Toán Hàm Số CHUYÊN đề hàm số 2

Từ năm 2015 trở đi 2 câu trong chuyên đề hàm số được đánh giá là 2 câu ở mức độ cơ bản, các bạn học sinh chỉ cần nắm rõ sơ đồ con đường các phần và rèn luyện tư duy qua các tính chất l

1 số àm ị h ồ th ẽ đ V & iên th iến ự b át s o s Khả •

 Với 6 phần học trong chuyên đề hàm số tương ứng với 2 điểm trong kì thi THPT Quốc gia năm 2016 được phân bổ thành 2 câu trong đề thi Từ năm 2015 trở đi 2 câu trong chuyên

đề hàm số được đánh giá là 2 câu ở mức độ cơ bản, các bạn học sinh chỉ cần nắm rõ sơ đồ

con đường các phần và rèn luyện tư duy qua các tính chất là có thể đạt điểm tối đa.

 Riêng phần Biến đổi đồ thị được sắp xếp vào bài đọc thêm vì đây là phần ít thi trong đề

thi THPT Quốc gia

Tuyên bố

SƠ ĐỒ CON ĐƯỜNG

KẾ HOẠCH RÈN LUYỆN CÁ NHÂN

 Hàm số đồng biến trên khoảng (

 Hàm số nghịch biến trên khoảng (

• Cực trị

 Hàm số đạt giá trị cực tiểu tại =>

• Giới hạn và tiệm cận

Hàm số không có tiệm cận

• Bảng biến thiên của hàm số

+ 0 0

0

-4

- Vẽ đồ thị hàm số • Đồ thị hàm số đi qua một số điểm • Nhận xét : Đồ thị nhận điểm A ( -1 ; -2 ) làm điểm uốn Ví dụ 2 : Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số y = Bài giải - Tập xác định : D = R - Sự biến thiên • Chiều biến thiên   Hàm số đồng biến trên khoảng ( y x 0 -2 -1 1 -4 -3 -2 -1

 Hàm số nghịch biến trên khoàng (



Lưu ý: Đối với hàm trùng phương khi

vẽ đồ thị phải đảm bảo tính dối xứng

qua trục 0y Để đảm bảo như vậy chúng ta vẽ lần lượt các cạnh tương ứng đối xứng

Ví dụ 3 : Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số:

0

Bài giải

- Tập xác định : D ={1}

- Sự biến thiên

• Chiều biến thiên

với nên hàm số luôn nghịch biến trên miền xác định

• Cực trị : hàm số không có cực trị

• Giới hạn và tiệm cận

là đường tiệm cận đứng

=> y = 1 là đường tiệm cận ngang

• Bảng biến thiên của hàm số

- Đồ thị hàm số

• Nhận xét : Đồ thị nhận I(1;1) làm tâm đối

xứng

 Lưu ý : Khi vẽ hàm bậc nhất / bậc nhất

ta phải vẽ 2 đường tiệm cận trước để

đảm bảo tính đối xứng tâm Sau đó tịnh

tiến đồ thị để xác định hệ trục tọa độ Ox

và Oy

 NHẬN XÉT PHẦN HỌC

 Đây là câu 1 điểm trong kì thi THPT Quốc gia năm 2016 với lời giải chi tiết và trình bày theo đáp án kì thi tốt nghiệp THPT Quốc gia của Bộ GD&ĐT Đối với trình bày bài khảo sát và vẽ đồ thị hàm số có 2 cách trình bày theo 2 chương trình sách giáo khoa ban cơ bản

và nâng cao nên một số các em học sinh có thể trình bày theo cách còn lại vẫn được chấp

nhận điểm tuyệt đối nhé !

 Trong trình bày nên vẽ bằng nét chì trước để đảm bảo nét vẽ đúng sau đó tẩy đi và tô lại bằng nét bút mức Các bạn lưu ý là không được viết, vẽ bằng bút chì trong bài thi ( trừ

SƠ ĐỒ TỔNG QUAN PHẦN

STT Dạng bài Số bài tậprèn luyện Thời gian rènluyện Ghi chú Bản thân

1 Xét tính đơn điệu trực tiếp

2 Tìm m để hàm số đơn điệutrên ( khoảng, đoạn , D , )

Kế hoạch học tập

LÍ THUYẾT CƠ BẢN

Hàm số f đồng biến / D ⇔ (∀x1, x2∈ D, x1 < x2⇒ f(x1) < f(x2)Hàm số f nghịch biến / D ⇔ (∀x1, x2 ∈ D, x1 < x2 ⇒ f(x1) >f(x2)

Định nghĩa

Giả sử f có đạo hàm trên khoảng D

Nếu f đồng biến / D thì f′(x) ≥ 0, ∀x ∈ DNếu f nghịch biến / D thì f′(x) ≤ 0, ∀x ∈ D

Điều kiện cần

Xét trực tiếp tính đơn điệu của một hàm xác định

Ví dụ 1 : Xét tính đồng biến , nghịch biến của hàm số

Giải SƠ ĐỒ CON ĐƯỜNG

Hàm số nghịch biến trên khoảng (

 Bài tập đề nghị : Xét tinh đồng biến, nghịch biến của hàm số sau y = 5

luận

Tính y’ = 0 Tập xác định

+ +

Tìm m để hàm số luôn đơn điệu trên đoạn, khoảng , miền xác định

Ví dụ 1 :Cho hàm số: Tìm m để hàm đồng biến trên khoảng

Bước 2 : Chuyển x sang một

bên m sang một bên

Bước 3 : Xét hàm số f(x)

Dạng 2

HÀM

SỐChuyển 1 vế là f(x)

vế còn lại là f(m)

Xét hàm f(x)

BẤT PHƯƠNG TRÌNH

Xét điều kiện của

m

Lập bảng biến thiên của hàm trên

0 +

2 +

Từ đó ta đi đến kết luận:  Bước 4 : Xét điều kiện của m Ví dụ 2: Tìm m để hàm số y=: đồng biến trên khoảng (1;3) Bài giải Sơ đồ con đường Ta có : y’ = 4

• Hàm số đồng biến trên khoảng (1;3) nên y’ với mọi x ( 1; 3)

 4 mọi x ( 1; 3)

 4x(  mọi x ( 1; 3)

• Xét hàm số f(x) = trên khoảng (1; 3)

f’(x) = 2x với mọi x ( 1; 3) nên hàm số luôn đồng biến Suy ra Min f(x) = f(1)

Vậy m là giá trị cần tìm thỏa mãn yêu cầu bài toán m Bước 1: Tính y’ • Hàm đồng biến nên y’ Bước 2 : Chuyển x sang một bên và m sang một bên Bước 3 : Xét hàm số f(x) Bước 4 : Xét điều kiện của m Ví dụ 3 : Tìm m để hàm số sau : y = đồng biến trên khoảng [1; + Bài giải Sơ đồ con đường Ta có : y’ = ( x

Hàm số đồng biến trên khoảng [1; + 

   m < 1

Vậy m < 1 là giá trị cần tìm thỏa mãn yêu cầu bài toán Bước 1: Tính y’ • Hàm đồng biến nên Chú ý : Điều kiện x Bước 2: Xét điều kiện của m

Ví dụ 4 : Tìm m để hàm số sau luôn đồng biến trên R:

m

2) Định lí về dấu của tam thức bậc hai :

3) So sánh các nghiệm x 1 , x 2 của tam thức bậc hai với số 0:

• Trong quá trình ghi nhớ các bạn học sinh sẽ luôn thắc mắc làm thế nào để ghi nhớ

2 1

 

• Nếu ∆ < 0 thì g(x) luôn cùng dấu với a

• Nếu ∆ = 0 thì g(x) luôn cùng dấu với a (trừ x = )

• Nếu ∆ > 0 thì g(x) có hai nghiệm x1 , x 2 và trong khoảng hai nghiệm thì g(x)

khác dấu với a, ngoài khoảng hai nghiệm thì g(x) cùng dấu với a.

 P

một cách chính xác các công thức và sau đây là phương pháp giúp các bạn làm điều

đó :

 Xét với 0 rồi chuyển về so sánh với 0

4) Để hàm số có độ dài khoảng đồng biến (nghịch biến) (x 1 ; x 2 ) bằng d thì ta thực hiện các bước sau:

• Tính y′

• Tìm điều kiện để hàm số có khoảng đồng biến và nghịch biến: (1)

• Biến đổi thành (2)

• Sử dụng định lí Viet đưa (2) thành phương trình theo m

• Giải phương trình, so với điều kiện (1) để chọn nghiệm

Ví dụ 1: Cho hàm số Tìm m để hàm số đồng biến trên khoảng.

Tập xác định: D = R

y’ = Ta có

 Nếu thì  y’ với

 Hàm số đồng biến trên R

Từ đó suy ra thỏa mãn yêu cầu bài toán

 Nếu thì  phương trình y’

có 2 nghiệm phân biệt

Khi đó hàm số đồng biến trên các khoảng

Do đó hàm số đồng biến trên khoảng

Bước 3: Xét điều kiện với

• Trong khoảng ( y’ ngược dấu với a

Bước 3: Xét điều kiện so sánh

nghiệm

Vậy: thì hàm số nghịch biến trong ( - 1; 1).

Ví dụ 3: Cho hàm số (1),(m là tham số).Tìm m để hàm số (1) nghịch biến trên đoạn có độ dài bằng 1.

Ta có có

•Nếu m ≥ 3 thì thì hàm số đồng biến trên R

 m ≥ 3 không thoả mãn

•Nếu m < 3 thì có 2 nghiệm phân biệt

Hàm số nghịch biến trên đoạn với độ dài I

 4

Vậy m = là giá trị cần tìm thỏa mãn yêu cầu bài toán

Ví dụ 4 Tìm m để hàm số y = đồng biến trên khoảng (2 ; )

Bước 1 : Tính y’( bậc 2) Bước 2 : Xét và a

 Biện luận trường hợp > 0 ( hoặc < 0 ) với a tương ứng trường hợp với

 Biện luận đồng thời điều kiện của và a theo mục 2 định lí về dấu của tam thức bậc 2

Bài tập đề xuất :Tìm m để các hàm số

đồng biến trên khoảng

?2 : Với phương pháp hàm số khi chuyển x sang 1 bên và m sang 1 bên mà hàm số f(m) là một

hàm bậc 2, bậc 3, thì phải làm thế nào?

 Coi f(m) = k biện luận nghiệm theo k với f(k) = k là hàm hằng

 Giải bất phương trình tìm m đối với điều kiện k vừa tìm được.

Bài tập đề xuất: Tìm m để hàm số y= đồng biến trên ( 2;+

Các bạn đọc có thể trong quá trình giải toán còn xuất hiện thêm các trường hợp khác cần bàn luận thì vui lòng truy cập vào trang facebook :

https://www.facebook.com/groups/564286070405967/ để cùng nhau giải đáp nhé !

1 nghịch biến trên một khoảng có độ dài bằng 1

2 đồng biến trên một khoảng có độ dài bằng 4

4 luôn đồng biến trên R

Bài 3: Chứng minh hàm số nghịch biến trên đoạn

 Đây là câu hỏi thuộc phần hàm số và là câu 1 diểm trong kì thi THPT Quốc gia Mức độ câu hỏi tương đối dễ trong đề thi các năm gần đây nên đây là câu mà các bạn phải nắm chắc chắn được số điểm Các bạn hãy bắt tay ngay vào rèn luyện đi nhé ! Chúc các bạn thành công !

TRÊN CON ĐƯỜNG THÀNH CÔNG KHÔNG CÓ DẤU

CHÂN CỦA NHỮNG KẺ LƯỜI BIẾNG

Tôi đã xuất sắc hoàn thành được điểm phần học này

Ví dụ 1: Tìm cực trị của của hàm số

Bài giải Cách 1: Lập bảng biến thiên và tìm cực trị

0 ) ( '

0

0

x y

x y

Điều kiện để cực trị tồn tạiHàm số có cực tịểu tại x 0 :

Dạng 1: Tìm Min, Max / GTLN, GTNN của hàm số

Tính y’ = 0 ( Tìm x )

thiên

Tính y’ = 0 ( Tìm x )

Sử dụng Quy tắc 2 Cách 2

SƠ ĐỒ CON ĐƯỜNG

Bài giải Sơ đồ con đường

• Tập xác định : D

•

Cho

Vậy: và Bước 1: Tập xác định Bước 2 : Tính y’ = 0 => Tìm x Bước 3 : Sử dụng phương pháp => Quy tắc 2 ( tính y” ) Ví dụ 3 :Tìm GTLN, GTNN của các hàm số sau: a) trên [-1;5] Bài giải Sơ đồ con đường Bước 1: Tập xác định Bước 2 : Tính y’ = 0 => Tìm x Bước 3 : Sử dụng phương pháp b) trên [-3;2] Bài giải Sơ đồ con đường Ví dụ 4: Tìm GTLN-GTNN của hàm số sau: a) y = x c) y = b) y = cosx + Bài giải Sơ đồ con đường a) y = x

• Tập xác định : D

• y’ = ( với -1 < x < 1 ) y’ = 0  1 - 2  x = hoặc x =

Bước 1: Tập xác định Bước 2 : Tính y’ = 0 => Tìm x

• Bảng biến thiên của hàm số: x -1 1

f’(x) - 0 + 0 -

f(x) 0

0

Vậy hàm số đạt GTLN là tại x =

hàm số đạt GTNN là tại x =

Bước 3 : Sử dụng phương pháp  Lập bảng biến thiên b) y = cosx + • Tập xác định : D= R • y’ = - sinx – sin2x = -sinx ( 1+ 2cosx ) y’ = 0   ( k • Ta có :y” = -cosx – 2cos2x + y”( = - cos – 2cos2 = + y”( = -cos – 2cos = > 0 Vậy hàm số đạt GTLN tại x =

hàm số đạt GTNN là tại x = ( k

Bước 1: Tập xác định Bước 2 : Tính y’ = 0 => Tìm x

Bước 3 : Sử dụng phương pháp

Bước 1: Tập xác định

 phá dấu trị tuyệt đối

Bước 2 : Tính = 0 => Tìm x

= 0 => Tìm x Bước 3 : Sử dụng phương pháp

Dạng 2 : Tìm m để hàm số có Cực Đại , Cực Tiểu và thỏa mãn một tính chất

Ví dụ 1: Cho hàm số: , với m là tham số thực.Xác định m để hàm số đã

• Ta có y ‘ = 3

 Hàm số có 2 điểm cực đại, cực tiểu x1, x2

 Phương trình y’ = 0 có hai nghiệm phân biệt là x1, x2

=> Bình phương mất | |

Từ (1) và (2) suy ra giá trị m cần tìm là: hoặc

Ví dụ 2 :Cho hàm số (2)

Xác định m để hàm số đã cho đạt cực trị tại sao cho

• Ta có:

Hàm số (2) có 2 diểm cực đại và cực tiểu

⇔ Phương trình có 2 nghiệm phân biệt (

⇔ Khi đó ta có:

.Vậy m = là giá trị cần tìm thỏa mãn yêu cầu bài toán

Bước 1: Tính y’ = 0 Bước 2: Xét

Có 2 điểm  2 nghiệm nên

Bước 3 : Xử lí tính chất

Tổng => Hệ thức Viet

điểm cực đại và cực tiểu đối xứng nhau qua đường thẳng y = x.

Ta có: y’ = 3x2 − 6mx = 0 ⇔ Để hàm số

có cực đại và cực tiểu thì m ≠ 0

Giả sử hàm số có hai điểm cực trị là: A(0; 4m3), B(2m; 0) 2

nghiệm

⇒ Trung điểm của đoạn AB là I(m; 2m3)

Điều kiện để AB đối xứng nhau qua đường thẳng y = x là AB

vuông góc với đường thẳng y = x và I thuộc đường

thẳng y = x

Giải hệ phương trình ta được ; m = 0

Kết hợp với điều kiện ta có:

Do tính chất của hàm số trùng phương, tam giác ABC

là tam giác cân, cho nên để thỏa mãn điều kiện tam giác là

vuông, thì AB vuông góc với AC

Tam giác ABC vuông khi:

- Cạnh :AB=AC ;AB vuông

I

y=x A

B

Vậy với và thì thỏa mãn yêu cầu bài toán

AC

- Góc : ( AB, BC ) = 45

Ví dụ 5 :Cho hàm số (1) Viết phương trình đường thẳng qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số (1).

Ta có : y’ = y = y’ ( + 2x –

 = ( + 2 – PTĐT nối cực đại cực tiểu là

 = 2 – ( do Vậy phương trình đường

thẳng nối cự đại cực tiểu

Bước 2 : Xử lí tính chất

Ví dụ 7 :Cho hàm số : (1).Tìm m để hàm số có hai cực trị thoả mãn

cực trị A, B, C và diện tích tam giác ABC bằng 32 (đơn vị diện tích).

Hãy sáng tạo ra các tính chất có thể có từ 2 yếu tố & xoay quanh 2 cách xử

lí dùng hệ thức Viet ( chuyển về tổng & tích ) và Hình học ( cạnh & góc )

Trong quá trình làm các bài tập các em học sinh thăc mắc hay cần đưa ra bàn luận có thể truy

cập vào group https://www.facebook.com/groups/564286070405967/ để cùng nhau giải đáp nhé !

Bài 3: Tìm m để đồ thị hàm số có hai điểm cực trị A và B sao cho tam giácOAB có diện tích bằng 48.

Bài 4: Cho hàm số y = (1).

Gọi lần lượt là các điểm cực đại, cực tiểu của đồ thị hàm số (1) Tìm điểm M thuộc trụchoành sao cho tam giác MAB có diện tích bằng 2

cực tiểu, đồng thời các điểm cực đại và cực tiểu cùng với gốc tọa độ O tạo thành một tam giácvuông tại O

Bài 6: Cho hàm số , trong đó m là tham số.Tìm tất cả các giá trị của m để hàm số có cực đại tại

xCĐ, cực tiểu tại xCT thỏa mãn: x2

Bạn thường chiếm ưu thế trong các cuộc tranh luận hoặc cãi vã

Bạn thích nói chuyện để giải quyết vấn đề, giải thích cho những giải pháp

cũng như đặt nhiều câu hỏi

2.LOGIC – TOÁN HỌC

Bạn thích làm việc với những con số và tính nhẩm rất tốt

Bạn có nhiều hứng thú với các tiến bộ khoa học mới nhất

Bạn thích thú với những thức thách của các trò chơi trí tuệ hoặc toán đố

cần nhiều suy nghĩ logic

Bạn thường là người tìm ra các điểm vô lý trong những việc người nói hoặc làm Toán và các môn tự

nhiên là những môn học yêu thích của bạn

3.HÌNH ẢNH – KHÔNG GIAN

Bạn thường hiểu và trân trọng các môn nghệ thuậtBạn thường ghi nhận những sự kiện quan trọng bằng máy chụp hình và máy quay phim

Thư giãn cuối giờ

Bạn thích chơi các game về hình ảnh như ghép hình và mê cung

Bạn thường chia sẻ quan điểm của mình bằng sơ đồ hoặc hình ảnh Bạn thích đọc những tài liệu có hình ảnh minh họa

4.CẢM XÚC – VẬN ĐỘNG CƠ THỂ

Bạn tham gia thể thao hoặc tham gia biểu diễn múa thể dục, võ hoặc

những môn tương tự Bạn có xu hướng tự tay thực hiện những việc thủ

công lắp ráp Bạn thích suy nghĩ những vấn đề khi đang chạy hoặc đi

bộ Bạn không ngại nhảy trước một đám đông.Bạn thích những trò chơi

mạo hiểm tại các hội chợ/ trung tâm vui chơi giải trí Môn học thích thú

nhất tại trường của bạn là môn thể dục & thủ công kỹ thuật Bạn thích

chơi những trò chơi nghịch ngợm và phá bĩnh với trẻ con

5.ÂM NHẠC

Bạn có thể chơi một nhạc cụBạn thường nghe nhạc ở nhàBạn thường hay gõ nhịp theo điệu nhạcBạn thường hay huýt sao hay nhẩm theo một giai điệuBạn thích có nhạc khi đang làm việc

6.QUAN HỆ GIAO TIẾP

Bạn rất tự tin làm quen với một người chưa từng gặp, đặc biệt là bạn khác giới

Bạn thích làm việc với những người khác trong một nhóm

Bạn thích trò chơi có sự tham gia của nhiều người như cờ tỷ phú, cá ngựa

Bạn là một người thích giao tiếp bạn thích tham dự một bữa tiệc hơn là ở nhà xem ti vi một mình

7.NỘI TÂM|

Bạn viết một cuốn nhật ký hay blog để ghi lại những suy nghĩ của

mình.Bạn thường dành những thời gian yên tĩnh syu nghĩ những vấn đề

quan trọng trong cuộc sống của mình.Bạn thích tự mình đi câu cá hay

léo núi, bạn thấy thoải mái khi ở một mình.Bạn làm việc cho chính

mình hoặc rất tập trung suy ngẫm khi làm những việc của bản thân

8.TỰ NHIÊN

Bạn có hoặc thích thú nuôi trong nhà

Bạn có thể nhận ra và nhớ tên nhiều loại cây và hoa khác nhau

Bạn thích chăm sóc cây cảnh, vườn tượt

Bạn am hiểu và có hứng thú đối với những vấn đề về môi trường toàn cầu

Bạn cho rằng bảo toàn tài nguyên và đạt được sự phát triển bền vững là những vấn đề lớn lao nhất của con người hiện na

SỰ TƯƠNG GIAO CỦA HÀM SỐ

4