Độ đo véc tơ và độ đo ngẫu nhiên

Sự pháttriển của lí thuyết độ đo đã dẫn đến khái niệm độ đo vector đó là độ đo màgiá trị của nó không nhất thiết là số thực không âm nữa mà là một vectorhay là phần tử của một không gian

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

-

TÔ LÊ DIỄM HẰNG

ĐỘ ĐO VECTOR VÀ ĐỘ ĐO NGẪU NHIÊN

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

HÀ NỘI – 2017

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

-

TÔ LÊ DIỄM HẰNG

ĐỘ ĐO VECTOR VÀ ĐỘ ĐO NGẪU NHIÊN

CHUYÊN NGÀNH: LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN HỌC

Mã số: 60 46 01 06

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC

GS TSKH ĐẶNG HÙNG THẮNG

Hà Nội – Năm 2017

Lời cảm ơn

Luận văn này được hoàn thành với sự hướng dẫn tận tình và cũng hết sứcnghiêm khắc của GS.TSKH Đặng Hùng Thắng Trước khi trình bày nội dungchính của luận văn, tác giả muốn bày tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu sắc tớingười thầy đáng kính của mình Thầy đã luôn tận tình hướng dẫn cũng như giảiđáp các thắc mắc của tác giả trong suốt quá trình làm luận văn

Tác giả cũng muốn gửi tới toàn thể các thầy cô Khoa Toán - Cơ - Tin họctrường Đại học Khoa học Tự nhiên - Đại học Quốc gia Hà Nội, các thầy cô đãđảm nhận giảng dạy khóa Cao học 2014 - 2016, đặc biệt là các thầy cô thamgia giảng dạy nhóm xác suất thống kê 2014 - 2016 lời cảm ơn chân thành đốivới công lao dạy dỗ trong suốt thời gian của khóa học

Tác giả xin cảm ơn gia đình, bạn bè, đồng nghiệp và các anh chị em trongnhóm Xác suất thống kê 2014 - 2016 đã quan tâm, giúp đỡ, tạo điều kiện vàđộng viên tinh thần để tác giả có thể hoàn thành được khóa học này

Tác giả xin chân thành cảm ơn!

Hà Nội, ngày tháng năm 2017

Học viên

Mục lục

1.1 Các tính chất cơ bản của độ đo vector 4

1.2 Độ đo vector cộng tính đếm được 16

2 Tích phân Bochner và tích phân Bartle 22 2.1 Các hàm đo được 22

2.2 Tích phân Bochner 24

2.3 Tích phân Bartle 34

3 Độ đo vector ngẫu nhiên 36 3.1 Các dạng hội tụ của dãy biến ngẫu nhiên X-giá trị 36

3.2 Độ đo vector ngẫu nhiên và tích phân ngẫu nhiên 37

3.3 Hội tụ của độ đo vector ngẫu nhiên 43

3.4 Hội tụ theo phân phối của độ đo vector ngẫu nhiên 48

3.5 Hội tụ yếu của độ đo vector ngẫu nhiên 52

Tài liệu tham khảo 58

Lời mở đầu

Lý thuyết xác suất là một chuyên ngành của Toán học, nghiên cứu các hiệntượng ngẫu nhiên và quy luật ngẫu nhiên Từ những ứng dụng của trò chơi mayrủi, lý thuyết xác suất đã được phát triển thành một ngành học có vai trò quantrọng trong cuộc sống

Ngày nay, lý thuyết xác suất đã được phát triển mạnh mẽ chặt chẽ trong lýthuyết và có ứng dụng sâu rộng trong khoa học tự nhiên, khoa học xã hội, côngnghệ, kinh tế và nhiều ngành khoa học khác

Xuất phát từ vấn đề đo độ dài, tính diện tích và thể tích Lý thuyết độ đo đã

ra đời và trở thành một trong những lí thuyết quan trọng bậc nhất của toánhọc là nền tảng toán học cho sự phát triển của Xác suất và Thống kê Sự pháttriển của lí thuyết độ đo đã dẫn đến khái niệm độ đo vector đó là độ đo màgiá trị của nó không nhất thiết là số thực không âm nữa mà là một vectorhay là phần tử của một không gian Banach tổng quát Lý thuyết này thu đượcnhiều kết quả hay và bất ngờ, có nhiều ứng dụng trong các lĩnh vực của Toán học

Mục tiêu của luận văn là từ cuốn sách chuyên khảo về độ đo vector và bài báocủa GS TSKH Đặng Hùng Thắng tác giả tìm hiểu, tổng kết, hệ thống hóa lạimột số kết quả chính về độ đo vector tất định và ngẫu nhiên, chi tiết các chứngminh với mong muốn luận văn trở thành một tài liệu chuyên khảo cho vấn đề này

Trên cơ sở đó luận văn được chia thành 3 chương

Chương 1 Độ đo vector

Trong chương này, tác giả giới thiệu khái niệm độ đo vecto, các tính chất

cơ bản của độ đo vector, độ đo vector cộng tính đếm được.

Chương 2 Tích phân Bochner và tích phân Bartle

Trong chương này, tác giả trình bày khái niệm về các hàm đo được, địnhnghĩa tích phân Bochner và tích phân Bartle cùng các tính chất có liên quan.Chương 3 Độ đo vector ngẫu nhiên

Trong chương này, tác giả trình bày về độ đo ngẫu nhiên, tích phân ngẫunhiên, hội tụ của độ đo vector ngẫu nhiên, hội tụ theo phân phối của độ đovector ngẫu nhiên, hội tụ yếu của độ đo vector ngẫu nhiên Rút ra kết luận vềmối liên hệ của ba loại hội tụ trên

Để nghiên cứu về đề tài “Độ đo vecto và độ đo ngẫu nhiên”, tác giả đãtham khảo một số tài liệu trong và ngoài nước về lý thuyết xác suất Trong đó

• Nội dung chính chương 1 của luận văn tham khảo tài liệu [1], [3], [4], [6]

• Nội dung chính chương 2 của luận văn tham khảo tài liệu [1], [2], [3], [5],[6]

• Nội dung chính chương 3 của luận văn tham khảo tài liệu [1], [3], [4], [7]

Chương 1

Độ đo vector

1.1 Các tính chất cơ bản của độ đo vector

Định nghĩa 1.1.1 Cho F là trường của các tập con Ω, X là không gian nach F : F → X được gọi là độ đo vector cộng tính hữu hạn hay gọi là độ đovector, nếu E1, E2 là hai tập rời nhau của F thì:

Ví dụ 1.1.1 Độ đo vector cộng tính hữu hạn

Cho T : L∞[0, 1] → X là toán tử tuyến tính liên tục Cho E ⊆ [0, 1] là tậpLebesgue đo được Định nghĩa

Do T là toán tử tuyến tính suy ra F là độ đo vector cộng tính hữu hạn

Ví dụ 1.1.2 Độ đo vector cộng tính đếm được

Cho T : L1[0, 1] → X là một toán tử tuyến tính liên tục Cho E ⊆ [0, 1] là tậpLebesgue đo được Đặt

F (E) = T (χE)Hiển nhiên F là độ đo vector cộng tính hữu hạn

F (En) hay F là độ đo vector cộng tính đếm được

Định nghĩa 1.1.2 Cho F : F → X là một độ đo vector Một biến phân của

F là hàm không âm |F |, giá trị của |F | trên tập E ∈ F được cho bởi:

trong đó cận trên đúng được lấy trên tất cả các phân hoạch π của E thành một

số hữu hạn các tập rời nhau của F Nếu |F | (Ω) < ∞ thì F được gọi là độ đobiến phân bị chặn

Bán biến phân của F là hàm không âm kF k, giá trị của kF k trên tập hợp E ∈ Fcho bởi:

kF k (E) = sup {|x∗F | (E) : x∗ ∈ X∗; kx∗k ≤ 1}

trong đó |x∗F | là biến phân của độ đo có giá trị thực x∗F

Nếu kF k (Ω) < ∞ thì F được gọi là độ đo bán biến phân bị chặn

Dễ thấy biến phân của F là hàm cộng tính hữu hạn, đơn điệu trên F , bán biếnphân của F là hàm cộng tính dưới, đơn điệu trên F

Hơn nữa, ∀E ∈ F : kF k (E) ≤ |F | (E)

Ví dụ 1.1.3 Độ đo biến phân bị chặn.

Cho F là một độ đo ở Ví dụ 1.1.2

Vì kF k (E) ≤ kT k λ(E) suy ra |F | (E) ≤ kT k λ(E)

Vậy F là biến phân bị chặn

Ví dụ 1.1.4 Độ đo bán biến phân bị chặn nhưng không phải là biến phân bị chặnCho P là σ-trường các tập con đo được Lebesgue trên [0; 1]

Định nghĩa:

F :X −→ L∞[0; 1]

E 7−→ F (E) = χENếu E ∈P và λ(E) > 0 chọn một dãy (En) các tập con đôi một rời nhau của

E có độ đo dương và S

n

En = EĐặt

Vậy |F | (E) không bị chặn

Ví dụ 1.1.5 Độ đo vector bán biến phân bị chặn

Cho T : L∞[0; 1] −→ X là một toán tử tuyến tính liên tục, E ∈ [0; 1] là tập đođược Lebesgue

Ví dụ 1.1.6 Độ đo bán biến phân không bị chặn

Cần lưu ý rằng độ đo vector (độ đo có giá trị thực) không cần phải là bán biếnphân bị chặn

Thật vậy, cho F là trường các tập con của N (tập các số nguyên dương) baogồm các tập hữu hạn hoặc tập có bổ sung hữu hạn

Độ đo F : F −→ R định nghĩa như sau:

F (E) =

(lực lượng của E, nếu E hữu hạn

− lực lượng của N\E, nếu N\E hữu hạnKhi đó F là độ đo có giá trị thực với bán biến phân không bị chặn

Dễ dàng chứng minh được F : F −→ X là độ đo vector biến phân bị chặn thì

độ đo không âm µ trên F là bán biến phân |F | của F nếu và chỉ nếu µ thỏamãn:

i) |x∗F | (E) ≤ µ(E) ∀E ∈ F và ∀x∗ ∈ X∗ : kx∗k ≤ 1

ii) Nếu λ : F −→ R là độ đo bất kì thỏa mãn: |x∗F | (E) ≤ λ(E), ∀E ∈ F và

∀x∗ ∈ X∗ : kx∗k ≤ 1 thì µ(E) ≤ λ(E), ∀E ∈ P

Mệnh đề 1.1.1 Một độ đo vector biến phân bị chặn là cộng tính đếm được nếu

và chỉ nếu biến phân của nó là cộng tính đếm được

Chứng minh Giả sử: F : F −→ X là độ đo vector biến phân bị chặn, suy ra

kF (E)k ≤ |F | (E) với E ∈ F

Vậy nếu |F | là cộng tính đếm được thì F là cộng tính đếm được

Ngược lại, giả sử F : F −→ X là độ đo vector cộng tính đếm được có biến phân

Điều này đúng với mọi phân hoạch π.

Hệ quả 1.1.1 Cho P là σ-trường sinh bởi trường con F

Nếu F :P −→ X là một độ đo vector cộng tính đếm được có biến phân bị chặn

Và F |F là hạn chế của F lên F thì với mọi E ∈ F ta có:

|F |F| (E) = |F | (E)nghĩa là F là mở rộng Carathéodory- Hahn của | F |F| lên P

Chứng minh Giả sử µ là độ đo cộng tính, đếm được, là mở rộng Hahn của | F |F| lên P

Carathéodory-Với mỗi E ∈ F và với mỗi x∗ ∈ X∗ sao cho kx∗k ≤ 1 ta có:

Mặt khác với x∗ và E xác định như trên ta cũng có:

Từ (1.3) và (1.4) ⇒ |x∗F | (E) ≤ µ(E) ∀E ∈ F , ∀x∗ ∈ X∗ và kx∗k ≤ 1

Hơn nữa, |x∗F | và µ là cộng tính đếm được trên P và F sinh ra P nên

|x∗F | (E) ≤ µ(E) ∀E ∈P, ∀x∗ ∈ X∗ sao cho kx∗k ≤ 1

Theo phần chứng minh của Mệnh đề 1.1.1,

cả các phân hoạch π của E thành các tập rời nhau hữu hạn của F và mọitập hữu hạn {εn} thỏa mãn |εk| ≤ 1

ii) sup {kF (H)k : E ⊇ H ∈ F } ≤ kF k (E) ≤ 4 sup {kF (H)k : E ⊇ H ∈ F }

Do vậy, một độ đo vector là bán biến phân bị chặn trên Ω nếu và chỉ nếu miềngiá trị của nó bị chặn trên X

= sup {sup {|x∗F (H)| : x∗ ∈ X∗, kx∗k ≤ 1} : E ⊇ H ∈ F } ≤ kF k (E)

Hơn nữa, nếu π = {E1, , Em} là một phân hoạch của E ∈ F thành các tập đôimột rời nhau và nếu x∗ ∈ X∗ thỏa mãn kx∗k ≤ 1 thì:

• X là không gian Banach phức.

Định nghĩa 1.1.3 Cho F là một trường các tập con của Ω và F : F −→ X

F (En) hội tụ theo chuẩn

Họ {Ft : F −→ X|τ ∈ T } các độ đo vector cộng tính mạnh được gọi là cộng tínhmạnh đều nếu với mỗi dãy (En) các thành phần đôi một rời nhau của F thì

Một độ đo cộng tính đếm được trên σ-trường hiển nhiên cộng tính mạnh.Mệnh đề 1.1.3 Nếu F : F −→ X là một độ đo biến phân bị chặn thì F làcộng tính mạnh

Ví dụ 1.1.7 Một độ đo vector cộng tính đếm được trên σ-trường là biến phânkhông bị chặn trên mọi tập không tầm thường.

Cho Ω = [0; 1], Σ không gian các tập đo được Lebesgue trên đoạn [0; 1], λ độ đoLebesgue, 1 < p < ∞ và X = Lp[0; 1]

Định nghĩa:

F : Σ −→ Lp[0; 1] : F (E) = χEVới mọi dãy (En) các tập đôi một rời nhau, Lebesgue đo được của [0; 1]

Nếu E ⊆ [0; 1] đo được Lebesgue và λ(E) > 0 thì |F | (E) = ∞ Cố định n và chọncác tập đo được rời nhau E1, , En ∈ E sao cho λ(Ei) = λ(E)/n ∀i = 1, , n.Chú ý:

Mệnh đề 1.1.4 Cho họ độ đo {Fτ, τ ∈ T } X− giá trị trên trường F Các mệnh

đề sau là tương đương

v) Tập {|x∗Fτ| : τ ∈ T, x∗ ∈ X∗, kx∗k ≤ 1} cộng tính mạnh đều

Chứng minh.

i −→ ii : Hiển nhiên

ii −→ iii: Hiển nhiên

iii −→ iv: Chứng minh bằng phản chứng

Giả sử (iv) sai suy ra tồn tại δ > 0 và dãy (En) các thành phần đôi một rờinhau của F sao cho:

Giả sử {|x∗Fτ| : τ ∈ T ; x∗ ∈ X∗, kx∗k ≤ 1} không cộng tính mạnh đều

Suy ra tồn tại dãy (En) ⊂ F , và δ > 0 sao cho ∀m :

Suy ra mâu thuẫn với (iv).

Vậy (iv) −→ (v) đúng

Hệ quả 1.1.2 Cho F là một độ đo vector trên F Các mệnh đề sau là tươngđương

Từ (i) đến (v) tương đương theo Mệnh đề 1.1.4

Do: F (E) + F (Ω\E) = F (Ω) nên (vi) tương đương (vii)

Hệ quả 1.1.3 Độ đo vector cộng tính mạnh trên trường là bị chặn.

Chứng minh Cho F là một trường

kF k (E2) = ∞, kF (E2)k ≥ 2

Cứ tiếp tục như vậy, ta xây dựng được một dãy không tăng (En) sao cho:

kF k (En) = ∞, kF (En)k ≥ nVậy không tồn tại lim

n F (En), với (En) là dãy không tăng

Áp dụng Hệ quả 1.1.2(vii) suy ra F không cộng tính mạnh

=⇒ mâu thuẫn với giả thuyết

1.2 Độ đo vector cộng tính đếm được

Định lý 1.2.1 (PETTIS) Cho Σ là một σ - trường

kF (An)k ≥ ε và µ(An) ≤ 1

2n ∀nVới mỗi n, chọn x∗n ∈ X∗ sao cho:

Dễ thấy (En) là dãy các thành phần đôi một rời nhau của P.

Lưu ý: Định lý không đúng nếu P chỉ là một trường

Định nghĩa 1.2.1 Cho F là trường các tập con của Ω

Định lý 1.2.2 Cho {Fτ : P → X| τ ∈ T } là họ các độ đo vector cộng tính,đếm được bị chặn đều trên σ- trường P.

Họ {Fτ : τ ∈ T } cộng tính đếm được đều ( hay cộng tính mạnh đều) khi và chỉkhi tồn tại độ đo cộng tính đếm được, không âm, giá trị thực µ trên P sao cho{Fτ, τ ∈ T } là µ-liên tục đều

Giả sử: {Fτ, τ ∈ T } là µ-liên tục đều

Trong đó µ là độ đo cộng tính đếm được, không âm, giá trị thực trên P.Với (En) là dãy các thành phần đôi một rời nhau của P ta có:

Thật vậy, chứng minh bằng phản chứng Cố định τ1 ∈ T suy ra tồn tại E1 ∈

và τ2 ∈ T sao cho:

|µτ1| (E1) = 0, nhưng |µτ2(E1)| ≥ εTiếp tục tồn tại E2 ∈ P và τ3 ∈ T sao cho

|µτ1| (E2) = 0, |µτ2(E2)| = 0, nhưng |µτ3(E2)| ≥ εTiếp tục quá trình trên ta xây dựng được một dãy (En) các phần tử của P vàdãy (τn) các phần tử của T sao cho

Khi đó với mỗi k, lim

τ ∈T

|µτ(E)| < 1

m.Đặt λm : P −→ [0, ∞) định nghĩa bởi:

µτm j

(E)

Khi đó λm là độ đo cộng tính, đếm được không âm, giá trị thực sao cho

λm(E) = 0 kéo theo sup

τ ∈T

|µτ(E)| < 1

m.Hơn nữa, dãy (λm) bị chặn đều

lim

µ(E)→0

kF (E)k`

∞ (T ) = 0

Hệ quả 1.2.1 Giả sử {Fτ, τ ∈ T } là họ độ đo cộng tính đếm được bị chặn đềuX-giá trị trên σ-trường P Nếu µ : Σ −→ [0, ∞) là độ đo cộng tính đếm được

Chứng minh Áp dụng Định lý 1.2.2 

Hệ quả 1.2.2 (Bartle - Dunford - Schwartz) F là độ đo vector cộng tínhđếm được trên σ-trường Σ Tồn tại một độ đo cộng tính đếm được không âm giátrị thực µ trên Σ sao cho µ(E) −→ 0 khi và chỉ khi kF k (E) −→ 0

Có thể chọn µ sao cho 0 ≤ µ(E) ≤ kF k (E) ∀E ∈ Σ

Chứng minh Đây là kết quả trực tiếp từ Định lý1.2.2áp dụng cho độ đo vector

Chương 2

Tích phân Bochner và tích phân Bartle

• Đo được mạnh được gọi là µ-đo được

• Đo được vô hướng được gọi là µ-đo được yếu

Định lý 2.1.1 (Định lí đo được Pettis ).

Một hàm f : Ω → X là µ-đo được nếu và chỉ nếu f là µ-đo được yếu và có giátrị tách được hầu khắp nơi nghĩa là có một tập E ∈ P, µ(E) = 0, f (Ω\E) làtách được

Chứng minh Cho f : Ω → X là µ-đo được Ta chứng minh f có giá trị táchđược hầu khắp nơi

Thật vậy, theo định lý Egoroff có một dãy hàm đơn giản (fn) thỏa mãn

lim

n kfn− f k = 0 µ - đều hầu khắp

Do đó, với mỗi n ∈ N∗ có tập En ∈ P sao cho µ(En) < 1

n và limn fn = f đềutrên Ω\En

Với mỗi fn có khoảng bị chặn hữu hạn chiều suy ra f (Ω\En) là bị chặn và táchđược

∀x∗ ∈ X∗, x∗(fn(ω)) → x∗(f (ω)) gần với mọi ω ∈ Ω

Do fn là hàm đơn giản nên x∗fn cũng là hàm đơn giản

Vậy x∗f là đo được với x∗ ∈ X∗ hay f là µ-đo được yếu Điều kiện cần đượcchứng minh

Ngược lại với E ∈P sao cho µ(E) = 0 và f (Ω\E) là tách được

Lấy {xn} ∈ f (Ω\E) là một tập con trù mật đếm được

Áp dụng định lí Hahn - Banach, chọn dãy (x∗n) ∈ X∗ sao cho:

x∗n(xn) = kxnk , kx∗nk = 1

Khi đó: kf (ω)k = sup

n

kx∗

n(f (ω))k với ω ∈ Ω\EVậy hàm kf (·)k là µ-đo được

Tương tự đặt gn(·) = kf (·) − xnk là µ-đo được với mỗi n

Kết hợp với µ là độ đo hữu hạn, suy ra luôn có một dãy (fn) các hàm đơn giản

Hệ quả 2.1.1 Một hàm f : Ω −→ X là µ-đo được nếu và chỉ nếu f là µ-hầukhắp nơi hữu hạn đều của một dãy hàm µ-đo được có giá trị đếm được

Một hàm µ-đo được f : Ω −→ X được gọi là khả tích Bochner nếu tồn tại mộtdãy hàm đơn giản (fn) sao cho:

và nếu tồn tại một hàm khả tích Lebesgue g có giá trị thực trên Ω sao cho

kfnk ≤ g µ-hầu khắp nơi thì f là khả tích Bochner và :

f dµ là hội tụ tuyệt đối.

iv) Nếu F (E) =R

iii) Trước hết chuỗi

(Điều này được suy ra từ tính cộng tính hữu hạn của tích phân Bochner)

Hơn nữa, lim

Tiếp tục chọn phân hoạch π của E làm mịn π0 sao cho

X

B∈π

Z

≤Z

E

kf − fn0k dµ < ε

Vậy,

... ) =

Hệ 1.2.1 Giả sử {Fτ, τ ∈ T } họ độ đo cộng tính đếm bị chặn đềuX-giá trị σ-trường P Nếu µ : Σ −→ [0, ∞) độ đo cộng tính đếm