Từ đó chứng minh rằng phương trình luôn có nghiệm.. Từ đó chứng minh rằng phương trình luôn có nghiệm... Chứng minh rằng phương trình đã cho có ít nhất một nghiệm dương không vượt quá a+
Trang 1HÀM SỐ LIÊN TỤC A.XÉT LIÊN TỤC TẠI 1 ĐIỂM (DẠNG 1)
Bài 1: Xét tính liên tục của hàm số sau đây tại điểm x đã chỉ ra:0
neáu
2
0
1
x
ìï +
ïï
ïïî
neáu
2
0
4
x
x
ï
ïïî
3)
neáu
2
1
1
x
x
ïïï
ïî
4)
8 neáu
neáu
3
0
2
8
2 2
x
x x
ïïï
¹
ïï -ïî
5)
neáu 11
neáu 3
3 2
0
6
2
2
x
x
ìï -
ïïï -
= ïïïî
neáu 0
2
x
x
x
ìï -
ï
ïïî
neáu
2 2
0 2
( 1)
1
1
x
x
ìï
ïï
ïïî
neáu
3 2
0
1 cos
0
1
0 6
x
x x
x
ìï
ïï
= ïïïî
neáu
2
0
0
1
0 4
x
x x
x
ìï
ïï
= ïïïî
neáu
2
0
1
x
ïï
= ïïî
neáu 0
sin
1
1
1
x
x
x
p p
ïï
ïïî
neáu
2 2
0
1
1
1 2
x
x
ïïî
neáu
2
0
1
x
x
ìï -
ï
= ïïî
14)
neáu neáu ;
0 neáu ;
2
0 1
0, 1
x
-ïí
ïïî
15)
neáu neáu
3
0
1
1
sin
1
x
x x
x
x x
p
ìï
ïï
ïïî
neáu 0
2 1
1
x
x
x
ìï +
-ï
-ïïî
neáu
3
0
0
1
0 6
x x
x
ïï
= ïïïî
3 neáu 0
5
5
x
x
ìï
ïï
ïïî
Bài 2: Tìm tham số để mỗi hàm số sau đây liên tục tại điểm x đã chỉ ra:0
neáu
2
0
2
1
1
x
ìï +
ïï
ïïî
neáu 0
x
x
ìï +
ï
ïïî
Trang 23) neáu
neáu
2
0
2
2
x
ïï
ïïî
neáu
3 2
0
1
1
1
x
ìï +
ïï
ïïî
neáu
0 2
2 2
2
x
x
ìï +
ï
ïïî
B.XÉT LIÊN TỤC TẠI 1 ĐIỂM (DẠNG 2)
Bài 3: Xét tính liên tục của hàm số sau đây tại điểm x đã chỉ ra:0
neáu
2
0
ïï
neáu neáu
2
0
4
2
x
x
ìï
ïï
ïïî
3)
neáu neáu
2 2
0
1
1 2
x x
x
x
ïïï
<
ïïïî
4)
neáu
neáu 0 3
3
0
1 1
0
x
x x
ïï ï
ïï + -ïî
neáu 0
1 cos 6
0
0 1
x
x
x x
ìï
ïï
³
ïï + ïî
6)
neáu
sin
,
2
x
x x
x
x
p
p
-ïïï +
-ïïïî
neáu 0 2
sin 2
x
x
ï
ïïî
neáu
2 2
1 cos 2
sin
x
x
p p
-ï
=íïï
= ïïî
9)
neáu neáu neáu
3
0 4
1
1
1
1 1
x
x x
x
x x
ïï í
-î
neáu 0
1
x
x
-ïï
-ïïî
neáu 0
x
x
x
ïï
= ïïî
Bài 4: Tìm tham số để mỗi hàm số sau đây liên tục tại điểm x đã chỉ ra:0
neáu
2
0
ïï
neáu neáu 0
1 cos 4
0
0 1
x
x
x x
ìï
ïï
³
ïï + ïî
neáu 0
0
4
0 2
x x
x
x
ïï
neáu
2 2
0
2
2
x
ìï - +
ïï
ïïî
Trang 3C.XÉT LIÊN TỤC TRÊN 1 KHOẢNG, ĐOẠN
Bài 5: Xét tính liên tục của hàm số sau đây trên tập xác định của nó
neáu
2
2
x
ìï - + +
-ïï
-ïïî
neáu
1 1
x
-ïï
-ïïî
neáu
4 8
2 2
x
ìï
ïï
=í
ïïî
8 neáu
2 16
4 4
4
x
x
x
ìï
ïï
=í
ïïî
neáu
y
-ïï
neáu neáu
2
0
ïï
neáu
sin
3
3
x
x
p
p p
ï
=í -ïïïï
= ïïî
8)
neáu neáu neáu
2 2
3 10
2 4
2
x x
x
x x
ìï +
-ïïï
+
ïï + ïî
neáu 0
0
4
0 2
x x
x
x
ïï
neáu 0
1 cos 4
0
0 1
x
x
x x
ìï
ïï
³
ïï + ïî
neáu
2 sin
0 0
ax
x
ïï
ïïî
neáu
33 2 2
2 2
x
x
ï
ïïî
Bài 6: Tìm tham số để hàm số sau đây liên tục trên ¡
1)
neáu neáu neáu
3
2
8
2
2 2
x
x x
ìï
ïï
-ïí
ïïî
neáu
3 3 2 2
2 2
1
2 4
x
x x
y
ïï
-=íïï
ïïïî
3) neáu
neáu
3 8
2 2
x
x
ìï
ïï
=í
ïïî
4)
neáu neáu neáu
ïï ï
ïïî
5)
neáu neáu neáu
2 sin
2 sin
cos
2
p
p
-ïï ïï ïï
ïï
ïïïî
6) neáu
neáu
2
ïï
ïïî
E.XÉT TÍNH LIÊN TỤC BẰNG TẬP XÁC ĐỊNH
Bài 7: Xét xem mỗi hàm số sau đây có liên tục trên toàn trục số hay không Nếu chúng không liên tục trên
toàn trục số hãy chỉ ra các điểm x mà tại đó hàm số gián đoạn
x
f x
x x
+
=
2
x x
f x
x x
=
x
f x
x x x
+
=
Trang 45) f x( ) tan3 x
=
( )
f x
=
7) ( ) 2 sin3 cos2 1
4 cos 2
f x
x
=
sin sin 2 sin 3
f x
-=
9) ( ) 2 sin
sin 3 cos
x
f x
=
f x
-=
neáu
1 1
( )
1
1 3
x
x x
f x
x
ìï
ïï
-=íïï
= ïïïî
neáu
1
( )
x
ïï
ïïî
neáu
2
2
0 ( )
x
ï
=íïï +
ïïî
F.CHỨNG MINH PHƯƠNG TRÌNH CÓ NGHIỆM
Bài 8: Chứng minh phương trình có nghiệm (trên khoảng đã chỉ ra)
1) x4 - x - 3= 0 có ít nhất 1 nghiệm phân biệt thuộc khoảng (1;2)
2) 3x4 - 2x3 + x2 - 1=0 có ít nhất 2 nghiệm phân biệt thuộc khoảng ( 1;1)
-3) x5- 3x - 1=0 có ít nhất 2 nghiệm phân biệt thuộc đoạn [ 1;2]
-4)4x4 + 2x2 - x - 3=0 có ít nhất 2 nghiệm phân biệt thuộc khoảng ( 1;1)
-5) 2x3 - 6x + 1=0 có đúng 3 nghiệm phân biệt thuộc đoạn [ 2;2]-
6) x3- 3x2 + 3= 0 có đúng 3 nghiệm phân biệt thuộc khoảng (–1;3)
7) 2x3 - 6x + 1=0 có đúng 3 nghiệm phân biệt thuộc khoảng (–2;2)
8) x3 + 3x2- 3= 0 có đúng 3 nghiệm phân biệt thuộc khoảng (– 3;1)
9) x3- 3x2 + 1=0 có đúng 3 nghiệm phân biệt thuộc khoảng (–1;3)
10) 2x + 6 13 - x =3 có ít nhất 3 nghiệm phân biệt thuộc khoảng ( 7;9)
-11)x2cosx + xsinx + 1= có ít nhất 1 nghiệm thuộc khoảng (0; )0 p
Bài 9: Chứng minh phương trình có nghiệm (chưa chỉ rõ khoảng chứa nghiệm)
1)x5 - 5x3 + 4x - 1=0 có đúng 5 nghiệm phân biệt HD: ( 3) ( )1
( 5), , (0), , (1), (4)
2) x3 + 4x2 - 2=0 có ít nhất 2 nghiệm
3) x5- 10x3 + 100= 0 có ít nhất 1 nghiệm âm
4) x3- 3x + 1= 0 có 3 nghiệm phân biệt
5) x3 + 6x2 + 9x + 1=0 có 3 nghiệm phân biệt
6) 2x + 6 13 - x - 3= 0 có 3 nghiệm phân biệt
Bài 10: Chứng minh rằng các phương trình sau đây có nghiệm
3) 3x3 + 3x2 + 3x + 2=0 4)x3- 6x2 + 9x- 10= 0
Bài 11: Chứng minh rằng phương trình x5 - x- 2= có nghiệm 0 x0 Î ( 2;2)3
Bài 12: Chứng minh rằng phương trình 2x3- 3x2- 1= có nghiệm 0 x0 Î ( 4;2)3
Bài 13: Chứng minh rằng phương trình x3 + x - 1= có nghiệm 0 x0 Î (0; )12
Bài 14: Chứng minh rằng phương trình x4 - x - 3= có nghiệm 0 x0 Î ( 12;2)7
Bài 15: Chứng minh rằng với mọi giá trị của m các phương trình sau đây luôn có nghiệm
Trang 51) m x( - 1) (2 x + 2)+ 2x + 3=0 2) x4 + mx2- 2mx - 2= 0
3) m x( - 1) (3 x - 2)+ 2x - 3=0 4)m x( - 1) (3 x + 2)+ 2x + 3=0
5)(m2 + m + 1)x4 + 2x - 2=0 6)x3 + mx2 - 1=0
7) ( x - 1)3 + mx =m + 1 8)x3- 3mx2 + 4(m - 2)x + -1 m =0
9) mx4 + 2x2- x - m = (2 nghiệm trái dấu)0 10)x5 + m x( 2 - 1)- 8x = (ít nhất 3 nghiệm)0
2sin cos 1 0
Bài 16: Cho 3 số a,b,c khác nhau Chứng minh rằng phương trình sau đây có 2 nghiệm phân biệt
(x - a x)( - b)+ (x- b x)( - c)+ (x - c x)( - a)=0
Bài 17:Chứng minh rằng phương trình (ab x- a x)( - b)+ bc x( - b x)( - c)+ ca x( - c x)( - a)= luôn có 0
nghiệm với mọi a,b,c HD: ( ) ( ) ( )f a f b f c £ Þ $0 f a( ) £ và (0)0 f ³ 0
Bài 18: CMR, phương trình (a x- b x)( - c)+ b x( - c x)( - a)+ c x( - a x)( - b)= có 2 nghiệm phân biệt0
Bài 19: Cho bốn số , , ,a b c d sao cho a < b< c < d Chứng minh rằng với mọi m, phương trình sau đây luôn có
nghiệm: (x- a x)( - c)+ m x( - b x)( - d)=0
Bài 20:Cho phương trình asin 3x + bcos 2x + ccosx + sinx =0 Tính ( ) ( )3
f + f p + f p + f p Từ đó chứng minh rằng phương trình luôn có nghiệm
Bài 21:Cho phương trình acosx + bsin 2x + ccos 3x - x =0 Tính ( ) ( )3
f + f p + f p + f p Từ đó chứng minh rằng phương trình luôn có nghiệm
Bài 22: Chứng minh rằng phương trình ax2 + bx + c = luôn có nghiệm trong các trường hợp:0
4 (0) ( )
b) 2a+ 6b+ 21c =0 có nghiệm thuộc 1
3
3 (0) ( )
4 (0) ( )
m
2 (0) m m
+
e)
2
0 0
ìï > > >
ïï
íï
ïï
ï >
ïïî
có nghiệm thuộc khoảng (0;1) HD: (0) ( )n
m
Bài 23: Cho 3 số a,b,c thoả mãn 5a + 4b+ 6c =0 và ( )=ax2 + bx + c Tính 1
2 (0) 4 ( ) (2)
f + f + f , từ đó chứng minh rằng phương trình ( )f x = có nghiệm.0
Bài 24: Cho ( )=ax2 + bx + c thoả mãn 2a + 3b+ 6c =0
2 (0), (1), ( )
f f f không thể cùng dấu.
b) Chứng minh rằng phương trình ax2 + bx + c = có nghiệm trong khoảng (0;1)0
Bài 25: Cho a,b,c thoả 0
+ + = Chứng minh rằng phương trình acos 2x + 2 cosb x + 2c+ a =0 có
nghiệm x Î ( 2 ;k p 2p+ k2 )p
Bài 26: Cho hàm số y = f x( ) liên tục trên đoạn [ ; ]a b thoả mãn ( ) [ ; ], f x Î a b "x Î [ ; ]a b Chứng minh rằng
phương trình ( )f x =x có nghiệm trên đoạn [ ; ]a b
Trang 6Bài 27: Cho hàm số y = f x( ) liên tục trên đoạn [ ; ]a b và , a b là hai số dương bất kỳ Chứng minh rằng phương
trình f x( ) a f a( ) b f b( )
+
=
+ có nghiệm trên đoạn [ ; ]a b
Bài 28: Cho phương trình x =asinx + b với 0< a < 1;b> 0 Chứng minh rằng phương trình đã cho có ít
nhất một nghiệm dương không vượt quá a+ b
Bài 29: Cho a,b,c là những số dương Chứng minh rằng phương trình 1 1 1 0
x + x- a + x - b = có 2 nghiệm
1, 2
a
< < - < < - HD: x1 Î (0; ),a x2 Î ( ; 0)- b
Bài 30: Cho phương trình x3- 3x + 1= Chứng minh rằng phương trình đã cho có 3 nghiệm phân biệt thuộc 0
khoảng ( 2;2)- , từ đó giải phương trình x3- 3x + 1= 0 HD: đặt x =2 sint
Bài 31: Cho phương trình: 8x3- 4x2 - 4x + 1= Chứng minh rằng phương trình có 3 nghiệm phân biệt 0
trong khoảng ( 1;1)- , từ đó giải phương trình này HD: đặt x =cost
Bài 32: Cho phương trình: 3 2
a) Giải phương trình khi 2
3
m =
b) Chứng minh rằng với mọi m > 1, phương trình đã cho luôn có 4 nghiệm phân biệt.
Bài 33: Cho phương trình 3 2
x - mx + = Chứng minh rằng với mọi m > 2, phương trình đã cho có 4
nghiệm phân biệt
Bài 34: Cho phương trình x3 - mx2 + (m + 1)x - 2=0
a) Giải phương trình với m = 1.
b) Chứng minh rằng với mọi m phương trình đã cho luôn có ít nhất hai nghiệm phân biệt.
Bài 35: Cho phương trình x12+ 1=4x4 x n - 1 Tìm số nguyên dương n nhỏ nhất sao cho phương trình đã cho
có nghiệm
HD giải
Điều kiện x - n 1³ 0
Nếu n lẻ thì x ³ 1, còn n chẵn thì phương trình nếu có nghiệm sẽ có 2 nghiệm đối nhau do đó phải có
nghiệm x ³ 1 Vậy, không mất tính tổng quát ta xét x ³ 1
Áp dụng BĐT CauChy
12 1 ( 4 1)( 8 4 1) ( 4 1) 4( 4 1) 1 2 22 2 4 1 4 4 4 1
x + = x + x - x + = x + éëx x - + ùû³ x x x - = x x
-Do đó, nếu n < 5 chắc chắn phương trình vô nghiệm.
Ta chứng minh phương trình có nghiệm với n = 5 trên khoảng 6
5 (1; )