Vận dụng một số định lý hình học cổ điển vào giải một số bài toán hình học phổ thông

Định lí Menenlaus theo quan điểm tỉ số kép của Hình học xạ ảnh:19 Ứng dụng của định lí Menelaus: ....  Định lí Thalès đảo: Nếu một đường thẳng cắt hai cạnh của một tam giác và định ra t

MỤC LỤC

MỞ ĐẦU 5

Chương 1: CƠ SỞ LÝ LUẬN 7

1.1 Trục và độ dài đại số trên trục: 7

Khái niệm: 7

1.1.1 Nhận xét: 7

1.1.2 1.2 Phương tích của một điểm đối với đường tròn: 7

Định lí: 7

1.2.1 Chứng minh: 7

1.2.2 1.3 Phép nghịch đảo: 8

1.4 Định lí Thalès: 8

Định lí Thales trong tam giác: 8

1.4.1 Định lí Thales trong không gian: 9

1.4.2 1.5 Một số bất đẳng thức: 10

1.6 Tỉ số đơn của hệ ba điểm thẳng hàng: 10

Định nghĩa: 10

1.6.1 Tính chất: 10

1.6.2 1.7 Tỉ số kép của bốn điểm thẳng hàng: 10

Định nghĩa: 10

1.7.1 Tính chất: 11

1.7.2 Chương 2: VẬN DỤNG MỘT SỐ ĐỊNH LÍ HÌNH HỌC CỔ ĐIỂN VÀO GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN HÌNH HỌC PHỔ THÔNG 12

2.1 ĐỊNH LÍ MENELAUS VÀ QUAN HỆ THẲNG HÀNG: 12

Định lí Menelaus: 12 2.1.1

2.1.1.1 Nội dung: 12

2.1.1.2 Chứng minh: 12

Các mở rộng của định lí Menelaus: 15

2.1.2 2.1.2.1 Định lí Menelaus cho tứ giác: 15

2.1.2.2 Mở rộng định lí Menelaus theo diện tích: 16

2.1.2.3 Mở rộng định lí Menelaus trong không gian: 16

Định lí Menelaus qua góc nhìn Hình học affine & Hình học xạ ảnh: 18

2.1.3 2.1.3.1 Định lí Menelaus theo quan điểm tỉ số đơn của Hình học affine: 18

2.1.3.2 Định lí Menenlaus theo quan điểm tỉ số kép của Hình học xạ ảnh:19 Ứng dụng của định lí Menelaus: 20

2.1.4 Bài toán 1: 20

Bài toán 2: 21

Bài toán 3: (Định lí Pappus) 22

Bài toán 4: 24

Bài toán 5: 25

Bài toán 6: (Định lí Pascal) 26

Bài toán 7: (Định lí Desargues) 27

Bài toán 8: (Định lí về tứ giác toàn phần) 28

Bài toán 9: (Định lí Simpson) 29

Bài toán 10: 30

Bài toán 11: 32

2.2 ĐỊNH LÍ CEVA VÀ QUAN HỆ ĐỒNG QUY 34

Định lí Ceva: 34

2.2.1 2.2.1.1 Nội dung: 34

2.2.1.2 Chứng minh: 34

Định lí Ceva dạng sin: 37

2.2.2 2.2.2.1 Nội dung: 37

2.2.2.2 Chứng minh: 37

Mở rộng định lí Ceva trong không gian: 38

2.2.3 2.2.3.1 Định lí: 38

2.2.3.2 Chứng minh: 38

Định lí Ceva qua góc nhìn Hình học affine 39

2.2.4 Ứng dụng của định lí Ceva: 41

2.2.5 Bài toán 1: 41

Bài toán 2: 42

Bài toán 3: 43

Bài toán 4: 44

Bài toán 5: 45

Bài toán 6: 46

Bài toán 7: 48

2.3 ĐỊNH LÍ PTOLEMY VÀ MỘT SỐ ỨNG DỤNG 49

Định lí Ptolemy: (Đẳng thức Ptolemy) 49

2.3.1 2.3.1.1 Nội dung: 49

2.3.1.1 Chứng minh: 49

Bất đẳng thức Ptolemy: 51

2.3.2 2.3.2.1 Nội dung: 51

2.3.2.2 Chứng minh: 51

Mở rộng định lí Ptolemy: 53

2.3.3 2.3.3.1 Định lý Bretschneider 53

2.3.3.2 Định lý Casey 54

Ứng dụng của định lí Ptolemy 56

2.3.4 2.3.4.1 Chứng minh các đẳng thức hình học: 56

2.3.4.2 Chứng minh các đặc tính hình học: 65

2.3.4.3 Chứng minh bất đẳng thức và giải toán cực trị trong hình học: 66

KẾT LUẬN 77

TÀI LIỆU THAM KHẢO 78

MỞ ĐẦU

1 LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI:

Việc vận dụng các định lý hình học để chứng minh các tính chất & giải bài tập hình học đã trở nên khá quen thuộc trong hoạt động dạy – học Toán ở nhà trường phổ thông Bên cạnh một số định lý đã được đưa vào giảng dạy trực tiếp theo chương trình sách giáo khoa còn có rất nhiều định lý hình học kinh điển khác có nhiều ứng dụng và là công cụ hữu ích trong giải toán hình sơ cấp vẫn chưa được khai thác và sử dụng một cách rộng rãi Để có cái nhìn cụ thể hơn về nội dung của các định lý này cũng như cách thức vận dụng chúng vào việc giải các bài tập liên

quan, tôi lựa chọn đề tài: “Vận dụng một số định lý Hình học cổ điển vào giải một

số bài toán Hình học phổ thông” để nghiên cứu Trong đó, đề tài tập trung khai

thác và sử dụng ba định lý chính: Menenlaus, Ceva và Ptolemy

2 MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU:

+ Nghiên cứu các kiến thức cơ bản về ba định lí: Menelaus, Ceva và Ptolemy

và trình bày lại một cách có hệ thống, rõ ràng và chi tiết Bên cạnh đó, khai thác các

hệ quả (mở rộng) của ba định lí…phục vụ cho việc giải các bài tập liên quan

3 NHIỆM VỤ NGHIÊN CỨU:

+ Nghiên cứu nội dung và cách chứng minh của các định lí Menelaus, Ceva, Ptolemy

+ Phát biểu và chứng minh các mở rộng khác của ba định lí

+ Nghiên cứu ứng dụng của ba định lí thông qua một số bài tập cụ thể

4 PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU:

+ Nghiên cứu một số sách, báo, tài liệu, tra cứu thông tin trên Internet… từ đó phân tích, tổng hợp và hệ thống lại các kiến thức liên quan một cách hợp lí

+ Nghiên cứu thông qua việc vận dụng các định lí vào các bài tập vận dụng và bài tập nâng cao

5 NỘI DUNG LUẬN VĂN:

Mở đầu

Chương I: Cơ sở lí luận

Chương II:

2.1 Định lí Menelaus và quan hệ thẳng hàng

2.1.1 Định lí Menelaus 2.1.2 Các mở rộng của định lí Menelaus 2.1.3 Định lí Menelaus qua góc nhìn của Hình học affine & Hình học xạ ảnh

2.1.4 Ứng dụng của định lí Menelaus

2.2 Định lí Ceva và quan hệ đồng quy

2.2.1 Định lí Ceva 2.2.2 Định lí Ceva dạng sin 2.2.3 Mở rộng định lí Ceva trong không gian 2.2.4 Định lí Ceva qua góc nhìn của Hình học affine 2.2.5 Ứng dụng của định lí Ceva

2.3.Định lí Ptolemy

2.3.1 Định lí Ptolemy 2.3.2 Bất đẳng thức Ptolemy 2.3.3 Các mở rộng của định lí Ptolemy 2.3.4 Ứng dụng của định lí Ptolemy

Kết luận

Chương 1: CƠ SỞ LÝ LUẬN

1.1 Trục và độ dài đại số trên trục:

+ Cho ba điểm trên trục ⃗ Khi đó:

 Có duy nhất một số sao cho ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗ Ta gọi là tọa độ của điểm đối với trục đã cho

Có duy nhất một số sao cho ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗ Ta gọi số là độ dài đại số của vectơ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ đối với trục đã cho Kí hiệu:

Chứng minh:

1.2.2.

Gọi là đường kính của đường tròn Đặt , ta có:

Điểm được gọi là cực của phép nghịch đảo, gọi là tỉ số hay phương tích của phép nghịch đảo Phép nghịch đảo cực tỉ số được kí hiệu là

* Công thức tính khoảng cách của phép nghịch đảo:

Giả sử phép nghịch đảo cực tỉ số biến hai điểm thành hai điểm Khi đó:

GT

KL

C' B'

A

 Định lí Thalès đảo: Nếu một đường thẳng cắt hai cạnh của một tam giác

và định ra trên hai cạnh này những đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ thì đường thẳng đó song song với cạnh còn lại của tam giác

GT

Định lí Thales trong không gian:

1.4.2.

 Định lí Thales: Ba mặt phẳng đôi một

song song chắn ra trên hai cát tuyến bất kì

các đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ

 Định lí Thales đảo: Giả sử trên hai đường

thẳng chéo nhau và lần lượt lấy các

điểm và sao cho:

Khi đó, ba đường thẳng lần

lượt nằm trên ba mặt phẳng song song, tức

là chúng cùng song song với một mặt

phẳng

C' B'

∑

⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ Khi đó được gọi là tỉ số đơn của hệ ba điểm thẳng hàng lấy theo thứ tự đó

⃗ ⃗ ⃗⃗ hay ] ] ]

⃗ ⃗ ⃗⃗ hay ] ] ]

Khi đó tỉ số: được gọi là tỉ số kép của 4 điểm lấy theo thứ tự đó

+ Kí hiệu:

Tính chất: 1.7.2.

Chương 2: VẬN DỤNG MỘT SỐ ĐỊNH LÍ HÌNH HỌC CỔ ĐIỂN VÀO GIẢI

MỘT SỐ BÀI TOÁN HÌNH HỌC PHỔ THÔNG 2.1 ĐỊNH LÍ MENELAUS VÀ QUAN HỆ THẲNG HÀNG:

+ Gọi là giao điểm của đường

thẳng với đường thẳng qua và

song song với

+ Áp dụng hệ quả của định lí Thales, ta có:

(đpcm)

- Cách 2 Sử dụng định lí hàm sin:

+ Đặt: ̂ ̂ ̂

+ Áp dụng định lí hàm sin cho các tam giác sau:

B' A

C'

D

C

| |

| |

| |

| |

| |

hay: | |

| | Nhân (1), (2), (3) với nhau vế theo vế, ta được:

| |

| |

| |

| |

| |

| |

- Cách 3: Sử dụng phép vị tự:

Giả sử thẳng hàng, khi đó tồn tại các phép vị tự:

( ) ( ) ( )

Với:

Hơn nữa, ta có:

Giả sử

thì:

Do đó, theo định lí Thales đảo ta có: Điều này trái giả thuyết

thẳng hàng Vậy:

Mặt khác ta có: tích của hai phép vị tự là một phép vị tự có tâm nằm trên đường thẳng Đồng thời tâm vị tự của tích này phải nằm trên đường thẳng (vì )

(đpcm) Phần đảo:

Giả sử có:

Gọi là giao điểm của và

Từ (1) và (2) suy ra:

Để chứng minh ta xét phương trình:

với

cần chứng minh có duy nhất một điểm thỏa mãn phương trình (*)

Thật vậy: chọn gốc tọa độ tại , trục tọa độ với chiều dương đi từ đến

Giả sử tọa độ của là , của là , lúc đó (*) trở thành:

vì xác định một nghiệm duy nhất

là tọa độ của nên xác định duy

B'

A' B

Nhân (1), (2), (3) vế theo vế ta được:

d

N

M A

B

P

Q J

I

(đpcm)

2.1.2.2 Mở rộng định lí Menelaus theo diện tích:

a Nội dung:

Cho tam giác , các điểm lần lượt nằm trên các đường thẳng Khi đó:

(đpcm)

Phần đảo:

Giả sử có:

Gọi là giao điểm của mặt phẳng và đường thẳng ( { }

đồng phẳng Theo chứng minh trên (phần thuận), ta có:

Từ (*) và (**) suy ra:

Hệ thức này chứng tỏ

Vậy đồng phẳng Định lí Menelaus qua góc nhìn Hình học affine & Hình học xạ ảnh: 2.1.3 2.1.3.1 Định lí Menelaus theo quan điểm tỉ số đơn của Hình học affine: a Nội dung: Trong không gian affine , cho tam giác và các điểm lần lượt nằm trên các đường thẳng Khi đó điều kiện cần và đủ để ba điểm thẳng hàng là:

b Chứng minh: Phần thuận: Giả sử ba điểm

thẳng hàng và lần lượt nằm trên các đường thẳng của tam giác Trong mặt phẳng chứa tam giác, vẽ

Ta có:

Giả sử: ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗

Do đó: ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗

Vì ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ nên

Vậy:

(đpcm)

Phần đảo:

A

D

𝑩𝟏

𝑪𝟏

𝑨𝟏

Giả sử có hệ thức với lần lượt là các điểm nằm trên các đường thẳng chứa các cạnh của tam giác

Mặt khác, xét chùm bốn đường thẳng cắt nhau tại , ta có:

Thay (4) vào (3) ta có:

Vậy thẳng hàng khi và chỉ khi đẳng thức (*) xảy ra

Ứng dụng của định lí Menelaus:

2.1.4.

Bài toán 1:

Đường thẳng cắt đường cao của tam giác tại Chứng

ba đường cao của tam giác Vậy

chúng đồng quy tại trực tâm của tam

Q M

H

vì

Vậy thẳng hàng

* Nhận xét: Để vận dụng định lí Menelaus ta cần tìm ra một tam giác sao cho 2 trong 3 điểm nằm trên 2 cạnh, 1 điểm còn lại nằm trên phần kéo dài Nhờ đó nghĩ đến việc dựng hình chữ nhật

Bài toán 2:

N M

K O

P

F

B E

Q

N H

Gọi là giao điểm và Áp dụng định lí Menelaus cho với bộ ba điểm , ta có:

hay

vì Mà:

Mặt khác: nên:

Do đó, theo định lí Menelaus thẳng hàng và đồng quy tại

Bài toán 3: (Định lí Pappus)

Áp dụng định lí Menenlaus cho với 5 bộ ba điểm thẳng hàng:

Nhân 5 đẳng thức trên với nhau ta được:

Áp dụng đl Menelaus cho tam giác và bộ 3 điểm thẳng hàng

Nhân vế theo vế 5 đẳng thức trên ta được:

hay

J

K

N L

M A

Vậy ba điểm thẳng hàng

Bài toán 4:

của lần lượt tại các điểm Gọi theo thứ tự là các

Vậy thẳng hàng

R A

P'

R' Q

Q'

Cho tam giác với:

là giao điểm của tia phân

giác ngoài tại với cạnh

là giao điểm của tia phân

giác ngoài tại với cạnh

là giao điểm của tia phân

giác ngoài tại với cạnh

Vậy theo định lí Menelaus thẳng hàng

Định lí Menelaus có rất nhiều ứng dụng trong giải toán Nhiều định lí toán học được chứng minh dễ dàng nhờ định lí Menelaus như: định lí Pascal, định lí Desargues, định lí Simpson, …

Bài toán 6: (Định lí Pascal)

Gọi là giao điểm của à ; là giao điểm của à ; là giao

Mặt khác:

Bài toán 7: (Định lí Desargues)

đ ng quy tại một điểm và các cặp đường thẳng

đều cắt nha thì các giao điểm của chúng thẳng hàng

B'

P

Gọi là giao điểm của và

Áp dụng định lí Menenlaus cho các bộ 3 điểm thẳng hàng:

với bộ ba điểm

với bộ ba điểm

với bộ ba điểm

Nhân (1), (2), (3) vế theo vế ta được:

Theo định lí Menelaus ta suy ra các điểm thẳng hàng

Bài toán 8: (Định lí về tứ giác toàn phần)

a) Định nghĩa:

Tứ giác toàn phần là hình được tạo thành bởi bốn đường thẳng sao cho các đường thẳng cắt nhau từng đôi một nhưng không có ba đường nào đồng quy Một tứ giác toàn phần có 4 cạnh, 6 đỉnh và 3 đường chéo

b) Định lí:

Trong một tứ giác toàn phần, ba

trung điểm của ba đường chéo thẳng hàng

c) Chứng minh:

Xét tứ giác toàn phần

Gọi lần lượt là trung điểm của ba

đường chéo Từ vẽ đường

thẳng song song với , cắt tại và

cắt tại Suy ra: là trung điểm ,

là trung điểm của

P

K D

F

E N

Mặt khác:

Theo định lí Menelaus suy ra thẳng hàng

Bài toán 9: (Định lí Simpson)

Cho là một điểm nằm trên đường tròn ngoại tiếp tam giác

lần lượt là các hình chiếu vuông góc của trên các cạnh Khi đó

Theo định lí Menelaus ta có thẳng hàng

Bài toán 10:

tự là ảnh của a phép đối xứng tâm theo thứ tự thuộc các

Tương tự:

Nhân vế theo vế ba đẳng thức trên, ta được:

Vậy theo định lí Menelaus thẳng hàng

C'1

O' B'1

Bài toán 11:

tự là tr ng điểm của theo thứ tự thuộc các đường thẳng

Vì thẳng hàng nên:

Y X

B2

Tương tự:

Nhân vế theo vế ba đẳng thức trên, ta được:

Vậy theo định lí Menelaus thẳng hàng

2.2 ĐỊNH LÍ CEVA VÀ QUAN HỆ ĐỒNG QUY

* Lưu ý: Nếu theo thứ tự nằm

trên các cạnh của tam giác

nhưng không trùng đỉnh nào của tam giác thì

không thể xảy ra trường hợp ba đường thẳng

song song với nhau Do đó, nếu

không dùng khái niệm độ dài đại số thì có thể

phát biểu định lí Ceva như sau:

Cho ba điểm theo thứ tự nằm trên các cạnh của tam giác nhưng không trùng đỉnh nào của tam giác Khi đó điều kiện cần và đủ để các đường thẳng đồng quy là:

Qua vẽ đường thẳng song song với cắt lần lượt tại

và Theo hệ quả của định lí Thales ta có:

O

A

B' C'

A'

Hơn nữa:

Từ đó suy ra:

 Cách 2: Sử dụng định lí Menenlaus

Áp dụng định lí Menelaus cho với bộ ba điểm :

Tương tự cho với bộ ba điểm , ta có:

Nhân (1) với (2) vế theo vế ta được:

 Trường hợp 2: song song

Theo định lí Thales:

A'

Phần đảo:

Giả sử có:

+ Giả sử một trong các cặp đường thẳng: song song với nhau Không mất tổng quát, xét trường hợp:

Từ k cắt tại , áp dụng phần thuận định lí Ceva, ta có:

Từ (5) và (6) suy ra:

hay Vậy

+ Nếu không có hai đường thẳng nào trong

ba đường thẳng song song với nhau, cần

chứng minh ba đường thẳng đó đồng quy

A'

𝑪𝟏

Định lí Ceva dạng sin:

2.2.2.

2.2.2.1 Nội dung:

Cho tam giác , lần lượt là các điểm thuộc các đường thẳng

và Khi đó đồng quy khi và chỉ khi:

̂ ̂

̂ ̂

̂ ̂

2.2.2.2 Chứng minh:

Phần thuận:

Giả sử đồng quy tại , cần chứng minh

Áp dụng định lí hàm sin cho các tam giác: , ta có:

̂ ̂

̂ ̂

̂ ̂

Suy ra:

̂ ̂

̂ ̂

̂ ̂

Phần đảo:

Giả sử có: ̂

̂

̂ ̂

̂ ̂

Áp dụng định lí sin trong hai tam giác:

̂

̂

̂

̂

Mà: ̂ ̂ (vì là hai góc bù

P A

E

D F

Tương tự: ̂

̂

và

̂ ̂

Nhân (3), (4) và (5) vế theo vế với nhau ta được:

Sử dụng giả thuyết suy ra:

hay

Vậy: đồng quy (theo định lí Ceva)

Mở rộng định lí Ceva trong không gian:

Đảo lại, gọi là các điểm tương ứng nằm trên các cạnh của tứ diện Khi đó bốn mặt phẳng

có chung một điểm S nếu:

Nhân (1) với (2) vế theo vế ta được:

(đpcm)

Phần đảo:

Giả sử có:

Công thức (*) chứng tỏ đồng phẳng theo định lí Menelaus trong không gian Giả sử:

Vậy các mặt phẳng có điểm chung

Định lí Ceva qua góc nhìn Hình học affine

2.2.4.

2.2.4.1 Nội dung:

Trong không gian affine , cho và các điểm lần lượt thuộc các cạnh Khi đó điều kiện cần và đủ để ba đường thẳng đồng quy là:

2.2.4.2 Chứng minh:

Phần thuận: Giả sử các đường thẳng đồng quy tại

S A

B

C

D M

S'

N A'

D'