Chuyen de ham so phan 2 suu tam

Xác định m để hàm số  1 có cực trị, đồng thời đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số tạo với hai trục tọa độ một tam giác cân... Tìm m để hàm số  1 có cực đại, cực tiể[r]

 Ch・ đ ề 3 : Đi・m thu・c đ・ th・

Tìm tất cả các điểm M thuộc đồ thị  C : y f x  , biết M thỏa mãn tính chất

T cho trước

Ví dụ 1 Tìm trên đồ thị  C : y x 33x21, 2 điểm M, N sao cho MN 4 2

và tiếp tuyến tại đó song song với nhau

Lời giải

Giả sử M m,m 33m21 , N n,n 33n21 với m n là tọa độ thỏa đề bài

Vì tiếp tuyến tại M,N song song với nhau nên y' m y' n 

Ví dụ 2 Tìm tọa độ 2 điểm B, D sao cho ABCD là hình vuông, biết rằng D là

điểm nằm trên đường thẳng d : x y 2 0   ; I 1;9  là trung điểm AC ; A và

92

2 Gọi E,F theo thứ tự là giao điểm của đường tròn ngoại tiếp tứ giác OABC với

trục hoành, trục tung ( E,F khác O ) Tìm tọa độ điểm M trên đường tròn

sao cho tam giác MEF có diện tích lớn nhất

2 Đường tròn ngoại tiếp OABC :

Từ giả thiết suy ra E 1;0 ,  F 0;7 

Dễ thấy, EF là đường kính đường tròn, nên tam giác MEF vuông tại M

1 Tìm các điểm M trên đồ thị  C : y x 42x21 sao cho tiếp tuyến của  C tại

M vuông góc với đường thẳng IM, với I 0;17



Gọi H, K lần lượt là hình chiếu của B, C lên đường thẳng y 2, khi đó

Vậy, B 2; 1  , C 2;1  hoặc ngược lại là tọa độ cần tìm

3 Tìm các điểm thuộc 2 nhánh khác nhau của  C : y 2x 1

4 Tìm trên đồ thị  C : y x33x có bao nhiêu bộ bốn điểm A,B,C,D sao cho

tứ giác ABCD là hình vuông tâm O 0;0 

Hướng dẫn giải

Giả sử A a; a  33a ,B b; b   33b với a b và a,b 0

ABCD là hình vuông tâm O 0;0  OA OB

Trường hợp 1 : a b 0  thay vào  1 , ta được : a46a210 0 3   Rõ ràng phương trình  3 không có nghiệm thực với a  

6 Tìm trên đường thẳng y 3x 2  điểm M sao cho tổng khoảng cách từ M đến

2 điểm cực trị của đồ thị của hàm số y x 33x22 là nhỏ nhất

Hướng dẫn giải

Giả sử điểm cực đại là A 0;2 , điểm cực tiểu là B 2; 2  

Ta thấy, A,B nằm về 2 phía đường thẳng y 3x 2 

Để MA MB nhỏ nhất khi 3 điểm A,M,B thẳng hàng và M nằm trong AB , tức tọa độ điểm M là giao điểm của đường thẳng AB: y 2x 2 và đường thẳng y 3x 2  4 2

10 Cho hàm số y x 33x 3 có đồ thị là  C Tìm trên đồ thị hai điểm A, B sao cho A, B song song với trục hoành và AB 3.

Hướng dẫn giải

Vì AB song song với trục hoành nên AB ki k 1;0   

là véc tơ chỉ phương đơn



 Ch・ đ ề 4 : Tính đ・n đi・u c・a hàm s・

1 Điều kiện cần để hàm số đơn điệu:

Giả sử hàm số f có đạo hàm trên khoảng I

 Nếu hàm số f đồng biến trên khoảng I thì f ' x 0 với mọi x I ;

 Nếu hàm số f nghịch biến trên khoảng I thì f ' x 0 với mọi x I

2 Điều kiện đủ để hàm số đơn điệu:

Giả sử I là một khoảng hoặc nửa khoảng hoặc một đoạn, f là hàm số liên tục trên I và có đạo hàm tại mọi điểm trong của I (tức là điểm thuộc I nhưng

không phải đầu mút của I ) Khi đó:

 Nếu f ' x 0 với mọi x I thì hàm số f đồng biến trên khoảng I ;

 Nếu f ' x 0 với mọi x I thì hàm số f nghịch biến trên khoảng I ;

 Nếu f ' x 0 với mọi x I thì hàm số f không đổi trên khoảng I

Xét g x   x 3 2 trên khoảng 1;và g' x 2 x 3   với x 1   x 3 4tức g' x 8 0 với  x 1;

 f x 0 có hai nghiệm x ,x1 2 thỏa mãn : x1  x2 Đặt t x    , khi đó

Nhận thấy, với 4 m 4   thì hàm số đã cho luôn đồng biến trên khoảng

1; Nghĩa là hàm số cũng đồng biến bất kể khoảng hoặc nửa khoảng hay đoạn nào thuộc 1; Như vậy, hàm số hiển nhiên đồng biến (đơn điệu tăng) bất kì trên khoảng 1;2 hoặc đoạn 3;5

Qua đó, bài toán có thể yêu cầu: “Tìm m để hàm số:

biến trên đoạn 2;3” Để hiểu kỹ hơn vấn đề này, bạn đọc làm bài toán sau:

“Tìm điều kiện tham số m sao cho hàm số y 4mx 36x22m 1 x 1   tăng trên khoảng 0;2“

Ví dụ 2 Tìm m để hàm số: y x 3mx2m 36 x 5   nghịch biến trên khoảng

Nếu m  hoặc m 129  tức ' 0  thì y' 0 có 2 nghiệm phân biệt x ;1 x2 Lập bảng xét dấu, ta thấy y' 0 với xx ;x1 2 suy ra hàm số nghịch biến với

m 3m 180 0  m 12 hoặc m 15 ( thỏa điều kiện )

Vậy, với m 12 hoặc m 15 yêu cầu bài toán được thỏa mãn

+ Nếu a 2 thì y'x 2 2 , ta có : y' 0   x 2,y' 0,x  2 Hàm số y đồng biến trên mỗi nửa khoảng  ; 2và  2;  nên hàm số y đồng biến trên 

+ Tương tự nếu a  Hàm số y đồng biến trên  2

+ Nếu a  hoặc 2 a 2 thì y' 0 có hai nghiệm phân biệt x ,x1 2 Giả sử x1x2 Khi đó hàm số nghịch biến trên khoảng x ;x1 2,đồng biến trên mỗi khoảng

;x1và x ;2  Do đó a  hoặc 2 a 2 không thoả mãn yêu cầu bài toán Vậy hàm số y đồng biến trên  khi và chỉ khi 2 a 2  

Chú ý:

1 Nếu y' ax 2bx c thì:

a b 0

c 0y' 0 , x

a 00

a 00

 

x 0;1

  : g' x 0 1

x2

5





Dựa vào bảng biến thiên suy ra m 0

Nói một cách khác , nếu f ' x đổi dấu từ âm sang dương khi x qua điểm x0thì hàm số đạt cực tiểu tại điểm x0

thì hàm số đạt cực đại tại điểm x0

Nói một cách khác , nếu f ' x đổi dấu từ dương sang âm khi x qua điểm x0thì hàm số đạt cực đại tại điểm x0

Định lý : Giả sử hàm số f có đạo hàm cấp một trên khoảng a;bchứa điểm

0

x ,f ' x 0 0và f có đạo hàm cấp hai khác 0 tại điểm x0

 Nếu f '' x 0 0thì hàm số f đạt cực đại tại điểm x0

 Nếu f '' x 0 0thì hàm số f đạt cực tiểu tại điểm x0

x m





Hàm số có đạo hàm tại mọi điểm trên khoảng xác định, nên hàm số đạt cực tiểu tại x 1 khi thỏa mãn:

m 2 y'' 1     1 0 x 1 là điểm cực đại

Vậy m 0 thỏa yêu cầu bài toán

Nhận xét: Để ý định lý 3 chỉ phát biểu khi y'' 1 0

Nếu trình bày hàm số đạt cực tiểu tại  

thì lời giải chưa chính

xác Như vậy, để áp dụng được hệ  

 

y' 1 0y'' 1 0

ii) f ' x  phải đổi dấu qua điểm x0 hoặc f " x 0 0

* Nếu f ' x  là một tam thức bậc hai hoặc triệt tiêu và cùng dấu với một tam thức bậc hai thì hàm có cực trị  phương trình f ' x  có hai nghiệm phân biệt thuộc tập xác định

trị A Oy, B, C sao cho:

1 Tam giác ABC vuông tại A 2 Diện tích tam giác ABC bằng 32

3 Diện tích tứ giác OABC bằng 52 4 Tứ giác ABOC là hình bình hành

Cách 2: Gọi I là trung điểm BC ; do tam giác ABC vuông cân tại A

3 Ta có:

2m

22

2 Tìm m để y x44mx24m có 3 cực trị là 3 đỉnh của 1 tam giác nhận điểm

Vì tam giác ABC cân tại A và B,C đối xứng nhau qua Oy

H là trực tâm tam giác ABC khi AH BC BH.AC 0  

Phương trình   viết lại: t2 1 1 t 3

2 2

4 Giả sử đồ thị y x 42mx2m có 3 cực trị A, B, C Tìm m để đường tròn nội tiếp tam giác ABC có bán kính bằng 1

Hướng dẫn giải

m 0 thì đồ thị hàm số có 3 cực trị

A 0;m , B m , m 2m, C m ; m 2m

Giải như bài 3 , ta tìm được m 2

5 Tìm các giá trị của tham số m để đồ thị Cm của hàm số

    , hàm số luôn có cực đại, cực tiểu

Tọa độ các điểm cực đại, cực tiểu của đồ thị là A(m;2m33m21),

B(m 1;2m 3m )

Suy ra AB 2 và phương trình đường thẳng AB: x y 2m  33m2m 1 0 

Do đó, tam giác MAB có diện tích nhỏ nhất khi và chỉ khi khoảng cách từ M tới

  là đường thẳng d qua 2 điểm cực trị

Giả sử đường thẳng d cắt 2 trục Ox và Oy tại A 6 m ;0 ,

2

 

9 Cho hàm số y x 33mx23 m 21 x m  3m 1  , m là tham số Tìm m để hàm số  1 có cực đại, cực tiểu đồng thời thời khoảng cách từ điểm cực tiểu của đồ thị đến gốc tọa độ O bằng 3 lần khoảng cách từ điểm cực đại của đồ thị đến O

Điểm cực đại của đồ thị là A m 1;2 2m   ;

Điểm cực tiểu của đồ thị là B m 1; 2 2m    

Khoảng cách từ điểm cực tiểu của đồ thị đến gốc tọa độ O bằng 3 lần khoảng cách từ điểm cực đại đến O OB 3OA



10 Cho đồ thị  C : y x 46x22x Chứng minh rằng  C có 3 điểm cực trị phân biệt không thẳng hàng Viết phương trình đường tròn qua 3 điểm cực trị đó

Hướng dẫn giải

Hàm số đã cho xác định và liên tục trên 

Trước hết ta có y 2 2x 36x 1 và y  0 2x36x 1 0 

11 Cho hàm số y x 33x23mx 2. Tìm giá trị của tham số thực m sao cho

hàm số có cực đại, cực tiểu và các cực trị x , x1 2 thỏa mãn 3x212x2277

Hướng dẫn giải

Hàm số đã cho xác định và liên tục trên 

Ta có: y' 3x 26x 3m.

Hàm số có cực đại và cực tiểu khi và chỉ khi y' 0 có hai nghiệm phân biệt và

đổi dấu qua mỗi nghiệm đó tức là phải có ' 9 9m 0    m 1

  thỏa yêu cầu bài toán

12 Cho hàm số y x 33x2mx 2 Tìm giá trị của tham số thực m sao cho hàm

số có hai điểm cực trị A x ;y 1 1 , B x ;y2 2 thỏa mãn: x314x1x 2

 2

16y' 1

x 1

 



và y' 0   x 5 hoặc x 3 Hai điểm cực trị của hàm số A5;a 9 , B 3;a 7    

Phương trình đường thẳng qua hai cực trị:   : y 2x a 1  

Gọi M, N là giao điểm của   với hai trục tọa độ nên M 0;a 1 , N  a 1;0

2 2 OMN

điểm cực trị còn lại Đề thi Đại học khối B – năm 2011

Theo bài toán, ta có: OA BC m24 m 1  m 2 2 2  thỏa m 1

15 Cho hàm số y x 42(m 1)x 2m2  1 ,với m là tham số thực Tìm m để đồ thị hàm số  1 có ba điểm cực trị tạo thành ba đỉnh của một tam giác vuông

Đề thi Đại học khối A,A1 – năm 2012

y' 4x x  m 1 x  m 1 đổi dấu qua các điểm

x 0,x   m 1,x  m 1 nên hàm số có 3 cực trị tại 3 điểm này

Với m 1 đồ thị hàm số có 3 điểm cực trị là :A 0; m ,B 2  m 1; –2m –1 ,  

C m 1;–2m –1

Cách 1: Nhận xét: A Oy ,B và C đối xứng qua Oy nên tam ABC cân tại A

tức là AB AC nên tam giác chỉ có thể vuông cân tại A

Gọi M là trung điểm của BC M 0; 2m –1  

Do đó để tam giác ABC vuông cân BC 2AM  (đường trung tuyến bằng nửa cạnh huyền)

3 2

So với điều kiện m 1, m cần tìm là m 0.

Cách 3: ABC vuông cân

48 Đề thi Đại học khối B– năm 2012

Hướng dẫn giải Cách 1:

Ta có: y' 3x –6mx. 2 Hàm số có 2 cực trị khi và chỉ khi y' 0 có 2 nghiệm phân biệt m 0  và đổi dấu qua mỗi nghiệm x 0 hoặc x2m

Khi đó hàm số có hai điểm cực trị.A 0;3m ,B 2m; m 3   3

     hoặc m 3 4 Đối chiếu điều kiện, suy ra m 3 4

18 Tìm m để đồ thị hàm số y x 42mx2m 2 có 3 điểm cực trị tạo thành một tam giác có có bán kính đường tròn ngoại tiếp bằng 1