Ứng dụng đa thức vào giải toán sơ cấp

Bất đẳng thức Bunhiaskopki ...9 Chương II: ỨNG DỤNG ĐA THỨC VÀO GIẢI TOÁN SƠ CẤP .... Ứng dụng đa thức để giải hệ phương trình đối xứng loại 1 .... Ứng dụng đa thức để chứng minh bất đẳn

C N N

TRƯỜN C SƯ P M

KHOA TOÁN

ỨNG DỤNG ĐA THỨC VÀO GIẢI TOÁN SƠ CẤP

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP

Giáo viên hướng dẫn: TS.Nguyễn Ngọc Châu

Sinh viên : Hà Việt Hường Lớp : 12CTUD

Đà N ng - 2016

MỤC LỤC

Trang

MỞ ĐẦU 1

1 Lý do chọn đề tài 1

2 Mục đích nghiên cứu 1

3 ối tượng và phạm vi nghiên cứu 1

4 Phương pháp nghiên cứu 1

5 Bố cục của khóa luận 1

NỘI DUNG 3

Chương I: ĐA THỨC 3

1.1 Đa thức một ẩn .3

1.1.1 Vành đa thức một ẩn .3

1.1.2 Bậc của một đa thức .4

1.1.3 Phép chia có dư .5

1.1.4 Nghiệm của một đa thức .5

1.2 Đa thức nhiều ẩn .6

1.2.1 Vành đa thức nhiều ẩn .6

1.2.2 Bậc của đa thức nhiều ẩn .7

1.2.3 a thức đối xứng .7

1.2.4 Công thức Viete .9

1.3 Một số bất đẳng thức cơ bản .9

1.3.1 Bất đẳng thức Cauchy 9

1.3.2 Bất đẳng thức Bunhiaskopki .9

Chương II: ỨNG DỤNG ĐA THỨC VÀO GIẢI TOÁN SƠ CẤP 11

§1 ỨN DỤN A T ỨC TRON Ả TÍC 11

1.1 Ứng dụng đa thức để tính tích phân hàm hữu tỉ 11

1.1.1 ai tích phân cơ bản 11

1.1.2 Tính tích phân hàm hữu tỉ 13

1.2 Ứng dụng đa thức để tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất 19

§2 ỨN DỤN A T ỨC TRON SỐ 24

2.1 Ứng dụng đa thức để giải phương trình lùi 24

2.1.1 ịnh nghĩa phương trình lùi 24

2.1.2 Cách giải phương trình lùi 25

2.2 Ứng dụng đa thức để giải hệ phương trình đối xứng loại 1 28

2.2.1 ệ phương trình đối xứng hai ẩn loại 1 28

2.2.2 Phương pháp giải 29

2.3 Ứng dụng đa thức để chứng minh bất đẳng thức 31

2.3.1 Ứng dụng đa thức để chứng minh bất đẳng thức đại số 31

2.3.2 Ứng dụng đa thức để chứng minh bất đẳng thức lượng giác 35

§3 ỨN DỤN A T ỨC TRON ÌN C 37

3.1 Ứng dụng đa thức để giải bài toán nhận dạng tam giác 37

3.2 Ứng dụng đa thức để chứng minh bất đẳng thức trong tam giác 41

KẾT LUẬN 44

TÀI LIỆU THAM KHẢO 45

MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Trong toán học, đa thức giữ một vị trí hết sức quan trọng Nó không những là đối tượng nghiên cứu của đại số mà còn là công cụ đắc lực của giải tích Các ứng dụng của đa thức trong toán sơ cấp là phong phú và đa dạng Tuy nhiên cho đến nay, tài liệu về đa thức còn khiêm tốn, và chưa định hướng rõ việc ứng dụng của nó vào giải toán

Là một sinh viên đại học ngành Cử nhân toán ứng dụng với mong muốn tìm hiểu các ứng dụng của đa thức để giải toán sơ cấp nên tôi chọn đề tài khóa luận tốt nghiệp đại học của mình là: “Ứng dụng đa thức vào giải toán sơ cấp”

2 Mục đích nghiên cứu

- Tìm hiểu đa thức một ẩn, đa thức nhiều ẩn

- ệ thống và phân loại một số lớp bài toán giải được bằng đa thức

- ưa ra quy trình giải cho từng lớp bài toán

3 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

- a thức một ẩn, đa thức nhiều ẩn

- a thức đối xứng, Công thức Viete

- Các bài toán sơ cấp có thể ứng dụng đa thức để giải

- Quy trình giải từng lớp bài toán bằng đa thức

4 Phương pháp nghiên cứu

- Thu thập, tổng hợp, hệ thống các tài liệu liên quan đến nội dung đề tài khóa luận

- Phân tích, nghiên cứu các tài liệu để thực hiện đề tài khóa luận

- Trao đổi, tham khảo ý kiến của người hướng dẫn

5 Bố cục của luận văn

Ngoài phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo, nội dung khóa luận gồm 2 chương:

Chương 1: A T ỨC

Chương này trình bày những kiến thức về đa thức một ẩn, đa thức nhiều ẩn,

và đặc biệt là đa thức đối xứng Phần cuối của chương nhắc lại một số bất đẳng thức cơ bản đủ để làm cơ sở cho chương sau

Chương 2: ỨN DỤN A T ỨC V O Ả TOÁN SƠ CẤP

Chương này là nội dung chính của khóa luận, trình bày những ứng dụng của

đa thức để giải những bài toán sơ cấp Cụ thể là các bài toán tính tích phân hàm hữu tỉ, tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất, chứng minh bất đẳng thức, giải hệ

phương trình đối xứng loại 1, giải phương trình lùi, và các bài toán trong hình học, như nhận dạng tam giác, chứng minh bất đẳng thức trong tam giác

iả sử A là một vành giao hoán, có đơn vị kí hiệu là 1  0 ọi P là tập

hợp các dãy (a0 ,a1 , , a n , ), trong đó các a i  A với mọi i  và

(0 , 0 , , 0 , 1 , 0 , )

n

n

x x

( , 0 , , 0 , )



là một đơn cấu vành Do đó ta có thể đồng nhất phần tử aA với dãy

tử của P là một dãy (a0 , a1 , ,a n , ) , trong đó các a i bằng 0 tất cả trừ

một số hữu hạn, nên mỗi phần tử của P có dạng (a0 , a1, , a n , 0 , ) , trong

đó a0 , , a n  A Việc đồng nhất a với ( , 0 , , 0 , )a và việc đƣa vào

dãy x cho phép ta viết:

n n

Định nghĩa 1: Vành P đƣợc xác định nhƣ trên gọi là vành đa thức của x lấy

hệ tử trong A , hay vắn tắt vành đa thức của ẩn x trên A , và kí hiệu là A x  

Các phần tử của vành A x  gọi là các đa thức của ẩn x lấy hệ tử trong A

n

a x gọi là hạng tử cao nhất của đa thức f x( ) , a n gọi là hệ tử cao nhất

của f x( )

Quy ƣớc đa thức 0 không có bậc

Định lí 1.[6] iả sử f x( ) và g x( ) là hai đa thức khác 0

1.1.4 Nghiệm của một đa thức

Định nghĩa 3: iả sử c là một phần tử tùy ý của vành A ,

có được bằng cách thay x bởi c gọi là giá trị của f x( ) tại c Nếu f c( )  0

thì c gọi là một nghiệm của f x( ) Tìm nghiệm của f x( ) trong A gọi là giải

phương trình đại số bậc n: a x n n   a0  0 , (a n  0) trong A

Định lí 4.[6] iả sử A là một trường, c  A , f x( )  A x  Dư của phép chia f x( ) cho x  c là f c( )

Hệ quả 3.[6] Cho c  A , c là nghiệm của f x( ) khi và chỉ khi f x( ) chia hết cho x  c

Định lí 5.[6] Mọi đa thức bậc n > 0 với hệ số phức có n nghiệm phức ( các

Vành A n  A n1 x n kí hiệu là A x 1, x2 , , x và gọi là vành đa thức n

của n ẩn x1 , x2 , , x n lấy hệ tử trong A Một phần tử của A n gọi là một

đa thức n ẩn x1 , x2 , , x n lấy hệ tử trong vành A , và kí hiệu là f x x( 1, 2, ,x n)

a thức f x( 1, x2 , , x n)  0 khi và chỉ khi các hệ tử của nó bằng 0 tất cả

Hệ quả 4.[6] Nếu A là một miền nguyên thì A x 1 ,x2 , , x cũng vậy n

1.2.2 Bậc của đa thức nhiều ẩn

Định nghĩa 5: iả sử f x( 1 , , x n)  A x 1, , x n là một đa thức khác 0,

Ta gọi là bậc của đa thức f x( 1, x2 , , x n) đối với ẩn x i là số mũ cao nhất

mà x i có đƣợc trong các hạng tử của đa thức

Ta gọi là bậc của hạng tử 1

1a i a i n

c x x là tổng các số mũ a i1   a i n của các ẩn Bậc của đa thức (đối với toàn thể các ẩn) là số lớn nhất trong các bậc của các hạng tử của nó

Nếu các hạng tử của f x( 1, x2 , , x n) có cùng bậc k thì f x( 1, x2 , , x n)

gọi là một đa thức đẳng cấp bậc k hay một dạng bậc k

ể sắp xếp các hạng tử của một đa thức nhiều ẩn ta có thể sắp xếp theo quan hệ thứ tự từ điển sau:

Định nghĩa 6: iả sử A là một vành giao hoán có đơn vị , f x( 1, x2 , , x n) là một đa thức của vành A x 1 ,x2 , , x Ta bảo n f x( 1 , x2 , , x n) là một đa

thức đối xứng của n ẩn nếu f x( 1, x2 , , x n)  f x( (1) , x(2) , , x( )n )

n n

Định lí 6.[6] Bộ phận gồm các đa thức đối xứng của vành A x 1 ,x2 , , x n là một vành con của vành A x 1 ,x2 , , x n

Ví dụ: Trong vành đa thức n ẩn A x 1, x2 , , x , n đa thức sau n

1 2

1 2

k k

sao cho f x( 1, x2 , , x n)  h( 1, 2 , ,n), trong đó  1 , 2 , ,n là các

đa thức đối xứng cơ bản

n n

n k k

a a

a a

Hệ quả của bất đẳng thức Bunhiaskopki (Bất đẳng thức Schwarz ) [2]

Với hai bộ số thực (a1, a2 , , a n) và (b1, b2 , , b n) thỏa mãn

Chương 2 ỨNG DỤNG ĐA THỨC TRONG GIẢI TOÁN SƠ CẤP

Chương này là nội dung chính của khóa luận, trình bày một số ứng dụng của đa thức trong toán sơ cấp

§1 ỨNG DỤNG ĐA THỨC TRONG GIẢI TÍCH

1.1 Ứng dụng đa thức để tính tích phân hàm hữu tỉ

1.1.1 Hai tích phân cơ bản

ai tích phân sau đây có vai trò quan trọng trong việc tính tích phân của các

ịnh lý trên là cơ sở cho cách tính tích phân hàm hữu tỉ Cụ thể như sau:

Việc lấy nguyên hàm của hai hàm đa thức là đơn giản, nên để tính tích phân I

trong trường hợp này chỉ còn tính tích phân hàm hữu tỉ mà bậc của tử nhỏ hơn bậc của mẫu

 Nếu bậc f x( ) < bậc g x( )

ể tính tích phân hàm hữu tỉ I , ta thực hiện như sau:

 Bước 1: Phân tích g x( ) thành tích những nhị thức bậc nhất và những tam thức bậc hai không có nghiệm thực

Sau đây là một số bài toán minh họa về việc tính tích phân hàm hữu tỉ

Bài toán 1.[4] Tính tích phân

00

t t

130

1.2 Ứng dụng đa thức để tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất

Bài toán 6.[13] iả sử với hai số dương a , b thì phương trình

0

x a x b xa  có ba nghiệm lớn hơn 1 Xác định a , b để biểu thức

ẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a  3 3 , b  a 3  9, khi đó phương trình có

ba nghiệm trùng nhau và đều bằng 3

iều kiện xác định của hệ thức: x  1 và y  2

ọi T là tập giá trị của K Ta có mT khi và chỉ khi hệ phương trình sau

Bài toán 9.[10] Cho tam thức bậc hai f x( )  ax2 bxc , a0 , có hai

nghiệm thuộc  0,1 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức ( )(2 )

Vậy giá trị lớn nhất của A là 3 khi b 2a  2c

Bài toán 10.[11] Cho hai số thực x , y thỏa mãn x1 , y1 và

3(x y)  4xy Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

§2 ỨNG DỤNG ĐA THỨC TRONG ĐẠI SỐ

2.1 Ứng dụng đa thức để giải phương trình lùi

2.1.1 Định nghĩa phương trình lùi

Phương trình lùi bậc lẻ là phương trình có dạng:

Định lý 10.[5] Một phương trình lùi bậc lẻ luôn luôn có một nghiệm x  

Định lý 11.[5] Chia hai vế một phương trình lùi bậc lẻ cho x ta được một phương trình lùi bậc chẵn

Định lý 12.[5] Nếu thay y x

x



  thì một phương trình lùi bậc 2n dạng (2)

sẽ dẫn tới trên trường số phức một phương trình bậc n đối với y , do đó dẫn tới

n phương trình bậc hai đối với x

2.1.2 Cách giải phương trình lùi

a ối với phương trình lùi bậc chẵn 2n , ta chia hai vế cho xn và đặt

Phương trình có 3 nghiệm bội y1  y2  y3  1

Vậy phương trình (1) có nghiệm là:

ây là phương trình lùi bậc chẵn với   2

Chia cả hai vế cho 4

Vậy phương trình (1) có nghiệm là x1  2 ; x2  1

Bài toán 13.[1] Tìm điều kiện của a , b , c , d , e để phương trình

a  b

2.2 Ứng dụng đa thức để giải hệ phương trình đối xứng loại 1

2.2.1 Hệ phương trình đối xứng hai ẩn loại 1

Bước 1: ặt điều kiện (nếu có)

Bước 2: ặt S  x  y , P  xy với điều kiện của S , P và S2  4 P

Bước 3: Thay S , P vào hệ phương trình (1) ta được hệ phương trình

(S , P) 0

F G

thỏa điều kiện

Vậy nghiệm của hệ phương trình là x = 1 ; y = 1

Bài toán 15.[14] Tìm điều kiện m để hệ sau có nghiệm thực:

Vậy khi 0 1

4

m

  thì hệ phương trình đã cho có nghiệm

Bài toán 16.[2] Chứng minh với mọi giá trị m , hệ phương trình sau luôn có

(S ; P )2 2  (m  1 ; m)

Ta có: S22  4P2  (m1)2  4m  (m1)2  0

Vậy hệ (1) luôn có nghiệm với mọi giá trị của m

2.3 Ứng dụng đa thức để chứng minh bất đẳng thức

2.3.1 Ứng dụng đa thức để chứng minh bất đẳng thức đại số

Bài toán 17.[18] Cho a , b thỏa điều kiện a2 b2  1 Chứng minh rằng (ac  bd  1)2  (a2  b2  1)(c2  d2 1) (1)

Lời giải

Khi a2 b2  1 thì (1) hiển nhiên đúng

Khi a2  b2  1  a2  b2 1  0

ặt

Bài toán 19.[17] Với p2q2  a2 b2c2d2 , chứng minh rằng

a b

ọi x1 ; x2 ; x3 ; x4 là bốn nghiệm của f x( )  0

Do a , b , c không âm nên nghiệm của f x( ) là các số âm, suy ra

2.3.2 Ứng dụng đa thức để chứng minh bất đẳng thức lượng giác

3.1 Ứng dụng đa thức để giải bài toán nhận dạng tam giác

Bài toán 25.[15] Cho ABC không tù thỏa điều kiện:

Chứng minh ABC là tam giác vuông cân

Lời giải

(1)  cos 2A  2 2 cosB  2 2 cosC  3  0

Do ABC không tù nên cos A  0 và cos A  1  0

Vậy vế trái của (1) luôn  0

Dấu “ = ” xảy ra khi và chỉ khi:

Vậy ABC vuông cân tại A

Bài toán 26.[3] Chứng minh tam giác ABC là tam giác đều khi và chỉ khi

Lời giải

Ta có:

Bài toán 27.[3] ABC là tam giác gì nếu 3 góc A , B , C thỏa

Vậy ABC là tam giác cân tại A

3.2 Ứng dụng đa thức để chứng minh bất đẳng thức trong tam giác

Bài toán 28.[16] Cho ABC có a , b , c lần lƣợt là độ dài cạnh

Bài toán 29.[3] ABC là một tam giác bất kì, chứng minh với mọi x ta có:

Lời giải

Ta có:

(1)  x2  2 (cosx B  cos )C  2(1  cos )A  0 ,  x

(2) đúng suy ra (1) đúng Vậy bất đẳng thức đã đƣợc chứng minh

Bài toán 30.[16] Cho a , b , c là 3 cạnh của ABC có chu vi bằng 2 Chứng minh rằng:

 iải phương trình lùi

 iải hệ phương trình đối xứng hai ẩn loại 1

 Chứng minh các bất đẳng thức

 Các bài toán nhận dạng tam giác

3) ối với mỗi lớp bài toán đều có phương pháp giải và nhiều ví dụ minh họa

rõ ràng

y vọng rằng nội dung của khóa luận còn tiếp tục được phát triển và mở rộng nhiều hơn nữa nhằm thể hiện sự ứng dụng đa dạng và hiệu quả của đa thức trong toán sơ cấp

TÀI LIỆU THAM KHẢO

[1] Phan ữu Chân (1978), Đại số sơ cấp - Tập 2, Nhà xuất bản giáo dục

[2] Việt ải (2010), “Sử dụng bất đẳng thức Bunhiaskopky trong giải toán”, Tạp

[7] oàng Kỳ (1999), Đại số sơ cấp - Tập 2, Nhà xuất bản giáo dục

[8] Lê Hoành Phò (2013), Chuyên khảo đa thức, Nhà xuất bản đại học quốc gia

à Nội

[9] Hoàng Xuân Sính (1998), Đại số đại cương , Nhà xuất bản giáo dục

[10] Nguyễn Thủy Thanh (2001), Hướng dẫn giải bài tập Giải tích toán học - Tập

1, Nhà xuất bản đại học quốc gia à Nội

[11] Nguyễn ình Trí (2003), Toán cao cấp - Tập 2, Nhà xuất bản giáo dục

[12] http://www.slideshare.net/Truonghocso/19-phng-phap-chng-minh-bt-ng-thc [13] http://sangkienkinhnghiem.org/sang-kien-kinh-nghiem-dinh-ly-vi-et-va-ung-

campaign=clickSearch&utm_medium=clickSearchDoc

[16]

http://chuyen-qb.com/web/tochuyenmon/toan/thuvien/1120-da-thuc-va-ung-dung

[17] http://doc.edu.vn/tai-lieu/chuyen-de-he-phuong-trinh-doi-xung-loai-i-61305/ [18] https://123tailieu.com/chuong-11-nhan-dang-tam-giac.html