Chuyên đề hàm số bậc 2

Nghiệm-tập nghiệm của phương trình  Giá trị x x 0 làm cho hai vế của phương trình có cùng một giá trị thì x x 0là một nghiệm của phương trình...  Khi ta nhân hoặc chia hai vế của phư

HÀM SỐ y ax a  2,  0

 Nếu a  thì hàm số nghịch biến khi 0 x  và đồng biến khi 0 x  0

 Nếu a  thì hàm số đồng biến khi 0 x  và nghịch biến khi 0 x  0

812

Oy làm trục đối xứng; đường cong đó có tên là parabol.

 Nếu a  thì đồ thị nằm phía trên trục hoành và 0 O0;0 là điểm thấp nhất của đồ thị.

 Nếu a  thì đồ thị nằm phía dưới trục hoành và 0 O0;0 là điểm cao nhất của đồ thị.

b) Đồ thị của nó đi qua điểm B  2;3 .

a) Biết điểm A2;b thuộc đồ thị hàm số y0, 2x2, ta có b 0, 2 2 2 0,8.

Điểm A' 2; b cũng thuộc đồ thị  y0, 2x2 Vì 'A đối xứng với A qua trục tung.

b) Biết điểm B b ;6 thuộc đồ thị hàm số y0, 2x2, thì 6 0,2b 2  b 2 30 b  30.Điểm C b  ; 6 không thuộc đồ thị y0, 2x2 Vì C b  ; 6 đối xứng với B qua trục hoành.

0, 2

a) Vẽ trên cùng một hệ trục tọa độ, đồ thị hai hàm số

b) Tìm tọa độ của các giao điểm

y x x x

0055

x y x y

b) Tìm tọa độ của các giao điểm

y x x x

2

2

001313

x y x y

a) Đồ thị của nó đi qua điểm A  2;2 b) Đồ thị của nó đi qua điểm B  2;5 .

0,3

a) Vẽ trên cùng một hệ trục tọa độ, đồ thị hai hàm số

b) Tìm tọa độ của các giao điểm

PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI MỘT ẨN

1 Nghiệm-tập nghiệm của phương trình

 Giá trị x x 0 làm cho hai vế của phương trình có cùng một giá trị thì x x 0là một nghiệm của phương trình

 Tập hợp tất cả các nghiệm của phương trình gọi là tập nghiệm của phương trình, ký hiệu là S.

 Phương trình không có nghiệm nào gọi là phương trình vô nghiệm, nghĩa là S 

 Phương trình nghiệm đúng với mọi giá trị của ẩn gọi là phương trình có vô số

nghiệm, nghĩa là S R

2 Các phép biến đổi phương trình

biến đổi tương đương

 Khi ta nhân (hoặc chia) hai vế của phương trình với cùng một số ( hoặc cùng một biểu thức ) khác O thì được một phương trình mới tương đương

đổi không tương đương

3 Định nghĩa phương trình bậc hai một ẩn

Phương trình bậc hai một ẩn số x là phương trình có dạng ax2bx c 0,a0

Ví dụ 1 : Giải phương trình, bằng cách biến đổi phương trình về dạng

x x

1 Phương trình bậc hai khuyết

 Nếu a b c  0 thì x  ; 1 1 2

c x

b  và tính  ' b'2 ac( gọi là biệt số thu gọn của pt bậc 2)

 Nếu ' 0  phương trình bậc 2 có hai nghiệm phân biệt : x1 b' '

 Nếu ' 0  phương trình bậc 2 vô nghiệm

c) Nếu b là số lẻ : tính  b2 4ac ( gọi là biệt số của phương trình bậc 2)

 Nếu  0 phương trình bậc 2 có hai nghiệm phân biệt : 1/ 2

2

b x

 Nếu  0 phương trình bậc 2 vô nghiệm

khi hai hệ số a và c trái dấu nhau

Ví dụ 2 : Không giải phương trình, hãy xác định các hệ số a, b, c, tính biệt số và xác định số

nghiệm của phương trình :

c) 4x 2 3 5 0 ta có a4,b0,c3 5 Phương trình bậc hai khuyết b.

Vì  b2 4ac 12 4.2 3  25 5 2 nên 1/ 2 1 5

b x

Bài tập 5 : Với giá trị nào của x thì giá trị của hai hàm số bằng nhau :

phương trình f x  g x  và ngược lại

Giải và biện luận phương trình : 2

0

ax bx c  , (1)

 Nếu a  , phương trình (1) về dạng 0 bx c 0, (1)

o Nếu b  và 0 c  thì phương trình (1) có vô số nghiệm x 0

o Nếu b  và 0 c 0 thì phương trình (1) có vô nghiệm

x a

o a và c cùng dấu phương trình (1) vô nghiệm

o Nếu  0 phương trình bậc 2 vô nghiệm

Ví dụ 1 : Với giá trị nào của tham số m thì phương trình có nghiệm kép ?

a b c

Ví dụ 5 : Giải và biện luận phương trình

a) Chứng minh rằng phương trình luôn có nghiệm

b) Tính giá trị của m, n để phương trình có nghiệm kép bằng 2

a) Chứng minh rằng phương trình (1) luôn có 2 nghiệm phân biệt

b) Gọi x , 1 x là hai nghiệm của phương trình (1) Không giải phương trình hãy tính theo a 2

giá trị của biểu thức : a) 2 2

Ví dụ 1 : Nhẩm nghiệm phương trình

a) x2 2007x2006 0 b) 2x2 5x  c) 3 0 x2 x 6 0 d) x27x12 0e) x2 6x  b) 8 0 x2 12x32 0 c) x2 3x 10 0 d) x23x10 0

x 

Ứng dụng 2: Tìm hai số khi biết tổng của chúng bằng S và tích của chúng bằng P.

 Hai số cần tìm là nghiệm của phương trình x2 Sx P  0

 Điều kiện để tồn tại hai số đó là 2

S  P

Ví dụ 1 : a) Tìm hai số a, b biết tổng của chúng bằng 32 và tích của chúng bằng 231.

b) Tìm hai số x, y biết tổng của chúng bằng 5 và tích của chúng bằng 105 c) Tìm hai số x, y biết tổng của chúng bằng 42 và tích của chúng bằng 441 d) Tìm hai số x, y biết tổng của chúng bằng 42 và tích của chúng bằng 400

Ví dụ 2 : Lập phương trình có hai nghiệm là :

a) 3 và 5 b) 5 và 1

3 c) 1,9 và 5,1 d) 4 và 1 2 e) 1 3 và 3 2

Hướng dẫn

Lập phương trình có hai nghiệm x a ; x b thì phương trình đó là x a x b     0

1) Phương trình có nghiệm kép Tính nghiệm kép đó

2) Phương trình có hai nghiệm phân biệt

Tính các giá trị đối xứng của các nghiệm của một phương trình bậc hai.

1) x12x22 x122x x1 2x22 2x x1 2 x1x22 2x x1 2 S2 2P.

1 2 1 3 1 2 3 1 2 2 3 1 2 3 1 2 1 2 3 1 2 1 2 3

x x x  x x  x x x  x x  x x  x x  x x x x S  PS.3) 4 4    2 2 2 2 2 2 2 2  2 22  2  2 2 2

Không giải phương trình tìm m để :

20

x x

a b c

a b c

m m m

m m

m m

m b

* PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI *

1 Phương trình chứa giá trị tuyệt đối

Bài giải Ghi nhớ :

3 Phương trình trùng phương

Cách giải phương trình trùng phương ax4bx2 c 0,a0

y x với điều kiện y  0

 Khi đó ta được phương trình trung gian dạng : ay2by c 0

 Giải phương trình trung gian, tìm nghiệm y; chọn những giá trị y thỏa mãn điều kiện0

y 

 Thay y vào phương trình x2 y tìm x y

Ghi nhớ : Nếu phương trình trung gian có :

Ví dụ 1 : Giải phương trình

a) x4 5x2  b) 4 0 x4x2 12 0 c) 5x46x2  d) 1 0 2x4 3x2 5 0

Bài tập : Giải phương trình

a) x4 13x236 0 b) 4x4x2 5 0 c) 3x44x2  d) 1 0 x4 13x236 0a) 3x4 12x2   b) 9 0 2x43x2 2 0 c) x45x2  d) 1 0 x4 1,16x20,16 0

ax bx  c a , n N n , 2

 Đặt ẩn số phụ : y x n

 Khi đó ta được phương trình trung gian dạng : ay2by c 0

 Giải phương trình trung gian, tìm nghiệm y

 Thay y vào phương trình x n y tìm x

 So sánh các giá trị ẩn vừa tìm, nếu giá trị nào thỏa mãn điều kiện xác định thì đó chính là nghiệm của phương trình đã cho

x x

y  ; 2

156

Ta được y 14 y14 16  y46y2 7 0 

2 2

17

y y

y y

GIẢI BÀI TOÁN BẰNG CÁCH LẬP PHƯƠNG TRÌNH

1 Lập phương trình

 Biểu diễn các đại lượng chưa biết khác theo ẩn và các đại lượng đã biết;

 Biểu thị mối liên quan giữa các đại lượng bằng một phương trình

2 Giải phương trình

3 Trả lời

của ẩn thì nó là đáp số của bài toán

Bài toán về tỷ số

5 số sách ngăn dưới Nếu thêm 25 cuốn vào ngăn trên, bớt 15 cuốn ở ngăn dưới thì số sách ngăn trên bằng 2

3 số sách ngăn dưới Tính số sách ở mỗi ngăn lúc ban đầu

Bài giải

Gọi số sách ngăn dưới là x , (cuốn), điều kiện x N  số sách ngăn trên là 5x , (cuốn)

x x





 x  15Trả lời : lúc ban đầu ngăn trên có 15 cuốn sách, ngăn dưới có 75 cuốn sách

Bài toán về số và quan hệ giữa các chữ số

Ví dụ 1 : Tìm hai số biết hiệu của chúng bằng 7 và tổng các bình phương của chúng bằng

289

Bài giải

Gọi x là số nhỏ hơn trong hai số phải tìm  số lớn sẽ là x  7

Theo bài ra ta có ptrình : x72x2 2892x214x 240 0 x115,x2 8

Trả lời : Hai số phải tìm là : 15 và 8 hoặc 8 và 15

Ví dụ 2 : Tìm một số biết rằng số đó nhỏ hơn nghịch đảo của nó là 2,1.

Ví dụ 3 : Cho một số có hai chữ số Tổng hai chữ số của chúng bằng 10 Tích hai chữ số ấy

nhỏ hơn số đã cho là 12 Tìm số đã cho

Bài giải

Gọi chữ số hàng chục của số đã cho là x , điều kiện : x N x *, 9

Chữ số hàng đơn vị là : 10 x , giá trị của số đã cho là : 10x10 x

Theo bài ra ta có phương trình :x10 x 9x10 12 x2  x 2 0 x1 1,x2 2

Vì x  không thỏa mãn điều kiện của ẩn.1

Nên chữ số hàng chục là 2, hàng đơn vị là 10 2 8 

Trả lời : số đã cho là 28

Bài toán về phần trăm

gian quy định Nhờ tăng năng xuất mỗi ngày 4,5 m3 nên 4 ngày trước thời hạn quy định tổ đãsản xuất được 96% công việc.Hỏi thời gian quy định là bao nhiêu ngày ?

Bài giải

Gọi thời gian quy định là x , (ngày); điều kiện x  4

Năng xuất quy định là : 450  3

Trả lời : thời gian quy định là 20 ngày

Bài toán về thay đổi kế hoạch để hoàn thành công việc

Ví dụ 1 : Trong một phòng họp có 360 ghế được xếp thành các dãy và số ghế trong mỗi dãy

đều bằng nhau Để đủ chỗ cho 400 đại biểu thì phòng họp phải xếp thêm một dãy ghế và mỗidãy phải xếp thêm một ghế Hỏi ban đầu phòng họp có bao nhiêu dãy ghế ?

Bài giải

Gọi số dãy ghế trong phòng họp là x , (dãy); điều kiện : x N *

Ví dụ 2 : Một công ty vận tải dự định dùng loại xe lớn để trở 15 tấn rau theo một hợp đồng

Nhưng khi vào việc, công ty không còn xe lớn nên phải thay bằng những xe có trọng tải nhỏ hơn nửa tấn Để đảm bảo thời gian đã hợp đồng, công ty đã phải dùng một số lượng xe nhiềuhơn số xe dự định là 1 xe Hỏi trọng tải của mỗi xe nhỏ là bao nhiêu tấn ?

Bài giải

Gọi trọng tải xe nhỏ là x , (tấn); điều kiện : x  0

Bài toán về chuyển động

Ví dụ 1 : Một canô đi xuôi dòng 44 km rồi ngược dòng 27 km hết tất cả 3 giờ 30 phút Biết

vận tốc thực của canô là 20 km/h Tính vận tốc dòng nước

Bài giải

Gọi vận tốc của dòng nước là x km h , điều kiện : , /  x  0

Ví dụ 2 : Một ôtô phải đi quảng đường dài 150 km với một thời gian đã định Sau khi xe đi

được nửa quãng đường phải dừng lại thay lốp hết 10 phút, do đó để đến B đúng hẹn, xe phải tăng tốc thêm 5 km/h trên quãng đường còn lại Tính vận tốc dự định của ôtô

Bài giải

Gọi vận tốc dự định của ôto là x km h , điều kiện : , /  x  0

x  x  

x  x  x145,x2 50.Trả lời : vận tốc dự định của ôtô là : 45 km/h

Ví dụ 3 : Quãng đường Thanh Hóa  Hà Nội dài 150 km Một ôtô từ Hà Nội vào Thanh

Hóa , nghỉ lại Thanh Hóa 3 giờ 15 phút, rồi trở về Hà Nội hết tất cả 10 giờ Tính vận tốc ôtô lúc về, biết rằng vận tốc của nó lúc đi lớn hơn vận tốc của nó lúc về là 10 km/h

Bài giải

Gọi vận tốc của ôtô lúc về là x km h , điều kiện : , /  x  0

vận tốc của ôtô lúc đi là x10,km h/ 

Thời gian đi từ Hà nội vào Thanh Hóa là : 150

9

9

Trả lời : vận tốc của ôtô lúc về là : 40 km/h

Ví dụ 4 : Hai sân bay Hà Nội  Đà Nẵng cách nhau 600km Một máy bay cánh quạt từ Đà

Nẵng đi Hà Nội Sau đó 10 phút một máy bay phản lực từ Hà Nội đi Đà Nẵng với vận tốc lớn hơn vận tốc của máy bay cánh quạt là 300km/h Nó đến Đà Nẵng trước khi máy bay kia đến Hà Nội 10 phút Tính vận tốc của mỗi máy bay

Bài giải

Gọi vận tốc máy bay cánh quạt là x km h , điều kiện : , /  x  0

vận tốc của máy bay phản lực là x300,km h/ 

Thời gian đi từ Hà nội vào Thanh Hóa là : 150

Vì x 900 không thỏa mãn điều kiện của ẩn

Trả lời : vận tốc của máy bay cánh quạt là : 600 km/h

vận tốc của máy bay phản lực là : 900 km/h

Ví dụ 5 : Hà Nội cách Nam Định 90km Hai ôtô khởi hành đồng thời, xe thứ nhất từ Hà Nội,

xe thứ hai từ Nam Định và đi ngược chiều nhau Sau 1 giờ chúng gặp nhau Tiếp tục đi, xe thứ hai đến Hà Nội trước xe thứ nhất tới Nam Định là 27 phút Tính vận tốc của mỗi xe

Bài giải

Gọi vận tốc xe thứ nhất là x km h , điều kiện : 0, /  x90

Vì sau 1 giờ hai xe gặp nhau, nghĩa là tổng quãng đường đi được của hai xe trong một giờ, hay tổng vận tốc của hai xe là 90km/h Do đó vận tốc của xe thứ hai là 90 x km h, / .Quãng đường xe thứ nhất phải đi tiếp là : 90 x km, ; vì thế thời gian xe thứ nhất đi tiếp tới

x

, (giờ); Nên thời gian xe thứ hai đi tiếp tới Hà Nội là :

90

x x

Ví dụ 6 : Một xuồng máy xuôi dòng sông 30km và ngược dòng 28km hết một thời gian bằng

thời gian mà xuồng đi 59,5km trên mặt hồ yên lặng Tính vận tốc của xuồng khi đi trên hồ biết rằng vận tốc của nước chảy là 3km/h

Bài giải

Gọi vận tốc của xuồng máy khi đi trên mặt hồ yên lặng là x km h , điều kiện : , /  x  3 vận tốc của xuồng khi xuôi dòng sông là : x3,km h/ 

vận tốc của xuồng khi ngược dòng sông là : x 3,km h/ 

Thời gian đi 59,5km trong hồ là : 119

Theo bài ra ta có phương trình : 30 28 119

Vì x 21 không thỏa mãn điều kiện của ẩn

Trả lời : vận tốc của xuồng trên hồ yên lặng là : 17km/h

Ví dụ 7 : Một bè gỗ được thả trôi sông từ đập Yaly, sau khi thả bè gỗ 5 giờ 20 phút, một

xuồng máy cũng xuất phát từ d0ập Yaly đuổi theo và đi được 20km thì gặp bè Tính vận tốc của bè biết rằng xuồng máy chạy nhanh hơn bè 12km/h

Bài giải

Gọi vận tốc của bè là x km h , điều kiện : , /  x  0

vận tốc của xuồng máy là x12,km h/ 

Thời gian bè trôi đến lúc gặp xuồng là : 20

Bài toán về năng xuất

Ví dụ 1 : Một tổ công nhân may mặc phải may 144 cái áo Do ba công nhân bị bệnh không

đi làm được nên mỗi người còn lại phải may thêm 4 cái áo, biết rằng năng xuất mỗi người là như nhau Tính số công nhân của tổ

Bài giải

Gọi số công nhân của tổ lúc đầu là x ,(người); điều kiện : x N *

3

x  x  x112,x2 9.Trả lời : số công nhân của tổ lúc đầu là 12,(người)

Ví dụ 2 : Hai đội công nhân làm đường thoát nước gồm 25 người cùng làm một đoạn đường.

Đội I đào được 43m đất, đội II đào được 3 40m đất Biết rằng mỗi công nhân đội II đào hơn 3

mỗi công nhân đội I là 1m Tính số đất mỗi công nhân đội I đào được.3

Bài giải

Gọi số đất mỗi công nhân đội I đào được là x ,(m3); điều kiện : x  0

5

x  x  Trả lời : số đất mỗi công nhân đội I đào được là 3m3

Bài toán về tìm thời gian để mỗi đối tượng làm một mình hoàn thành công việc

Ví dụ 1 : Hai máy bơm nước cùng bơm vào một bể thì sau 6 giờ nước đầy bể Nếu mỗi máy

bơm một mình cho đầy bể thì máy II cần nhiều thời gian hơn máy I là 5 giờ Tính thời gian mỗi máy bơm một mình bơm đầy bể ?

Bài giải

Gọi thời gian máy I bơm một mình đầy bể nước là x , (giờ), điều kiện : x  0

Gọi thời gian máy II bơm một mình đầy bể nước là y , (phút), điều kiện : y  0

x x  

2 7 30 0

x  x  x110,x2 3.Trả lời : thời gian máy I bơm một mình đầy bể nước là 10giờ,

thời gian máy II bơm một mình đầy bể nước là 15giờ

Ví dụ 2 : Nếu mở cả hai vòi nước cùng chảy vào một bể cạn thì sau 2 giờ 55 phút đầy nước

Nếu mở riêng từng vòi thì vòi thứ nhất làm đầy bể nhanh hơn vòi thứ hai là 2 giờ Hỏi nếu

mở riêng từng vòi thì mỗi vòi chảy bao lâu đầy bể ?

Bài giải

Gọi thời gian vòi thứ nhất một mình chảy đầy bể nước là x , (giờ), điều kiện : x  0

thời gian vòi thứ 2 một mình đầy bể nước là x  , (giờ).2

Trong một giờ cả hai vòi cùng chảy được 12

6

x  x 

6

Trả lời : Vòi thứ nhất chảy một mình trong 5 giờ thì đầy bể;

Vòi thứ hai chảy một mình trong 7 giờ thì đầy bể

Ví dụ 3 : Hai đội công nhân cùng làm một quãng đường thì 12 ngày xong việc Nếu đội thứ

nhất làm một mình nửa công việc, rồi đội thứ hai tiếp tục làm một nình nửa công việc còn lạithì hết tất cả 25 ngày Hỏi mỗi đội làm một mình thì bao lâu xong việc ?

Bài giải

Gọi thời gian đội thứ nhất một mình làm xong nửa công việc là x , (ngày); đk 6x25

thời gian đội thứ hai một mình làm xong nửa công việc là 25 x , (ngày)

Trả lời : Đội thứ nhất làm một mình trong 20 ngày thì xong công việc;

Đội thứ hai làm một mình trong 30 ngày thì xong công việc

Hoặc :

Trả lời : Đội thứ nhất làm một mình trong 10 ngày thì xong công việc;

Đội thứ hai làm một mình trong 20 ngày thì xong công việc.

Bài toán về có nội dung hình học

Ví dụ 1 : Tính các kích thước của hình chữ nhật biết chu vi bằng 120m, diện tích bằng 875

m2

Bài giải

Gọi chiều dài của hình chữ nhật là x , (m), điều kiện : x 30

Theo bài ra ta có phương trình : x60 x 875 2

x  x  x135,x2 25.Trả lời : chiều dài 35m, chiều rộng 25m

Ví dụ 2 : Một sân hình tam giác có diện tích 180m2 Tính cạnh đáy biết nếu tăng cạnh đáy

4m và giảm chiều cao tương ứng 1m thì diện tích không đổi

Bài giải

Gọi cạnh đáy của tam giác là x , (m), điều kiện : x  0

4

x  x  

x  x  x136,x2 40.Trả lời : cạnh đáy 36m

Ví dụ 3 : Một hình chữ nhật có chu vi 100m Nếu tăng chiều rông gấp đôi và giảm chiều dài

10m thì diện tích của nó tăng thêm 200m2 Tính chiều rộng của hình chữ nhật

Bài giải

Gọi chiều rộng của hình chữ nhật lúc đầu là x , (m); điều kiện : x  0

Theo bài ra ta có phương trình : 2 40x  x  x50 x 200

x2 30x200 0 x120,x2 10

Trả lời : chiều rộng của hình chữ nhật lúc đầu là 20m hoặc 10m

Ví dụ 4 : Một tam giác vuông có chu vi 30m, cạnh huyền bằng 13m Tính mỗi cạnh góc

vuông

Bài giải

Gọi cạnh góc vuông nhỏ là x , (m), điều kiện : 0x8,5

Theo bài ra ta có phương trình : x217 x2 169x2 17x60 0 x112,x2 5.Trả lời : hai cạnh góc vuông là 12m, 5m

AB Tứ giác MNCP là một hình bình hành có đỉnh N thuộc cạnh AC Hỏi khi M cách A bao nhiêu thì diện tích của hình bình hành bằng 32cm2 ?

Bài giải

Gọi MA x cm ,  , điều kiện : 0x12

Vì ABC vuông cân nên MP MB 12 x.Diện tích hình bình hành MNCP bằng : MP MA 12 x x Theo gt thì diện tích này bằng :  2

32, cm

Theo bài ra ta có phương trình : 12 x x 32x2 12x32 0

x14;x2 8.Trả lời : M cách A là 4cm hoặc 8cm