skkn rèn luyện năng lực giải toán cho học sinh bằng pp vec tơ và pp tọa độ trong chương trình hình học 10

ở mức độ này, PPVT dựa vàođối tượng có bản chất hình học là lớp những đường thẳng định hướng tương đương, trên đóđịnh nghĩa các phép toán đại số như phép cộng véc tơ, phép nhân véc tơ vớ

TS BÙI VĂN NGHỊ

Chương 1

PHƯƠNG PHÁP VÉC TƠ VÀ PHƯƠNG PHÁP TOẠ ĐỘ

TRONG CHƯƠNG TRÌNH HÌNH HỌC LỚP 10

1.1 Sơ lược về PPVT , PPTĐ và vấn đề đưa chúng vào trong chương trình THPT

Hình học là một ngành Toán học ra đời từ xa xưa với một lượng kiến thức rất lớn Chúng takhông thể đưa hết khối lượng kiến thức đó vào dạy học cho HS, vì vậy phải có sự chọn lọc mộtcách khoa học, hợp lí về mặt ND kiến thức cũng như về PP học tập, nghiên cứu Hơn nữa, khi

XD ND chương trình đảm bảo tính hiện đại để HS làm quen dần với Toán học cao cấp và nhanhchóng tiếp cận với các thành tựu khoa học mới Chình vì vậy, trong chương trình hình học ởphổ thông hiện nay nhiều kiến thức cơ sở hình học trước đây đã được thu gọn, và bổ sung vào

đó là các PPVT và PPTĐ

1.1.1 PPVT

Một trong những khái niệm nền tảng của toán học hiện đại là véc tơ khái quát của nó là Ten xơ.Việc sử dụng rộng rãi khái niệm véc tơ trong các lĩnh vực khác nhau của Toán học, cơ học cũngnhư kĩ thuật, đã làm cho khái niệm véc tơ ngày càng PT Giữa thế kỉ XIX trong các công trìnhcủa W.R Hamiltơn (1805- 1865), A.F.Mobiles (1790-1868), khái niệm véc tơ đã được sửdụng để nghiên cứu các tính chất của không gian 3 chiều và nhiều chiều Cuối thế kỉ XIX, đầuthế kỉ XX, phép tính véc tơ đã được PT và ứng dụng rộng rãi Nhiều lí thuyết đã ra đời như đại

số véc tơ, giải tích véc tơ, lí thuyết trường, giải tích ten xơ, lí thuyết tổng quát về không gianvéc tơ nhiều chiều Các lí thuyết này đã được sử dụng để XD thuyết tương đối- lí thuyết đóngvai trò rất quan trọng trong vật lí hiện đại Cũng trên cơ sở véc tơ người ta đã XD các phân mônđại số tuyến tính, hình học giải tích, hình học vi phân Việc sử dụng véc tơ để nghiên cứu hìnhhọc đã hình thành nên một phương pháp gọi là phương pháp véc tơ.

Trong lịch sử toán học, việc sử dụng PPVT để nghiên cứu hình học đã chia thành 2 mức độ.Mức độ 1: Đại số hoá hình học bằng phương pháp véc tơ Phương pháp này cho phép trực tiếpthực hiện các phép toán, nghiên cứu các mối quan hệ ngay trên đối tượng hình học mà khôngthông qua lĩnh vực số như trong PPTĐ Tức là không cần phải toạ độ hoá các hình mà vẫn giảiđược các bài toán hình học thông qua các phép toán trên véc tơ ở mức độ này, PPVT dựa vàođối tượng có bản chất hình học là lớp những đường thẳng định hướng tương đương, trên đóđịnh nghĩa các phép toán đại số như phép cộng véc tơ, phép nhân véc tơ với một số

ở mức độ này, hình học được xây dựng theo PPVT vẫn cho phép khai thác trực giác các hìnhảnh hình học trong không gian vật lí 3 chiều khi giải toán với việc sử dụng những kĩ thuật củađại số véc tơ ở giai đoạn này, vec tơ mang bản chất: Hình học- đại số Trong các SGK dùngtrong nhà trường phổ thông nếu xây dựng hình học bằng PPVT đều đi theo hướng này

Mức độ 2: Hình học trong không gian vật lí 3 chiều là một mô hình của cấu trúc đại số Mức độnày xuất hiện khi có cấu trúc không gian véc tơ trừu tượng, trong đó các véc tơ được hiểu là cácphần tử của tập hợp nào đó thoả mãn các tiên đề trong định nghĩa không gian véc tơ Khái niệmvéc tơ ở mức độ 1 chỉ là một trường hợp đặc biệt khi phần tử của tập hợp là lớp các đoạn thẳngđịnh hướng tương đương Mỗi phần tử trong không gian véc tơ được gọi là một véc tơ, do đóvéc tơ có thể là một số thực (trong R- không gian véc tơ R) hay có thể là một đa thức (trong Rkhông gian véc tơ K[x] các đa thức một biến x, )

Từ không gian véc tơ ta xây dựng các không gian như không gian afin, không gian ơclit,không gian xạ ảnh, sử dụng các kết quả trong không gian trừu tượng đó trong mô hình cụ thể

ta nhận được nhiều kết quả của hình học thông thường Ví dụ: Trong hình học afin ta có kếtquả: “ Trong không gian afin n chiều, một m – phẳng nằm ngoài một siêu phẳng nếu cắt siêuphẳng đó thì sẽ cắt theo một (m-1) phẳng” Kết quả này khi không gian afin là mặt phẳng thông

thường ta nhận được kết quả sau: “ Trong mặt phẳng, hai đường thẳng phân biệt nếu cắt nhauthì chỉ cắt tại một điểm”

1.1.2 Phương pháp toạ độ

Nếu như hình học đã có từ thời Oclit (thế kỉ thứ III trước CN) thì mãi đến năm 1931, Rơ nê ĐềCác (1596-1650) – Một nhà triết học kiêm vật lí học và toán học người Pháp đã khám phá ranhững nguyên lí của môn hình học giải tích Ông đã dùng đại số để đơn giản hình học cổ điển.Trong phần cuối công trình triết học lớn của mình, xuất bản năm 1637, ông đã trình bày vềPPTĐ và những ứng dụng của PP này trong việc giải toán hình học

PT tư tưởng của Đề Các, môn hình học giải tích đã ra đời và cung cấp cho chúng ta phươngpháp nghiên cứu hình học bằng công cụ đại số Sự ra đời của PPTĐ đã lập được MQH mật thiếtgiữa hai ngành khác nahu của Toán học, đó là hình học và đại số Người ta xem đây là một cuộc

CM trong Toán học, vì nó giúp cho toán học nói chung và hình học nói riêng thoát ra khỏi cái

tư duy cụ thể của không gian vật lí để đạt tới những đỉnh cao của sự trừu tượng và khái quát.Mặt khác, PPTĐ dùng trong các không gian một chiều, hai chiều và ba chiều có thể mở rộngcho không gian n chiều Thật vậy, khi khái niệm “ Chiều” theo nghĩa Vật lí được trừu tượng hoá

và mở rộng, ta được “chiều” theo nghĩa Toán học Và như vậy ta được khái niệm không gian nchiều và ta có thể nghiên cứu hình học của các không gian đó, chẳng hạn như không gian véc tơ

n chiều, không gian afin, không gian oclit n chiều, Trong các không gian n chiều đó, các kháiniệm đường thẳng , mặt phẳng đã được khái quát thành khái niệm m- phẳng với 1  m  n-1.Với PPTĐ người ta có thể đại số hoá hình học bằng cách thay thế các đối tượng và các quan hệhình học bằng những quan hệ đại số, thông qua trung gian là một hệ toạ độ Ví dụ: Trong mặtphẳng với hệ toạ độ Đề các vuông góc cho trước, điểm được biểu diễn là một cặp số có thứ tự(x, y); đường thẳng được biểu diện là tập hợp các điểm (x ,y) thoả mãn phương trình Ax + By +

C = 0, trong đó A, B là các số không đồng thời bằng 0; tổng quát hơn, một đường thẳng bất kìtrong mặt phẳng được biểu diễn bằng phương trình f(x, y) = 0 Giao điểm của hai đường thẳng

có phương trình Ax + By + C = 0 và A’x + B’y + C’ = 0 được biểu diễn bằng tập nghiệm của hệphương trình:

mà không dựa vào hình vẽ Ví dụ: Trong mặt phẳng muốn xác định vị trí tương đối của haiđường thẳng nào đó, rồi tìm nghiệm của hệ gồm hai phương trình vừa tìm được Tuỳ theo hệphương trình vô nghiệm, có nghiệm duy nhất hay vô số nghiệm ta kết luận được hai đườngthẳng song song, cắt nhau tại một điểm hay trùng nhau.

Nói tóm lại, với PPTĐ ta có thể thay những đối tượng, những tính chất hình học thành nhữngbiểu thức và phương trình đại số, chuyển bài toán hình học thành bài toán đại số và làm việcthuần tuý trong lĩnh vực đại số ở đây, phép toán đại số là hạt nhân của phép giải toán và vềnguyên tắc nó thoát khỏi trực giác hình học

1.1.3 Vấn đề đưa PPVT và PPTĐ vào chương trình THPT ở nước ta

Như đã trình ở trên, PPVT và PPTĐ là các PP cơ bản của toán học Những PP này không chỉcung cấp cho HS các công cụ mới để nghiên cứu hình học mà chúng còn có tính chất hiện đạihơn và mang nhiều ưu điểm so với PP truyền thống Vì vậy, trong chương trình cải cách GDchúng ta đã đưa PPVT và PPTĐ vào dạy trong chương trình HH lớp 10 và lớp 12

Việc đưa PPVT và PPTĐ vào chương trình THPT ở nước ta nói riêng và nhiều nước trên TGnói chung dựa vào các lí do cơ bản sau:

- PPVT và PPTĐ cho phép tiếp cận những kiến thức toán phổ thông một cách nhanh chóng,tổng quát, đôi khi không cần đến hình vẽ Mặt khác, chúng có tác dụng tích cực PT tư duy trừutượng, năng lực phân tích, tổng hợp,

- Hai PP này trang bị những công cụ giải toán, có thể xây dựng lí thuyết hình học chặt chẽ theotinh thần toán học hiện đại, đồng thời trình bày được các cách đại số hoá hình học và hình họchoá đại số

- Việc sử dụng PPVT và PPTĐ góp phần mở rộng nhãn quang toán học, góp phần PT năng lựcgiải toán cho HS, như tạo khả năng cho HS làm quen với những phép toán trên các đối tượng

không phải là các số, những lại có những tính chất tương tự Điều đó sẽ dẫn đến sự hiểu biết vềtính thống nhất của Toán học, về các phép toán Đại số, các cấu trúc đại số.

- Việc học hai PP này tạo điều kiện thực hiện MQH giữa môn toán và một số môn khác trongchương trình phổ thông Ví dụ như việc sử dụng thành thạo các phép toán trên các véc tơ sẽgiúp cho HS học bộ môn vật lí tốt hơn

- Hiện nay, nhiều bộ môn toán ở bậc Cao đẳng , Đại học được XD trên c/s véc tơ và PPTĐ nhưhình học giải tích, đại số tuyến tính, hình học vi phân, hình học xạ ảnh, Vì thế, việc nắm vữnghai PP này ở phổ thông sẽ tạo điều kiện thuận lợi cho HS tiếp tục một cách không đột ngộtchương trình Toán ở các trường Cao Đẳng, Đại Học hoặc không khó khăn lắm khi tiếp cận vớimột số thông tin về khoa học, kĩ thuật hiện đại

Hiện nay trường trung học c/s HS được học hình học bằng PP tổng hợp và bắt đầu làm quenvới hệ toạ độ Đề các vuông góc ở trường THPT HS được học véc tơ và toạ độ từ lớp 10 đếnlớp 12 Theo chương trình hiện hành, ở lớp 10 bắt đầu đề cập đến véc tơ và mở đầu về toạ độtrong mặt phẳng Tiếp đó sử dụng công cụ mới này và PP toán học mới-PPVT để khảo sát các

hệ thức đối với tam giác, đối với đường tròn và ứng dụng một phần để nghiên cứu một số phépbiến hình (phép tịnh tiến, phép vị tự, )

Đến lớp 11 HS học hình học không gian bằng PP tổng hợp ở lớp 12 HS tiếp tục được nghiêncứu HHP và HHKG bằng PPTĐ với ND là: PPTĐ trong mặt phẳng, véc tơ trong không gian,PPTĐ trong không gian

Như vậy, trong chương trình hình học ở trường phổ thông hiện nay, PPVT và PPTĐ được xem

là những PP toán học cơ bản được kết hợp cùng với PP tổng hợp để nghiên cứu những đốitượng và quan hệ hình học ở trên mặt phẳng và trong không gian

1.2 Cơ sở lí luận của PPVT và PPTĐ đê giải các bài toán hình học phẳng

1.2.1 Không gian véc tơ:

* Không gian véc tơ: (Xem sách ĐSTT)

1.2.2 Các hệ toạ độ trong mặt phẳng:

a Hệ tọa độ afin (hay còn gọi là hệ toạ độ xiên)

* Hệ toạ độ afin:

Hệ toạ độ afin gồm một điểm gốc O và 2 véc tơ cơ sở e e1, 2

 

* Toạ độ afin của một điểm trong mặt phẳng:

Với mọi véc tơ u bất kì trong mặt phẳng ta có một cặp duy nhất (x, y) sao cho u xe 1ye 2

.Cặp số (x, y) đó được gọi là toạ độ của véc tơ u đối với hệ toạ độ afin { ; , }O e e1 2



* Phương trình của đường thẳng trong hệ toạ độ afin của mặt phẳng:

Trong mặt phẳng cho hệ toạ độ afin { ; , }O e e1 2

b Hệ toạ độ Đề các vuông góc (hay hệ toạ độ trực chuẩn)

* Định nghĩa: Trong mặt phẳng hệ toạ độ afin { ; , }O e e1 2



trở thành một hệ toạ độ Đề các vuônggóc nếu e1 e2 1

+ u  v (x1x y2, 1y2)

+ mu(mx mx1, 2);mR

+ Điểm M gọi là chia đoạn AB theo tỉ số k nếu MA kMB

hệ toạ độ Đề các vuông góc cần chú ý thêm:

- Đường thẳng có PT tổng quát Ax + By + C = 0 nhận véc tơ n( , )A B là véc tơ pháp tuyến

- Ngoài các dạng của dạng phương trình đường thẳng đã được trình bày trong hệ toạ độ afin,trong hệ toạ độ Đề các vuông góc đường thẳng còn có một dạng phương trình khác nữa là PTpháp dạng của đường thẳng Đó là phương trình dạng véc tơ pháp tuyến là véc tơ đơn vị

* Vị trí tương đối của các đường thẳng trong mặt phẳng: Hai đường thẳng Ax + By + C = 0 vàA’x + B’y + C’ = 0

+ Vuông góc với nhau khi và chỉ khi AA’ + BB’ = 0

+ Song song với nhau khi và chỉ khi

- Chùm đường thẳng là họ tất cả các đường thẳng cùng đi qua một điểm cố định, gọi là đỉnh củachùm.

- Nếu đỉnh của chùm là giao điểm của hai đường thẳng Ax + By + C = 0 và A’x + B’y + C’ = 0thì ta có PT của chùm:

 (Ax + By + C) +  (A’x + B’y + C’) = 0, trong đó ,  không đồng thời bằng 0

* Tính góc trong hệ toạ độ Đề các vuông góc:

* Tính khoảng cách với hệ toạ độ Đề các vuông góc:

1.2.3 Tính bất biến trong mặt phẳng toạ độ:

có toạ độ MN (x2 – x1, y2 – y1) và với hệ toạ

độ (2) véc tơ cũng có toạ độ MN(x’2 – x’1, y’2 – y’1)

b Tính bất biến trong hệ toạ độ Đề các vuông góc:

Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Đề các vuông góc thì các kết quả của tích vô hướng, khoảngcách giữa hai điểm, khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng, không phụ thuộc vào việcchọn hệ toạ độ Đề các vuông góc

1.3 ND của chương trình HH 10

1.3.1 Nhiệm vụ dạy học HH 10

Cấp học THPT là một cấp học có nhiệm vụ nâng cao và hoàn chỉnh trình độ văn hoá phổ thông,tạo nguồn để HS tiếp tục học ở các trường Đại học, Cao đẳng, trung học chuyên nghiệp, trườngdạy học nghề hoặc có thể đi ngay vào SX

Chương trình HH 10 đảm nhận các nhiệm vụ cơ bản sau:

1 Bổ sung và hoàn thiện một số kiến thức về HHP như:

- Khái niệm về véc tơ và toạ độ

- Hệ thức lượng trong tam giác và trong đường tròn

- Hệ thống lại các phép dời hình và phép đồng dạng.

2 Tiếp tục rèn luyện và phát triển tư duy lô gíc, trí tưởng tượng không gian , kĩ năng vận dụngkiến thức HH vào việc giải toán, vào hoạt động thực tiễn, vào việc học tập các bộ môn khác.1.3.2 Những chú ý khi giảng dạy HH 10

Từ năm 2000- 2001, các trường THPT trong cả nước đã dùng chung một bộ sách giáo khoachỉnh lí hợp nhất đã sử dụng từ năm 1990 Để giảng dạy tốt chương trình HH 10 trước hết GVphải hiểu rõ lí do phải chỉnh lí hợp nhất SGK

Trong các buổi thảo luận về SGKT phổ thông, ý kiến chung đều cho rằng ND của SGKT phảigồm những vấn đề cơ bản nhất của bộ môn Toán, đáp ứng được những đòi hỏi của khoa học,của đời sống XH và phải không lạc hậu nhiều so với các nước tiên tiến Qua 10 năm sử dụng,SGKT đã bộc lộ những ưu, khuyết điểm của nó, trong đó có một số ND lại được khai thác quásâu cho mục đích luyện thi vào đại học và Cao đẳng

Bộ SGKT chỉnh lí hợp nhất vẫn bao gồm những kiến thức cơ bản như trong 3 bộ SGK trướcđây, nhưng có một số ND được điều chỉnh bằng 3 PP sau:

- Loại bỏ những kiến thức không thật cơ bản

- Giảm những yếu tố có tính chất kinh viện, học thuật, tăng cường các yếu tố thực hành Chẳnghạn, bỏ những bài toán có ử dụng cách CM quá phức tạp, tìm các PP tiếp cận đơn giản tuy cóphải hy sinh phần nào tính chính xác khoa học, lựa chọn thêm các VD minh hoạ,

- Đề cao các yếu tố sư phạm như: Thống nhất các kí hiệu và thuật ngữ dùng trong sách, chú ýtính mẫu mực của các VD hay bài giải mẫu, số lượng bài tập ra vừa phải và với những yêu cầuthích hợp, bỏ qua bài tập quá khó Trên tinh thần đó, có những điều chỉnh quan trọng sau đâyliên quan đến HH 10: Vận dụng véc tơ để giải toán HH là một ND rất hay, có tính rèn luyện tưduy tốt nhưng cũng rất khó và mất nhiều thời gian, do đó, trong sách mới không đề cao yêu cầunày Véc tơ trong HH 10 có vai trò là đối tượng nghiên cứu nhiều hơn là công cụ nghiên cứu.Nói khác đi, các bài tập về dùng véc tơ để giải toán HH sẽ chỉ còn rất hạn chế Vấn đề vậndụng các hệ thức lượng trong các hình để giải tam giác và giải các bài toán thực tế được coitrọng hơn nhằm tăng cường những yếu tố thực hành Yêu cầu về các phép biến hình trong mặtphẳng, một vấn đề khó không những đối với người học mà còn cả đối với người dạy là không đisâu vào các vấn đề quá trừu tượng mà đi thẳng vào các phép biến hình cụ thể, bỏ qua các khái

niệm tích các phép biến hình tuy có nói tới việc thực hiện liên tiếp hai phép biến hình Các bàitập cũng chỉ tập trung vào việc nhận biết các phép biến hình mà không yêu cầu cao về vận dụngbiến hình trong giải toán.

Với tinh thần trên, trong SGK HH 10 ND được trình bày theo đề cương sau:

Chương 1: Véc tơ

Chương 2: Hệ thức lượng trong tam giác và trong đường tròn

Chương 3: Các phép dời hình và phép đồng dạng

1.3.3 Mục đích yêu cầu của PPTĐ và PPVT trong chương trình HH 10

Trong chương trình HH 10 HS được học về véc tơ, các phép toán trên các véc tơ, sau đó làtrục, hệ trục toạ độ, toạ độ của điểm, toạ độ của véc tơ và một vài ứng dụng quan trọng đơn giảncủa PPTĐ Chẳng hạn, các hệ thức lượng trong tam giác và trong đường tròn được xây dựngnhờ véc tơ cùng các phép toán, đặc biệt là tích vô hướng của hai véc tơ; phép vị tự được địnhnghĩa theo một đẳng thức véc tơ,

Các yêu cầu tối thiểu đối với HS về chủ đề véc tơ là:

- Về kiến thức cơ bản: nắm dược khái niệm véc tơ, hai véc tơ bằng nhau, hai véc tơ đối nhau,véc tơ không; quy tắc ba điểm (còn gọi là quy tắc tam giác), quy tắc hình bình hành; quy tắctrung điểm, định nghĩa và tính chất của phép cộng, phép trừ, phép nhân véc tơ với một số thực,tích vô hướng của hai véc tơ

- Về kĩ năng cơ bản: Biết dựng một véc tơ bằng véc tơ cho trước, biết lập luận hai véc tơ bằngnhau; vận dụng quy tắc hình bình hành, quy tắc ba điểm để dựng véc tơ tổng và giải một số bàitoán; biết xác định số thực k đối với hai véc tơ cùng phương ,a b  sao cho bka ; vận dụng tínhchất cơ bản của tích vô hướng, đặc biệt để xác định điều kiện cần và đủ của hai véc tơ khác véc

tơ không vuông góc với nhau; vận dụng tổng hợp kiến thức về véc tơ để nghiên cứu một sốquan hệ hình học như: tính thẳng hàng của 3 điểm, trung điểm của đoạn thẳng, trọng tâm củatam giác, giao điểm hai đường chéo hình bình hành,

Mức độ các yêu cầu tối thiểu về chủ đề toạ độ là:

- Về kiến thức cơ bản: Định nghĩa hệ trục toạ dộ Đề các vuông góc trên mặt phẳng, sự tươngứng 1-1 giữa tập hợp các cặp số thực (x, y) với tập hợp các điểm của mặt phẳng toạ độ

- Về kĩ năng cơ bản: Phân tích một véc tơ theo hai véc tơ khác 0 không cùng phương cho trước;xác định toạ độ của một véc tơ trên mặt phẳng toạ độ và xác định một véc tơ biết toạ độ của nó;vận dụng tổng hợp kiến thức về toạ độ để tính toạ độ của một điểm khi biết toạ độ của một sốđiểm khác có quan hệ hình học với điểm này như: tính toạ độ trung điểm của đoạn thẳng theohai đầu mút của nó, tính toạ độ trọng tâm của tam giác khi biết các toạ độ của ba đỉnh tamgiác,

1.4 Xung quanh khái niệm năng lực giải toán

4.4.1 Nguồn gốc của năng lực

Cuộc tranh luận gay gắt và kéo dài từ cuối thế kỉ 19 đến nay về bản chất và nguồn gốc của nănglực, tài năng vẫn chưa kết thúc Hiện nay đã có xu hướng thống nhất trên một số quan điểm cơbản, quan trọng về lí luận cũng như về thực tiễn:

+ Một là, những yếu tố bẩm sinh, di truyền là điều kiện cần thiết ban đầu cho sự phát triển nănglực Đó là điều kiện cần nhưng chưa đủ (động vật bậc cao sống với người hành ngàn năm vẫnkhông có năng lực như con người vì chúng không có các tư chất bẩm sinh di truyền làm tiền đềcho sự phát triển năng lực)

+ Hai là, năng lực con người có nguồn gốc XH, LS Muốn một người của thế hệ sau được PTtrong TG tự nhiên, XH đã được các thế hệ trước cải tạo, XD và để lại các dấu ấn đó trong môitrường VH-XH Con người khi lọt lòng mẹ đã có sẵn các tố chất nhất định cho sự PT các nănglực tương ứng, nhưng nếu không có môi trường XH thì cũng không PT được (chẳng hạn một

Tóm lại, ngày nay khoa học cho rằng năng lực, tài năng là hiện tượng có bản chất nguồn gốcphức tạp XH, các tố chất và hoạt động của con người tương tác qua lại với nhau để tạo ra cácnăng lực, tài năng Vậy đào tạo có hiệu quả nhất là đưa HS vào các dạng hoạt động thích hợp

Người ta thường phân biệt ba trình độ của năng lực:

+ Năng lực là tổng hoà các kĩ năng, kĩ xảo

+ Tài năng là một tổ hợp các năng lực tạo nên tiền đề thuận lợi cho hoạt động có kết quả cao,những thành tích đạt được này vẫn nằm trong khuôn khổ của những thành tựu đạt được của XHloài người

+ Thiên tài là một tổ hợp đặc biệt các năng lực, nó cho phép đạt được những thành tựu sáng tạo

mà có ý nghĩa lịch sử vô song

Khi nói đến năng lực phải nói đến năng lực trong loại hoạt động nhất định của con người Nănglực chỉ nảy sinh và quan sát dược trong hoạt động giải quyết những yêu cầu đặt ra

1.4.3 Năng lực Toán học

Theo V.A.Krutetxki thì khái niệm năng lực Toán học sẽ được giải thích trên hai bình diện:+ Như là các năng lực sáng tạo (khoa học)- các năng lực hoạt động toán học tạo ra được các kếtquả, thành tựu mới, khách quan và quý giá

+ Như là các năng lực học tập giáo trình phổ thông, lĩnh hội nhanh chóng và có kết quả cao cáckiến thức, kĩ năng, kĩ xảo tương ứng

Như vậy, năng lực học toán là các đặc điểm tâm lí cá nhân (trước hết là các đặc đitueejhoatjđộng trí tuệ) đáp ứng được các yêu cầu của hoạt động học toán và tạo điều kiện lĩnh hội cáckiến thức, kĩ năng, kĩ xảo trong lĩnh vực toán học tương đối nhanh, dễ dàng và sâu sắc trongnhững điều kiện như nhau

1.4.4 Năng lực giải toán

Là đặc điểm tâm lí cá nhân của con người đáp ứng được yêu cầu của hoạt động giải toán, và làđiều kiện cần thiết để hoàn thành tốt hoạt động giải toán đó

Thông thường, một người được coi là có năng lực giải toán nếu người đó nắm vững tri thức, kĩnăng, kĩ xảo của hoạt động giải toán và đạt được kết quả tốt hơn, cao hơn so với trình độ trungbình của những người khác cũng tiến hành hoạt động giải toán đó trong những điều kiện vàhoàn cảnh tương đương.

Các thành phần của năng lực giải toán gồm: năng lực phân tích tổng hợp; năng lực khái quáthoá; năng lực suy luận lô gic; năng lực rút gọn quá trình suy luận; năng lực tư duy linh hoạt;năng lực tìm ra lời giải hay; năng lực tư duy thuận nghịch; trí nhớ toán học, Để nghiên cứunăng lực giải toán của HS qua việc giải các bài toán thực nghiệm, không những chỉ cần nghiêncứu kết quả giải toán mà còn phải nghiên cứu cả quá trình suy luận để giải ra bài toán

Để rèn luyện năng lực giải toán cho HS, phương pháp tốt nhất là đưa ra một hệ thống bài tậpnhằm giúp cho HS nắm vững tri thức, PT tư duy, hình thành kĩ năng, kĩ xảo ứng dụng toán họcvào thực tiễn

Trong phạm vi luận văn, việc XD hệ thống bài tập HHP có sử dụng công cụ véc tơ và toạ độ,nhằm bồi dưỡng và rèn luyện cho HS những năng lực giải toán trên

 ý nghĩa, vai trò tác dụng của hệ thống bài tập:

+ ý nghĩa: ở trường phổ thông, dạy toán là dạy hoạt động toán học Đối với HS có thể xemviệc giải toán là hình thức chủ yếu của hoạt động toán học Việc giải bài toán có nhiều ýnghĩa (theo cuốn PPDH toán ở trường THCS-NXBGD-1998- Hoàng Chúng)

1 Đó là hình thức tốt nhất để củng cố, đào sâu, hệ thống hoá kiến thức và rèn luyện kĩ năng.Trong nhiều trường hợp, giải bài toán là một hình thức rất tốt để dẫn dắt HS tự mình đi đếnkiến thức mới

2 Đó là một hình thức vận dụng những kiến thức đã học vào những vấn đề cụ thể, vào thực

Căn cứ vào vị trí và ý nghĩa của PPVT và PPTĐ trước tiên phải nhằm bồi dưỡng một sốnăng lực toán học cho HS Theo V.A.Krutexki, cấu trúc năng lực toán học của HS có thểtóm tắt thành 9 yếu tố chủ yếu là:

1 Năng lực tri giác hình thức hoá tài liệu toán học, năng lực nắm cấu trúc hình thức của bàitoán

2 Năng lực tư duy logic trong lĩnh vực các quan hệ số lượng và không gian, hệ thống kí hiệu

số và dấu, năng lực tư duy bằng các kí hiệu toán học

3 Năng lực khái quát hoá nhanh chóng và rộng rãi các đối tượng quan hệ toán học và cácphép toán

4 Năng lực rút gọn quá trình suy luận toán học và hệ thống các phép toán tương ứng, nănglực tư duy bằng các cấu trúc được rút gọn

5 Tính linh hoạt của các quá trình tư duy trong hoạt động toán học

6 Khuynh hướng vươn tới tính rõ ràng, đơn giản, tiết kiệm hợp lí của lời giải

7 Năng lực nhanh chóng và dễ dàng sửa lại phương hướng của quá trình tư duy, năng lựcchuyển từ tiến trình tư duy thuận sang tiến trình tư duy đảo (trong suy luận toán học)

8 Trí nhớ toán học , tức là trí nhớ khái quát về các quan hệ toán học, đặc điểm về loại, các

sơ đồ suy luận và CM, về các PP giải toán, nguyên tắc, đường lối giải toán

9 Khuynh hướng toán học của trí tuệ

+ Các chức năng của hệ thống bài tập:

Hệ thống bài tập có các chức năng sau:

[1] Chức năng dạy học: Giúp cho HS củng cố những tri thức, kĩ năng ,kĩ xảo ở những giaiđoạn khác nhau của quá trình dạy học; làm sáng tỏ và khắc sâu những vấn đề lí thuyết Thugọn, mở rộng bổ sung cho lí thuyết trên c/s thường xuyên hệ thống hoá kiến thức mà nhấnmạnh phần trọng tâm của lí thuyết Đặc biệt hệ thống bài tập còn mang tác dụng GD kĩ thuậttổng hợp thể hiện qua việc giúp HS:

i) Rèn luyện kĩ năng tính toán, sử dụng đồ thị, bảng biến thiên

ii) Thói quen đặt vấn đề một cách hợp lí, ngắn gọn, tiết kiệm thời gian và PP tư duy

[2] Chức năng GD: Giúp HS hình thành thế giới quan duy vật biện chứng, niềm tin phẩmchất đạo đức của con người lao động mới, rèn luyện cho HS đức tính kiên nhẫn, chính xác

chu ddaostrong học tập, từng bước nâng cao hứng thú học tập môn toán, PT trí thông minh,sáng tạo.

[3] Chức năng PT: Giúp HS ngày càng nâng cao khả năng độc lập suy nghĩ, rèn luyện cácthao tác tư duy như phân tích, tổng hợp, suy diễn, quy nạp, tương tự, Thông thạo một số PPsuy luận toán học, biết phát hiện và giải quyết vấn đề một cách thông minh, sáng tạo

[4] Chức năng Kiểm tra: Thông qua hệ thống bài tập, GV có thể kiểm tra, đánh giá kết quảhọc tập của HS trong quá trình dạy học Kiểm tra, đánh giá nhằm cung cấp cho GV và HSnhững thông tin về kết quả dạy học: về tri thức, Kĩ năng, năng lực giải toán và hiệu quả dạyhọc của GV

1.5 Những khó khăn của HS khi giải toán HHP bằng PPVT và PPTĐ:

1.5.1 Những điều cần lưu ý khi dạy véc tơ và toạ độ trong HH lớp 10

Như đã trình bày ở trên, ngay từ chương đầu tiên chúng ta đã trình bày cho HS các kháiniệm hoàn toàn mới: đó là véc tơ, các phép toán trên véc tơ và hệ trục toạ độ Đề các vuônggóc Các khái niệm này được sử dụng trong trong toàn bộ ND của HH 10, và chúng còn tiếptục lặp lại và mở rộng thêm ở lớp 12

Lần đầu tiên HS được làm quen với một đối tượng mới là véc tơ, mà trên đó vẫn có các phépcộng, trừ, nhân như là đối với các số Mặt khác các phép toán trên các đối tượng mới lại cónhiều tính chất tương tự như đối với các số Chẳng hạn phép cộng các véc tơ cũng có tínhchất giao hoán, kết hợp, các quy tắc rút gọn, chuyển vế,

Bởi vậy điều quan trọng là GV cần làm cho HS nắm chắc được bản chất của các khái niệmđược đưa ra và vận dụng chúng một cách đúng đắn Người GV phải hết sức lưu ý trong việcdạy cho HS về véc tơ và toạ độ ngay trong các tiết dạy lí thuyết Điều đó chuẩn bị những c/sban đầu cho HS để họ có thể dùng véc tơ và toạ độ làm phương tiện sau này để chuyểnnhững khái niệm hình học cùng những mQH giữa các đối tượng hình học sang những kháiniệm đại số và quan hệ đại số Từ đó giải được các bài toán HHP bằng PPVT và PPTĐ.Một trong những biện pháp giúp cho HS nắm chắc các khái niệm là GV phải soạn ra các hệthống câu hỏi nắm chắc các khái niệm là GV phải soạn ra hệ thống câu hỏi và lựa chọn cácbài tập thích hợp nhằm củng cố các khái niệm mới cho HS VD: Sau khi có khái niệm véc tơ

và sự bằng nhau của hai véc tơ, ta có câu hỏi đầu tiên: Cho tam giác ABC Có thể xác định

bao nhiêu véc tơ khác véc tơ không mà có điểm đầu và đỉêm cuối là một trong các đỉnh A,

B, C ? Câu trả lời dường như khá đơn giản: Có 6 véc tơ Tuy nhiên nếu GV hỏi trong 6 véc

tơ đó có những véc tơ nào bằng nhau hay không ? thì buộc HS phải suy nghĩ để tìm ra câutrả lời đúng Và trong quá trình đó HS hiểu và ghi nhớ ngay được khái niệm hai véc tơ bằngnhau

Điều quan trọng để HS có thể sử dụng PPVT và PPTĐ giải toán HHP là chuyển ngôn ngữvéc tơ sang ngôn ngữ toạ độ và ngược lại Do đó trong khi dạy học, GV phải liên hệ những

sự kiện hình học mà HS đã được học ở các lớp dưới với những điều đang học, từ đó diễn tảchúng bằng ngôn ngữ véc tơ hay ngôn ngữ toạ độ và ngược lại Nói cách khác là cần phảirèn luyện cho HS biết cách chuyển đổi giữa các ngôn ngữ một cách thành thạo Khi đó mộtbài toán hình học nói chung HS được trang bị 3 công cụ để giải Còn vấn đề sử dụng PP nào

để giải các bài toán hình học cụ thể đạt hiệu quả hơn chúng tôi sẽ đề cập đến ở các chươngtrình sau

1.5.2 Những khó khăn của HS lớp 10 khi giải bài toán hình học bằng PPVT và PPTĐ.

Như chúng ta đã biết PPVT và PPTĐ là những PP hiện đại có nhiều tiện lợi trong việc giảicác bài tập hình học Tuy vậy khi sử dụng các PP này HS vẫn gặp phải một số khó khăn vàkhông tránh khỏi những sai lầm trong khi giải toán hình học 10 Trong phần này chúng tôi

đề cập đến một số khó khăn và sai lầm mà HS thường gặp

+ Khó khăn thứ nhất mà HS gặp phải đó là lần đầu tiên làm quen với một đối tượng mới làvéc tơ và các phép toán trên các véc tơ Các phép toán trên các véc tơ lại có nhiều tính chấttương tự như đối với các số mà HS đã được học trước đó, do đó vì HS chưa hiểu rõ đượcbản chất của các khái niệm và các phép toán nên dễ ngộ nhận và mắc sai lầm trong khi sửdụng PPVT

+ Khó khăn thứ hai khi sử dụng PPVT và PPTĐ là do thoát li hình ảnh trực quan, hình vẽnên khó tưởng tượng, hiểu bài toán một cách hình thức mà không hiểu hết ý nghĩa hình họccủa bài toán Bởi vì HS có thói quen đã giải bài tập hình học là phải vẽ hình nên khi sử dụngPPVT và PPTĐ để giải một số bài tập không sử dụng hình vẽ, HS đã gặp nhiều khó khănlúng túng

+ HS thường gặp khó khăn khi chuyển bài toán từ ngôn ngữ hình học thông thường sangngôn ngữ toạ độ hay ngôn ngữ véc tơ và ngược lại.

Vì vậy cần rèn luyện cho HS kĩ năng chuyển tương đương những quan hệ hình học từ cáchnói thông thường sanmg dạng véc tơ hay toạ độ để có thể vận dụng công cụ véc tơ hay toạ

độ trong giải toán

+ Khó khăn trong việc dùng các kiến thức về véc tơ hay toạ độ để giải bài toán Dù sao đâycũng là những kiến thức mới đối với HS nên kĩ năng sử dụng các kiến thức này còn hạn chế

so với PP tổng hợp mà HS đã được học trước đó

+ Đối với dạng bài tập giải bằng PPTĐ HS thường gặp khó khăn khi chọn hệ trục toạ độ Tabiết rằng cùng một bài toán hình học, nếu ta chọn hệ toạ độ thích hợp thì lời giải sẽ ngắn gọn

dễ hiểu Ngược lại sẽ gặp nhiều khó khăn trong khi giải, đôi khi còn không đi đến kết quả + Như trên đã trình bày, sau khi học PPVT và PPTĐ HS có trong tay 3 công cụ để giải mộtbài toán hình học Không thể nói PP nào tốt hơn PP nào, vì có những bài giải bằng PP nàythì dễ nhưng lại rất vất vả khi giải bằng PP khác, thậm chí còn không giải được Do đó việc

sử dụng PP nào để giải bài toán hình học nào thì thuận lợi là một trong những vấn đề khókhăn với HS

Kết luận

PPVT và PPTĐ là những PP hiện đại để giải các bài toán hình học Nhờ những PP này mà ta

có thể đại số hoá hình học, khắc phục được những khó khăn trong việc giải toán hình họcbằng PP tổng hợp Nếu rèn luỵên nhiều về PPVT và PPTĐ trong việc giải toán HHP thì HS

sẽ có thêm hứng thú, PT tư duy trừu tượng và hơn nữa sẽ PT năng lực giải toán của họ

Chương 2

SỬ DỤNG PPVT GIẢI CÁC BÀI TOÁN HÌNH HỌC 10

ở lớp 10 học sinh được học về véc tơ, các phép toán trên véc tơ (phép cộng, phép trừ, phép nhânvéc tơ với một số thực, tích vô hương của hai véc tơ) Sau đó là trục, hệ trục toạ độ, toạ độ cácđiểm, toạ độ của véc tơ và một vài ứng dụng đơn giản của PPtoạ độ Tuy học sinh được học cảhai PP: véc tơ và tọa độ- PP chủ yếu vần là PP véc tơ Bởi vì các hệ thức lượng trong tam giác

và trong đường tròn được xây dựng nhờ véc tơ cùng các phép toán Đặc biệt là tích vô hướng

của hai véc tơ.; phép vị tự được định nghĩa theo một đẳng thức véc tơ Để giúp HS sử dụngthành thạo PPVT để giải các bài toán đối với HS lớp 10, trước hết GV cần rèn luyện cho HSnắm vững quy trình 4 bước giải bài toán bằng PPVT.

2.1 Quy trình 4 bước giải bài toán HH bằng PPVT

Bước 1: Chọn các véc tơ cơ sở

Bước 2: Dùng phân tích véc tơ và các phép toán véc tơ để biểu diễn, chuyển ngôn ngữ từ HHthông thường sang ngôn ngữ véc tơ

Bước 3: Giải bài toán véc tơ

Bước 4: Kết luận, đánh giá kết quả

GV cần tận dụng các cơ hội để rèn luyện cho HS khả năng thực hiện 4 bước giải bài toán HHP

bằng PPVT thông qua các bài tập, có thể minh hoạ quy trình 4 bước trên bằng VD: Cho góc

xOy và hai điểm di chuyển trên hai cạnh của góc: M  Ox, N  Oy, luôn thoả mãn

OM = 2ON CMR trung điểm I của MN luôn thuộc một đường thẳng cố định.

Trong quá trình hướng dẫn HS giải bài toán bằng PPVT, GV cần chú ý đến những tri thức PP:+ ở bước 1: Nên chọn các véc tơ c/s sao cho các véc tơ khác trong bài toán đều có thể phân tíchtheo chúng thuận lợi nhất Qua mỗi bài toán HS sẽ thấy nên chọn các véc tơ c/s như thế nào + ở bước 2: Cần rèn luyện cho HS chuyển đổi ngôn ngữ một cách thành thạo Cách chuyển đổinhư thế nào ta có thể thấy qua từng nhóm bài toán sẽ được trình bày dưới đây

+ ở bước 3: Cần nắm vững các phép toán véc tơ

Đồng thời, thông qua các bài tập cụ thể, GV cần làm cho HS hiểu rõ được tính ưu việt củaPPVT Đặc biệt các bài tập về tìm tập hợp điểm, các bài tập về CM 3 điểm thẳng hàng, CM haiđường thẳng song song, hai đường thẳng vuông góc, là những dạng toán có nhiều cơ hội đểlàm rõ vấn đề này

Tuy nhiên, không phải lúc nào cũng làm theo 4 bước như trên, không phải lúc nào cũng phântích các véc tơ theo hai véc tơ c/s cho trước, mà có thể giải quyết từng bài toán một cách linhhoạt Theo chúng tôi thấy, việc rèn luyện cho HS thông qua một hệ thống bài tập đã được phânloại sẽ đem lại hiệu quả cao trong dạy học

2.2 Hệ thống bài tập

2.2.1 Chứng minh ba điểm thẳng hàng

Đối với dạng toán trên ta có thể dùng điều kiện đồng phương của hai véc tơ để giải toán.

VD 2: Cho tam giác ABC, gọi D, N, I là các điểm xác định bởi các hệ thức:

3DB  2DC               0,              AN3NB CI, 2CN

CMR: A, I, D thẳng hàng

VD 3: Cho tam giác ABC, đường phân giác trong của góc B cắt đường TB DE (song song vớiAB) tại P Đường tròn nội tiếp (I) tiếp xúc với AB, AC lần lượt tại M, N CM các điểm P, M, Nthẳng hàng

VD 4: Cho tam giác ABC Đường tròn tâm I nội tiếp tam giác tiếp xúc với các cạnh BC ở D.Gọi J và K tương ứng là trung điểm của BC và AD CM 3 điểm I, K, J thẳng hàng

2.2.2 CM hai đường thẳng song song.

Để giải các bài toán dạng này, chủ yếu ta sử dụng định nghĩa và tính chất của phép nhân véc tơvới một số: “ Giả sử ,a b 

là hai véc tơ khác véc tơ không ta có: //a b  bka” Ngoài ra ta còn

có thể sử dụng đến định nghĩa tích vô hướng của 2 véc tơ, bởi vì dạng toán trên có thể quy vềbài toán CM 2 góc bằng nhau

VD 1: Cho tam giác ABC, AP là đường phân giác của góc A, trên cạnh BC và AC lấy hai điểm

D và E sao cho: BD = EC Gọi M và N là trung điểm của DE và BC CMR MN song song vớiAP

VD 2: CMR các cạnh của tam giác ABC tương ứng song song với các trung tuyến của tam giácA’B’C’ khi và chỉ khi các cạnh của tam giác A’B’C’ tương ứng song song với các trung tuyếncủa tam giác ABC

VD 3: Trên các cạnh BC, CA, AB của tam giác ABC lấy lần lượt các điểm A1, B1, C1 sao cho

CMR tam giác A2 B2 C2 có các cạnh tương ứng song song với các cạnh của tam giác ABC

VD 4: Hai đoạn thẳng AB, CD bằng nhau trượt trên các cạnh Ox, Oy của góc xOy, A  OB,

C  OD; I, J theo thứ tự là trung điểm của AC , BD CMR: IJ luôn song song với phân giác củagóc xOy và độ dài IJ không đổi

2.2.3 CM hai đường thẳng vuông góc.

Vận dụng các kiến thức và PPVT để giải quyết các bài toán về quan hệ vuông góc sẽ cho lờigiải khá rõ ràng, ngắn gọn

Thông thường với dạng toán trên ta có thể quy về bài toán CM hai đường thẳng song song, hay

từ định nghĩa tích vô hướng của 2 véc tơ ta có thể suy ra:

Nếu ,a b  là hai véc tơ khác véc tơ không thì a  b  a b . 0

Vậy bài toán CM hai đường thẳng vuông góc có thể quy về bài toán CM vô hướng của 2 véc tơbằng 0

VD 1: Cho tam giác ABC vuông tại C Đặt M  AB, N  AC sao cho : BM = BC, CN = CH (H

là hình chiếu của C trên AB) CM: MN vuông góc với AC

VD 2: Cho 2 véc tơ khác không AB CD,

Để CM các bài tập dạng này, chủ yếu ta sử dụng các tính chất của véc tơ, phép cộng, phép trừvéc tơ, phép nhân véc tơ với một số thực, các quy tắc như quy tắc 3 điểm, quy tắc trung điểm,

VD 1: Cho hai tam giác ABC và A1B1C1 có cùng trọng tâm G Gọi G1, G2, G3 lần lượt là trọngtâm của các tam giác BCA1, ABC1 và ACB1 CMR: GG 1 GG 2 GG3 0

VD 3: Cho hai điểm A, B và hai số thực ,  sao cho  +   0:

1) CMR tồn tại duy nhất điểm I sao cho: IAIB0

.2) CMR với mọi điểm M ta luôn có:

VD 5: Cho tam giác đều ABC tâm O Gọi M là một điểm tuỳ ý bên trong tam giác ABC Hạ

2

MDMEMF MO

2.2.5 Các bài toán tìm tập hợp nghiệm

Trong HHP thường chỉ đề cập đến bài toán quỹ tích của điểm M chuyển động trong mặt phẳngthoả mãn điều kiện nào đó

Bằng PP tổng hợp thường chỉ nghiên cứu bài toán quỹ tích dựa trên các bài toán quỹ tích cơbản Bằng PPVT, nghiên cứu quỹ tích của điểm M chuyển động trong mặt phẳng thoả mãn điềukiện nào đó (ta gọi tính chất ) theo nguyên tắc chung là phải thiết laapjdd][cj tính tương đươnggiữa tính chất  với các điều kiện của các véc tơ có liên quan đến điểm M và từ đó mô tả hình

H = {M | M có tính chất } Do đó phạm vi nghiên cứu được mở rộng hơn và nhiều bài cho lờigiải khá dễ dàng

Sau đây là một số VD điển hình cho việc giải bài toán quỹ tích bằng PPVT:

VD 1: Cho tam giác ABC và M là một điểm bất kì Tìm tập hợp các điểm M sao cho:

VD 4: Cho tam giác ABC vuông ở A, M là điểm thay đổi trong tam giác; D , E, F lần lượt là

hình chiếu của M trên BC, CA, AB Tìm tập hợp các điểm M sao cho: MD ME MF  MA

VD 3: Cho tứ giác ABCD, trên các cạnh AB và CD lần lượt lấy các điểm M, N sao cho:

AM k AB DN k DC k

Hãy phân tích véc tơ MN theo các véc tơ AD, BC

VD 4: Trong đường tròn tâm O cho hai dây AB, CD cắt nhau tại M Qua trung điểm S của dây

BD người ta kẻ đường thẳng SM cắt AC tại K CM:

2 2

KC CM