Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trong các bài toán số học, hình học, hình học tổ hợp

Bài toán tìm giá trị lớn nhất hoặc nhỏ nhất hay tìm cực trị nói chung đãcó từ lâu và luôn xuất hiện trong mọi lĩnh vực của toán học.. Trong chươngtrình toán phổ thông, bài toán tìm giá t

Mở đầu 2

1 Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất trong số học 4 1.1 Một số bài toán về giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất trong số học 4

1.2 Bài tập đề nghị 23

2 Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất trong hình học 24 2.1 Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trong hình học không gian 24 2.2 Bài tập đề nghị 35

2.3 Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trong hình học phẳng 36

2.4 Bài tập đề nghị 51

3 Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất trong hình học tổ hợp 53 3.1 Một số bài toán về giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất trong hình học tổ hợp 53

3.2 Bài tập đề nghị 71

Kết luận 73

Tài liệu tham khảo 74

Bài toán tìm giá trị lớn nhất hoặc nhỏ nhất hay tìm cực trị nói chung đã

có từ lâu và luôn xuất hiện trong mọi lĩnh vực của toán học Trong chươngtrình toán phổ thông, bài toán tìm giá trị lớn nhất hoặc nhỏ nhất trải dài ởhầu hết các cấp học, có mặt ở tất cả các bộ môn Số học, Đại số, Giải tích,Hình học và Lượng giác Đặc biệt, trong kỳ thi Đại học, Học sinh giỏi quốcgia và quốc tế thường có bài xác định cực trị nói chung nào đó Bởi vậy, bàitoán tìm giá trị lớn nhất hoặc nhỏ nhất là một trong số những bài toán đượcrất nhiều người thuộc nhiều lĩnh vực quan tâm đến Các bài toán về tìm giátrị lớn nhất hay nhỏ nhất rất phong phú, đa dạng, đòi hỏi vận dụng nhiềukiến thức và vận dụng sao cho hợp lý, đôi khi rất độc đáo Hơn nữa, bài toánxác định giá trị lớn nhất hoặc nhỏ nhất còn liên quan đến sự đánh giá, tìmcái chặn hoặc xét xem bài toán sẽ có tính chất gì khi nó đạt cực trị Chính

vì thế, để đáp ứng nhu cầu học tập và giảng dạy môn toán ở bậc phổ thông,luận văn này em xin tập trung trình bày một số bài toán về giá trị lớn nhất,giá trị nhỏ nhất trong số học, hình học và hình học tổ hợp với tên đề tài:

"Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trong các bài toán số học, hình học vàhình học tổ hợp"

Luận văn ngoài mục lục, lời nói đầu, kết luận, tài liệu tham khảo thì luậnvăn được chia ra làm ba chương:

Chương I: Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất trong số học Trong chương nàygiá trị lớn nhất và nhỏ nhất của số học có đặc điểm chính là sử dụng nhuầnnhuyễn các định lí cơ bản của số học và đưa ra các bài toán điển hình về giátrị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trong số học

Chương II: Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất trong hình học Trong chươngnày giới thiệu một vài bài toán cơ bản về giá trị lớn nhất và nhỏ nhất tronghình học không gian và hình học phẳng

Chương III: Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất trong hình học tổ hợp Trongchương này tập trung trình bày một số bài toán về tìm giá trị lớn nhất và giá

trị nhỏ nhất trong hình học tổ hợp và thường liên quan đến các đối tượng làcác tập hợp hữu hạn.

Qua luận văn này, em xin gửi lời cảm ơn sâu sắc đến thầy PGS TS PhanHuy Khải người đã tận tình chỉ bảo, hướng dẫn và giúp đỡ em trong suốt quátrình làm luận văn

Em xin trân trọng cảm ơn ban lãnh đạo khoa Toán Trường Đại học KhoaHọc Tự Nhiên- Đại học Quốc Gia Hà Nội, các thầy cô đã trang bị kiến thức,tạo điều kiện cho em trong thời gian học tập tại trường

Em xin trân trọng cảm ơn!

Hà Nội, tháng 12 năm 2013

Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất trong số học

Trong chương này có sử dụng nhuần nhuyễn các định lí cơ bản của số học,

có kết hợp với các phương pháp truyền thống của giá trị lớn nhất, giá trị nhỏnhất để hình thành các bài toán đặt ra là tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏnhất mang một nội dung số học mà từ trước đến nay giá trị lớn nhất và giátrị nhỏ nhất trong số học chưa được phổ cập như các bài toán trong lượnggiác hay biểu thức nào đó

Sau đây là một vài bài toán điển hình về giá trị lớn nhất và giá trị nhỏnhất trong số học

1.1 Một số bài toán về giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ

5 ⇒ t = 1; 2; 3 (do t ∈Z.)Lúc này

số 36m − 5 n là 1 khi 36m > 5n và chữ số cuối cùng của hiệu số 5n − 36 m là 9

khi 36m < 5n Vì vậy chữ số cuối cùng trong cách biểu diễn thập phân của số

N = |36m − 5 n | chỉ có thể là 1 hoặc 9 và giá trị nhỏ nhất có thể được của sốnày có thể là 1, 9 hoặc 11

Với m = 1 và n = 2 rõ ràng ta có N = 11 Ta hãy chứng minh rằng các đẳngthức N = 9 và N = 1 không thể xảy ra, điều đó có nghĩa là N = 11 là giá trịnhỏ nhất

Thật vậy, nếu ta có đẳng thức 5n− 36 m = 9 thì 5n = 36m+ 9 là một bội sốcủa 9 là điều không thể được

Thật vậy giả sử (1) không đúng, tức là tồn tại hai số nguyên dương m 0 , n 0

Như vậy giá trị nhỏ nhất là min P = 7.

Bài toán 1.4: Xét tập hợp tất cả các cách chọn 30 số nguyên dương

x1, x2, x3, , x30 sao cho x1 + x2 + + x30 = 2011. Tìm giá trị lớn nhất vàgiá trị nhỏ nhất của P = x1x2 x30.

Lời giải

Do vai trò bình đẳng giữa x1, x2, , x30 nên không mất tính tổng quát ta giả

sử rằng x1≤ x2 ≤ · · · ≤ x30.

1 Xét bài toán tìm min P.

Từ đó lập luận hoàn toàn tương tự suy ra x 2 = x 3 = · · · = x 29 = 1 cũng

là điều kiện cần để P đạt giá trị nhỏ nhất

Từ đó suy ra min P = 1.1 1(2011 − 29) = 1982.

Vậy min P = 1982 ⇔ có 29 thừa số bằng 1, và một thừa số bằng 1982

2 Xét bài toán tìm max P

đạt giá trị lớn nhất Vì thế điều kiện cần để P đạt giá trị lớn nhất là

Kết hợp lại ta có min P = 1982 và max P = 6729.68.

Bài toán 1.5: Xét tập hợp gồm 7 số nguyên tố khác nhau có các tính chấtsau:

Do vai trò bình đẳng giữa a, b, c nên có thể giả sử a + b = 800 và a < b

Rõ ràng c < 800 Thật vậy nếu c ≥ 800 ⇒ a + b − c ≤ 0, điều này mâu thuẫnvới việc a + b − c là số nguyên tố

Rõ ràng a + b + c là số lớn nhất trong 7 số nguyên tố nói trên

các số chẵn, mà chúng lại khác nhau Như vậy ta có nhiều hơn 2 số nguyên

tố chẵn khác nhau trong 7 số nói trên Điều đó là vô lí

Vậy cả 7 số nguyên tố đã cho đều là các số nguyên tố lẻ

Nói riêng số nhỏ nhất trong 7 số đã cho lớn hơn hoặc bằng 3

Từ đó theo định nghĩa về giá trị lớn nhất suy ra max d = 1594.

Bài toán 1.6: Tổng của m số dương chẵn và n số dương lẻ khác nhau là

2001 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức A = 5m + 2n.

Lời giải

Vì tổng của m số nguyên dương chẵn khác nhau ≥ 2 + 4 + · · · + 2m =

2.m(m + 1)

2 + m, còn tổng của n số dương lẻ khác nhau ≥ 1 + 3 +

· · · + (2n − 1) = n2. Vì vậy từ giả thiết suy ra

Bài toán 1.8: Sử dụng tất cả các chữ số từ 1 đến 9, hãy sắp xếp thành ba

số có ba chữ số khác nhau sao cho tích của chúng có giá trị nhỏ nhất, giá trịlớn nhất

i) Nếu A > B thì Aa > Bb và ta có:

1Aa.2Bb − 2Aa.1Bb = (100 + Aa)(200 + Bb) − (200 + Aa)(100 + Bb)

= 100(Aa − Bb) > 0.

Như thế ta có: 2Aa.1Bb.3Cc < 1Aa.2Bb.3Cc, điều này không thể có

do mâu thuẫn với tính nhỏ nhất của 1Aa.2Bb.3Cc.

iii) Lại giả thiết phản chứng chẳng hạn C > a ⇒ C = a + x với x > 0.

Tương tự như đã làm trong các phần i), ii) ta đi đến C lớn nhất sovới A, B; còn a nhỏ nhất so với b, c Lúc đó ta sẽ có

1Aa.3Cc − 1Ac.3ac = 1Aa(3ac + 10x) − (1Aa + x).3ac,

số Dĩ nhiên 4 cũng là hợp số Vậy ta có kết quả sau:

" Mọi số chẵn lớn hơn 6 đều có thể biểu diễn dưới dạng là tổng của haihợp số"

"Mọi số lẻ lớn hơn 11 đều có thể biểu diễn dưới dạng là tổng của haihợp số"

Kết hợp với nhận xét trên ta suy ra:

"Chỉ có các số lẻ lớn hơn 11 mới có thể biểu diễn dưới dạng tổng trong

đó có ít nhất hai hợp số"

Nhận xét thêm rằng 4, 6, 9 là các hợp số (trong đó 4 là hợp số chẵn nhỏnhất, còn 9 là hợp số lẻ nhỏ nhất) Như vậy với mọi số tự nhiên n ≥ 12

đều có thể biểu diễn dưới dạng tổng của các hợp số

Ứng với mọi số tự nhiên n ≥ 12 đều có thể biểu diễn nó dưới dạng tổngcủa các hợp số, nhưng ở đây ta quan tâm đến cách mà trong biểu diễn

này số các hợp số (tức là số các số hạng của tổng) là nhiều nhất có thểđược.

Từ nhận xét trên ta thấy rằng trong cách biểu diễn số n ≥ 12 mà taquan tâm thì phải thỏa mãn các yêu cầu sau:

i) Chỉ có mặt trong tổng các số hạng 4, 6, 9 Thật vậy, nếu có hợp sốkhác, tức là hoặc là có hợp số chẵn lớn hơn 9, hoặc hợp số lẻ lớnhơn 9, thì các hợp số này theo nhận xét trên có thể thay bằng tổngcủa hai hợp số khác

ii) Hợp số 6 có mặt tối đa trong tổng một lần Thật vậy, nếu nó cómặt hai lần trở lên, thì do 6 + 6 = 4 + 4 + 4, ta có thể thay hai hợp

số 6 bằng ba hợp số 4 và điều này như đã biết là vô lí

iii) Hợp số 9 có mặt tối đa trong tổng một lần (lập luận tương tự dựavào đẳng thức 9 + 9 = 4 + 4 + 4 + 6)

Bây giờ xét số 2002 của bài toán Ta có:

ta suy ra ngay m ≤ 500.

Vậy 500 là giá trị lớn nhất có thể có của m

Chú ý: Nếu thay số2002 bằng 2003 và xét bài toán tương tự: Tìm giá trị lớnnhất có thể có của m để có thể phân tích 2003 thành tổng của m hợp số.Với chú ý rằng 2003 = 4.497 + 6 + 9 = 4 + 4 + · · · + 4

497 số 4

+6 + 9, từ đó suy ra ở đâygiá trị lớn nhất có thể có của m là 499.

Bài toán 1.10: Cho k là số nguyên dương ≥ 3

Tìm giá trị lớn nhất của hàm số f (x, y, z) = xyz trên miền

D = {(x, y, z) : x, y, z nguyên dương và x + y + z = k}.

Lời giải

Do vai trò bình đẳng giữax, y, znên không giảm tổng quát có thể coix ≥ y ≥ z.

VìDlà tập hữu hạn phần tử (x, y, z)nên dĩ nhiên hàm sốf (x, y, z) = xyz phảiđạt giá trị lớn nhất trên D Giả sử:

max

(x,y,z)∈D f (x, y, z) = f (x0, y0, z0) = x0y0z0. (1)(Chú ý ở đây: x0 ≥ y0 ≥ z0)

Ta sẽ chứng minh rằng:

Thật vậy, nếu trái lại ta có: x0− z0 > 1.

Khi đó chỉ có thể xảy ra ba trường hợp sau đây:

i) Nếux0= y0> z0+1.Vìx0+y0+z0 = knên ta có:x0+(y0−1)+(z0+1) = k

Do x0 = y0> z0+ 1 và z0 > 0 ⇒ x0, y0− 1, z0+ 1 cũng nguyên dương, tứclà: (x0, y0− 1, z0+ 1) ∈ D

Mặt khác:f (x0, y0− 1, z0+ 1) = x0(y0− 1)(z0+ 1) = x0y0z0+ x0(y0− z0− 1).

Bất đẳng thức thu được mâu thuẫn với (1).

Vậy trong trường hợp i) không thể xảy ra

Bất đẳng thức này cũng mâu thuẫn với (1)

Vậy trong trường hợp ii) cũng không thể xảy ra

iii) Nếu x 0 − 1 > y 0 > z 0 Lập luẫn như trên cũng suy ra mâu thuẫn

Tóm lại giả thiết x 0 − z 0 > 1 là sai, vậy (2) đúng

Từ (2) suy ra chỉ có thể xảy ra hai khả năng sau:

Trường hợp này xảy ra khi và chỉ khi k ≡ 2(mod3).

Tóm lại ta đi đến kết luận sau:

Bài toán 1.11: Cho n là số tự nhiên sao cho 2003! chia hết cho 5n Tìm giátrị lớn nhất của n thỏa mãn điều kiện trên.

Lời giải

Các bội của5 trong dãy 1, 2, 3, , 2002, 2003là 5, 10, 15, , 1995, 2000 Các bội

đó là

h2003 5

i

= 400 số .

Các bội của 52 trong dãy trên là 25, 50, 75, , 2000. Số các bội đó là

h2003 25

i

= 80 số .

Số các bội của 53 là

h2003 125

i

= 16 số .

Số các bội của 54 là

h2003 625

i

= 3 số .

Vậy số thừa số 5 khi phân tích số 2003! ra thừa số nguyên tố là

400 + 80 + 16 + 3 = 499.

Như vậy 2003! = 5499.p, ở đây (p, 5) = 1

Giả sử n là số tự nhiên sao cho 2003! .5 ⇒ 5499 p .5n

Vì (p, 5) = 1 ⇒ 5499 .5n ⇒ n ≤ 499.

Vậy n lớn nhất thỏa mãn bài toán là n = 499.

Bài toán 1.12: Cho n là số nguyên dương lớn hơn 4 sao cho:

(n3+ 4n2− 20n − 48) .125.

Tìm giá trị nhỏ nhất của n thỏa mãn bài toán trên.

Lời giải

Đặt A = n3+ 4n2− 20n − 48. Dễ thấy:

A = n3+ 4n2− 20n − 48 = (n − 4)(n + 2)(n + 6).

Nếu n .5 thì n − 4, n + 2, n + 6 đều không chia hết cho 5, suy ra A 6 .125.

Nếu n ≡ 1(mod 5) hoặc n ≡ 2 (mod 5), bằng cách lập luận như trên suy ra

Vậy giá trị nhỏ nhất cần tìm thỏa mãn bài toán là n = 19.

Bài toán 1.13: Cho n là số chính phương có chữ số cuối cùng khác0và saukhi xóa bỏ hai chữ số cuối thì thu được vẫn là số chính phương Tìm số lớnnhất của n thỏa mãn bài toán

Lời giải

Giả sử n = k2 là số chính phương thỏa mãn các điều kiện đầu bài Khi đó ta

có k2= 100a + bc, và từ giả thiết thì 100a cũng là số chính phương, tức là

n thỏa mãn yêu cầu đề bài đều thỏa mãn bất đẳng thức n ≤ 1681.

Vậy số chính phương lớn nhất thỏa mãn bài toán là n = 1681.

Bài toán 1.14: Cho n là số tự nhiên lớn hơn1 sao cho 12+ 22+ 32+ · · · + n2

là một số chính phương Tìm số tự nhiên nhỏ nhất thỏa mãn bài toán.Lời giải

Chú ý rằng nếu k = 1, 2, 3, 4 thì (1) đều không thỏa mãn Từ đó suy ra

k > 4 ⇒ n > 24.

Các trường hợp còn lại cũng xét tương tự như trên

Tóm lại, ta luôn có n ≥ 24. Dấu ” = ” xảy ra khi n = 24 Vậy n = 24 là số tựnhiên cần tìm thỏa mãn bài toán

Bài toán 1.15: Cho P là số chính phương có n + 4 chữ số Biết rằng n chữ

số đầu tiên và 4 chữ số cuối cùng của P cũng đều làm thành các số chínhphương khác 0 Tìm số lớn nhất của P thỏa mãn bài toán

Lời giải

Đặt P = A2 và hai số chính phương có n và 4 chữ số nói trên tương ứng là B2

và C2, (A, B, C là các số nguyên dương) Khi đó ta có

Bài toán 1.16: Biết rằng số nguyên dương n có tính chất sau: n2+ n + 1

phân tích được thành tích của4 số nguyên tố Tìm số nguyên tố nhỏ nhất đóthỏa mãn điều kiện trên

Lời giải

Giả sử n2+ n + 1 = p1p2p3p4, trong đó p1, p2, p3, p4 là 4 số nguyên tố và p1 ≤

p2 ≤ p3 ≤ p4. Do n2+ n + 1 = n(n + 1) + 1 ⇒ n2 + n + 1 là số lẻ nên suy ra

p1, p2, p3, p4 là các số nguyên tố lẻ, tức là p1≥ 3.

Do n(n + 1) có tận cùng là 0, hoặc 2, hoặc6 nênn2+ n + 1 có tận cùng là

1, hoặc 3, hoặc 7 Như vậy (n2+ n + 1) 6 .5. Từ đó suy ra p

1 6= 5, ∀i = 1, 2, 3, 4.

• Nếu p1 = 3 ⇒ n2+ n + 1 = 3p2p3p4 ⇒ (n 2 + n + 1) .3 ⇒ n = 3k + 1(k ∈

N).(Thật vậy: Nếun = 3k thì n2+ n + 1 = 9k2+ 3k + 1 6 .3;nếun = 3k + 2 thì

a1+ a2+ · · · + an = 2001.

Tìm giá trị n lớn nhất thỏa mãn bài toán

Bài 3: Cho n > 1 là số tự nhiên sao cho (n + 1)(2n + 1) chia hết cho 6 vàthương là số chính phương Tìm số tự nhiên nhỏ nhất của n thỏa mãn bàitoán

Bài 4: Giả sử n là số nguyên dương sao cho n chia hết cho 1993 và có 4 chữ

số tận cùng là 1994. Tìm số tự nhiên n nhỏ nhất thỏa mãn bài toán

Bài 5: Cho n là số tự nhiên sao cho n.192003+ 842003 chia hết cho 13390 Tìmgiá trị nhỏ nhất của n.

Bài 6: Cho x, y nguyên không âm và không cùng bằng 0. Tìm giá trị nhỏnhất của hàm số

f (x, y) = |5x2+ 11xy − 5y2|.

Bài 7 : Tìm số nguyên dương n nhỏ nhất thỏa mãn các tính chất sau:

i) n là lập phương của một số nguyên dương

ii) n viết trong hệ thập phân có 4 số tận cùng là 1997.

Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất trong hình học

Trong chương này sẽ đưa ra các bài toán về giá trị lớn nhất và giá trị nhỏnhất trong hình học không gian và hình học phẳng Trong đó có vận dụng linhhoạt, nhuần nhuyễn các phương pháp tìm cực trị của hàm số để giải quyếtcác bài toán trong hình học một cách đơn giản nhất

Sau đây là các bài toán điển hình về giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhấttrong hình học

2.1 Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trong hình

học không gian

Bài toán 2.1.1: Cho hình chóp SABC có thể tích là V ; M là một điểm tùy

ý nằm bên trong tam giác ABC Qua M vẽ các đường thẳng song song với

SA, SB, SC Chúng cắt các mặt(SBC), (SAC), (SAB) tương ứng tạiA0, B0, C0.Tìm thể tích lớn nhất của tứ diện M A0B0C0.

Lời giải

AM, BM, CM tương ứng cắt BC, AC, AB tại P, Q, R

Khi đó từ giả thiết suy ra:

Trong tam giác ABC hiển nhiên ta có:

(Theo định lí Xê Va)

Bài toán 2.1.2: Cho hình chóp tam giác S.ABC có SA = a, BC = b và SA

tạo với BC góc 600 M là một điểm trên cạnh SB Qua M dựng thiết diệnsong song với BC Tìm giá trị nhỏ nhất của diện tích thiết diện

Lời giải

Kẻ M N//SA, M Q//BC Khi đó (M N Q) ∩ (ABC) = N P//M Q

Dễ thấy QP//M N ⇒ thiết diện M N P Q là hình bình hành

Do M N//SA, N P//BC ⇒ M N P =\ (SA, BC) = 60\ 0.

Ta có:

SM N P Q= M N.N P sin M N P = M N.M Q.\

√ 3

8 Vậy max SM N P Q = ab

√ 3

8 khi và chỉ khi M là trung điểm của SB

Bài toán 2.1.3: Cho góc tam diện vuôngOxyz.M là một điểm trong góc tamdiện có khoảng cách xuống ba mặtxOy, xOz, yOztương ứng làc, b, a(a, b, c > 0),Mặt phẳng qua M cắt Ox, Oy, Oz lần lượt tại A, B, C. Xét đại lượng P =

OA + OB + OC. Tìm giá trị lớn nhất của P.

√ a

√

OA+

√ OB

√ b

√

OB +

√ OC

√ c

√ a

√ OA

=

√ OB

√ b

√ OB

=

√ OC

√ c

√ OC

OB = √

b( √

a + √

b + √ c);

OC = √

c( √

a + √

b + √ c).

(3)

Từ (2) và (3) suy ra: min P = ( √

a + √

b + √ c)2 ⇔ OA, OB, OC xác định bởi(3)

Bài toán 2.1.4: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành Gọi K

là trung điểm của SC.Mặt phẳng quaAK cắt cạnh SB, SD lần lượt tại M và

N Giả sử hình chóp S.ABCD có thể tích là V Tìm giá trị lớn nhất và giá trịnhỏ nhất của thể tích tứ diện S.AM KN

Hoàn toàn tương tự ta có: VS.AM N = xy

Vậy max VS.AM KN = 3V

8 ⇔ M ≡ B hoặc M là trung điểm của SB

Khi đó theo bất đẳng thức Bunhiacopski , ta có:

hay

(a + b + c)(1 + √

2) ≤ a + b + c +pa 2 + b 2 +pb 2 + c 2 +pc 2 + a 2 (1)Dấu bằng trong (1) xảy ra khi và chỉ khi a = b = c.

Từ giả thiết suy ra ta có:

Lời giải.

Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AD và BC

Do AD//BC ⇒ AD//(SBC) ⇒ d(A, (SBC)) = d(M, (SBC)) = 2a

Vậy

VS.ABCD = 1

3.

4a2sin2α.

a cos α =

4 3

0<α< π 2

Đặt x = cos α Do 0 < α < π

2 ⇒ 0 < x < 1.

3 ) =

2 √ 3

9 ⇔ x =

√ 3

3 .

Từ đó: min VS.ABCD = 2 √

3a3 ⇔ cos α =

√ 3

3 ⇔ α = arc cos

√ 3

3 .

Bài toán 2.1.7: Cho ABCD là tứ diện đều có cạnh bằng 1, M và N là haiđiểm di động trên AB, AC sao cho (DM N ) luôn vuông góc với (ABC) Xácđịnh vị trí của M và N để tứ diện ADM N có thể tích lớn nhất và bé nhất.Lời giải

Vì (ABC)⊥(DM N ) và (ABC) ∩ (DM N ) = M N nên nếu kẻ DH⊥M N thì

2 ).

√ 2

√

3 =

√ 2

Vậy VADM N nhận giá trị lớn là

√ 2

27 ⇔ AM = AN = 2

3.

VADM N nhận giá trị bé nhất là

√ 2

3x24(3x − 1).

M ≡ B.

2.2 Bài tập đề nghị

Bài 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh bằng a, SA = a

và vuông góc với đáy M là một điểm trên AC và đặt AM = x (0 < x < a √

2).Xác định vị trí điểm M để thiết diện có diện tích lớn nhất

Bài 2: Cho tứ diện ABCD với AB = a, AC = b, AD = c, BC = x, BD =

y, CD = z nội tiếp trong hình cầu bán kínhR.GọiG là trọng tâm của tứ diện.Tìm giá trị nhỏ nhất của P = GA + GB + GC + GD.

Bài 3: Cho tứ diện ABCD có một cạnh lớn hơn 1, còn các cạnh khác đềukhông lớn hơn 1. Gọi V là thế tích của nó Tìm giá trị lớn nhất của thể tích.Bài 4: Cho tứ diện ABCD với thể tích V và O là một điểm nằm trong tứdiện AO, BO, CO, DO cắt các cạnh đối diện tương ứng tại A0, B0, C0, D0. Tìmgiá trị lớn nhất của thế tích VA0 B 0 C 0 D 0

Bài 5: Cho tứ diện trực tâm ABCD (tức là tứ diện có các cạnh đối đôi mộtvuông góc với nhau) Với mọi điểm M nằm trong tứ diện và V là thể tíchcủa tứ diện Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = M A.SBCD+ M B.SACD+

M D.SABC.

Bài 6: Cho tứ diện ABCDđỉnh A (tức làAB, AC, AD đôi một vuông góc vớinhau) Gọi a là cạnh lớn nhất của tứ diện xuất phát từ A và r là bán kínhhình cầu nội tiếp Tìm giá trị nhỏ nhất của a.

2.3 Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trong hình

học phẳng

Bài toán 2.2.1: Cho tam giácABC và O là một điểm nằm trong tam giác

Ở bên ngoài tam giác kẻ các đường song song với các cạnh, cách chúng mộtkhoảng cách bằng khoảng cách từ O đến cạnh đó Mỗi đường thẳng này tạovới một cạnh của tam giác và các phần kéo dài của hai cạnh kia một hìnhthang Gọi S10, S20, S30 là ba diện tích hình thang này Giả sửS là diện tích tamgiác ABC Tính giá trị nhỏ nhất của đại lượng P = S10 + S20 + S30.

Lời giải

Kí hiệu diện tích các tam giác ABC, OBC, OAC, OAB và các hình thang

BCC1B1, ACC2A2, ABB3A3 lần lượt là S, S1, S2, S3, S10, S20, S30 Do 4ABC ∼ 4AB1C1, nên:

S ⇒ S10 = 2S1+S

2 1

Lập luận tương tự ta có:

S20 = 2S2+S

2 2

S30 = 2S3+S

2 3

3)Dấu bằng trong (7) xảy ra ⇒ S1

trong 4ABC Xét tam giác có3cạnh là M A, M B, M C. GọiS là diện tích tam

giác ấy Tìm giá trị nhỏ nhất của S.

Lời giải

Gọi S là diện tích tam giác đều ABC cạnh a, thì

S = a

2 √ 3