Hệ thống kiến thức về hàm số liên tục2 Hàm số liên tục trên một khoảng * Định nghĩa: - Hàm số fx đ ợc gọi là liên tục trên khoảng a; b nếu nó liên tục tại mọi điểm của khoảng đó... 4 là
Trang 1CHÀO MỪNG CÁC EM HỌC SINH
LỚP 11A
Trang 2Hệ thống kiến thức về hàm số liên tục
1 ) Hàm số liên tục tại một điểm
Hàm số f(x) xác định trên khoảng (a; b)
) ( )
(
0
x f x
f
x
→
f(x) liên tục tại x0 ∈ (a; b) ⇔
*) Các b ớc c/m hàm số f(x) liên tục tại 1 điểm xo:
xo € TXD, tính f(xo)
tồn tại
*) Hàm số f(x) vi phạm 1 trong 3 b ớc trên thì không liên tục tại 1 điểm xo hay gián đoạn tại điểm xo đó:
) (
lim
0
x
f
x
x→
) ( )
(
0
x f x
f
x
→
Trang 3Hệ thống kiến thức về hàm số liên tục
2) Hàm số liên tục trên một khoảng
*) Định nghĩa:
- Hàm số f(x) đ ợc gọi là liên tục trên khoảng (a; b) nếu nó liên tục tại mọi điểm của khoảng đó
- Hàm số f(x) đ ợc gọi là liên tục đoạn [a; b] nếu nó liên tuc trên khoảng (a; b) và
Nx: Đồ thị của hàm số liên tục trên 1 khoảng là một “ đ ờng liền” trên khoảng đó
*) Định lý 1:
Các hàm số đa thức, hàm số hữu tỉ, hàm số l ợng giác là liên tục trên tập xác định của chúng
*) Định lý 2:
Tổng, hiệu, tích, th ơng ( với mẫu khác 0) của những hàm số liên tục tại một điểm là liên tục tại điểm đó
) ( )
( lim ),
( )
(
b x a
→
→
Trang 43) Chøng minh ph ¬ng tr×nh f(x) = 0 cã nghiÖm
f(x) liªn tôc trªn [a ;b]
f(a).f(b) < 0
Ph ¬ng tr×nh f(x) = 0 cã Ýt nhÊt mét nghiÖm xo thuéc kho¶ng (a; b)
Bµi tËp hµm sè liªn tôc
f(x) liªn tôc t¹i mét ®iÓm
f(x) liªn tôc trªn mét kho¶ng
f(x) = 0
cã nghiÖm
*) §Þnh lý 3:
Trang 5BµI tËp
§3 hµm sè liªn tôc
Trang 6Vấn đề 1: Xét tính liên tục của hàm số tại điểm x0
*)Ví dụ áp dụng:
Bài 1: Xét tính liên tục của các hàm số sau tại điểm đ ợc chỉ ra
1)
f(x) =
3) f(x) =
Hàm số f(x) xác định trên khoảng (a; b)
f(x) liên tục tại x0 ∈ (a; b)⇔ lim f ( x ) f ( x0)
x
→
*)Ph ơng pháp:
Tại điểm x0 = 2
x
1
nếu x # 0
1
1
2
−
+
x x
Trang 7Vấn đề 1: Xét tính liên tục của hàm số tại điểm x0
*)Ví dụ áp dụng:
Bài1
Bài giải: TXĐ: D =R =>xo = 2 € D
1
1 lim
2
+
x x
= 5
f (2) = 5
2 f x f
→
Kết luận: Hàm số đã cho liên tục tại điểm x0 = 2
Hàm số f(x) xác định trên khoảng (a; b) f(x) liên tục tại x0 ∈ (a; b)⇔ lim f ( x ) f ( x0)
x
→
=
*)Ph ơng pháp:
1) f(x) =
1
1
2
−
+
x x
KL:H/s gián đoạn tai x = 1
Tại điểm x0 = 2
2)
Tại điểm x0 = 1 TXĐ: R
1 )
2 lim(
) (
lim
1
2
−
−
→
Tinh
) ( lim )
(
lim
1
x
x → − ≠ → +
⇒
2 f x
x →
f(x) = 2 x − 1 nếu x > 1
1 )
1 2
lim(
) (
lim
1
+ +
→
Tinh
Hàm số f(x) xác định trên khoảng (a; b) f(x) liên tục tại x0 ∈ (a; b)⇔
*)Ph ơng pháp:
Trang 8Vấn đề 1: Xét tính liên tục của hàm số tại điểm x0
Bài 1:
Hàm số f(x) xác định trên khoảng (a; b) f(x) liên tục tại x0 ∈ (a; b)⇔
*)Ph ơng pháp:
1
nếu x # 0
Bài giải: TXD: R do đó xo = 0 € TXD
−∞
=
=
−
−
→
→
0 0
1 lim )
( lim
x
KL: Hàm số f(x) gián đoạn tại xo = 0
Trang 9Vấn đề 2: Xét tính liên tục của hàm số trên một khoảng
*)Ph ơng pháp:
áp dụng định lý 1, 2: các hàm số đa thức, hàm số hữu tỷ,
hàm số l ợng giác, liên tục trên tập xác định của chúng
*)Ví dụ áp dụng
Bài 2: Xét tính liên tục của các hàm số sau trên tập xác định của chúng:
4 x
16
x2
−
−
a) f( x) =
nếu x ≠ 4
b) f(x) = 2 x − 1 nếu x > 1
a/ Veừ ủoà thũ h.s sau Tửứ ủoự nhaọn xeựt tớnh lieõn tuùc treõn TXẹ
x
x x
x
f ( ) ( − 1 )
= b/ Khaỳng ủũnh nhaọn xeựt treõn baống moọt chửựng minh.
Bài 3:
Trang 104 x
16
x2
−
−
a) f( x) =
nếu x ≠ 4
Bài giải:
Tập xác định: D = R
Hàm số liên tục tại x = 4
Với x ≠ 4: Hàm số f(x) = liên tục trên các khoảng (-∞; 4) và (4; +∞)
Xét tại x = 4:
Kết luận: Hàm số đã cho liên tục trên R
⇒
Bài 2: Xét tính liên tục của các hàm số sau trên tập xác định của chúng:
4 x
16
x lim
2 4
−
→ lim ( x 4 )
4
f(4) = 8
⇒
) x ( f
lim
4
) x ( f
lim
4
=
= f(4)
4 x
16
x2
−
−
Vấn đề 2: Xét tinh liên tục của hàm số trên một khoảng
Trang 11b) f(x) = 2 x − 1 nếu x > 1
Vấn đề 2: Xét tinh liên tục của hàm số trên một khoảng
Bài 2: Xét tính liên tục của các hàm số sau trên tập xác định của chúng:
Bài giải:
Tập xác định: D = R
*) Với x > 1 hoặc x < 1 thì h/s f(x) trên là các hàm đa thức nên nó liên tục trên các khoảng (-∞; 1) và (1; +∞)
*) Tai x = 1 thì h/s f(x) gián đoạn
Kết luận: Hàm số đã cho liên tục trên mỗi khoảng (-∞; 1) và (1; +∞) và gián đoạn tại x = 1
Trang 12
<
>
−
=
−
=
0 x
neỏu
x -1
0 x
eỏu n 1 )
1
( )
x
x
x x
f
o
-1
1
x
y
)
; 0 ( va ) 0
;
=> Haứm soỏ lieõn tuùc treõn
b/
+) Ta coự: f(x) = x - 1 vụựi x>0;
f(x) = 1 - x (x<0) laứ haứm ủa thửực
neõn lieõn tuùc treõn
Bài 3: a) Vẽ đồ thị h/số
Bài tập: hàm số liên tục
)
; 0 ( va ) 0
; ( −∞ +∞
+ Tại x =0 không thuộc TXD của h/s nên h/s gián
đoạn tại x = 0
Kl: Haứm soỏ lieõn tuùc treõn (-∞; 0) va (0; +∞),gián đoạn tại x = 0
Trang 13Vấn đề 3 Chứng minh ph ơng trình f(x) = 0 có nghiệm
f(x) liên tục trên [a ;b]
f(a).f(b) < 0
=> Ph ơng trình f(x) = 0 có ít nhất một nghiệm xo thuộc khoảng (a; b)
Ví dụ áp dụng
Bài 4:
a) Cho ph ơng trình: x3 - 3 x + 1 = 0 Chứng minh rằng ph ơng trình có nghiệm ∈ ( 1; 2 ) b/ Ph ơng trình x4 – 3x3 + 1 = 0 có nghiệm hay không trên khoảng (-1; 3)
c/ CMR :ph ơng trinh
cú nghiệm với mọi m
1 5
sin 2 )
2 cos
2
m
Trang 14Vấn đề 3 Chứng minh ph ơng trình f(x) = 0 có nghiệm
f(x) liên tục trên [a ;b]
f(a).f(b) < 0
=> Ph ơng trình f(x) = 0 có ít nhất một nghiệm xo thuộc khoảng (a; b)
Ví dụ áp dụng
Bài 4: a) Cho ph ơng trình: x3 - 3 x + 1 = 0
Bài giải:
Chứng minh rằng ph ơng trình có nghiệm ∈ ( 1; 2 )
Hàm số f(x) là đa thức nên liên tục trên R ⇒ hàm số f(x) liên tục trên đoạn [1 ;2]
f(1) =
⇒ f(1).f(2) = - 3 < 0
Kết luận: ph ơng trình có nghiệm ∈ ( 1; 2 )
-1 f(x)= x3 - 3 x + 1
Trang 15BàI tập: hàm số liên tục
b/ Hàm số f(x) = x4 – 3x3 + 1 liên tục trên R, do đó liên tục trên khoảng ( -1; 3) và có : f( -1) = 5 ;f(1) = -1; f(3) = 1 >
0 Do đo trên khoảng (- 1; 3) thì Pt có 2 nghiệm
1 5
sin 2 ) 2 cos
2 ( )
f
m f
f − ) = ( − 1 + 2 ).( − 1 − 2 ) < 0 ∀
4 ( ).
4
là hàm số xỏc định và liờn tục trờn R nờn liờn tục trờn
và cú
Vậy pt :f(x)=0 cú nghiệm với mọi m
Đặt
−
4
; 4
π π
c/ CMR :ph ơng trinh cú nghệm với mọi m m ( 2 cos x − 2 ) = 2 sin 5 x + 1
Trang 16BµI tËp
§3 hµm sè liªn tôc
XÐt tÝnh liªn tôc cña hµm sè t¹i mét ®iÓm
XÐt tÝnh liªn tôc cña hµm sè trªn mét kho¶ng
Chøng minh ph ¬ng tr×nh cã nghiÖm trªn kho¶ng