh phải tự xác lâ ̣p, tìm tòi phát hiện và giải quyết vấn đề; chưa dành thời gian cho viê ̣c hướng dẫn ho ̣c sinh tìm tòi khai thác mở

rô ̣ng bài toán; trong các đề kiểm tra chưa chú ý sử du ̣ng các câu hỏi , bài tập phát huy được tư duy sáng tạo của học sinh, …

Về phía ho ̣c sinh

Qua tìm hiểu các em ho ̣ c sinh ở mô ̣t số trường THCS trên đi ̣a bàn huyện Ân Thi- Hưng Yên tôi thấy rằng:

- Học sinh chưa được trang bị các phương pháp tiếp cận và giải các bài toán tìm GTLN - GTNN;

- Bài tập các em làm chưa có định hướng cụ thể về phương pháp giải , chưa có lời giải hay và chắc chắn;

- Hầu hết học sinh sau khi giải xong mô ̣t bài toán không có thói quen khai thác lời giải: tìm nhiều lời giải và chọn lời giải tối ưu , tìm bài toán tổng quát ,

lâ ̣t ngược vấn đề, …

- Khi gặp b ài toán mới chưa biết cách giải các em ít khi xem xét các trường hợp riêng để tự mò mẫm, dự đoán kết quả từ đó tìm lời giải mà thường đợi sự gợi ý của giáo viên

Nguyên nhân

Có nhiều nguyên nhân dẫn đến thực trạng trên:

- Do các bài toán tìm GTLN - GTNN là các bài toán khó da ̣y đối với giáo viên và khó ho ̣c đối với ho ̣c sinh;

- Còn một bộ phận không nhỏ giáo viên chưa ý thức được vai trò của việc bồi dưỡng và phát triển tư duy sáng ta ̣o cho ho ̣c sinh hoă ̣c không có phương pháp

để bồi dưỡng tư duy sáng tạo cho học sinh Dạy học còn thiên về kỹ năng giải toán mà nhẹ về rèn luyện tư duy nhất là tư duy sáng tạo;

- Phần lớ n các giáo viên chỉ nghĩ đến viê ̣c da ̣y đúng, dạy đủ trong SGK mà chưa nghĩ xem da ̣y thế nào cho hiê ̣u quả Khi da ̣y bài tâ ̣p thì giáo viên chỉ tâ ̣p trung luyê ̣n cho ho ̣c sinh các kỹ năng tính toán;

- Giáo viên chưa xây dựng được hệ thống bài tập nhằm tác động đến từ ng yếu tố cu ̣ thể của tư duy sáng ta ̣o;

- Hầu hết các em ho ̣c sinh khi giải ra kết quả mô ̣t bài toán là dừng la ̣i , không

có thói quen suy nghĩ thêm để tìm lời giải khác cũng như xem xét lời giải đó

có tối ưu hay chưa , không đào sâu suy nghĩ, xem xét các bài toán dưới nhiều khía cạnh khác nhau cũng như không mở rộng khai thác bài toán, …

- Bài toán tìm GTLN - GTNN là bài toán khó nên học sinh ít hứng thú do đó các em chưa thực sự tích cực trong các giờ học;

- Tính tự giác và độc lập trong học tập của các em chưa cao , còn ỷ lại vào thầy cô giáo, giành ít thời gian cho việc tự học , số lượng các em tự đọc sách thảm khảo để nâng cao trình độ là không nhiều

Kết luâ ̣n Chương 1

Ở chương này của luận văn đã trình bày một số phương pháp dạy học tích cực, đánh giá cao tính tự học của người học sinh Phương pháp dạy học tạo ra các bài giảng tự học , bài giảng trình bày và thực hành nhằm tạo cho người học sự hứng thú cao nhất để tiếp thu kiến thức một cách chủ động và tích cực Cuối cùng đó là thực trạng da ̣y ho ̣c các bài toán về GTLN - GTNN ở trường THCS

18

CHƯƠNG 2 PHƯƠNG PHÁP DẠY HỌC CÁC BÀI TOÁN GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT VÀ GIÁ TRỊ LỚN NHẤT

Ở LỚP 9 TRUNG HỌC CƠ SỞ

2.1 Đi ̣nh nghi ̃a

2.1.1 GTLN - GTNN của hàm số

Giả sử hàm số y  f x  xác định trên tập hợp D

1) Nếu tồn tại mô ̣t điểm x0 Dsao cho f x    f x 0 với mo ̣i x  Dthì số

 0

M  f x được go ̣i là GTLN của hàm số f trên D, kí hiệu  

D

M  max f x 2) Nếu tồn tại mô ̣t điểm x0 Dsao cho f x    f x 0 với mo ̣i x  Dthì số

 0

m  f x được go ̣i là GTNN của hàm số f trên D, kí hiệu  

D

m  min f x Câu hỏi đă ̣t ra là phân biê ̣t sự giống nhau và khác nhau giữa khái niê ̣m GTLN - GTNN và khái niê ̣m cực tri ̣ Có rất nhiều học sinh chưa phân biệt được rõ ràng hai khái niê ̣m này dẫn đến khi vâ ̣n du ̣ng không linh hoa ̣t Khái niê ̣m cực tri ̣ chỉ cần xảy ra trên mô ̣t lân câ ̣n c ủa x0(một khoảng nhỏ xung quanh x0) còn khái niệm GTLN - GTNN thì xảy ra với mo ̣i x trên D (trên toàn tập xác định ) Nói một cách khác : khái niệm cực trị mang tính địa phương còn khái niệm GTLN - GTNN mang tính toàn cục

2.1.2 Một số tính chất của GTLN-GTNN cơ bản của hàm số

a) max f x g x max f x max g x 1

b) min f x g x min f x min g x 2

f x và g x cùng đạt giá trị lớn nhất Tương tự nếu tồn tại x thuộc D mà tại 0

đó f ,g cùng đạt giá trị nhỏ nhất thì  2 có dấu bằng

Chú ý: Khi nói đến giá trị lớn nhất hay nhỏ nhất của một hàm số, bao

giờ cũng phải tìm TXĐ Cùng một hàm số f x nhưng xét trên hai TXĐ khác  

nhau thì nói chung giá trị lớn nhất tương ứng khác nhau Để cho phù hợp với chương trình các lớp phổ thông cơ sở, ta giả thiết là các bài toán đang xét đều tồn tại giá trị cực trị trên một tập hợp nào đó

20

b) x 0, dấu bằng xảy ra khi x = 0

c) - x  x  x , xảy ra dấu bằng khi x = x  x  0

d) x y x  y, xảy ra dấu bằng khi x.y  0

e) x   y x  y, xảy ra dấu bằng khi x y0 hoặc khi x y 0

* Một số bất đẳng thức chứng minh đơn giản:

f) a2 +b2 2ab, với mọi a, b xảy ra dấu “=” khi a = b

g) (a+b)2ab, với mọi a, b xảy ra dấu “=” khi a = b

 a,b > 0 xảy ra dấu “=” khi a = b

l) a   b 2 ab, a,b > 0 xảy ra dấu “=” khi a = b bất đẳng thức (Côsi) cho 2

số không âm:

m) (ax + by)2 (x2+y2)(a2+b2) a,b,x,y xảy ra dấu “=” khi a x

b  y Bất đẳng thức Bunhiacôpxki:

1 2 n

a a a

a a an

 xảy ra dấu “=” khi a1=a2 =….=an bất đẳng thức (Côsi) cho n số không âm:

p) Bất đẳng thức Bunhiacôpxki:

Cho 2n số a1,a2, ,an ;b1,b2, ,bn Ta luôn có:

(a1b1+a2b2+ anbn)2 (a12+a22+ +an2)(b12+b22+ +bn2)

Dấu “=” xảy ra khi 1 2 n

- Học sinh phải trả lời được một số câu hỏi như sau:

? Khi nào thì một biểu thức đạt được GTNN và GTLN

? Một biểu thức được biến đổi dưới dạng tổng của một số  0 và một hằng số

a thì GTNN của biểu thức đó sẽ là bao nhiêu

? Một biểu thức viết được dưới dạng hằng số b trừ đi một số 0 thì GTLN của biểu thức đó là bao nhiêu

? Điều kiện có nghiệm của một tam thức bậc hai là gì

- Một số bài tập tự học cơ bản:

Bài tập 1:

Tìm GTNN của các biểu thức sau:

a) A= (x+1)2+4, với x là số thực bất kì

b) B= 1 x   3, với x là số thực bất kì

c) C= x2+16, với x là số thực bất kì

d) D= x2+4x+4, với x là số thực bất kì

Gợi ý và đáp số

a) minA= 4, khi x=-1

b) minB=3, khi x=3

c) minC=16, khi x=0

22

d) minD=0, khi x=-2

Bài tập 2:

Tìm GTLN của các biểu thức sau:

a) A= 5- x2, với x là số thực bất kì

b) B= -12- x  4, với x là số thực bất kì

c) C= 3 5 x

2

   , với x là số thực bất kì

d) D= -x2-6x-9, với x là số thực bất kì

Gợi ý và đáp số

Tìm GTNN hoặc GTLN có thể của các biểu thức sau:

a) A= x2+3x+5, với x là số thực bất kì

b) B= -x2-4x+1, với x là số thực bất kì

c) C= 3x2-4x+7, với x là số thực bất kì

Tìm giá trị nhỏ nhất của P nếu a > 0

Tìm giá trị lớn nhất của P nếu a < 0

Để tìm giá trị nhỏ nhất (lớn nhất) của P ta cần phải biến đổi sao cho:

P = a.A2(x) + k Sau đó xét với từng trường hợp a>0 hoặc a<0 để tìm giá trị nhỏ nhất hoặc lớn nhất

Bài giải

23

P = a.A2(x) + k

= a (x2 + b

a x) + c

Vậy M lớn nhất bằng 3

4 khi 2x – 1 = 0 => x = 1.

2

Vậy B nhỏ nhất bằng - 1

3 khi x – 1= 0 => x =1

minM = - 1

3 với x = 1

Chú ý: Khi gặp dạng bài tập này các em thường xuyên lập luận rằng M (hoặc

B) có tử là hằng số nên M (hoặc B) lớn nhất (nhỏ nhất) khi mẫu nhỏ nhất (lớn nhất)

Lập luận trên có thể dẫn đến sai lầm, chẳng hạn với phân thức 21

Như vậy từ -3 < 1 không thể suy ra - 1

3>1

1

Vậy từ a < b chỉ suy ra được 1

a >1

b khi a và b cùng dấu

 Bài giảng trình bày:

25

Ví dụ 1:

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức :

A = 2x2 – 8x +1, với x là số thực bất kỳ

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

M = -5x2 – 4x + 1, với x là số thực bất kỳ

16 15

3

16 15

2  

=

3

23 3

) 4

106

x x

Với x thuộc tập hợp số thực

Bài giải

Ta có M=

3 2

10 6 3

x x

= 3 +

2 ) 1 (

(x 1)

 



28

Bài giải Cách 1: Hãy viết tử thức dưới dạng lũy thừa của x + 1, rồi đổi biến bằng cách

viết A dưới dạng tổng các biểu thức là lũy thừa của 1

x 1  Từ đó tìm giá trị

nhỏ nhất của A Ta có: x2

+ x + 1 = (x2 + 2x + 1) - (x +1) + 1 = (x + 1)2 - (x + 1) + 1

Do đó A =

2 2

(x 1) (x 1)

(x 1) (x 1)

1 (x 1)  = 1 -

1

1 (x 1) 

Đặt y= 1

x 1  khi đó biểu thức A trở thành: A = 1 - y + y

2

Vậy giá trị nhỏ nhất của A bằng 3

4 khi và chỉ khi:

Cách 2 Ta có thể viết A dưới dạng tổng của một số với một biểu thức không

âm Từ đó tìm giá trị nhỏ nhất của A

29

2 2

Bài toán xuất hiện điều gì mới?

Trả lời: Bài toán trở thành tìm giá trị lớn nhất của biểu thức 12 .

(x  2)  2

Hãy tìm giá trị lớn nhất của 12

(x  2)  2 từ đó suy ra giá trị lớn nhất của M?

Trả lời: Vì (x+1)2  0, với mọi x

Dấu “=” xảy ra khi x+1=0 hay x=-1

Vậy giá trị lớn nhất của M = 31

2 khi và chỉ khi x=-1

Ví dụ 12

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

F =

2 2

1 ) (

2 4 4

2

2 2 2

x

x y y

1 ) (

2 4 4 2

2 2 2

x y y xy

=

) 2 )(

1 (

1

2 4

y

, vì y4 +1  0 với mọi giá

trị của x nên ta chia cả tử và mẫu cho y4

+ 2 2 với mọi x ,và do đó ta có Fx,y =

Vậy F có GTLN =

2

1

, trong đó x=0và y lấy giá trị tuỳ ý

 Nhận xét: ta thấy rằng đối với các biểu thức dạng tam thức bậc hai này, nếu hằng số của x2

là một số dương thì biểu thức đạt GTNN, còn ngược lại ta có GTLN

Ví dụ 13

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

A = 2000 - 1999 x 1 

31

Cách giải dạng toán này tương đối đơn giản ta có thể áp dụng các bất đẳng thức

a   0; a xảy ra dấu “=” khi a = 0,

a    b a b , xảy ra dấu “=” khi a và b cùng dấu

Dấu “=” xảy ra khi 2   x 5

Suy ra minA=18 khi 2   x 5

A = X2 + 10 X +( p-1)2 + 27 = (X+5) 2 + (p-1)2+ 2

Ta thấy (X+5) 2 0 ; (p-1)2 0 với mọi m, p

Do đó A đạt GTNN khi X+ 5=0 và p-1=0

Giải hệ điều kiện trên ta được p= 1, m= -3

Vậy GTNN của A = 2, với p= 1, m= -3

32

Ví dụ 16

Tìm giá trị của x, y sao cho F = x2

+ 26y2 – 10xy +14x – 76y + 59 đạt giá trị nhỏ nhất Tìm giá trị nhỏ nhất đó

Bài giải

Ta có F = x2 + 26y2 – 10xy +14x – 76y + 59 = ( x-5y)2+ (y-3)2 +14(x-5y)+50 Đặt ẩn phụ : t = x-5y ta có F = (t+7)2

+ (y- 3)2 +1 1

Dấu = xẩy ra khi t+7=0 và y-3 = 0, ta có hệ phương trình

giải hệ điều kiện trên ta được x=8 và y= 3

Vậy minF = 1, với x=8 và y=3

Ví dụ 17

Tìm giá trị của x, y,z sao cho

P = 19x2 +54y2 +16z2 -16xz – 24yz +36xy +5

Đạt giá trị nhỏ nhất Tìm giá trị nhỏ nhất đó

Bài giải

Ta có:

P = 19x2 +54y2 +16z2 -16xz – 24yz +36xy +5

= ( 9x2+ 36xy + 36y2) + (18y2- 24yz +8z2) + (8x2 – 16xz + 8z2) + 2x2 + 5 hay

P = 9(x+2y)2 + 2(3y – 2z)2 + 8(x- z )2 + 2x2 + 5

Ta thấy (x+2y)2  0 ; (3y – 2z)2 0; (x- z )2  0; 2x2  0,

với mọi giá trị của x, y, z

Vậy GTNN của P = 5 khi x+2y = 0 và 3y- 2z =0 và x- z =0 và x=0

Giải hệ phương trình trên ta được x= y = z = 0