SKKN Sử dụng phương pháp véc tơ và tọa độ để giải một số bài toán về phương trình, bất phươnmg trình

Trong những năm gần đây các bài toán dùng phương pháp tọa độ để giải phương trình, hệ phương trình và bất phương trình được sử dụng rộng rãi, đặc biệt là các kì thi đại học, kì thi học s

MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Đất nước ta đang bước vào giai đoạn công nghiệp hoá hiện đại hoá, cần có những con người phát triển toàn diện, năng động và sáng tạo Muốn vậy phải bắt đầu từ sự nghiệp giáo dục và đào tạo, đòi hỏi sự nghiệp giáo dục và đào tạo phải đổi mới để đáp ứng nhu cầu xã hội Đổi mới sự nghiệp giáo dục phụ thuộc vào nhiều yếu tố, trong đó một yếu tố quan trọng là đổi mới phương pháp dạy học trong đó có phương pháp dạy học môn toán

Trong những năm gần đây các bài toán dùng phương pháp tọa độ để giải phương trình, hệ phương trình và bất phương trình được sử dụng rộng rãi, đặc biệt là các kì thi đại học, kì thi học sinh giỏi Sử dụng phương pháp tọa độ vào giải toán không còn mới mẻ Tuy nhiên đa số học sinh còn lúng túng và vụng về trong việc sử dụng phương pháp để giải toán Từ những lí do trên tôi chọn đề

tài: "Sử dụng phương pháp véctơ và tọa độ để giải một số bài toán về phương trình, bất phương trình"

2 Mục đích nghiên cứu

Nghiên cứu từ các tài liệu và sách giáo khoa để đưa ra các dạng toán có thể vận dụng phương pháp tọa độ trong giải toán.Từ đó giúp học sinh phân tích để vận dụng nhằm đơn giản hoá một số bài toán Góp phần phát triển năng lực trí tuệ chung, phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động của học sinh

3 Đối tượng phạm vi nghiên cứu

- Học sinh lớp 10A1, 10A2

- Ưu điểm của việc sử dụng phương pháp tọa độ vào giải toán.

5 Phương pháp nghiên cứu

- Nghiên cứu một số tài liệu, sách, báo tham khảo có liên quan đến việc

sử dụng tọa độ vào giải phương trình, bất phương trình

- Thực nghiệm qua giảng dạy

- Trao đổi với đồng nghiệp

- Kiểm chứng qua các thông tin phản hồi của học sinh

NỘI DUNG

1 Cơ sở lí luận và cơ sở thực tiễn.

1.1 Cơ sở lí luận

Sau đây là một số kiến thức bổ trợ cho phương pháp sử dụng tọa độ để giải phương trình và bất phương trình

* Cho hai véc tơ a  (a1;a2),b (b1;b2),  là góc tạo bởi hai véctơ đó (k  R)

2 2 1 1

2 2 1 1

2 2 1 1

;

)

; (

)

; (

)

; (

b a b a b a

b k a k a k

b a b a b a

b a b a b a





















2 1 12 2 22 2

cos

a b a b

a b







* Với hai điểm A(x A;y A),B(x B;y B) thì AB (x B x A;y B  y A)

2

) (x B x A y B y A

* Khoảng cách từ điểm M(x0, y0) đến đường thẳng (): Ax +By +C = 0 là :

( ; ) 2 2

B A

C By Ax M











* Phương trình tổng quát của đường thẳng (d) đi qua điểm M(x0, y0) và nhận véctơ n(A;B) làm véc tơ pháp tuyến là: (d) : A(x – x0) + B(y – y0) = 0

* Phương trình đường tròn tâm I (a; b) bán kính R là: (x – a)2 + (y – b)2 = R 2

1.2 Cơ sở thực tiễn.

pháp tọa độ vào giải toán của học sinh còn hạn chế, đa số học sinh chưa làm quen được với phương pháp này nên còn gặp nhiều khó khăn Hướng dẫn học sinh có thói quen sử dụng phương pháp này giúp học sinh có thể giải quyết nhanh gọn các bài toán trên mà các phương pháp khác khó có thể làm được, giúp học sinh phát huy được tính sáng tạo trong học tập và góp phần làm phong phú và đa dạng thêm cho hoạt động dạy và học toán

2 Thực hiện nhiệm vụ nghiên cứu.

Giải các bài toán đại số bằng phương pháp tọa độ trong mặt phẳng

Bài 1: Cho 4 số thực x1, x2, x3, x4

Chứng minh rằng : (x12 +y12)(x22 +y22)(x1 x2+ y1 y2)2

Giải:

Trên mặt phẳng toạ độ xét 2 vectơ : a  (x1;y2),b (x1;y2)

Ta có

2 2

2

a b a b  a b  a b

Vậy (x12 +y12) (x22 +y22)(x1 x2+ y1 y2)2

đẳng thức xảy ra  x1y2 x2y1

Bài 2: Chứng minh rằng nếu x, y, z > 0 thì

x xy y  x xz z  y yz z

Giải

Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với:

Xét 3 điểm 3 3 3

( y, ) ; (0, ) ; (y z,0)

(1) AB + AC > BC

Ta có AB AC BC  với 3 điểm A, B, C bất kỳ ở đây

) 2

3

; 2 (

) 2

3

; 2 (

z z

x AC

y y x AB















Hai véctơ này không thể ngược hướng (vì hoành độ cùng âm) do đó không thể xảy ra đẳng thức AB + AC = BC

Vậy bất đẳng thức (1) được chứng minh

Bài 3 Giải bất phương trình:

2

x  x  x  x

Giải

Điều kiện x 1

Xét mặt phẳng toạ độ Oxy các vectơ: 









 ) 1

; 1 (

) 1

; 3 (

v

x x

u























3 1

.

2

) 1 (

) 3

x x

v

u

v

x x

u

Suy ra bất phương trình (1) tương đương u v u v 

5 3

0 10 7 3

1

2

























x x x x

x Vậy x = 5 là nghiệm duy nhất

Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, các vectơ:

(cos 2 ; 0 )

) 1

; (sin ) 1

; (cos 2 2

x b a x b x a















Khi đó, từ a  b a b cos 4x 1  sin 4x 1  cos 2x (đpcm)

Bài 5 Giải phương trình:

x2  2x  2 4x2  12x 25  9x2  12x 29 (1)

Giải

Trong mặt phẳng toạ độ Oxy xét các vectơ:

( 3 2 ; 5 )

) 4

; 3 2 ( ) 1

; 1 (





















x v u x v x u

2 2 2

2 2

4 12 25

9 12 29

u x x

v x x

u v x x













 

Suy ra phương trình (1) tương đương:























2 4 4

1

) 3 2 ( 1 )

0 (

x k k

x k x k

v

phương trình (1) có nghiệm duy nhất 7

2

x 

Bài 6:Tìm m để phương trình sau có nghiệm

3 x 6 x  (3x)(6 x) m

Giải

Đặt u 3x v;  6 x

Phương trình đã cho trở thành

2 2 2 2

1 10 2 (1)

u v uv m







- Phương trình (1) biểu thị 1 đường thẳng thay đổi song song với đường phân giác thứ hai, phương trình (2) biểu diễn 1 đường tròn có tâm tại góc toạ độ và bán kính bằng 3

- Hệ có nghiệm khi và chỉ khi đường thẳng (1) và đường tròn (2) có điểm chung thỏa điều kiện (3)

2

9 2 6 3 2 10

3 Giải pháp thực hiện

Trong quá trình giảng dạy, thông thường tôi thấy học sinh ít khi nghĩ đến phương pháp tọa độ để giải toán, với đối tượng là học sinh ban khoa học tự nhiên, tôi đã tìm tòi, nghiên cứu, hướng dẫn học sinh biết cách sử dụng phương pháp tọa

độ vào việc giải một số bài toán sơ cấp lớp 10, nhằm phát huy tính tích cực của học sinh, tạo điều kiện, hứng thú cho học sinh linh hoạt hơn trong việc lựa chọn các phương pháp Đa số học sinh vận dụng được phương pháp này một cách sáng tạo và giải quyết rất nhiều dạng toán với hiệu quả cao

4 Kết quả thực nghiệm

Dựa vào kết quả tôi rút ra một số nhận xét sau:

- Chất lượng bài kiểm tra của học sinh các lớp thực nghiệm 10A2 cao hơn học sinh lớp đối chứng 10A1

KẾT LUẬN

Trên đây là một số bài toán đại số và hình học trong mặt phẳng tọa độ Oxy.

Nếu khéo léo chọn hệ trục toạ độ phù hợp, vận dụng phương pháp vectơ và toạ

độ thì có thể chuyển thành bài toán đại số và tìm ra lời giải ngắn gọn, phần nào làm sáng tỏ vấn đề mà tôi đưa ra Ứng dụng của phương pháp này khá rộng, việc

sử dụng công cụ này giúp ta giải toán dễ dàng hơn, cho ra những lời giải hay hơn Chắc chắn rằng sẽ còn có nhiều bài toán mà ta có thể giới thiệu cho học sinh, nhưng do điều kiện và kinh nghiệm chưa nhiều nên tôi chỉ đưa ra một số ví dụ mà trong quá trình giảng dạy tôi đã giới thiệu cho học sinh Vì vậy rất mong được sự đóng góp của các đồng nghiệp để cho đề tài của tôi thêm hoàn chỉnh, và có thể ứng dụng cho các năm học sau

Tôi xin chân thành cảm ơn!

TÀI LIỆU THAM KHẢO

1 Bộ Giáo dục và Đào tạo ; Sách Đại số, Hình học; lớp 10 nâng cao ; Nhà xuất

bản Giáo dục

2 ThS Lê Hoành Phò, Sách bồi dưỡng học sinh giỏi toán hình học 10, NXB Đại

học quốc gia Hà Nội

3 ThS Lê Hoành Phò, Sách bồi dưỡng học sinh giỏi toán đại số 10, NXB Đại

học quốc gia Hà Nội

4 Trần Đình Thì, Phân dạng và phương pháp giải đại số 10, NXB Đại học quốc

gia Hà Nội

5 Trần Đình Thì, Phân dạng và phương pháp giải hình học 10, NXB Đại học

quốc gia Hà Nội

6 Trần Minh Quới, Nguyễn Văn Quí, Bài tập nâng cao toán 10, NXB Đà Nẵng

7 PGS TS Đậu Thế Cấp, Tuyển tập các bài toán hay và khó đại số 1, NXB Đại

học quốc gia Thành Phố Hồ Chí Minh

:

MỤC LỤC

MỞ ĐẦU 1

1 Lý do chọn đề tài 1

2 Mục đích nghiên cứu 1

3 Đối tượng phạm vi nghiên cứu 1

4 Nhiệm vụ nghiên cứu 1

5 Phương pháp nghiên cứu 2

NỘI DUNG 3

1 Cơ sở lí luận và cơ sở thực tiễn 3

1.1 Cơ sở lí luận 3

1.2 Cơ sở thực tiễn 3

2 Thực hiện nhiệm vụ nghiên cứu 4

3 Giải pháp thực hiện 7

KẾT LUẬN 8

TÀI LIỆU THAM KHẢO 9