Biến ngẫu nhiên ổn định trong R
Các định nghĩa tương đương của phân bố ổn định
Một biến ngẫu nhiên X được coi là có phân bố ổn định khi với mọi số thực dương A và B, tồn tại một số thực dương C và một hằng số D thỏa mãn điều kiện nhất định.
AX 1 +BX 2 = d CX+D, (1.1) với X 1 , X 2 là các bản sao độc lập của X.
Biến ngẫu nhiên X thỏa mãn (1.1) gọi là ổn định chặt nếu (1.1) đúng với
Biến ngẫu nhiên X được gọi là ổn định đối xứng khi phân bố của nó có tính đối xứng, tức là phân bố của X và −X là giống nhau Một biến ngẫu nhiên ổn định đối xứng cũng đồng thời là ổn định chặt Theo Định lý 1.1.2, với mỗi biến ngẫu nhiên ổn định X, tồn tại một số thực α thuộc khoảng (0,2] sao cho C trong công thức (1.1) được thỏa mãn.
Số α gọi là chỉ số ổn định, một biến ngẫu nhiên ổn địnhX có chỉ số ổn định α gọi là biến ngẫu nhiên α-ổn định.
Vớ dụ 1.1.3 Nếu X là biến ngẫu nhiờn Gaussian với trung bỡnh à và phương sai v 2 (S ∼N(à, v 2 )) thỡ X là ổn định với α= 2 Vỡ
AX 1 +BX 2 ∼ N((A+B)à,(A 2 +B 2 )v 2 ), suy ra (1.1) thỏa mãn với
C = (A 2 +B 2 ) 1 2 và D = (A+B−C)à. Định nghĩa 1.1.4 (Định nghĩa tương đương 1.1.1).
Một biến ngẫu nhiên X gọi là có phân bố ổn định nếu với ∀n ≥ 2 có số dương b n và số thực a n sao cho:
X 1 +X 2 +ã ã ã+X n = d b n X +a n , (1.3) với X 1 , X 2 , , X n là các bản sao độc lập của X.
Nếu X ổn định theo nghĩa 1.1.1 thì nó cũng ổn định theo định nghĩa 1.1.4. Điều ngược lại cũng đúng Do đó định nghĩa 1.1.1 và 1.1.4 là tương đương. Định nghĩa 1.1.5 (Tương đương 1.1.1 và 1.1.4).
Một biến ngẫu nhiên X gọi là có phân bố ổn định nếu có một dãy biến ngẫu nhiên độc lập Y 1 , Y 2 , , Y n , và hai dãy số dương {d n } và {a n } sao cho:
Y 1 +Y 2 +ã ã ã+Y n d n +a n ⇒ d X (1.4) Định nghĩa 1.1.6 (Tương đương các định nghĩa 1.1.1; 1.1.4; 1.1.5).
Một biến ngẫu nhiên X gọi là có phân bố ổn định nếu có các tham số
0 < α ≤ 2, σ ≥ 0, −1≤ β ≤ 1 và số thực à sao cho hàm đặc trưng của nú cho bởi công thức:
Tham số α gọi là chỉ số ổn định và sign(θ)
1) Hàm đặc trưng (1.5) có thể viết về dạng
2) Do hàm đặc trưng (1.5) đặc trưng bởi các tham số: α ∈ (0,2]; σ ≥ 0; β ∈ [−1,1] và à ∈ R Nờn ta ký hiệu phõn bố ổn định bởi S α (σ, β, à) và viết
X ∼S α (σ, β, à) Một số trường hợp đặc biệt: a) Phõn bố Gaussian: S 2 (σ,0, à) = N(à,2σ 2 ), với hàm mật độ f(x) = 1
2σ√ πe− (x−à) 4σ 2 2 b) Phõn bố Cauchy: S 1 (σ,0, à) với hàm mật độ f(x) = 2σ π((x−à) 2 + 4σ 2 ). c) Phân bố Levy: S1
, x ∈(à,+∞). d) Hằng số à cú thể coi là cú phõn bố S α (0,0, à) với 0< α ≤2.
Tính chất của biến ngẫu nhiên ổn định
Nếu X 1 và X 2 là cỏc biến ngẫu nhiờn độc lập, X i ∼ S α (σ i , β i , à i ), i = 1,2 thì
1 α; β = β 1 σ α 1 +β 2 α α 2 σ 1 α +σ 2 α ; à= à 1 +à 2 Chứng minh Với α6= 1 do tính độc lập ta có lnEexpiθ(X 1 +X 2 ) = lnEexpiθX 1 + lnEexpiθX 2 = −(σ 1 α +σ 2 α )|θ| α +i|θ| α sign(θ) tan πα 2
+iθ(à 1 +à 2 ). Chứng minh với α= 1 tương tự.
Nếu X ∼S α (σ, β, à), a là hằng số thực, thỡ
X ∼ S α (σ, β, à) và a là hằng số, a ∈R thỡ aX ∼ S α (|a|σ, sign(a)β, aà) nếu α6= 1, aX ∼ S 1 (|a|σ, sign(a)β, aà− 2 πa(ln|a|)σβ) nếu α= 1.
Chứng minh. ln{Eexpiθ(aX)}= −|θa| α σ α
+i(àa)θ. Với α= 1 chứng minh tương tự.
X ∼ S α (σ, β, à) là đối xứng nếu và chỉ nếu β = 0, à= 0.
X ∼ S α (σ, β, à) với α6= 1 thỡ X là ổn định chặt khi và chỉ khi à = 0.
Chứng minh ĐặtX 1 , X 2 là hai bản sao độc lập củaX, AvàB là các số dương.
1 α trong 1.1.1, bởi tính chất 1.1.2.2 và 1.1.2.3 ta có
AX 1 +BX 2 = d CX +D với D = 0 nếu và chỉ nếu à= 0.
Hệ quả 1.1.8 X ∼ S α (σ, β, à) với α6= 1 thỡ X −à là ổn định chặt.
X ∼ S 1 (σ, β, à) là ổn định chặt khi và chỉ khi β = 0.
Chứng minh GọiX 1 , X 2 là các bản sao độc lập củaX, AvàB là các số dương, bởi tính chất 1.1.2.3 và 1.1.2.1 ta có
AX 1 +BX 2 ∼S 1 ((A+B)σ, β,(A+B)à− 2 πσβ(AlnA+BlnB)) nên
Do đó D = 0 trong (1.1) nếu và chỉ nếu AX 1 +BX 2 = (A d +B)X nếu và chỉ nếu β(AlnA+BlnB) = β(A+B) ln(A+B) với mọi A > 0, B > 0
Hệ quả 1.1.9 Một biến ngẫu nhiên 1-ổn định không chặt có thể làm thành ổn định chặt bởi một phép tịnh tiến.
Hệ quả 1.1.10 Một biến ngẫu nhiên 1-ổn định chặt có thể làm thành ổn định đối xứng bởi một phép tịnh tiến.
Hệ quả 1.1.11 Một phõn bố ổn định là đối xứng quanh à nếu và chỉ nếu β = 0.
Mệnh đề 1.1.12 Cho 0 < α 0 thì biến đổi Laplace của X là
Với α < 1, và σ cố định, họ phân bố S α (σ, β,0) thỏa mãn với mọi −1 ≤ β 1 ≤β 2 ≤1, thì
P{X β 1 ≥ x} ≤ P{X β 2 ≥ x}, ∀ x ∈R. Hơn nữa S α (σ, β,0) có giá trong toàn bộ đường thẳng thực với −1< β < 1. Tính chất 1.1.2.8.
Cho X ∼ S α (σ, β,0) với 0 < α 0.
B > 0 Véc tơ X được gọi là ổn định đối xứng nếu nó ổn định và thỏa mãn
P{X ∈A}= P{−X ∈ A}, với mỗi A là tập Borel trong R d
Một véc tơ ổn định đối xứng được định nghĩa là véc tơ ổn định chặt Theo định lý 1.2.2, nếu X = (X1, X2, , Xd) là véc tơ ngẫu nhiên ổn định (ổn định chặt, ổn định đối xứng) trong R d, thì tồn tại một hằng số α thuộc khoảng (0,2] Trong công thức (1.12), C được tính bằng (Aα + Bα)^(1/α), và mỗi biểu thức tuyến tính của các thành phần của X có dạng Y d.
P k=1 b k Y k là α-ổn định (ổn định chặt, ổn định đối xứng).
Chứng minh Đặt X (1) vàX (2) là hai bản sao độc lập của X, b = (b 1 , b 2 , , b d ) là véc tơ trong R d Dặt
X k=1 b k X k (2) Thì Y 1 , Y 2 là hai biến ngẫu nhiên độc lập và là các bản sao của biến ngẫu nhiên Y.
Cố định A > 0, B > 0 do X ổn định bởi (1.12) có C > 0 và D (D 1 , D 2 , , D d ) sao cho
= CY + (b, D), với (b, D) là tích vô hướng của các véc tơ b và D trong R d Do đó Y là biến ngẫu nhiên ổn định, bởi định lý 1.1.2 tồn tại hằng số α = α(b) ∈ (0,2] sao cho
Ta chứng tỏ α không phụ thuộc b Thật vậy giả sử α 0 là chỉ số ứng với một véc tơ b 0 6= b thì:
Suy ra α= α 0 Ta có điều phải chứng minh.
Hệ quả 1.2.3 Một véc tơ ngẫu nhiên X là ổn định nếu với mỗi n ≥ 2 có α ∈(0,2] và véc tơ D n sao cho:
Một véc tơ ngẫu nhiên X trong R^d được gọi là véc tơ ngẫu nhiên α-ổn định nếu nó thỏa mãn phương trình (1.12) với C = (A α + B α) α 1, hoặc tương đương là phương trình (1.13) Trong đó, X(1), X(2), , X(n) là các bản sao độc lập của X Chỉ số α được gọi là chỉ số ổn định của véc tơ X Định lý 1.2.5 chỉ ra rằng nếu X là một véc tơ ngẫu nhiên trong R^d, thì mọi biểu thức tuyến tính Y cũng sẽ có tính chất tương tự.
P k=1 b k X k có phân bố ổn định chặt thì
X là véc tơ ngẫu nhiên ổn định chặt trong R d b) Nếu mọi biểu thức tuyến tính Y d
Nếu P k=1 b k X k có phân bố ổn định đối xứng, thì X là véc tơ ngẫu nhiên ổn định xứng trong R d Hơn nữa, nếu mọi tổ hợp tuyến tính của X đều ổn định với chỉ số ổn định lớn hơn hoặc bằng 1, thì X được coi là véc tơ ổn định trong R d.
Chứng minh Đầu tiên ta chỉ ra rằng nếu mọi biểu thức tuyến tính dạng Y b d
P k=1 b k X k = (b, X) là biến ngẫu nhiên ổn định thì chúng có cùng một chỉ số ổn định.
Thật vậy giả sử có b, c ∈ R d sao cho Y b = (b, X), Y c = (c, X) là hai biến ngẫu nhiên không suy biến, Y b có chỉ số ổn định α 1 , Y c có chỉ số ổn định α 2 ,
0 < α 1 < α 2 ≤ 2 Đặt ρ 1 , ρ 2 ∈ R ∗ , a = ρ 1 b+ρ 2 c, giả sử biến ngẫu nhiên Y a có chỉ số ổn định α 3 thì với mỗi λ > 0,
∼ constãλ −α 1 Cho λ → ∞ (Nếu α = 2 ta thay λ −α 2 bởi λ −1 exp{−λ 2 /4σ 2 }) Điều này suy ra α 3 ≤ α 1 = min(α 1 , α 2 ).
Do Y b , Y c không suy biến nên có một số thực θ 6= 0 sao cho θY b +Y c 6= 0 và
−θY b +Y c 6= 0 Đặt a (1) =θb+c, a (2) = −θb+c và α(a (1) ), α(a (2) ) lần lượt là chỉ số ổn định của các biểu thức tuyến tính Y a (1), Y a (2) ta có α(a (1) ) ≤ α 1 và α(a (2) )≤ α 1 Nhưng c = a (1) +a (2)
2 lập luận tương tự ta có α 2 ≤ min(α(a (1) ), α(a (2) ))⇒α 2 ≤ α 1
Trái với giả thiết α 1 < α 2, mọi biểu thức tuyến tính dạng (b, X) đều có cùng chỉ số ổn định Giả sử rằng tất cả các biểu thức tuyến tính (b, X) ổn định chặt và có cùng chỉ số ổn định là α Đặt A > 0 và B > 0.
1 αX, với X (1) và X (2) là các bản sao độc lập của X Chúng ta muốn chứng tỏ rằng
Các véc tơ Z và W có hàm đặc trưng giống nhau, tức là Z = d W, cho thấy rằng X là véc tơ ổn định chặt trong R d Nếu mọi biểu thức tuyến tính (b, X) là biến ngẫu nhiên ổn định đối xứng, thì từ việc biến ngẫu nhiên ổn định đối xứng cũng ổn định chặt, chúng ta kết luận rằng X là véc tơ ổn định chặt Điều này chỉ được chứng minh nếu X là véc tơ đối xứng.
Lấy b là véc tơ cố định bất kỳ trong R d Do (b, X) là biến ngẫu nhiên đối xứng nên ta có
Tức là X và −X có cùng hàm đặc trưng Do đó X = d −X nên ta có b). c) Giả sử tất cả các biểu thức tuyến tính Y d
P k=1 b k X k là biến ngẫu nhiên ổn định với chỉ số ổn định α≥1.
Với α= 1, bởi giả thiết, với mỗi b∈ R n ,
Y b = (b, X)∼ S 1 (σ(b), β(b), à(b)), (1.14) với σ(b) ≥ 0, β(b)∈ [−1,1], à(b)∈ R Nếu σ k , β k , à k lần lượt ký hiệu thay cho σ(b), β(b), à(b), với b = (0, ,0,1,0, ,0) (tọa độ thứ k là số 1, cỏc tọa độ khỏc là 0) ta có
X k ∼ S 1 (σ k , β k , à k ), k = 1,2, , d. Đặt X (1) , X (2) , là các bản sao độc lập của X, với n≥1,
− 2 π(lnn)(σ×β), (1.15) với σ×β = (σ 1 β 1 , σ 2 β 2 , , σ d β d ) Theo tính chất 1.1.2.1, 1.1.2.3 và 1.1.2.2
Do đó phân bố của S k (n) không phụ thuộc vào n, dãy {S k (n) , n ≥ 1} là chính quy, tức là thỏa mãn với mỗi ε > 0, tồn tại một tập bị chặn [a, b] sao cho
Do đó dãy véc tơ {S (n) , n ≥ 1} là chính quy nên nó chứa một dãy con hội tụ yếu tới độ đo xác suất trong R d
Tương tự (b, S (n i ) ) hội tụ yếu với mỗi véc tơ b= (b 1 , b 2 , , b d )∈R d Nhưng (1.14), (1.15) suy ra
! (1.16) Để (b, S (n i ) ) hội tụ yếu, hệ số của lnn bằng 0 tức là ta có σ(b)β(p)− d
(1.14), (1.15) và (1.17) dẫn đến (b, S (n) ) = (b, X), với d ∀b ∈ R d , n ≥ 1 Do đó X = d S (n) , ∀ n≥ 1.
X thỏa mãn (1.13) với α = 1 và do đó X là một véc tơ ngẫu nhiên 1-ổn định Tương tự ta chứng minh được cho trường hợp 1 < α≤ 2 Đặt
! Đến đây cho n→ ∞ suy ra n 1−1/α → ∞ta được điều phải chứng minh.
- Cách chứng minh phần c) không áp dụng được cho trường hợp 0< α < 1 bởi vì khi n→ ∞ ⇒n 1−1/α →0.
- Đối với trường hợp 0 < α 1 thì quá trình {X(t), t∈ G} là α-ổn định nếu và chỉ nếu mọi biểu thức tuyến tính dạng (1.22) là α-ổn định.
Ví dụ: Quá trình ngẫu nhiên α-ổn định chuyển động Levy {X(t), t ≥0}gọi là chuyển động Levy α-ổn định nếu thỏa mãn:
(2) X có số gia độc lập tức là với 0 ≤ t 1 ≤ t 2 ≤ ≤ t n thì các biến ngẫu nhiên X(t 2 )−X(t 1 ), X(t 3 )−X(t 2 ), , X(t n )−X(t n−1 ) độc lập.
Biến ngẫu nhiên Poisson
Một biến ngẫu nhiên X gọi là có phân phối Poisson với tham số λ (λ > 0) nếu với mỗi k ∈ {0,1,2, } ta có
Ta ký hiệu X ∼ P oisson(λ) Từ đó ta có E(X) = λ và V ar(X) = λ Và hàm đặc trưng của X là:
Mệnh đề 1.4.1 Nếu X 1 , X 2 , là dãy biến ngẫu nhiên độc lập, với X i ∼
Chứng minh Do mỗi i ∈ {1,2, }, P(X i ≥ 0) = 1, suy ra k
X i là dãy tăng theo k, suy ra X ≡
X i là tồn tại Theo định lý hội tụ đơn điệu
Nên X hữu hạn h.c.c Với k ≥ 1 thì
P i=1 λ i = ∞ thì P{X ≤ n} = 0 với mỗi n ≥ 0 hay P{X < ∞} = 0. Suy ra X ∼ P oisson(∞).
Hệ quả 1.4.2 NếuX 1 , X 2 , là dãy biến ngẫu nhiên độc lập,X i ∼ P oisson(λ i ) thì ∞
Tổng Poisson của các biến ngẫu nhiên Bernoulli
Một biến ngẫu nhiên Y gọi là một biến ngẫu nhiên có phân phối Bernoulli với tham số p ∈ (0,1] Ta ký hiệu Y ∼ Bernoulli(p) nếu P{Y = 1} = p và
Mệnh đề 1.4.3 Cho N ∼ P oisson(λ) và giả sử Y 1 , Y 2 , là dãy biến ngẫu nhiên độc lập, Y j ∼Bernoulli(p), p ∈(0,1] Nếu N độc lập với các Y i thì
Chứng minh Với mỗi θ ∈R ta có
P j =1 θ j y j Y = (Y 1 , Y 2 , , Y m ) với các Y j độc lập và Y j ∼ P oisson(λ j ) thì hàm đặc trưng của Y là:
Mệnh đề 1.4.4 Cho N ∼ P oisson(λ) Giả sử Y 0 , Y 1 , độc lập và là các biến ngẫu nhiên R m -giá trị sao cho P{Y k = e j } = p j , j ∈ {1,2, , m} trong đó m
Y k Nếu N độc lập với Y k thì
X 1 , X 2 , , X m là các biến ngẫu nhiên độc lập và X j ∼ P oisson(λp j ).
Chứng minh Với mọi θ ∈R m ta có:
Từ đó ta có X 1 , , X m là độc lập và X j ∼ P oisson(λp j ).
Tích phân đối với độ đo ngẫu nhiên ổn định
Ta gọi (Ω,F, P) là không gian xác suất cơ bản, (E, ε, m) là không gian đo, β : E →[−1,1] là hàm đo được Đặt T là họ các hàm f thỏa mãn f : E → R 1 sao cho
T là không gian tuyến tính.
Trong chương này, chúng tôi giới thiệu hai phương pháp để định nghĩa tích phân ổn định cho các hàm thuộc tập T Phương pháp đầu tiên là xem tích phân ổn định như một quá trình ngẫu nhiên {I(f), f ∈ T} Phương pháp thứ hai liên quan đến việc xác định cấu trúc của tích phân ổn định.
Định nghĩa tích phân ổn định như một quá trình ngẫu nhiên ổn định
trình ngẫu nhiên ổn định
Cho f 1 , f 2 , , f d ∈ T ta định nghĩa độ đo xác suất P f 1 ,f 2 , ,f d trong R d bởi hàm đặc trưng sau.
Ta chứng minhΦ f 1 , ,f d (θ 1 , , θ d )là hàm đặc trưng của độ đo xác suất trong
R d Đầu tiên ta giả sử α6= 1 ta đặt E + = {x∈ E : d
Chú ý rằng m 1 là độ đo hữu hạn trong (E + , ε) do f k ∈ L α (E, ε, m) với k = 1, , d, d
Ta thực hiện phép đổi biến s i = g i (x) (trong tích phân đầu) và s i = −g i (x) (trong tích phân sau) Ta được Φ f 1 , ,f d (θ 1 , , θ d ) = exp
2 m 1 (dx), với A là tập Borel trong S d và g −1 (A) = {x ∈ E : (g 1 (x), , g d (x)) ∈ A} Chứng tỏ rằng (2.1) là hàm đặc trưng của một α-ổn định trong R d
Chứng tỏ rằng (2.1) là hàm đặc trưng của α-ổn định trong R d khi α = 1.
Chú ý rằng mỗi hoán vị (π(1), , π(d)) của (1,2, , d) ta có: Φ f π(1) , ,f π(d) (θ π(1) , , θ π(d) ) = Φ f 1 , ,f d (θ 1 , , θ d ).
Theo định lý Kolmogorov mở rộng, có một quá trình ngẫu nhiên {I(f), f ∈
T} có phân bố hữu hạn chiều cho bởi (2.1).
I(f) gọi là tích phân α-ổn định của f Độ đo m gọi là độ đo điều khiển và hàm β gọi là độ lệch.
Các tính chất của tích phân α-ổn định
Cho các hàm khả tích f 1 , f 2 , , f d ∈T, các tích phân I(f 1 ), I(f 2 ), , I(f d ) có cùng α-ổn định với cùng hàm đặc trưng cho bởi (2.1) Hơn nữa, chúng cùng SαS nếu β = 0.
Cho hàm f khả tớch Thỡ I(f)∼ S α (σ f , β f , à f ) với σ f
Nếu f 1 và f 2 là các hàm khả tích, thì
I(a 1 f 1 +a 2 f 2 ) = a 1 I(f 1 ) +a 2 I(f 2 ) h.c.c, với a 1 , a 2 là các số thực.
Chứng minh Ta chứng minh
Với số thực θ ta có
Định nghĩa cấu trúc của tích phân ngẫu nhiên ổn định
Độ đo ngẫu nhiên α-ổn định
Ký hiệu (Ω,F,P) đại diện cho không gian xác suất cơ bản, trong khi L0(Ω) là tập hợp các biến ngẫu nhiên thực được xác định trên không gian này Đặt (E,ε,m) là không gian đo và β: E → [−1,1] là một hàm đo được Tập hợp ε0 được định nghĩa là {A ∈ ε : m(A) < ∞} Định nghĩa 2.2.1 nêu rõ rằng một hàm tập σ-cộng tính M: ε0 → L0(Ω) phải thỏa mãn các điều kiện nhất định.
(i)A 1 , A 2 , , A k ∈ε 0 đôi một không giao nhau thìM(A 1 ), M(A 2 ), , M(A k ) độc lập.
Gọi là một Độ đo ngẫu nhiênα-ổn định trong (E, ε)với độ đo điều khiển m và độ lệch β.
Hàm tậpM : ε 0 →L 0 (Ω) gọi làσ-cộng tính tức là: nếuA 1 , A 2 , , A k , ∈ ε 0 và đôi một không giao nhau và
Ta có một quá trình ngẫu nhiên {M(A), A ∈ ε 0 } và sử dụng mở rộng của quá trình ngẫu nhiên {I(f), f ∈ T} đã được thiết lập trong mục 2.1 Đặt M(A) = I(1 A) với A ∈ ε 0, dựa vào sự mở rộng của quá trình ngẫu nhiên {M(A), A ∈ ε 0 } với phân bố hữu hạn chiều, bao gồm các phần tử A 1, A 2, , A d ∈ ε 0 và θ 1, θ 2, , θ d ∈ R.
Do đó M thỏa mãn (ii), ta chứng tỏ M thỏa mãn (i) Thật vậy nếu các tập
A 1 , A 2 , , A d ∈ ε 0 không giao nhau và θ 1 , θ 2 , , θ d ∈ R từ (2.2) ta có,
Suy ra M(A 1 ), M(A 2 ), , M(A d ) độc lập Trường hợp α = 1 chứng minh tương tự.
Tính cộng tính hữu hạn suy ra từ tính chất tuyến tính củaIvà d
Ta chứng minh M là σ-cộng tính Lấy A 1 , A 2 , ∈ ε 0 , B ∞
Bởi tính chất cộng tính hữu hạn ta có n
X j =n+1 m(A j )< ∞ (do m là độ đo σ-cộng tính).
M(A j )−→ P 0 suy ra M là σ-cộng tính. Định nghĩa 2.2.2 Độ đo ngẫu nhiên α-ổn định M gọi là độ đo ngẫu nhiên SαS nếu độ lệch β = 0.
Ví dụ 2.2.3 M là độ đo ngẫu nhiên α-ổn định trong ([0,∞), B) với độ đo điều khiển Lebesgue và β(x) = β, 0 ≤x τ, với τ là nghiệm của phương trình tlnt= e −1 và ta có ψ(y)≥y|lny| với mỗi y >0 (2.11)
|θ(x)(ln |θ(x)|)β(x)|m(dx) hữu hạn bởi (2.2), (2.3).
Theo định lý hội tụ bị chặn có
Và bởi (2.10) à n,m → 0 khi n, m → ∞ tức là dóy I(f (n) ) hội tụ theo xỏc suất Ta định nghĩa
I(f) =p lim n→∞I(f (n) ). Định nghĩa này không phụ thuộc vào việc chọn dãy f (n) Thật vậy nếu hai dãy f (n) và g (n) hội tụ tới f và cùng thỏa mãn (2.8) và (2.9) Ta đặt h (n) (f (m) khi n= 2m, g (m) khi n= 2m−1.
Từ I(h(n)) prop → I(h), chúng ta có thể kết luận rằng các giới hạn của I(f(n)) và I(g(n)) là giống nhau Sự hội tụ theo xác suất dẫn đến sự hội tụ theo phân bố, do đó chúng ta có mệnh đề sau.
Mệnh đề 2.2.4 Cho σ f , β f , à f định trong (2.6), (2.7) và (2.8) thỡ
Chúng ta chứng tỏ rằng I(f) là tuyến tính Lấy f ∈ T, g ∈ T và {f (n) }, {g (n) } là hai dãy hàm đơn giản thỏa mãn (2.9) và (2.10) Đặt h = af +bg và h (n) (n) +bg (n) với a, b ∈R,
{h (n) } là dãy hàm đơn giản h (n) (x) n→∞ −→ h(x) với mỗi x và
Vậy ta chứng minh xong tính chất tuyến tính của I.
Từ tính tuyến tính của I và mệnh đề 2.2.4 ta có
Mệnh đề 2.2.5 Với mỗif 1 , , f d trongT, hàm đặc trưng của véc tơ(I(f 1 ), , I(f d )) được cho bởi (2.1).
Véctơ (I(f 1 ), , I(f d )) được xác định là α-ổn định, và cấu trúc của tích phân ổn định tương đương với định nghĩa tích phân ổn định như một quá trình ngẫu nhiên ổn định (mục 2.1) Do đó, ta có mệnh đề sau:
Mệnh đề 2.2.6 Với mỗi f 1 , f 2 , , f d ∈ T, véc tơ ngẫu nhiên (I(f 1 ), , I(f d )) là α-ổn định với độ đo phổ Γ cho bởi Γ(A) Z g −1 (A)
Trong đó A là tập Borel trong S d và m 1 (dx) d
Khi α6= 1 thỡ à 0 = 0 và khi α= 1 thỡ à 0 j = −1 π
Tính chất của tích phân đối với độ đo ngẫu nhiên ổn định
Với M là độ đo ngẫu nhiên α-ổn định với độ đo điều khiển m và độ lệch β thì (i) Nếu α6= 1 thì p lim j →∞X j = X ⇔ lim j→∞
(ii) Nếu α= 1 thì p lim j→∞X j =X ⇔ lim j→∞
(2.14) Chứng minh Ta có p lim j→∞X j =X ⇔p lim j→∞(X j −X) = 0.
Do tính chất tuyến tính của tích phân và mệnh đề 2.2.4 có
Hơn nữa hội tụ p lim j→∞X j = X tương đương với hội tụ của dãy {σ j , j 1,2, } và dóy {à j , j = 1,2, } tới 0.
Với M là một SαS độ đo ngẫu nhiên (1< α ≤ 2) và độ đo điều khiển m thì:
Chứng minh Sử dụng mở rộng độ đo phổ Γ của (X 1 , X 2 ) cho mệnh đề 2.2.6, ta có
1) Ta có thể có (2.15) bằng con đường sau: Giả sử f 1 (x) n
Do tính độc lập của M(A 1 ), M(A 2 ), , M(A n ) nên
Chú ý rằng [M(A i ), M(A j )] α = 0 nếu i khác j và
Với mọi f 1 , f 2 ∈ L α (m), xấp xỉ f 1 , f 2 bởi các hàm đơn giản trong mục 3.4, sử dụng bất đẳng thức Holder ta có
< ∞, áp dụng định lý hội tụ đơn điệu ta được kết quả.
E f 2 (x)M(dx)tương đương với điều kiện
Có thể xảy ra trong trường hợp m{support(f 1 )∩support(f 2 )} >0 (2.18) Định lý 2.3.3 Đặt
Trong bài viết này, chúng ta xem xét hai tích phân E f 2 (x)M(dx) với độ đo ngẫu nhiên α-ổn định M, trong đó 0 < α < 2 và độ đo điều khiển m Hai biến ngẫu nhiên X 1 và X 2 sẽ độc lập nếu và chỉ nếu tích f 1 (x)f 2 (x) bằng 0 m-hc.c trong E Để chứng minh điều này, giả sử α khác 1, thì X 1 và X 2 sẽ độc lập nếu và chỉ nếu điều kiện này được thỏa mãn cho mọi θ 1, θ 2 thuộc R.
Cân bằng phần thực ta có
|f 2 (x)| α m(dx), với mọi θ 1 , θ 2 ∈ R điều này tương đương với f 1 (x)f 2 (x) = 0 m-h.c.c (2.21)
Điều kiện (2.21) không chỉ là điều kiện cần mà còn là điều kiện đủ cho tính độc lập của X1 và X2, vì nó dẫn đến việc phần ảo của (2.19) và (2.20) bằng nhau.
E f j (x)M(dx), j = 1,2, , d cùng α-ổn định Chúng độc lập nhau nếu và chỉ nếu f k 1 (x)f k 2 (x) = 0 m-h.c.c trong E với mọi tập {k 1 , k 2 } ⊂ {1,2, , d}.
Để chứng minh tính độc lập của các biến ngẫu nhiên X1, X2, , Xd, ta cần chỉ ra rằng mọi biểu thức tuyến tính của tập hợp {Xj, j ∈ J} là độc lập với mọi biểu thức tuyến tính của tập hợp {Xj, j ∈ Jc}, trong đó J là một tập con của {1, 2, , d} Áp dụng định lý 2.3.3, chúng ta có thể khẳng định điều cần chứng minh.
Mệnh đề 2.3.5 Gọi M m và M ν là hai độ đo ngẫu nhiên α-ổn định với
0 < α≤ 2, α6= 1, hoặc hai độ đo ngẫu nhiên S1S, với độ lệch như nhau và với độ đo điều khiển m và ν tương ứng, thỏa mãn: m(dx) ν(dx) = (r(x)) α , x ∈E.
Chứng minh Đặt β(x) (x ∈ E) là độ lệch của độ đo ngẫu nhiên M m và M ν
Ta có cả hai vế của (2.22) là α-ổn định chặt với cùng tham số
, và cùng tham số lệch
Chú ý: Kết luận của mệnh đề không tổng quát, nếu α = 1 và M m không ổn định đối xứng thì tham số chuyển của vế trái (2.22) là
E f(x)β(x) ln|f(x)|m(dx), không nhất thiết bằng tham số chuyển của vế phải của (2.22).
Bây giờ ta chuyển sang định lý về biểu diễn.
Phân bố hữu hạn chiều của véc tơ α-ổn định đặc trưng bởi độ đo phổ trong
S d và vộc tơ chuyển à 0 (định lý 2.3.3) Cho một vộc tơ α-ổn định (X 1 , , X d ) ta muốn tìm một không gian đo (E, ε), tìm một độ đo ngẫu nhiên α-ổn định
M xác định trên đó, tìm một dãy hàm đo được f 1 , , f d và một véc tơ hằng η ∈ R d sao cho
Tiếp theo là định lý cho thấy điều này luôn xảy ra. Định lý 2.3.6 (Định lý biểu diễn trong R d )
Cho X1, , Xd là các biến ngẫu nhiên cựng α-ổn định trong R d với độ đo phổ Γ và vọc tơ chuyển à 0 Đặt (E, ε) = (Sd, σ-đại số Borel trong Sd), M là độ đo ngẫu nhiên với độ đo điều khiển m = Γ và độ lệch β(ã) ≡ 1 Các hàm fj : Sd → R được xác định bởi fj(s1, , sd) = sj, với j = 1, , d, và η = à 0.
(ii) Nếu X 1 , , X d có cùng SαS, có các hàm đo được bị chặn f 1 , , f d sao cho
M là độ đo ngẫu nhiên SαS với độ đo điều khiển m(dx) = dx Nếu các biến ngẫu nhiên X1, , Xd có cùng α-ổn định chặt với α khác 1, thì tồn tại các hàm đo được bị chặn f1, , fd.
, với M là độ đo ngẫu nhiên α-ổn định, với độ đo điều khiển m(dx) = dx và độ lệch β(x) = 1.
(iv) Nếu α= 1 thì có các hàm đo được bị chặn f 1 , , f d sao cho
, trong đó M là độ đo ngẫu nhiên 1-ổn định với độ đo điều khiển m(dx) = dx, độ lệch β(x) = 1 và η j = 1 π
Chúng ta chỉ cần chứng minh phần (i) của đề bài Để chứng minh công thức (2.24), ta sẽ áp dụng mệnh đề 2.3.5, trong đó hàm đặc trưng của vế trái và vế phải là giống nhau Đặc biệt, khi α = 1, véc tơ chuyển của vế trái sẽ bằng
Chứng minh (ii)-(iv) trong [11].
Hệ quả 2.3.7 Cho X 1 , X 2 , , X d có cùng α-ổn định Nếu chúng đôi một độc lập thì chúng độc lập.
Chứng minh Theo chứng minh định lý 2.3.6 không giảm tổng quát ta có thể giả sử rằng
0 f k (x)M(dx), k = 1,2, , d, với M là độ đo ngẫu nhiên α-ổn định với độ do điều khiển Lebesgue và β ≡1. Theo định lý 2.3.3 có các tập Borel rời nhau A 1 , , A d sao cho
Hàm đặc trưng đồng thời của X 1 , X 2 , , X d là
1 − isign(θ k f k (x)) tan πα 2 dx khi α 6= 1 exp
Suy ra X 1 , X 2 , , X d là độc lập.
Ví dụ
Ví dụ 2.4.1 (Chuyển động SαS Levy) Đặt
M(dx), t≥ 0, với M là SαS trong[0,∞)với độ đo điều khiển m(dx) = dx, thì X(0) = 0h.c.c
Các thành phần của véc tơ ngẫu nhiên độc lập tạo thành quá trình {X(t), t ≥ 0} bắt đầu từ 0, với số gia độc lập và phân bố SαS Hơn nữa, quá trình {X(t), t ≥ 0} được xác định là chuyển động Levy α - ổn định.
Ví dụ 2.4.2 Trung bình trượt (Moving averages)
Cho f là một hàm đo được trong R 1 thỏa mãn
−∞ f(t−x)M(dx), t ∈R 1 , (2.25) với M là SαS với độ đo điều khiển Lebesgue m(dx) = dx Quỏ trỡnh X(ã) trong (2.25) gọi là quỏ trỡnh SαS trung bỡnh trượt X(ã) là dừng vỡ với mỗi t 1 , t 2 , , t d , h∈ R và θ 1 , , θ d ∈ R ta có
Ví dụ 2.4.3 Quá trình Ornstein-Uhlenbeck
Cho λ > 0 và M là một SαS độ đo ngẫu nhiên, 0 < α ≤ 2 với độ đo điều khiển Lebesgue.
−∞ e −λ(t−x) M(dx), −∞< t < ∞ gọi là quá trình Ornstein-Uhlenbeck Nó luôn xác định bởi vì t
X(t) là quá trình trung bình trượt với f(x) = e −λx 1 [0,∞) (x), −∞< x 0 và M là một SαS độ đo ngẫu nhiên, 0 < α ≤ 2 với độ đo điều khiển Lebesgue Quá trình
Z t e −λ(x−t) M(dx), −∞< t < ∞ luôn xác định và gọi là quá trình Ornstein-Uhlenbeck ngược.
Sử dụng lập luận tương tự như ví dụ trước chúng ta kết luận rằng quá trình Ornstein-Uhlenbeck ngược cũng là một quá trình Markov.
Khi α = 2, tất cả các quá trình dừng Markov trở thành quá trình Ornstein-Uhlenbeck, điều này có nghĩa là quá trình Ornstein-Uhlenbeck và quá trình Ornstein-Uhlenbeck ngược là giống nhau Tuy nhiên, khi 0 < α < 2, hai quá trình này trở thành khác nhau Nếu X1 và X2 lần lượt là quá trình Reverse Ornstein-Uhlenbeck và Ornstein-Uhlenbeck ngược, ta có thể cố định s < t và áp dụng công thức (2.25).
|1 +e −2λ(t−s) | 1/2 α#) Độ đo phổ Γ 1 của SαS véc tơ ngẫu nhiên (X 1 (s), X 1 (t)) cho bởi Γ 1 = 1
Tương tự, độ đo phổ Γ 2 của SαS véc tơ ngẫu nhiên (X 2 (s), X 2 (t)) cho bởi Γ 2 = 1
Do Γ 1 6= Γ 2 , từ tính duy nhất của độ đo phổ suy ra (X 1 (s), X 1 (t)) khác (X 2 (s), X 2 (t)), quá trình Ornstein-Uhlenbeck và quá trình Ornstein-Uhlenbeck ngược là khác nhau với 0< α < 2.
Ví dụ 2.4.5 Chuyển động Levy tuyến tính cân bằng phân thứ (Well- balanced linear fractional Levy motion)
Cho M là một SαS, 0< α ≤2 với độ đo điều khiển Lebesgue và thỏa mãn
Quá trình X(t) được định nghĩa bởi công thức (|t−x| H−1/α − |x| H−1/α )M(dx), với t thuộc khoảng (-∞, ∞) và 0 < H < 1, H khác 1/α Đây là chuyển động Levy tuyến tính cân bằng phân thứ, có hai đặc tính quan trọng: tính tự tương đồng với tham số H và áp dụng cho mọi c > 0 cùng với các t 1, , t d thuộc R.
(X(ct 1 ), , X(ct d )) = (c d H X(t 1 ), , c H X(t d )), và nó là dừng, với mỗi τ ∈ R,
Tích phân đối với độ đo ngẫu nhiên Poisson
Độ đo ngẫu nhiên Poisson
Cho (E, ε) là một không gian đo, ν là một độ đo σ-hữu hạn trên ε Đặt
N(E) là họ các độ đo đếm trên E tức là N(E) là tập các độ đo γ thỏa mãn γ : ε→N, γ
X n=1 γ(A n ), A n ∈ ε, A i ∩A j = ∅ nếu i6= j. ξ là biến ngẫu nhiên N(E)-giá trị trong không gian xác suất (Ω,F, P), mỗi ω ∈Ω, ξ(ω,ã) ∈N(E) tức là mỗi ω ∈ Ω, ξ(ω,
X n=1 ξ(ω, A n )∈N với các tập A 1 , A 2 , ∈ ε dời nhau Và với mỗi A ∈ ε, ξ(A) là một biến ngẫu nhiên giá trị trong NS
Định nghĩa 3.1.1 mô tả một biến ngẫu nhiên ξ, được gọi là độ đo ngẫu nhiên Poisson với giá trị trung bình ν, nếu thỏa mãn hai điều kiện: i) Đối với mỗi tập hợp A trong ε, biến ngẫu nhiên ξ(A) tuân theo phân phối Poisson với tham số ν(A); ii) Nếu A1, A2, là các tập hợp trong ε và không giao nhau, thì các biến ngẫu nhiên ξ(A1), ξ(A2), là độc lập với nhau.
Để xác định phân bố của ξ khi ξ tồn tại, chúng ta sẽ chứng minh rằng ξ tồn tại với ν hữu hạn, và sau đó sẽ chứng minh ξ tồn tại với ν − σ hữu hạn.
Mệnh đề 3.1.2 Giả sử ν là độ đo trên (E, ε) sao cho ν(E)< ∞, khi đó tồn tại độ đo ngẫu nhiên Poisson với độ đo trung bình ν.
Chứng minh Trường hợp ν(E) = 0 là hiển nhiên, ta giả sử ν(E) ∈ (0;∞) N là biến ngẫu nhiên Poisson xác định trong không gian xác suất (Ω,F, P) với
E[N] = ν(E) Đặt X 1 , X 2 , là các biến ngẫu nhiên độc lập E − giá trị sao cho mỗi A∈ε có
P{X j ∈A}= ν(A) ν(E) và N độc lập với X j ta xác định ξ bởi công thức ξ(A) N
P k=0 δ X k và với mỗi x∈ E, δ x là độ đo Dirac tại x.
Rõ ràng mỗiω thì ξ là độ đo đếm trongE Để chứng tỏ rằngξ là độ đo ngẫu nhiên Poisson ta cần chỉ ra rằng nếu A 1 , A 2 , , A m ∈ ε, rời nhau và m
A i = E thì ξ(A 1 ), , ξ(A m ) là độc lập và ξ(A j ) ∼ P oisson((ν(A j ))) Xét véc tơ ngẫu nhiên R m − giá trị
DoA 1 , A 2 , , A m phủ E Vì N và X j độc lập nên N và Z j độc lập và do đó
Bởi mệnh đề 3.1.2 ta kết luận rằngξ(A 1 ), ξ(A 2 ), , ξ(A m )là biến ngẫu nhiên độc lập và ξ(A i )∼ P oisson(ν(A i )).
Mệnh đề 3.1.3 Giả sử ν 1 , ν 2 , là dãy độ đo hữu hạn trong ε, ν ∞
P i=1 ν i là σ hữu hạn, với k = 1,2, đặt ξ k là độ đo ngẫu nhiên với độ đo trung bình ν k , giả sử rằng ξ 1 , ξ 2 , là độc lập thì ξ n
P k=1 ξ k là độ đo ngẫu nhiên Poisson với độ đo trung bình ν.
Mệnh đề 3.1.2 chứng minh rằng với mỗi j ≥ 1, tồn tại một không gian xác suất (Ω j, F j, P j) và một độ đo ngẫu nhiên Poisson ξ j trong không gian này với độ đo trung bình ν j Hơn nữa, chúng ta sẽ xem xét không gian tích (Ω, F, P) để phân tích thêm các đặc điểm của các không gian xác suất này.
Biến ngẫu nhiên X i xác định trong (Ω i ,F i , P i ) có thể được xem như biến ngẫu nhiên trong (Ω,F, P) với X i (ω) = X i (ω i ) Đối với A∈ε và i ≥1, ξ i (A) tuân theo phân phối Poisson với tham số ν i (A) Hơn nữa, nếu A 1 , A 2 , thuộc ε, thì các biến ngẫu nhiên ξ 1 (A 1 ), ξ 2 (A 2 ), là độc lập với nhau Cuối cùng, ξ(A) có thể được biểu diễn trong giới hạn vô cùng.
Đo lường ngẫu nhiên Poisson P i=1 ξ i (A) có độ đo trung bình ν Các khái niệm a) và b) được xác định dựa trên định nghĩa Đối với c), cần lưu ý rằng ξ là độ đo đếm trong ε cho mỗi điểm ω.
Hơn nữa từ a) và b) và hệ quả 1.3.2 ta có ξ(A)∼ P oisson(ν(A)).
Giả sử B1, B2, ∈ ε và các biến ngẫu nhiên ξ1(B1), ξ2(B1), , ξ1(B2), ξ2(B2), , ξ1(Bn), ξ2(Bn), là độc lập Từ đó, có thể kết luận rằng ξ(B1), ξ(B2), cũng là độc lập, và do đó ξ được coi là một độ đo ngẫu nhiên với độ đo trung bình ν.
Giả sử ν là độ đo σ hữu hạn, bởi định nghĩa, tồn tại các tập rời nhauE i sao cho
Với mỗi i≥ 1, xét độ đo ν i xác định trong ε bởi công thức ν i (A) = ν(A∩E i ).
Mỗi độ đo ν i là hữu hạn và ν ∞
P i=1 ν i bởi mệnh đề 3.1.3 ta có kết luận sau:
Hệ quả 3.1.4 Giả sử ν là độ đo σ-hữu hạn trong ε, tồn tại một độ đo ngẫu nhiên Poisson với độ đo trung bình ν.
Tích phân đối với độ đo ngẫu nhiên Poisson
Trong không gian xác suất (Ω,F,P), với (E,ε) là không gian đo và ν là độ đo σ-hữu hạn, ξ được định nghĩa là độ đo ngẫu nhiên Poisson với độ đo trung bình ν Đối với mỗi ω thuộc Ω, ξ(ω,ã) biểu thị độ đo đếm trong ε.
Nếu f : E −→R là hàm đo được với
|f|dν 1}, do đó f ∈ L 1,0 (ν) ⇔ cả hai biểu thức trong vế phải của đẳng thức trên là hữu hạn.
Mệnh đề 3.3.2 Với metric d, không gian các hàm đơn giản trù mật trong
L 1,0 (ν) Tức là: mỗi f ∈ L 1,0 (ν) tồn tại một dãy hàm đơn giản {f n } sao cho
|f n | ≤ f với mọi n và f n −→f hội tụ điểm và hội tụ theo metric d.
Chứng minh Lấy f ∈L 1,0 (ν), giả sử f ≥ 0, đặt f n (x) n2 n −1
Suy ra {f n } là dãy tăng, không âm, hội tụ điểm tới f và range (f n ) là hữu hạn với mọi n Do đó:
Do lim n→∞(f −f n )∧1 = 0 nên theo định lý hội tụ bị chặn ta có n→∞lim d(f, f n ) = 0, với mọi f ∈ L 1,0 (ν).
Viết f = f + −f − , xác địnhf n + và f n − trong (3.2), f n =f n + −f n − Do L 1,0 (ν) là không gian tuyến tính và d là một metric d(f, f n )≤ d(f + , f n + ) +d(f − , f n − ).
Giả sử rằng hàm f thuộc L 1,0 (ν), theo mệnh đề 3.3.2, tồn tại một dãy các hàm đơn giản f n hội tụ tới f với metric d Tuy nhiên, từ mệnh đề 3.3.1 với a = 1, ta nhận thấy rằng với mọi m, n và b > 0, có những đặc điểm cần lưu ý.
Ta kết luận là {X f n } là dãy Cauchy theo xác suất, do đó tồn tại một biến ngẫu nhiên X f sao cho
Giới hạn này không phụ thuộc vào việc lựa chọn dãy hàm đơn giản hội tụ tới hàm f Do đó, với mỗi hàm f thuộc L 1,0 (ν), X f được xác định và phù hợp với định nghĩa X f khi hàm f thuộc L 1 (ν).
Trước khi tiếp tục, chúng ta xem xét trường hợp tổng quát hơn không gian
Từ mệnh đề 3.3.1 chúng ta có thể xét không gian
Tuy nhiên L 1,a (ν) = L 1,0 (ν) và metric tương ứng là d a (f, g) Z
Mệnh đề 3.3.3 Nếu f ∈ L 1,0 (ν) thì với ∀θ ∈ R,
Chứng minh Đầu tiên ta xét hàm đơn giảnf Không mất tính tổng quát, chúng ta có thể viết f n
X j=1 c j 1 A j , với ν(A j )< ∞, ∀j ∈ {1,2, , n} và A 1 , A 2 , , A n dời nhau Do ξ(A 1 ), ξ(A 2 ), , ξ(A n ) độc lập và ξ(A j ) ∼
Trường hợp tổng quát có được bằng các xấp xỉ f bởi dãy hàm đơn giản{f n } theo mệnh đề 3.3.2 và lưu ý rằng cả hai vế của đẳng thức
hội tụ theo định lý hội tụ bị chặn.
Độ đo ngẫu nhiên Poisson quy tâm
ξ là một độ đo ngẫu nhiên Poisson với độ đo trung bình ν Chúng ta định nghĩa độ đo ngẫu nhiên quy tâm của ξ bởi ξ(A) =e ξ(A)−ν(A), A ∈ ε, ν(A)0 với c >0 và 0 < α 0 sao cho
Và từ định lý hội tụ bị chặn ta có điều phải chứng minh.
Luận văn đã hệ thống hóa các vấn đề cơ bản về Tích phân đối với độ đo ngẫu nhiên ổn định và độ đo ngẫu nhiên Poisson Đối với Tích phân với độ đo ngẫu nhiên ổn định, tác giả đã trình bày định nghĩa về độ đo ngẫu nhiên ổn định và tích phân I(f) với các hàm thuộc tập T, bắt đầu từ định nghĩa cho các hàm đơn giản f ∈ T.
Xét một hàm f thuộc tập T, ta có thể xấp xỉ f bằng một dãy các hàm đơn giản {f(n)} thuộc T, nhờ vào tính trù mật của không gian các hàm đơn giản trong T Từ đó, ta chứng minh rằng dãy {I(f(n))} hội tụ theo xác suất, từ đó định nghĩa được các tính chất liên quan.
Một phương pháp khác để định nghĩa tích phân ngẫu nhiên ổn định là xem nó như một quá trình ngẫu nhiên ổn định Điều này được trình bày trong luận văn chính nhằm chứng minh rằng định nghĩa độ đo ngẫu nhiên ổn định là có tồn tại.
Luận văn trình bày một cách hệ thống các tính chất cơ bản của tích phân với độ đo ngẫu nhiên ổn định, bao gồm các chứng minh và nhận xét quan trọng, đặc biệt là các Mệnh đề 2.3.2, Định lý 2.3.3 và Định lý biểu diễn 2.3.6 Đối với tích phân liên quan đến độ đo ngẫu nhiên Poisson, phương pháp được trình bày tương tự như định nghĩa tích phân ngẫu nhiên với độ đo ngẫu nhiên ổn định Hơn nữa, luận văn còn mở rộng tích phân đối với độ đo ngẫu nhiên Poisson cho các hàm thuộc L 1,0 (ν) và cũng đề cập đến độ đo ngẫu nhiên Poisson quy tâm cùng với tích phân tương ứng.