Tích phân đối với độ đo vecto ngẫu nhiên và toán tử ngẫu nhiên

TICH PHM NGAU KHIEK CUA HAM NGAU NEIEN DOI VOI DO DO NGAU IÍEÍÜ;N' VECTO ?N DINH DOI Xl/NG.. Tich phan ngau nhien cua ham ngau nhien phu hj'p vdi Z .... YI5H CHAT QUY DAO CUA TOAN Ti/ N

TRIÍCÍNG DAI HOG TONG EdP HA NOI

DANG H.UNG TKAIÍG

4 A r^ni

v_

:J

TICH PíIATI DOI Vdl DO DO YECTO NGAU IHII^:!

'JA TOAN Tt/ NGAU NHÍEÍT

CHÜYEH ITGAJiH: LY THUY£T XAC SÜAT V^ THOÍÍG ) ^ TOAíí KOC

Mr H í f ü : 1.01^0¿i

LUÁN- AN TIEN SI KHOA HOC TOAK L I

HA : Í O I - 1 9 9 2

• 1

-K]JZ LUC

Hd DAÜ 3 CKI/Q^G I DO DO VÍ.CTO NGAU N K l £ v VA TICH PKAlí NGAU líEÍErí

•?

CUA KA!í TAT DINH 1 0

!

I , DJnh n g h í a va -tijt so cí¿nh l y cd b a n 10

I I Sy h j i t'^ cua cac dj do v e c t o ngau n h i e n * 20

I I I - T i c h p h a n ngau n h i e n cua ham t a t dj.nh v a k h c n g g i a n O r l i c z •- 3 2

CHrfdNG I I TICH PHM NGAU KHIEK CUA HAM NGAU NEIEN DOI VOI

DO DO NGAU IÍEÍÜ;N' VECTO ?N DINH DOI Xl/NG • 3 9

I Dp do ngau n h i e n - v e c t o en d¿.nh d o i xiing ^ ^ 39

I I - Tich p h a n cua ham khong ngau n h i e n d o i v d i d j do

ngau n h i e n Z^ " ^ ¿i 8

p

III Tich phan ngau nhien cua ham ngau nhien ágo l^p vdi Z • *55

IV Tich phan ngau nhien cua ham ngau nhien phu hj'p vdi Z 61

F CHtfONG T i l TOAN 10^ NGAU NEIEN GIÜÁ CAC KHONG GIAl.^ BAIÍACH ^ ?C

I D¿nh n g h i a , t h i dy v a cae t m h c h a t t o n g q u a t - « - ^ 70

I I SS n'^1 ty cur, cae t o a n t u ngau n h i e n * - 77

I I I «^ Tac dcng c i a t o a n t ú ngau n h l é a l é n -ur *- b i e n ngau rüiierx ^ - 8 3

T YI5H CHAT QUY DAO CUA TOAN Ti/ NGAU NHIEN 97

l - a c i n e n t n u c chuan bj 9 7

I I Ycájn t i nxáu n h i e n v 5 i quy d§LO t r o n g V C L(X,Y) 99

I I I líjn: c h l t ( V , p ) - b i e u d i e n dii^íc cua t o a n t ú ngau n h i e a - - lOS

I V Z^'c -^¿anh cua ni9t t o a n t u ngau n h i e n v 5 l các t o a n t i

3

-•^ ;r

MO DAU

Trong hdn h a i t h e biy quaíVc'i su gop s u c c u a n h i e u t h e he c á c n h a

coan h 9 c , b 9 nion g i a i t i c h t o a n h9C da t r o t h á n h :.i9t l a u d a i do 59 v d i

n h - n g t o a n h a nguy nga t r á n g l e nhií : F h l p t í n h \ a , t i c h p h a n , phUdng

t r i n h v i p h a n v a d^o han r i e n g , g i a i t i c h hará No da t r o t h a n h n p t cong c^ dac l ^ c cho n h i e u nganh ¿choa h9c k y t h u ^ t k h i xu l y c á c mo

h l n h t a t dj-nh

a i i n g , n h v í c h ú n g t a deu b i e t , n g a u n i i i e n c a n t h i e p r a t mánh l i ' ^ t v a o cupe s o n g chúng t a V i v^y các no h i n h t a t d^nh khong du de phan a n h

t h y c t e r á t p h á c t ^ p k h i co stf t a c agng c u a n h a n t o n g a u n i i i e n ^ P h a n

I o n các hf t h o n g v a h^ d j n g l u c t r o n g v ^ t l y , c d h o c , Í - i n h t e , s i n h t h á i

¿eu l a nhüng hf ngau n h i e n T r o n g nh3ng nam g a n day,;:i^t n^-t do nhu cau

p h á t t r i e n n j i t ^ cúa t o a n h 9 c , a a t k h á c nhan cung c a p z.gt xigon n g 5 ,

z j t cong cu cho phép :¡o t a , p h a n t i c h , d u bao v a d i e u k h i e n c á c he n g a u

n h i e n c a c c h u y e n g i a ve l y t h u y e t xac s u a t dang ichan t r u c n g x a y d u n g

t o a l a u d a i g i a i t i c h nr:au n h i e n v c l hy V9ng r a n g t u d n g l a i no c u n g

s e co :n9t t a c voc to I d n khong kesi.Gó t h e t i n chao r a n g , l y t h u y e t 09

d o , t i c h ph'an ngau n h i ? n , p h u d n g t r i n h v i phan ngau n h i e n v a t o a n t u ngau nhi*en s e l a nhUng t o a nha c h m h t r o n g l a u d a i do raa n h 5 n g ngüc?i

d = t n e n laong cho c h u n g l a V ; ' ¿ e n e r , l t o v a S k o r o k h o d

Ve n ^ t l^-ch s u , t i c h phan ngau n i i i e n dau t i e n t r o n g l y t h u y e t x á e

s u á t l a t i c h p h a n cua :n9t han t a t - d^-nh(khong n g a u n h i e n ) b m h p h u d n g

Izha " i c h doi v 5 i quá t r i n h chuyen d9ng 3roa'n do V-iéner dUa r a [62] •

Tich phan ngau nhien Wiener da dii^c 30 r9ng cho n h i e u qua t r i n h ngau

nhien khác Levy [29"] xay d\ing t i c h phan ngau nhien ¿oi vo'i quá t r l n h

g i a 50 d9C l ^ p , kol-"ogorov [22"] xay diíng t i c h phan ngau nhien doi v á i

X , / /

cua - r l n h g i a so t r u c g i a o , t í c h phan nay cong ri9t v a i t r o then chot

y

trong l y t h u y e t các quá t r i n h dling j

:-I¿rt buce ngo^t then chot da (xzcz thuc h i e n b c i I t o nhem thu'c h i f n

cua z r i n h lAy t i c h phan ngau nhien cho ca cac haní nrau n h i e n Trong

ccng t r i n h n o i t i e n g r 2 o l I t o da xay dung t i c h phan ngau n h i e n doi v d i

quá - r l n h chuyen d9ng Brov.-n cho các ham ngau n h i e n phü htíp( a d a p t e d )

v c i cuy dfo b i n h phudng khá t i c h T i c h phan Itcmgay nay da t r á thanh

n r í n ngü thong dung cua cac chuyen g i a ve he d9ng Idc ngau n h i e n va

cd hpc ngau nhi'en.iügn t§ii,co mjt huáng nghien cúu dang thu hut sií

cuan ta-Ti cua nhieu nguol l a nham ^6 bo g i a t h i e t phu hdn t r o n g d^-nh

nghia t i c h phan I t o M 9 t so t i c h phan I t o suy r9ng da duoc dua r a , d a n

J J ^

den nhung sií p h a t t r i e n l y thuyet thu v^., t r o n g do dang chú y n h a t l a

t i c h phan Skorokhod, t i c h phan Oga-\'/a va t i c h Tjhan S t r a t o n o v i c h (Xin

xe- {l'^^fS}^ ' [^^] ^^- ^^^" -i^^ ¿ dó )

:.9X h-cng md rpng :-;hac l a :>:ay dung t i c h phan ngau n h i e n cho cac

cua zT^nn rong c u s í he: .Cn^ng h^n^.ift l y "cnuyet ve t i en phan ngcu n n i e i

cua cac hain nüau n h i e n kha doán l^y doi v c i ^:9t s e n i n a r t i n g a l e da dd^c

nghien cuu khá ran rg ¿ My,Fháp( xeni h i c h t e l e r ["4"] va thu :nuc ó do )'

5

-^ -^ r y-^ y-^ J

*¡9t hiiéng mé r j n g khác nua l a xay dtíng t i c h phan ngau n h i e n b 9 i , t i e p

t'^c c'ong v i f c cua I t o \2.1~\ doi v5i qua t r i n h tong quat hdn ( xem[26 j

[_27j va thu 3^c t ^ do )

•TÍch phan ngau nhien Wiener cháng cua l a t i c h phan doi v c l ag do

ngáu nhi*en ca::: sinh bci quá t r i n h chuyen d9n^ Brov/n.Dp do ngau n h i e n nay co t í n h c h a t l a j g i á tr^ t r e n các t^p r b i n h a i i a nhüng b i e n

/

ngáu nhien djc l^p.iu tuíng ve dj do ngau nhien co tinh chat nay lan •

dáu tien xuat hien trong cong trinh cua Sochner |_3 J Urbanik £ 5 3 ] sú

"'

d'jing no t r o n g l y t h u y e t d^ bao qua t r i n h dung ch^.t khong t o n t ^ i nioaen'

cap ¿ Tich phan ngau nhien cúa các ha;n t a t d4.nh doi v é i d9 do ngau nrie'n ce t m h chat nay duf'c nghien cuu bói Urbanik va 'úoyczynsid £ 5 8 ] ,

5u r:c r9ng t i c h phan ngáu nhien k i e u náy cho cae háa t a t á:^nh nhfin

giá tr;i t r e n khong gian Banaeh diíjíc th^te h i f n boi Hoff.riann-Jorgensen

[ l e ] , Okasalii [33'} va ícosinsld [ 3 6 , 3?']

Ghüdng I va chudng I I cua lu|.n án dánh cho v i f c nghien cúu ág do

vec to ngau n h i e n nhf.n g i á tr^ t r o n g khong g i a n Banaeh va t i c h phán cúa han g i a t r i th^c ( ngáu nhien va khong ngáu n h i e n ) doi vdi chung

Va chúng t o i cung chi x e t cae 09 do ngáu niiien co t m h c h a t : ü i á t r ^

t r i n các t j p r d i nhau l a nhúng bien ngáu n h i e n 090 l ^ p ,

Dp do vec t e ngau nhien npt n ^ t l a su^ T^Ó r j n g tií nhien cua d9 do

ngáu nhien giá tr^ thyc nói c tren.M^t khác cung co the coi no la sü

nio rjng * * ngau nhien' ' hay sii ngau nhien hoa cua khai nifm 09 do vectc

nh^n gia tr^ trong ^:hong gian Banaeh du^-c n¿;'hien cúu rat ky" trong giai

t i c h ha:n( xen Fia"] ) T i e t 1 cúa chudng I t r l n h b¿y d^nh nghia va nijt

so t i n h c h a t ed han cua dj do vecto ngáu n h i e n va t i c h phán cua hám

/ ' J , , y/

t a t dj-nh g i a t r j th^jíc doi v5i c h ú n g T i e t 2 chiidng I dua r a rn9t so

k i e u h9i t'^ cua dj do vecto ngau nhien va quan h | giúa cae iiieu h 9 i t^

ay.Trong t i e t 3 chudng I chúng t o i mo t a khong g i a n các haii kha t i c h

doi v é i mpt l á ü các dj do vecto ngáu nlaien s i n h boi m^t h9 nao do cae

i

J

phan bo ehia vo h^n

Chudng II danh cho viec xay d^ng tich phán ngáu nhien ( udZ §

dó u la ham ngau nhien con Z lá ¿9 do vecto ngau nhien on dJ.nh,aoi

'£.\in^ tuy y.Tiet 1 trlnh bay d^nh nghia va cac tính chat quan tr9ng

cua cac do do Z Quá trlnh V.iener nh^n giá tr^ trong khong gian Banaeh

P diia ra bci N.V.Thu fh^l Is .r:9t tru'cJng agp rieng cua cac do do ngau

nhien Gauss doi rAng Z I»hd lá :^gt bucc trung gian , trong tiet 2

chung toi khao sat trudc het trucng hcp u la ha:: khong ngau nhi^n.Tie'p

theo trong tiet 3 dj.nh nghia va tich chat cua tich phán ngáu nhien

í' udZ diídc t h i e t lf.p trong hai triiong h9'p: u 090 l § p v§i Z , Z

Banaeh q - t r d n deu hoa ( q \ p neu p < 2 , q r 2 neu p zi 2 ) Kdn n ü a ,

k h i Z l a do do ngáu nhien vecto iviener , t í c h -ohán ludZ dtfdc xáy

P " J P '

d^ng theo cach t i e p c^n Ogav;a [32 "j cho i^.gl harringáu n h i e n u dgc l | p

v a i Z ,khong can g i a t h i e t gi ve hlnh hpc cua kh'ong g i a n Banaeh

7

-Bai toan xay difng t i c h phán ngáu nhien Skorokhod cho ág do ncáu nhie'n

vecto uauss hay con dang DO ngo

Trong g i a i t i c h toan hpe, chúng t a b i e t rang t i c h phan ch^ng qua l a mjt l o ^ toan tú tuyen t í n h dfc b i ^ t nhun quan trpng nhat.i^y t h u y e t

các toan tú tuyen t í n h tong quat da ducc ap dung r a t h i f u qua o.e n g h i e n cuu cae phudng t r i n h v i phan va d^o ha;/ rie'ng.Tüdng ty nhu v 5 y , t i e h

\ r^ ^ ' -> ^ y

phan nj-'au nhien cúng lá :-:o"t vi du quan tr9ng cúa toan tú ngau nhien

Do uo r:pt -5' thuy-^t tong quat ve toan tu ngau nnien co the va can phai

phát trien, cúng nhu ung dung vao các phudng trlnh vi phan ngau nhien

M^t khac toan tú ngau nhien cúng la nipt sy no rpng td nhien cúa các

/ T ^' / Sí ^ ^ ^ J ^ ^

toan tú tuyen t í n h khi chuyen tí? -.ao h m h t a t d^-nh sang -no hlnh ngau

nhien.C-ia su rang i-.gt he thong diidc -:io t a ooi toan tu A: X —^ Y

t r o n g do - l á t§^p hcp cái váo( i n p u t ) con '1 l a t ^ p h^'p c a i r a ( o u t p u t )

A dude ggt l á quy lu'^t tac djng cua he thong hay ed cau b i e n doi c á i

vao thanh c a i r a Trong r.o hlnh t a t d 4 n h , c a i r a hoán toan düoc xac

d}.nh bci cai váo va quy lu^t tac dpng Trong ;ao hlnh ngáu nhie]:^,bie't

V ^ 4 ^ , ^ c y>^^

dupc cri vao X va cuy lu'^t tac d9ng A ta chí nhieu lar: bie't du9'e

•pnan co xac suat cua caí ra na thoi.^;nut v^y,n:9t toan tu ngau nnien

A la -;t pnep tuong ung T.OI X ^ A -ot oien ngau nnien Ax co tr^ trong -^ ? -^ ^ ^/

khong gian Y.Toan tú ngau nhien tuyen tinh giua cae khong gian Hilbert

düfc nghien cúu dáu tien bci S::oro::hod £441 • T:r ong các chudng 3,4 va

5 chúng t?i se danh cho viec nghien cúu các toan tú n'ck^:^ nhien(tuyen

tinh) giua hai khong gian Banaeh

y! i I

Chudng III trlnh báy các vi d^,cáe tính chat chung cua toan tu

ngáu nhie'n,di.nh nghía 4 l o ^ hfi ty cúa day cac toan tú ngau nhien va

inci quan he giua cac I c ^ h9i tu ay.Chung toi da ág.t düoc :ii9t so ket

qua DUCC uau trong viec d^nh ngnia tac aong cua ::;ot tran tu ngau nnien

iu X váo Y Ion zgt bien ngau nl:ien ce tr^ treh X./cu tran tu ngáu nhien

lá toan tú tich phán ngau nhien thi tac d^ng náy cho ta d^-uh nghia

i '^ ^ ^

tich phan ngau nhien cua '.^gt ha::i ngau nhien

Trong chudng 4 chúng toi nhin injt tran tú ngau nhien tu k saiig Y nhü

^ s J:" ys ; J / ^ ' 2

lá :zgt trucng ngau nhien düoc chi so hca boi t^p tha so X.Suan diem

y<~ / -^ - 1 \ y\ ^

nay dan den cac cau hoi ve t m h chat quy d=^.o cua trüdng ngau nhien ^ J , ^ - ? X- , V - -)

nay nal toan ngnien cuu t m h cnat cuy u^o cua truong ngau nhien aa thu

nut su cuan ta tá~ cua nhi^u tac gia nhü r ernique ,Kono ,karcu3 ,^ud; sy

7 y^ ^ ? /

( x 5 n / 2 3 J va tnu j-ue t ^ i dp j.^ac t a c g i a nay ue c^.p chu yeu t o i

t i n h chat bj c h ^ hay t i n h chat l i e n tuc cua cuy' d^o v5i í^p tham so

l a knong gian n e t r i c compact khong co cau t r u c tuyen t m h i^hieu d i e u

iiien düp'c dua r a dais bao sü ton t ^ i ni9t ban sao cúa A c6 quy d^o nam

t r o n g mpt l ó p con V các toan tu tuyen t i n h l i e n t u c hoac l á dan bao

£ü ton t p cua 3:91 "^9 '^^ í^don t r e n V có cung phán bo hüu h ^ chie'u

v5i A

chudng cuoi eíing nghien cúu n9t l á p '.úik quan t r 9 n g cae toan t ú

ngau n h i e n : Lop cae toan tú ngáu n h i e n on d4.nh.Da chúng ziinh dü9'c

rang luoi toan t ú ngau nhien on dj.nh,doi xúng cháp nh|in iri9t b i e u d i e n

düci d ^ g liipt t i c h phan ngáu n h i e n T r o n g trtfdng h^p toan t ú ngáu n h i e n

ngau nnicH cu j - ^.it: C^J.J C.*_L U-C t ^,* '-'-¿¿j *,nị(' yn5 n*ịj v-ac : e t qua cnu yeu cua l u ^ n a n ua au¿;c -oao cao nao l u ^ c

- Xe : ^ na k l c s u a t t^.i Vien Tc£n t r v c n g I-^.i h9c t c n g hjfp W r o c l a w , H a l a n

nár h9c 1 - S 5 / 1 9 S 6 va h 9 i t h a c ::ác s u a t qaoc tei t ^ i T r u n g t a n Toan q u í c

- ri ^-!^ - ^ ^ j i-^-'C i,ong •-9_-' es í•9— -¿=-0 »-ụ ^ t- & '.'^c c oụ _^ ẹ. ÍJ^ _ es » » C I Ü

MTuug,C-iac su T i e n s y :':gu7£in u-j-j T i e n da iir.uyen i ; n i c h , d c n r vi-sn -/a

t ^ c nnung u i e u r : i ^ n t.-u¿in l ; i rnc t a c g i a :;can t n a r h ban - u ~ n veo:

/

l ' c - i a clian t h a n h cạn dn Giác sü T i e n ¿v ?:^uvon V?n T h u , ^ i á c s ü T i e n

j ;^ w ; / ' v

j-::^r .r-an :.nu u5 cr.c n.nieu y r^in cuy r: = u -.t tac gia hoan thien lu^n an

Tac gịa curg x:.n zr.ên thanh cấ d n cac thunh ^ l e n trcng lei-ms ,.ac

1 0 CHÜONG I

-•^ / '^ 7 ^ ^

DO DO VECTO NGAU NHIEN VA TICH PHAI^: NGAU I7ÍIIEN CUA HAi-: TAT DINfí

I • Dj.nh n g h i a va rnpt so u i n h l y cd ban

Gia sú X l á nipt khong g i a n Banaeh ::há l y v a ( T , ^ i ) ^ á ngt k h b n g

g i a n do.i:a:t t ^ n F : 2ür —^ L ' ' ( J I ) t ú ¿ J / váo knong g i a n L " ( J 1 )

D9 do ngáu nhien X-giá tr^ düoc g9i lá doi ::üng neu vci rioi ^ 6 Z L

-^(-) lá bien ngáu nhien eó phán bo dci xúng Trong lu^^n án náy, chúng

toi chu yeu se de c^p tci trucng hdp doi TATI^

hpt <Lg do thüc hüu h^in khong an ^ tren I düp^e gji lá -'gt dp ao"y^

(kie.u trajcua r neu j^^(E) = O keo theo F(E) =: O h.c.c va ta

ky hieu su -J.en náy lá F « y ^ »

::t h9 I F ^ , s ¿ 3 j các ¿o do ngáu n h i e n v e c t o ¿üoc g 9 i l á b "

-cpng t i n h ueu r.Tu v c i :5i day {-L- 1 các t | p r o i nhau cuc S

X 1 1 '

neu va chí n | u y , s £ J ( l á j i A - l i e n tyc aeu theo n g h i a s a u : Vói

m9i t > O l i - sup PI IIF (E) II > t J = O

/ A ( ^ ) - ^ 0 ^ s 6 5 Chúng 2:inh L-ii sú j F 1 i á y u - l i e n tyc deu va (E ) l á n 9 t day

oo cac t^n 2-/-do d ü p c r d i nhau.Ta co lim ^ ( L-/ E ) = O Do do

OO -) -1

lia sup ? h 21 ^s^^'' •' > M ~ ^^"^ ^""^ '"^ í " ^s^^^»"^)!! • ^ ^j "°*

V^y 5 F 1 - ^ S^-cJng t i n h

deu-Ngüpc l ^ j g i a su ÍE ^ l á C^-cJng t m h d^u nhüng chung khong

JÍÁ-l i e n t u c deuJZhi do JÍÁ-lini sup P í H F (E) Ij *> t i ^ ^ ^^^ -^'9^

jU(E) ->0 s

t \ O nao d o

V|.y eo t o n z^ ^ "^ ^ va 11191 day (A ) cae t ^ p do dü^'c sao cho

= [ U r_(Aj|l > t ] ;j ¿ vá ju(\) 4 2"'' víi

^ 00 " o ^

dpi n Dát iá r V^A , B = Í^B Ho rang /u.(B) r O do

uó F (E) - O h ^ c c Dat E z T N B , E - b \ B

Ap a^ng c a t aejrxg tnue j-ievy t a co

Dieu nay lau thuán vci (l-l).D4.nh l y dude chung - i n h

sup

-S

c-Hg cua 1.2 ¿ i á sü F l a d^ to ngáu nhien X-gia tr^ doi •i^'ú.ríg vdi dj do

d i e u lüaien iu .Khi do F l á y u - l i e n t y c tüc l a

p - l i n r (i:.) - o jU(ii) - ^ 0

"^ 7 /

Ket qua sau day l a d^ng ngau nhien cua c^nh l y Vitaly-Hahn-Saks

i>j.nh l y 1.3 Giá sú (F ) l á ziot day do do ngau nhien X-giá t r i , doi ^

xúng b^ dieu k h i e n bdi eíing 1391 d9 do j ^ Gia sú rang v d i mói E ^ 2

t o n t a i D- li2¡ F (E);.i:hi dó: ^

- n 1) (F ) l á / U - l i e n tyc deu

2> H M t $ p F : X — ^ L ^ ( i l ) xác dinh boi F(E) :: p - l i i s F (E)

'^ o ' n

l a :2ft Q9 do ngau nhien X-gia t r j , d o i xüng vói 6.g do dieu k h i e n

/U-Chúne; siinh 1) Gia sú rang (F ) khong jW_-lien t y e deu.Khi do ton t§LÍ

"^ ^ ' ^ i C "^ O va m^t day (A ) cac t|.p do dude sao cho

sup Pj 11F^(A^)|| ^ 3 t j ^ Zf £ (1-2)

v a íU.(A ) ^ 2 v d i ^191 p

D-j.nh nghia j : ? t t u a khoang cách t r e n z 2 bdi d(A,B) =: yC(.(A A B ) ,

Bang cach x e t các l o p tüdng düdngC dong n h a t cae dieni A va :; eó

d-khoang cach bang O) t a thu ^•ú.úz ':ígt -.hong g i a n ^ e t r i c d£.y du ( J ! , d )

^ay g i c v c i - 0 1 k,.':y hieu Z l a t ^ p cac uie:ri 1 (- ¿j sao cho

H í 'n'-^ - ':.^-^ll > t ] <^ ¿ ^'i ^^?i -^^^ >

^^-._ l a n ^ t t ^ p uong.Tn^t v ^ y g i a su h_ ^ ¿ , , t ü c l a

-' 1 *\

va ; E ^ I ) -?^ —>c>o.Vi i (F A L ) vá y (i^ r\E^ )

l a ^ce l a c i c i x t n r t a co

" ^ [ ' l y ^ ^ ^ - ^ ^ ( - ) 1 1 > t ] = ? p l F^(E^ A E) - F ^ ( E ^ A E J 11 > t j r

P j fl-^^U_ A ^)11 > ^ "i "~> ^ -''^'^- i - ^ o c - theo hf quá 1.2.V^.y

~ ' i •* — (E) ve ;i r.oi n.Cho i —^ oo d (1-3) t a thu düdc

F^(E (^z") t-^ (1-4) t a co pJ || Y^(1) - F^^ (E) H > 2tj,<¿É neu

A^ (E) <' r , n S k Do he qua 1.2 v é i rnoi rn ^ 1 , 2 , k ton

sup ? í 1ÍE^(E)|1 ^ t | ^ ¿ n-eu J K ( E ) < r

Cho n - ^ c^ t a thu d;de P Í | | F ( E ) ! | > t ? < L neu jUXE) < r.V^y

Kjt has f: T —^ X gpi lá :-:-kha tich neu ton t ^ -gt day i f 7 các

has den gian (í ) sao cho

B|.y g i c ? , g i a s ú F l á ¡ngt (I9 do ngáu n h i e n X - g i a t r ^ d c i xüng v d i d9

do d i e u k h i e n AA, t ^ e u f l á mgt háns t h ^ e ddn g i a n t r e n T f

-¿^ u l ( A ) r d i nhau t h i t i c h phan cua f t r e n t ^ p E d o i v 5 i F

ll j f ¿ ^ - 2 , \nA^r\E) Kpt hk:n f: T ~»H dUpc rji ik P-khl

J = I

tich neu eo ton tp day (f ) các há:a don gian sao cho

i i i ) Dáy J ( í dF I hpi t y theo xac suat.^' ,:

Ta chóng iiinh r a n g d^nh nghia t r e n l a dung dán.Muon v^y c h í can chüng * v _ _ >v / « \ - ^ , - , *

to rang neu ( r ^ ) l a day han ddn g i a n h9i t^ t o i O yt>L-h.k^n va day

I ( f dF ^ h j i tu theo xáe s u a t t h i p - lim Cf dF = O T h | t v^y,

d^t Z (E) ^ \ f QF Ta có Z l á ::Í9t ág do ngáu nhi'en X-giá t r i , d o i

xüng v o i d9 tío dieu k h i e n AA Vl p - l i n Z (E) ton t§á v d i - o i E do

do theodj^nh ly I 3 Z(E) p l i m ¿ (E) l a m9t dj do ngáu n h i e n X

Ghúnf: uinh ;^ia s ú 1 1| v á I • H-, ^ ^ c a e F - e h u a n t r e n L C T , ^ ^ ^U)

v a L ( i 2 - ) - V a i i i o i n t a chon hasi ddn g i a n g s a o cho ílg - f || < 1/n

üay g i ^ g i a sá g l á has bj c h ^ b i t ky.Ch9n dáy hám ddn g i a n g^ sao

ciio I g - g I —5> O U)o (1-3) düng cho hám ddn glán t a co

I nloo '^

^ ^ l l J ^ S n - V ^ ' ^ " > * ] ^< ^ | l l ^ n - S I | o o l l i ^ ' ^ í l > ' ] - ^ °

k h i n,E —^ oo.Vfiy dáy j (g fdF 7 hjii t ^ theo xác s u á t V l g f h p i t ^

t a i gf theo AA-d9 do nen theo m|nh de 1*4 t a k e t l u ^ rang gf l a F-khá tích Cho n - ^ o o » t a thu dtís?c ( 1 - 5 ) -

Kói r i e n g , v i haa f = 1 l á F-kha t i c h nen m9i ham bj c h ^ l á F-kha

t i c h »

Dj.nh l y 1.6 Giá sú M l á m9t ág do ngáu n h i e n thy:c doi xúng v ó i 09 do dieu khieiL ju •líeu g : l* —^ X l á m9t hám H-kha t i c h t h i han t ^ p F

xac dj-nh! bSi F(E) - CgdM l á n9't d j do ngau n h i e n X-giá t r j bj

dieu k h i e n b c i JJL Edn nüa,a'9t han f: T —^ E l a F-kha t i c h neu

vá chi neu han fg l a K-kha t i c h T r o n g t r ü d n g hj'p nay t a co

i- = í fg dM

Chúng cinh -rüéc het ta hay chi ra rang p - l i d \ gdM Z'

k h i a ( E ) —^ O.Th^t v | y theo hf qua 1.2 kháng d4.nii náy dung cho ham don g i a n g.Neu g l a han :-i-kha t i c h b a t k y , e o t o n t ^ cae ham ddn

gian g sao cho n - l i n \ g dM r \gdl^ Dat Y - ( g dM

m ' J m j *^ n,.n J m

n

-t

i

j gdM - ^ \ ed*í * J gdK v l lim j u ( L / E ) - O t a suy r a

p-lim ¿ ígoK - fgdM t i c l á ígdM r T UdM t r o n g L ( J l )

\(f - f _ ) s d - = \ fg drl —^ O theo xac s u a t H d n núa f —^ f

yu-h.c.c^V^y theo n | n h de 1.4 f l á F-khá tich-D^nh l y dü^c chúng n i n h

Bang l ^ p lu^D t ü d n g t y t a ci

1 9 i>3nh I v 1 7 u i l s ¿ 5 l á d9 do ngáu n h i e n X - g i a t r j • & ! d9 do d i e u kh-

-i e n yU ^ " e u f l á h a s t h ^ c F - k h a t -i c h t h -i hám t ^ p G r a e d4.nh b S -i

f d F l á GJ do ngau n h i e n X g i á t r j dü9'c d i e u k h i e n b § i ju

-e ,

Djah l y l S -Gia s ú F l á dg áo ngáu n h i e n X - g i a t r j ¿ o i z^úng v d i d9 do

d i e u k h i e n ^ ^ (f ) l á dáy han i - i i h á t i c h s a o cho l i m f ( t ) 'Z f ( t )

d^Tih l y 1 7 t a có £ l á cae dg do n g a u n h i & i X - g i á t r i , d o i xiSng v é i

dg do d i e u khi e n f\A^ T i e p t h e o v d i n'oi i:- ^ H do dj.nh l y I 5

? - l i s G (E) := G (E) -TÍf dj.nh i f I 3 t a k ^ lu§Ln (G ) l á y i x - l i e n t y c

Vi l i s /w-(E ) :; C i¿n do t i n h k h a t i c h deu t a có

lia Sil í'ílU^^ - \ 1|> t U li^ sup PÍ|1 ff dF 11 7 t ] = 0

- ? ^ l j í ^ - 2 l l > t ] = p [ n j f ^ d F l j > tj

v á ? < ij T_ - 2 11 > t \ = P } IM f dF 11 > t ( ""-> O k h i m - * oc

Ecb nSa t h e o dj.nh l y I 5 t a co

Giá sú F l a ég áo n g í ú nhien X-gia t r j doi xúng vói dg do, d i e u khien yu Eeu day (f ) cae haa F-kha t i c h hg± t y yu.-h c.c t a i f va t a co

I f ( t ) | < g ( t ) v é i mji t 5 do g l a hám F-kha t i c h t h i f l a F-kha t i c h

yái p - l i s ff dF = CfdF

oi r i e n g , dang t h u c t r e n xáy r a neu (f ) l a dáy hám b j c h ^ hgl t y t d i f

Chung minh Xac d^nh ham h b ¿ i h ( t ) :r f ( t ) / g ( t ) neu g ( t ) # O

vá h ( t ) = O iStt g ( t ) r O Ta có íl h II • ^ 1 Theo djnh l y 1.5

n n oo

f — h g l a F-kha t i c h vá t a có

n n*

l i m sup P|l( (f^dF ll> t " j ^ 2 lim P j¡) f gdF )1 > t ( =: O ( theo d^nh l y

yu (E) - > 0 E /U(E)s>0 E

1.7 vá h | quá l ^ ) D i e u náy chung to (f ) l a F-khá t i c h deu.Ap d^ng

djnh l y l c t a CO dieu phai chúng minh

I I S\í h o i tu cua các dp do v e c t o npiáu n h i e n

J ^ - ^ ^ J y? 4 > /

Trong t i e t nay chung t o i sé d4.nh n g h i a T.9"t so liieu h9i tu cua cae

09" do v e c t c n¿kz nhie^n vá nghi"en cúu t i n h c h a t ' cúng nhü :20i quan hf

r /

g i u a

I h í du CLu^t 60 I c n che cae 09 do v e c t o ngau n h i e n )

^ a sú F l a up do ngáu nhien X-gia trj sao cho E || F(E) | | < oo^ V E ¿ ¿ J *

t r o n g tSpo chuaa cúa ^^g do X'J dÜ9c g9i l á dg do ky V9ng cua F Gia su

(F ) l a dáy cac ban sao ágc l a p cua F.TÍí lu'^t so l á i ^ o r t e r - í i o u r i e r

n X uci ve: ngau nhien X-gia tr^ ^l'/,di.nh l y 3 1 1 ^ t a co

hpi t u / t c i "5^ ( F {E ),.^^F ( E ) ) a dáy nhü thüo^ng i f ^.f;x , , X : V

/ V o l o k / v l n

-ky h i ^ u I t i ^t nhan bo dong tho'i cua (X , , X )

1 n

Dinh l y 2 3 Giá sú ( F ^ ) , n ;>.0 l á cae dg do ngáu n h i e n X-gia t r j

k h i do F h j i t y theo phan bo t d i F neu va chi neu vói_ nSi E,F (E)

h j i t u t c i F (E) theo t h á n bo*

o Cnunrr n i n h ^ a sü (^^ , E ^ , , E ^ ) l a n f t dáy- hüu h^n t r o n g ¿ y ^rChj

h ^ v^LtrlA , ^,A I cae t ^ p r o i nhau sao

:ó co t a n ^ ^ -ft hg hüu h ^ « / L r l A , A I các t a p r'di nhau sao cho

Khang áinh ngüfc l § i l á h i e n

nhien-D'j.nh l y s a u day l á mjt minh ho^ cho k h a i nifm h 9 i t ^ theo phan b o

Djnh l y 2 4 ( L~^zih l y g i o i h^n t r u n g t a n cho cae d9 do ngau n h i e n )

¿ i a su F l á ág áo ngau n h i e n , doi xúng X-giá t r j sao cho vdi n o i

E ^ X- t a có E U FÍE)II < oo IÍhQ.ái r a g i a sú r a n g X l a khong g i a n

l o f i 2.Elhi do néu F l a m'9t day cae ban sao d9e l ^ p cua F t h i 09 do

ngáu n h i e n G - I 2 ^ ^b-y \^^^ ^^^ ^^ theo phán bo t d i n p t dg do

ngáu n h i ? n Gauss doi xúng X-giá t r j

( hg do ngau n h i e n G düp'e g9i l a Gauss neu vdi 1191 E £;• 2 ^ ,G(E) l á

: i e n eó phán bo Gauss )

¡hún/' n i n h Cíia su ií l á dj do ngáu n h i e n thuc sao crio vdi -'oi A ^ G",

2 3 W(A) ce p n a n be Gauss v c i ky V9ng O , p h u d n g s e i P ( A ) , c dáy do do n g á u

o do ü lá ~9t hang s? khong ph^ thU9c vao f

Ta xac d-,nh han G : X "^ if(ií) ^Sí • '

t ^ t d i GCL) t h e o ::han bb -y'^.y t ü di-ni l y 2 3 t a l:ez l u ^ n G h 9 i t u

t d i G t h e o phan be iJ^nh l y :;üoc ehüng n i n h ^ i-Í9t d9 do ngáu n h i e n X - g i a t r ^ G düoc g 9 i l a dong l u ^ t v d i n 9 t d^ do

n g a u n h i e n X - g i a t r ^ i iihác va t a v i e t G O: F neu v d i n o i d a y htíu

han (E , ,E ) trong /_ ta eo

^ ( G ( E ^ ) , ,G(E.^)) =z ^ ( F ( E ^ ) , ,F(E,_))

> _ - ^ ,- ^ X f- - r

xío rang sü n^i tu cur. day (F ) uói 5" izeo theo su h9i z^ theo nhan

be cua day de tci F^.Dieu khang d^nh ngüdc l§i se nung

s a u

x u n g

í^lnh l y 2^5 G i á su (F ) , n ^ O l á dáy cae d9 do ngau n h i e n , d c i xú

X - g i a t r j b^ d i e u Ichien b o i d j do ju{ i-ígoai r a , l i h o n g g i a n n e t r i e ( H , d

car s i n h b c i JIA ( x á c d^nh nhü t r o n g chung n i n h dj-nh l y 1 3 ) m k h a

^ ^_, d

l y K h i do eo t o n t ^ dáy G c a e d^ de ngau n h i e n s a o cho G c== F

^ • " n n (n 7,0) va (G ) h9i tu tal G

Chúnp- ninh Giá sú K^T = U, ) lá t'l'p den dúóc trú rn|.t trong C^!» ,d)

Xét cae bien ngáu nhien f ^ - Í F ^ ( A ^ ) | ^ Vl F hg± ty toi F

theo phán bo, ta eo lu|"t phán bo cua [ hg'l ty yeu tfi lu^t phán

cua 5 ^ Theo dí.nh ly quen biet cua Skorokhod cc^ t3n t=ií cae oían

o /

bo

• 2 >

-c*c

ngau n h i é n V

n Vói n 9 i n , k

chúng ninh rang ti có the nc rjng l e n toan ¿ ^ Th^-t v ^ y , g i á sú

E £ ¿ vá (A ) l á dáy trong (-5fc sao cho lim /w(A A E) n O.Iíhü

l | p l u ^ t r o n g chúng ninh d^-nh l y 1.-5 da chi ra ta c6 F (A ) h9i

- l i í p j II G^(E AA^)I1 > t i Z: Í I ; P j II F^CE A A^) 11 >/ t ] ^

P j l|F^(E ¿ÍA^>1| )> t i , trong dó bat dang thúc cuoi cung co dü^c

v l F^(E AA^) Í19Í t^L t ó i F (E¿:^ A^) theo phan bo TÍi h | quá 1.-2

t a suy ra lim 9^ || F (E A A^) || > ^"1 *= O.V^y

lim lim P

k n [ II ^(^) - v \ ^ I' > ^} - ^

-Cho k —^ 00 t a thu d^i(^c l i n Pj |) G (E) - ^ ( E ) || ;^ 3 t j •= O

D^nh l y düoc hoán toan ehüng n i n h

Giá su T l á khong gian n e t r i e vdi ^ - d ^ i i so Borel ¿_, J'igt t^v

b o r e l A dü^c g9i l a n'Jt t^p J Í A - l i e n tyc neu xx ( ¿AJ — ü h de

VA ky huLfu bi"en cua A

'Blnn np:hia 2 6 Ta nói rang dáy dg do (F ) h9i tu yeu t a i F néu vdi

n o

091 t ^ p B o r e l E / U - l i e n t y c t a co F (E) h j i ty theo l u a t t c i F (E)

•' ' n o

o dó yu l á 09 do dieu k h i e n cua F

Dinh l y 2 7 Gia sü (F ) , n -^ O l á daS^ cae 09 do ngáu nhie'n , doi

xiing X - g i á t r i K h i do h a i khang d^-uh sau dá.y l á tüdng düdng

-27-Chúng ninh 1) — ^ 2) Giá si f lá n9t han lien tyc b^ ehf.n.G9i A

lá d9 do tren H xáe d^nh boi A(B) - AA } t: f(t) ^ :^ > Yi f b;i

ch^n nen A t^p trung tren n9t khoang hüu han (a,b).V5i n'oi : i \ O ta

d ( t , A ) ky hi'^u khoang cach t ú t den t ^ p A

v l E vá G l á h a i tan dong r o l n h a u , e o ton t a i han l i e n t u c f

2 9

-F (A) h o i tu t ó i -F (A), theo nhan bó.Dj.nh l y düoc hoán toan chung ninh,

n o

De minh ho^ ap d\ing cúa d;j.nh l y 2 7 t a x e t s\í h'9i t\i y'eu cua cac d9 de

dgUig F ( £ ) — \fdM o dó M l á do do ngáu n h i e n g i a tr^ t h ü c con

n J n • n

f l á han g i a t r ^ banaeh ( xen d^nh l y 1.6 )

Giá su m l á n 9 t d9 do düdng 6"hüu h ^ , doi xüng t r e n E vdi m { o l

-z: O vá \ r n i n ( l , v )dnCv) < oo con AX l a Jt d9 do düdng t r e n T , ,k l a n 9 t so dü^dng.Theo [3^'] eo t o n t ^ i n 9 t d9 do ngau n h i e n , doi xúng t

g i a t r ^ t h ^ c t r e n T sao cho

E exp{iu M C A ) ] - e x ? | - ju(A) [ k u ^ -^ ((l - cosCuv) ) d n ( v ) ] ( ( 2 - 6 )

Ta v i e t M -^ [ k , n , AX"] neu co ( 2 - 6 ) 5 o r a n g ^ l a df do dieu k h i e n

l a M r^y n i e u gj; (.'-,x) l a t^;

c u a t^p cae han f : T —^ X l a I-i-kha t i c h

Bo de 2 9 Giá sú X IO^LÍ 2 vá E | I-ÍCT)| < oc Khi dó

Ho'n nüá t o n t ^ hang so C y O sao cho

EII jfdi^íii <, c [{ufd^y^^

v d i ra9i i ^ L (T, 2 2 , AX)

') J

Ch-Sn/; a i n h Theo r ü i ^ x é t 2-4 cua[_36] t a co the g i a tliie^t M = K + i-l

m 5 ñ n [ - 1 , 1 ] ] con E^(E) r a í B r ^ [ - l ^ ] ^ j vÓi mSÍ A ^ 2 ,

f |u:|mCdu) < oo ( v l E|M(T)| < oo ) , c = k + f u ' - ( d u ) G i ¿ s ¿ f

l a ham ddn giaiL, í - T^ x 1 j c h i ?v

/ I i A

1 = 1 1

EJH^CT)! ^ 00 ( n ;j O), va X eo l o g i 2.IQii do n e u yu ' ^ h 9 Í t ^

l o i E 6 2y 1 F ( E ) co a9 ao n g a u n n i e n d o i xüng A - g i a tr^ s a o cno v o

y^ / ' \ Á"*

Khong co t h a n h p h a n G a u s s pházL bo e h i a vó h ^ j ^ ^ ^ " ^ ' v§.y han dác t r ü n g cua F ( E ) co b i e u d i e n L e v y -

ta có the I-ihang d^-nh rang ton t ^ n9t h9 ( m ^ ) , t' ^ T cac do do düdng

tren X sao cho han t — ^ n (B.) lá do düoc vdi noi B cod^-uh va

5 3

-i -i ) v ó -i :.-io-i E ^ S ^ h \ n tí —> A (B) •= r n , ( E ) d y u ( t ) l á n9t dg ao

Levy t r e n X ,

ilhi dó co t o n t ^ d9 do ngau n h i e n , dSi xúng X—giá tr^ F sao cho

h'an t ^ p E —"> A (B) l á d9 do Levy cúa i {^)

Chú y; Vi A^(B) <; A (B) r \ m (j¿)dyiA(t) vdi n o i B ,do t m h c h a t

vói u r i'^.^ , — ,u_^)

De t h a y h ( u ) xac di.nh nhong ' á n , l i e n t y e v d i HXO) r 1* Theo d^nh l y

Bochner va d^nh l y áolnogorov t o n t ^ cua t n n h ng'au nhie'n f ( E , a )

dtí9'c e h i so hoa b o i t|tp ¿^ x X^ sao cho han d^c t r ü n g dong thcíi

cua f(E a ) , - - ^ , f ( E , a ) düdc cho b d i (3-1).-Vói moi E eo d4.nh,f(E,a)

l á hám ngau nhien t u y e n t í n h t r e n X ' T h ^ t v$y do (3-1) t a eo

E e x p í i u ff ( E , a + b) - f ( E , a ) - f ( E , b ) ] ] z 1 v ó i m9i u €: E do do

f ( E ^ a t b) =: f ( E , a ) + f ( E , b ) h c c Tüdng t ^ f ( E , t a ) = t f ( E ^ a ) h c c M^t khac do d i e u k i p n i i )

E e x p f i f ( E ^ a ) j =: e x p j - \ I [l - c o s ( x , a ) ] dm (x)dyi>o(t) V l á hám

^ ^ ^ E X / ^ ^ ^ j

d^c t r ü n g cúa m9"t d9 do xác s u a t t r e n X V|!y f ( E , a ) l a k h a i t r i e n düjíc

chóng n i n h r a n g dáy J E(E ) 1 l á d9e l ^ p G u o i cung de ehüng n i n h

E(E) n 2 , F(E ) h c c t h e o dinh l y I t o - N i s i o t a ehi can id-em

t r a ( i ' ( E ) , a ) (u) =: Ij ^i: (E^^ j ^ a ^ (u) t r o n g do "^ ky h i ^ u hhi

i)Ính l y da düjíc ehüng n i n h xong *

T ^ n i r a n g d9 do ngau n h i e n F nay l a s i n h b d i (m ) vá /U-

F'inh if 3^2i Giá só F l á dg do ngau n h i ^ n X - g i á t r ^ s i n h b ó i (m ) , ^

-35 9 /

ii) han expl-fi^^^^l lá han d^e trüng cuc n9t d9 do xac suát

tren X.Trong trücíng hdp náy exp[- ^^(£^) J chính la hám d^c trüng cúa

bien ngau nhien X-giá t r ¿ \ fdF'

Chünf: ninh i/ieu ki?n can: i^éu f l a han ddn gian t h i de dang iiien

-E (a) I l á han dac trüng cua IfdF Gia su f l a han

bi e h ^ I f I ^ K Ton t ^ dáy han ddn gian K^ F i^ ís "^^ ^n ~^ ^

1

AJÍ -h.k.11 Theo dj-uh l y 1.9 ve sü h9i tu b^ c h ^ cua U9 do ngau nhien

ffdJí' " p -lim f f di' xlháng dj-uh se' dü9'c cnung ninh ne'u ta chi ra

l i n n (a) r: E (a) -.Th^t vfy d^t u ( t ) - f [l - cos(xf (t) ,a)j dm (x)

Cuoi cung gia su f l á F-kha tich.E)|.t A n í t : | f ( t ) | ^ n | vá

f *— 1 f Ta co f bi chan va theo t r e n ham dác trüng cua \ f dF

n " - A ' ' n ^ * J n

n

l a e x p í - H (a)j.Theo dj.nh l y 1.9 C f dF hgl ti^ t a i (fdl=' theo xác

nhau nen day bien ngau nhien (X ) la d'9c l§.p,doi xúng.Theo di'eu ki|n

can vüa ehüng ninh S eo han d^e trüng la

n

e x p ) ~ \ \ f l - e o s / x f ( t ) ,a^ j d n (::)d / i x ( t ) j Han nay h 9 i t u t d i han

A X

n

e x p j — H ( a ) j l^dii n - ^ oo Do dó t h e o d^-uh l y I t o - r i i s i o d á y (S )

h 9 i ty h - c c - Ta 1 ^ co g ( t ) h 9 i t u t d i f ( t ) nen t h e o n e n h de IJif

k n o n g g i a n , l i e n t^^c p h a i G 9 i E ^ ( T , 2 » A>^ ) - ^ t ^ P cae h a n do düo"c

f : :E —> P s a o cho C 4^ ( t , e )f ( t ) | ) d y u - C t ) 4^oc.(Agl E x ( T , 2 ,ji>«3

5 7 2) Ta b i e t r a n g neu khong g i a n X có l o ^ p t h i 9Í u^ do 5'-nuú h j n

-A t r e n X doi xúng v é i /\ ^OJ :r O vá \ n i n i 1, |1 x f ( d yu (x) < 00

s é l a d9 do Levy ( xen [[28 J ) G i a sú f ^ E^^ Khi do t a ce / '

f c ^ (tyC |f ( t ) l ) d / u ( t ) < oo v ó i so düdng e nao do.D^t g ( t ) r c ^ ( t )

Trong n 9 t so truo'ng h9'p các khong g i a n H ^^ vá h^ l a cae khong

g i a n O r l i e s - T a hay nhac 1 ^ d^-uh n g h i a ¿diong g i a n O r l i c z - G i á su T l á m9t hám khong giám l i e n t\ic p h á i , *Y(0) — O.G9Í L ^ (T, 2- ^ A< ) l a

t ^ p cae hátm f 5! "do düjJe sao cho V ^ ( c |f (t)l)dytc(t) < 00 v o i n j t

so düdng c nao do.Khi dó I^M/^'^' Z-» M ) t r o thánh khong g i a n n e t

t u y e n t í n h day du voi chuan khong t h u a n n h a t

II f II r i n f i e ) 0 r [ S " [|f ( t ) / c ] d/x ( t ) ;$ 1 j IChong g i a n nay dü9'e g9i l a khong g i a n O r l i c z

dang thúc nay düjíc t h ^ c h i ^ n v d i m9i Idiong g i a n X Idii oC, < 1 v i moi

khong g i a n X deu co logüL 1.^