Ứng dụng số phức vào giải một số bài toán hình học phẳng

Mục đích nghiên cứu

- Hệ thống hóa chi tiết các vấn đề về lý thuyết số phức

- Xây dựng hệ thống các bài toán, bài tập vận dụng để thấy được tính thiết thực của số phức trong vận dụng giải toán hình học phẳng

III Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

- Đối tượng nghiên cứu: Lý thuyết số phức và ứng dụng của nó

- Phạm vi nghiên cứu: Một số bài toán hình học phẳng

IV Nhiệm vụ nghiên cứu

Nghiên cứu về số phức và các bài toán hình học phẳng có liên quan đến số phức

- Phương pháp nghiên cứu lí luận: Đọc giáo trình, tài liệu tham khảo để hệ thống hóa, phân dạng các bài toán

Phương pháp tổng kết kinh nghiệm là quá trình tích lũy kiến thức từ bản thân, thầy cô, bạn bè và anh chị khóa trước nhằm nghiên cứu sâu sắc và kỹ lưỡng hơn.

- Phương pháp hỏi ý kiến chuyên gia: Hỏi trực tiếp thầy cô hướng dẫn các kiến thức có liên quan đến đề tài

TỔNG QUAN VỀ SỐ PHỨC

1.1 Lịch sử hình thành khái niệm số phức

Lịch sử số phức bắt đầu từ thế kỉ XVI, đánh dấu thời kỳ Phục hưng của toán học châu Âu sau thời kỳ trung cổ Các đại lượng ảo lần đầu xuất hiện trong các tác phẩm của nhà toán học Italy, như “Nghệ thuật vĩ đại hay là về các quy tắc đại số” của G Cardano (1545) và “Đại số” của R Bombelli (1572) Nhà toán học Đức Felix Klein đã nhận định rằng công trình của G Cardano chứa đựng mầm mống của đại số hiện đại, vượt xa tầm hiểu biết của toán học cổ đại.

Khi giải phương trình bậc hai, Cardano và Bombelli đã đưa ra khái niệm về số âm một (-1) như một lời giải thích cho phương trình x² + 1 = 0 Họ xem xét biểu thức b - 1 như là nghiệm hình thức của phương trình x² + b² = 0 Từ đó, có thể tổng quát hóa biểu thức a b + (-1), với b khác 0, như một nghiệm hình thức của phương trình (x - a)² + b² = 0.

Biểu thức a + b - 1, với b ≠ 0, xuất hiện trong quá trình giải phương trình bậc hai và bậc ba (theo công thức Cardano), được gọi là đại lượng “ảo” và sau này được Gauss định nghĩa là số phức, ký hiệu là a + ib, trong đó i = √(-1) được L Euler đưa vào năm 1777 Đến thế kỷ XIX, Gauss đã chứng minh vững chắc khái niệm số phức, gắn liền với định lý cơ bản của Đại số, khẳng định rằng mọi phương trình đa thức trong trường số phức C đều có nghiệm Nhà toán học Đức L Kronecker (1823-1891) đã tổng kết rằng: “Thượng đế đã tạo ra số tự nhiên, còn tất cả các loại số còn lại đều là công trình sáng tạo của con người.”

L.Kronecker đã đặt nền tảng vững chắc cho nền toán học, tạo ra một di sản tráng lệ mà nhân loại đang sở hữu.

1.2 Các kiến thức cơ bản về số phức

Số ảo được kí hiệu là i , là số mà bình phương của nó bằng -1 Ta có:

Số phức được định nghĩa là biểu thức có dạng a + bi, trong đó a và b là các số thực Trong đó, a được gọi là phần thực, ký hiệu là Re z, và b là phần ảo.

Im ) z của số phức z  a  ib  Re z  i Im z

 Số thực a  a  0 i cũng được gọi là số phức với phần ảo bằng 0

 Số bi  0  bi được gọi là số thuần ảo

 Số i   0 1 i được gọi là đơn vị ảo

Mỗi số phức z = a + bi có thể được biểu diễn hình học như một điểm M(a, b) trên mặt phẳng tọa độ Descartes, với gốc O và hai vectơ đơn vị e₁, e₂ vuông góc tại O Điểm M(a, b) được gọi là ảnh của số phức z, và ngược lại, mỗi điểm M(a, b) trên mặt phẳng tọa độ tương ứng với một số phức z = a + bi, được gọi là tọa độ của M(a, b) Do đó, mỗi số phức z = a + bi có thể được liên kết một cách 1-1 với một điểm M(a, b) trên mặt phẳng tọa độ Descartes.

 được gọi là ảnh vectơ của z và z được gọi là tọa vị của vectơ OM

Mặt phẳng tọa độ vuông góc Descartes tương ứng với tập số phức trên mặt phẳng phức

1.3 Các phép toán trên tập số phức

Ta gọi tổng của hai số phức z 1  a 1  ib 1 , z 2  a 2  ib 2 là số phức :

( ) z  a  a  i b  b (1.1) và được kí hiệu là z  z 1  z 2

Phép cộng có các tính chất quan trọng, bao gồm tính kết hợp và tính giao hoán Cụ thể, tính kết hợp được biểu diễn qua công thức z₁ + (z₂ + z₃) = (z₁ + z₂) + z₃, trong khi tính giao hoán thể hiện qua z₁ + z₂ = z₂ + z₁ Đặc biệt, khi z₁ và z₂ là hai số thực, công thức này trở thành phép cộng của hai số thực.

Phép cộng trên có phép toán ngược, nghĩa là với hai số phức z 1  a 1  ib 1 ,

Số phức z có thể được tìm thấy từ phương trình z^2 + z = z₁, trong đó z₁ và z₂ là hai số phức Hiệu của hai số phức z₁ và z₂ được ký hiệu là z = z₁ - z₂ Định nghĩa này rõ ràng cho thấy mối quan hệ giữa các số phức.

Ta gọi tích của hai số phức z 1  a 1  ib 1 và z 2  a 2  ib 2 là số phức xác định bởi:

( ) ( ) z  a a  bb  i ab  a b (1.3) và kí hiệu là z  z z 1 2

Từ định nghĩa trên ta có tính chất sau: i Kết hợp: z 1 ( ) z z 2 3  ( ) z z 1 2 z 3 ii Giao hoán: z z 1 2  z z 2 1 iii Phép nhân có tính chất phân phối đối với phép cộng:

1 ( 2 3 ) 1 2 1 3 z z  z  z z  z z Nếu z 1 và z 2 là hai số thực thì công thức (1.3) là phép nhân trong trường số thực Đặc biệt khi lấy z 1  z 2  i thì từ định nghĩa (1.3) ta có i i i  2   1

Với z 1  a 1  ib 1 và z 2  a 2  ib 2 l thì công thức (1.3) có được bằng cách nhân thông thường và thay i 2  1

Với hai số phức z 1  a 1  ib 1 và z 2  a 2  ib 2 ta có:

1.3.5 Căn bậc hai của số phức

Số phức w  x yi là căn bậc hai của số phức z  a  bi khi và chỉ khi

1.3.6 Số phức liên hợp a) Định nghĩa

Cho số phức z   a bi , a b ,  Số phức z  a  bi được goi là số phức liên hợp của z b) Định lý

Với các số phức z z 1 , 2 , z ta có: i z  z ,   z  ii z  z ,   z  iii z 1  z 2  z 1  z 2 iv z z  a 2 b 2  0 (    z a bi ,  a b , ) v z z 1 2  z z 1 2

1.4 Dạng lượng giác của số phức

Với mỗi số phức z   a bi , a b ,  luôn luôn được biểu diễn dưới dạng

Số phức z được biểu diễn dưới dạng z = r(cos φ + i sin φ), trong đó r = √(a² + b²) là modun của số phức z, ký hiệu là |z| Góc φ được xác định bởi các thành phần a = r cos φ và b = r sin φ, và φ được gọi là argument của số phức z, ký hiệu là arg z Các argument của số phức cung cấp thông tin quan trọng về vị trí của nó trong mặt phẳng phức.

0 z  được xác định sai khác một bội nguyên của 2 Khi đó z  r  cos   i sin   được gọi là dạng lượng giác của số phức

1.4.2 Nhân chia số phức dưới dạng lượng giác

Cho 2 số phức z 1  r 1  cos  1  i sin  1  , z 2  r 2  cos  2  i sin  2  Khi đó

2 2 cos sin z r z  r       i      Đặc biệt 1 1 cos   i sin   z  r         

Cho một số phức bất kì dưới dạng lượng giác z  r  cos   i sin  , theo công thức trên ta có:

Công thức trên được gọi là công thức Moivre

1.5 Phép khai căn số phức

1.5.1 Căn bậc hai của số phức dưới dạng lượng giác

Số phức z  r  cos   i sin    , r  0  có hai căn bậc hai là

1.5.2 Căn bậc n của số phức

Số phức z  r  cos   i sin    , r  0  có n căn bậc n là

2 CHƯƠNG II ĐẶC TRƯNG MỘT SỐ TÍNH CHẤT HÌNH HỌC QUA SỐ PHỨC

Chương này trình bày một số kết quả của hình học phẳng bằng ngôn ngữ số phức

Mỗi điểm trong hệ tọa độ vuông góc tương ứng với một số phức, tạo ra mối quan hệ một – một giữa tập hợp các số phức và tập hợp điểm trong mặt phẳng Điểm Z có tọa độ (a, b) tương ứng với số phức z = a + bi, được gọi là tọa vị của điểm Z Từ đây, mỗi điểm trong mặt phẳng được ký hiệu bằng một chữ cái in hoa, trong khi tọa vị của nó được biểu thị bằng chữ cái thường tương ứng.

Trong mặt phẳng hệ tọa độ vuông góc Oxy, mỗi điểm Z với tọa vị z chúng ta đặt một vectơ OZ

Do đó số phức có thể biểu diễn hình học như là vectơ trong mặt phẳng

Nếu Z Z 1 , 2 là hai điểm trên mặt phẳng có tọa vị z z 1 , 2 Khi đó tổng của chúng

3 1 2 z   z z biểu diễn bởi Z 3 , mà OZ    3  OZ 1  OZ 2

Khoảng cách d của điểm Z 1 đến Z 2 hoặc độ dài Z Z  1 2 là

1 2 1 2 , d  Z Z  z  z vậy d là modun của số phức z 2  z 1

Từ quy tắc cộng vectơ suy ra rằng nếu Z là trung điểm của Z Z 1 2 , thì

OZ   OZ   OZ    OZ hoặc tọa vị của Z biểu diễn qua z z 1 , 2 là  1 2 

1 z  2 z  z Để tính góc định hướng  tạo bởi hai tia đi qua điểm gốc của tọa độ O, ta chọn z 1 và z 2 nằm trên mỗi tia Khi đó 2 1 2

Trong trường hợp tia xuất phát từ điểm Z 0  ta cũng làm tương tự và có:

Một cách tổng quát, cho hai vectơ Z Z 1 2

 với tọa vị các điểm tương ứng là

1 , , , 2 1 2 z z u u Ta cần phải quay vectơ đơn vị của Z Z  1 2 đi một góc  theo chiều dương, nghĩa là:

Vậy góc phải tìm cos , sin

Từ những đẳng thức trên suy ra vectơ Z Z   1 2 , U U 1 2 vuông góc với nhau khi chỉ khi

Và chúng song song với nhau khi và chỉ khi

Nhận xét: i) Do công thức (2.1), nếu Z 1 trùng với U 1 và z z 1 2  u u 1 2 thì khi biết tọa vị z 2 và góc  với các giá trị đặc biệt thì u 2 biểu diễn theo z 2 như sau:

 gọi là tỉ số đơn của các số phức z 2 , z z 1 , 0 Do đó argument của V z  2 , z z 1 , 0  chính là góc định hướng giữa các vevtơ Z Z 0 1

 iii) Điều kiện cần và đủ để 3 điểm Z 0 , Z Z 1 , 2 thẳng hàng là góc định hướng giữa hai vectơ Z Z  0 1 và Z Z  0 2 bằng 0 hoặc bằng   Nghĩa là tỉ số đơn  2 1 0  2 0

 là một số thực iv) Điều kiện cần và đủ để đoạn thẳng Z Z 0 1 vuông góc với Z Z 0 2 là góc định hướng giữa hai vectơ Z Z  0 1 và Z Z  0 2 bằng

  Nghĩa là tỉ số đơn  2 1 0  2 0

Khi sử dụng hệ tọa độ vuông góc với tâm là gốc, các bài toán liên quan đến đường tròn trở nên đơn giản hơn Việc coi đường tròn là đường tròn đơn vị giúp dễ nhớ và áp dụng các công thức tính toán cho các bài toán cụ thể.

Tam giác A1A2A3 nội tiếp trong đường tròn có tâm O và bán kính R Để thuận tiện, chọn hệ tọa độ sao cho O trùng với gốc tọa độ và lấy bán kính R làm đơn vị độ dài, tức là R = 1 Khi đó, đường tròn này được gọi là đường tròn đơn vị.

Vậy phương trình đường tròn đơn vị có dạng z z  1

2.3 Điều kiện vuông góc, song song:

Gọi Z Z U U 1 , 2 , 1 , 2 là những điểm phân biệt có tọa vị lần lượt là z z u u 1 , 2 , 1 , 2 Khi đó:

 Z Z 1 2 song song với U U 1 2 khi và chỉ khi:

 Z Z 1 2 vuông góc với U U 1 2 khi và chỉ khi:

Trong trường hợp Z Z U U 1 , 2 , 1 , 2 nằm trên đường tròn đơn vị, thì những số liên hợp z z u u 1 , 2 , 1 , 2 có thể thay bằng

 Z Z 1 2 song song với U U 1 2 khi và chỉ khi z z 1 2  u u 1 2

 Z Z 1 2 vuông góc với U U 1 2 khi và chỉ khi z z 1 2  u u 1 2  0

2.4 Đường thẳng đi qua hai điểm Đường thẳng đi qua 2 điểm có tọa vị z 1 và z 2 là tập hợp các điểm Z sao cho

2.5 Tọa vị của một số điểm đặc biệt

Gọi B B B 1 , 2 , 3 lần lượt là trung điểm các cạnh A A A A A A 2 3 , 3 1 , 1 2 trong tam giác

Xét một điểm M có tọa vị  1 2 3 

Tương tự do tính đối xứng của a a a 1 , 2 , 3 nên M cũng thuộc A B 2 2 , A B 3 3 Do đó điểm M chính là trọng tâm G của tam giác A A A 1 2 3

Nói cách khác trọng tâm G của tam giác A A A 1 2 3 có tọa vị  1 2 3 

Giả sử tam giác A A A 1 2 3 nội tiếp đường tròn tâm O, với K là điểm đối xứng của O qua cạnh A A 1 2, và B 3 là giao điểm của OK và A A 1 2 Nếu coi đường tròn này là đường tròn đơn vị và gốc tọa độ trùng với O, ta có hình thoi OA KA 1 2, trong đó B 3 là trung điểm của A A 1 2 Do đó, ta có k  2 b 3  a 1  a 2.

Gọi H là đỉnh của hình bình hành có hai cạnh OA OK 3 , Khi đó: h  k  a 3  a 1  a 2  a 3

Đỉnh H thuộc đường cao hạ từ đỉnh A3 của tam giác A1A2A3, và do tính đối xứng của H đối với các đỉnh A1, A2, A3, nên H cũng nằm trên đường cao hạ từ đỉnh A1A2 của tam giác này.

Vậy H là trực tâm của tam giác A A A 1 2 3 có tọa vị h  a 1  a 2  a 3

Nhiệm vụ nghiên cứu

Nghiên cứu về số phức và các bài toán hình học phẳng có liên quan đến số phức.

Phương pháp nghiên cứu

- Phương pháp nghiên cứu lí luận: Đọc giáo trình, tài liệu tham khảo để hệ thống hóa, phân dạng các bài toán

Phương pháp tổng kết kinh nghiệm là việc tích lũy những hiểu biết và bài học từ bản thân, thầy cô, bạn bè, và anh chị khóa trước Điều này giúp bạn nghiên cứu sâu hơn và hiểu rõ hơn về các vấn đề, từ đó nâng cao kiến thức và kỹ năng cá nhân.

- Phương pháp hỏi ý kiến chuyên gia: Hỏi trực tiếp thầy cô hướng dẫn các kiến thức có liên quan đến đề tài

Tổng quan về số phức

Lịch sử hình thành khái niệm số phức

Lịch sử số phức bắt đầu từ thế kỷ XVI, trong thời kỳ Phục hưng của toán học châu Âu sau thời kỳ trung cổ Các đại lượng ảo lần đầu tiên xuất hiện trong các tác phẩm của nhà toán học Italy như “Nghệ thuật vĩ đại hay là về các quy tắc đại số” của G Cardano (1545) và “Đại số” của R Bombelli (1572) Nhà toán học Đức Felix Klein đã đánh giá cao công trình của G Cardano, coi đó là tác phẩm quý giá chứa đựng mầm mống của đại số hiện đại, vượt xa tầm hiểu biết của toán học cổ đại.

Khi giải phương trình bậc hai, Cardano và Bombelli đã đưa vào xem xét ký hiệu -1 như một lời giải thích cho phương trình x² + 1 = 0 Biểu thức b - 1 được coi là nghiệm hình thức của phương trình x² + b² = 0 Từ đó, biểu thức tổng quát a b + -1, với b khác 0, có thể được xem là nghiệm hình thức của phương trình (x - a)² + b² = 0.

Biểu thức a + b - 1 (với b ≠ 0) xuất hiện trong việc giải phương trình bậc hai và bậc ba, được gọi là đại lượng “ảo” và được Gauss định nghĩa là số phức, ký hiệu là a + ib, với i = √(-1) do L.Euler giới thiệu vào năm 1777 Đến thế kỷ XIX, Gauss đã chứng minh vững chắc khái niệm số phức, gắn liền với chứng minh đầu tiên cho định lý cơ bản của Đại số, khẳng định rằng mọi phương trình đa thức trong trường số phức C đều có nghiệm L.Kronecker, nhà toán học Đức, đã tổng kết rằng: “Thượng đế đã tạo ra số tự nhiên, còn tất cả các loại số còn lại đều là công trình sáng tạo của con người.”

L.Kronecker đã đặt nền tảng vững chắc cho nền toán học, khẳng định tầm quan trọng của nó trong việc xây dựng một lâu đài tri thức tuyệt vời mà nhân loại đang sở hữu.

Các kiến thức cơ bản về số phức

Số ảo được kí hiệu là i , là số mà bình phương của nó bằng -1 Ta có:

Một số phức được định nghĩa dưới dạng a + bi, trong đó a và b là các số thực Phần thực của số phức được ký hiệu là Re z, trong khi phần ảo được ký hiệu là Im z.

Im ) z của số phức z  a  ib  Re z  i Im z

 Số thực a  a  0 i cũng được gọi là số phức với phần ảo bằng 0

 Số bi  0  bi được gọi là số thuần ảo

 Số i   0 1 i được gọi là đơn vị ảo

Mỗi số phức z = a + bi có thể được biểu diễn hình học như một điểm M(a, b) trên mặt phẳng tọa độ Descartes, với gốc là điểm O và hai vectơ đơn vị e₁, e₂ vuông góc tại O Điểm M(a, b) được gọi là ảnh của số phức z, và ngược lại, mỗi điểm M(a, b) trên mặt phẳng tọa độ tương ứng với một số phức z = a + bi, được gọi là tọa độ của M(a, b) Do đó, có sự tương ứng 1-1 giữa mỗi số phức z và một điểm M(a, b) trên mặt phẳng tọa độ Descartes.

 được gọi là ảnh vectơ của z và z được gọi là tọa vị của vectơ OM

Mặt phẳng tọa độ vuông góc Descartes tương ứng với tập số phức trên mặt phẳng phức.

Các phép toán trên tập số phức

Ta gọi tổng của hai số phức z 1  a 1  ib 1 , z 2  a 2  ib 2 là số phức :

( ) z  a  a  i b  b (1.1) và được kí hiệu là z  z 1  z 2

Phép cộng có các tính chất quan trọng như sau: tính kết hợp, tức là z1 + (z2 + z3) = (z1 + z2) + z3, và tính giao hoán, nghĩa là z1 + z2 = z2 + z1 Đặc biệt, khi z1 và z2 là hai số thực, thì công thức này thể hiện phép cộng của hai số thực.

Phép cộng trên có phép toán ngược, nghĩa là với hai số phức z 1  a 1  ib 1 ,

Số phức z có thể được xác định từ phương trình z^2 + z = z1, trong đó z1 là một số phức cho trước Hiệu của hai số phức z1 và z2 được ký hiệu là z = z1 - z2 Từ định nghĩa này, chúng ta có thể dễ dàng nhận thấy mối quan hệ giữa các số phức.

Ta gọi tích của hai số phức z 1  a 1  ib 1 và z 2  a 2  ib 2 là số phức xác định bởi:

( ) ( ) z  a a  bb  i ab  a b (1.3) và kí hiệu là z  z z 1 2

Từ định nghĩa trên ta có tính chất sau: i Kết hợp: z 1 ( ) z z 2 3  ( ) z z 1 2 z 3 ii Giao hoán: z z 1 2  z z 2 1 iii Phép nhân có tính chất phân phối đối với phép cộng:

1 ( 2 3 ) 1 2 1 3 z z  z  z z  z z Nếu z 1 và z 2 là hai số thực thì công thức (1.3) là phép nhân trong trường số thực Đặc biệt khi lấy z 1  z 2  i thì từ định nghĩa (1.3) ta có i i i  2   1

Với z 1  a 1  ib 1 và z 2  a 2  ib 2 l thì công thức (1.3) có được bằng cách nhân thông thường và thay i 2  1

Với hai số phức z 1  a 1  ib 1 và z 2  a 2  ib 2 ta có:

1.3.5 Căn bậc hai của số phức

Số phức w  x yi là căn bậc hai của số phức z  a  bi khi và chỉ khi

1.3.6 Số phức liên hợp a) Định nghĩa

Cho số phức z   a bi , a b ,  Số phức z  a  bi được goi là số phức liên hợp của z b) Định lý

Với các số phức z z 1 , 2 , z ta có: i z  z ,   z  ii z  z ,   z  iii z 1  z 2  z 1  z 2 iv z z  a 2 b 2  0 (    z a bi ,  a b , ) v z z 1 2  z z 1 2

Dạng lượng giác của số phức

Với mỗi số phức z   a bi , a b ,  luôn luôn được biểu diễn dưới dạng

Số phức z có thể được biểu diễn dưới dạng z = r(cos φ + i sin φ), trong đó r = √(a² + b²) là modun của số phức, ký hiệu là |z| Góc φ được xác định bởi các công thức a = r cos φ và b = r sin φ, và φ được gọi là argument của số phức z, ký hiệu là arg z.

0 z  được xác định sai khác một bội nguyên của 2 Khi đó z  r  cos   i sin   được gọi là dạng lượng giác của số phức

1.4.2 Nhân chia số phức dưới dạng lượng giác

Cho 2 số phức z 1  r 1  cos  1  i sin  1  , z 2  r 2  cos  2  i sin  2  Khi đó

2 2 cos sin z r z  r       i      Đặc biệt 1 1 cos   i sin   z  r         

Cho một số phức bất kì dưới dạng lượng giác z  r  cos   i sin  , theo công thức trên ta có:

Công thức trên được gọi là công thức Moivre.

Phép khai căn số phức

1.5.1 Căn bậc hai của số phức dưới dạng lượng giác

Số phức z  r  cos   i sin    , r  0  có hai căn bậc hai là

1.5.2 Căn bậc n của số phức

Số phức z  r  cos   i sin    , r  0  có n căn bậc n là

2 CHƯƠNG II ĐẶC TRƯNG MỘT SỐ TÍNH CHẤT HÌNH HỌC QUA SỐ PHỨC

Chương này trình bày một số kết quả của hình học phẳng bằng ngôn ngữ số phức

Mỗi điểm trong hệ tọa độ vuông góc tương ứng với một số phức, tạo ra mối quan hệ một – một giữa tập hợp các số phức và điểm trong mặt phẳng Điểm Z có tọa độ (a, b) ứng với số phức z = a + bi, và số phức z được gọi là tọa vị của điểm Z Từ đó, một điểm trong mặt phẳng được ký hiệu bằng chữ cái in hoa, trong khi tọa vị của nó được biểu thị bằng chữ cái thường tương ứng.

  Nghĩa là tỉ số đơn  2 1 0  2 0

Khi chọn hệ tọa độ vuông góc với tâm là gốc tọa độ và coi đường tròn là đường tròn đơn vị, nhiều bài toán liên quan đến đường tròn trở nên đơn giản hơn Các công thức tính toán dễ nhớ và dễ áp dụng cho các bài toán cụ thể.

Tam giác A1A2A3 nội tiếp trong đường tròn có tâm O và bán kính R Để thuận tiện, ta chọn hệ tọa độ sao cho tâm O trùng với gốc tọa độ và sử dụng bán kính R làm đơn vị độ dài, tức là R = 1 Khi đó, đường tròn này được gọi là đường tròn đơn vị.

Vậy phương trình đường tròn đơn vị có dạng z z  1

2.3 Điều kiện vuông góc, song song:

2.4 Đường thẳng đi qua hai điểm Đường thẳng đi qua 2 điểm có tọa vị z 1 và z 2 là tập hợp các điểm Z sao cho

2.5 Tọa vị của một số điểm đặc biệt

Giả sử tam giác A A A 1 2 3 nội tiếp đường tròn tâm O, với K là điểm đối xứng của O qua cạnh A A 1 2 B 3 là giao điểm của OK và A A 1 2 Nếu xem đường tròn này là đường tròn đơn vị và chọn gốc tọa độ tại O, thì OA KA 1 2 tạo thành hình thoi, và B 3 là trung điểm của A A 1 2, từ đó suy ra k = 2 b 3 = a 1 + a 2.

Đường cao hạ từ đỉnh A3 của tam giác A1A2A3 là H, và do tính đối xứng của H đối với các đỉnh A1, A2, A3, ta có thể kết luận rằng H cũng thuộc đường cao hạ từ đỉnh A1, A2 của tam giác A1A2A3.

Gọi A và B là hai điểm khác nhau trên đường tròn đơn vị, M là một điểm bất kỳ và K là hình chiếu vuông góc của M lên dây cung AB Tọa độ k của điểm K được xác định theo công thức a + k = (a + b)k.

Mặt khác MK  AB nên ta có: m  k   a  b    a  b m    k   0

Theo đó ta có k  m   m k ab   , thay k vào a    b k abk , ta được

2.5.4 Điểm nằm trên đường tròn: Điểm M nằm trên đường tròn tâm A bán kính R, có tọa vị m thỏa mãn:

Đặc trưng một số tính chất hình học qua số phức

Góc định hướng

Mỗi điểm trong hệ tọa độ vuông góc tương ứng với một số phức, tạo ra mối quan hệ một – một giữa tập hợp các số phức và các điểm trong mặt phẳng Điểm Z có tọa độ (a, b) tương ứng với số phức z = a + bi, được gọi là tọa vị của điểm Z Từ đây, một điểm trong mặt phẳng được ký hiệu bằng chữ cái in hoa, trong khi tọa vị của nó được biểu thị bằng chữ cái thường tương ứng.

  Nghĩa là tỉ số đơn  2 1 0  2 0

Đường tròn đơn vị

Khi chọn hệ tọa độ vuông góc với gốc tại tâm đường tròn và coi đường tròn là đường tròn đơn vị, nhiều bài toán liên quan đến đường tròn trở nên đơn giản hơn Các công thức tính toán dễ nhớ và dễ áp dụng cho các bài toán cụ thể, giúp người học nắm bắt kiến thức một cách hiệu quả.

Tam giác A1A2A3 nội tiếp trong đường tròn có tâm O và bán kính R Để đơn giản hóa, chọn hệ tọa độ sao cho tâm O trùng với gốc tọa độ và đặt bán kính R bằng 1, dẫn đến đường tròn này được gọi là đường tròn đơn vị.

Vậy phương trình đường tròn đơn vị có dạng z z  1.

Điều kiện vuông góc, song song

Đường thẳng đi qua hai điểm

Đường thẳng đi qua 2 điểm có tọa vị z 1 và z 2 là tập hợp các điểm Z sao cho

Tọa vị của một số điểm đặc biệt

Giả sử tam giác A1A2A3 nội tiếp đường tròn tâm O, với K là điểm đối xứng của O qua cạnh A1A2 Điểm B3 là giao điểm của OK và A1A2 Giả định rằng đường tròn này là đường tròn đơn vị và gốc tọa độ trùng với O, ta có OA, KA1A2 tạo thành hình thoi B3 là trung điểm của A1A2, từ đó suy ra k = 2 và b3 = a1 + a2.

Điểm H thuộc đường cao hạ từ đỉnh A3 của tam giác A1A2A3, do tính đối xứng của H đối với A1, A2, A3 Điều này cũng cho thấy H thuộc đường cao hạ từ đỉnh A1, A2 của tam giác A1A2A3.

Gọi A và B là hai điểm khác nhau trên đường tròn đơn vị, M là một điểm bất kỳ, và K là hình chiếu vuông góc của M lên dây cung AB Tọa độ k của điểm K sẽ thỏa mãn mối quan hệ a + k = (a + b)k.

Mặt khác MK  AB nên ta có: m  k   a  b    a  b m    k   0

Theo đó ta có k  m   m k ab   , thay k vào a    b k abk , ta được

2.5.4 Điểm nằm trên đường tròn: Điểm M nằm trên đường tròn tâm A bán kính R, có tọa vị m thỏa mãn:

MỘT SỐ BÀI TẬP ÁP DỤNG

Chương này sẽ trình bày một số ứng dụng của số phức vào việc giải một số lớp bài toán về hình học phẳng

Một số bài toán khi giải bằng phương pháp số phức sẽ đơn giản, thuận tiện hơn khi giải bằng các phương pháp khác, chẳng hạn:

Ba điểm A, B, C nằm thẳng hàng theo thứ tự A, B, C Chúng ta dựng các tam giác đều ABE và BCF trong cùng nửa mặt phẳng bờ AC M và N lần lượt là trung điểm của AF và CE Cần chứng minh rằng tam giác BMN là tam giác đều.

Cách 1: Sử dụng phương pháp hình học phẳng

Xét  ABF và  EBC có:

AB  EB (vì  ABE đều)

BF  BC (vì  BFC đều)

  ABF   EBC (cạnh – góc – cạnh)

 BAF   BEC BCE  ,  BFA  và AF  CE

Xét  BNC và  BMF có

NC  MF (vì AF  CE và M, N là trung điểm AF, CE)

BCN  BFM (chứng minh trên)

  BNC   BMF (cạnh – góc – cạnh)

 BN  BM và CBN   FBM  (1)

Mà ta có CBN   FBM   CBF FBN      FBE  EBM

Ta có MBN   MBE EBN      FBN  EBN  60 0 (2)

Vậy từ (1) và (2) ta có  BMN là tam giác đều

Cách 2: Sử dụng phương pháp số phức hóa

Chọn điểm B trùng với gốc tọa độ O Giả sử các điểm A, C, E, F, M, N có tọa vị lần lượt là a, c, e, f, m, n

Ta có  BAE ,  BFC đều nên: cos sin

M, N là trung điểm AF, CE nên:

Tam giác BMN cân (vì BM  BN ) có góc 

 nên là tam giác đều

Về phía ngoài tứ giác ABCD dựng các hình vuông ABEF, BCGH, CDKL, DAMN

Gọi P, Q, R, S lần lượt là tâm của các hình vuông trên Chứng minh rằng PR  QS và

Xét  BEC và  BAH có

  BEC   BAH (cạnh – góc – cạnh)

Gọi K là giao điểm của EC và AH Ta có  BEC =  BAH nên BEC    BAH do đó tứ giác EKBA nội tiếp, suy ra EKA    EBA  90 0

Từ (1) và (2) suy ra AH  EC EC ,  AH

Gọi I là trung điểm AC, khi đó ta có IP là đường trung bình của  EAC và IQ là đường trung bình của  ACH

Mà AH  EC EC ,  AH suy ra IP  IQ IP ,  IQ

Một cách tương tự ta chứng minh được IS  IR IS ,  IR

Từ đó ta có  IPR   IQS (cạnh – góc – cạnh)

Gọi J là giao điểm của PR và QS thì ta có tứ giác IJRS nội tiếp

Suy ra SJR   SIR  90 0 hay PR  QS

Cách 2: Sử dụng phương pháp số phức hóa

Giả sử các điểm A, B, C, D, P, Q, R, S có tọa vị lần lượt là a, b, c, d, p, q, r ,s Khi đó ta có

PA  PB PA  PB nên a p b p i

    Để chứng minh PR  QS và PR  QS ta chỉ cần chứng minh r p q s i

1 1 1 i b ic i d ia ib c id a c id a ib i q s r p i i i

Vậy ta có điều phải chứng minh

Cho đường tròn O bán kính R, BC là dây cung cố định, điểm A chuyển động trên cung lớn BC Tìm quỹ tích trọng tâm G của tam giác ABC

Gọi I là trung điểm của BC Trên OI lấy điểm O’ sao cho ' 2

Theo tính chất trọng tâm trong tam giác ta có 2

Từ (1) và (2) suy ra O’G//OA Áp dụng định lý Talét ta có ' 1

Mà A chuyển động trên cung lớn BC, do đó G chuyển động trên cung lớn B C 1 1 của đường tròn tâm O’ bán kính

Sử dụng phương pháp số phức hóa, đặt tâm đường tròn tại gốc tọa độ và dây cung BC cố định song song với trục thực Giả sử các điểm A, B, C, I, G có tọa độ lần lượt là a, b, c, y, g.

A chạy trên cung lớn BC của đường tròn O, bán kính R

Suy ra a  R  cos t  i sin t  với    t  , trong đó    OC Ox  ,  ,    Ox OB ,  

G là trọng tâm  ABC suy ra 1   g  3 a   b c 1   1

I là trung điểm BC nên b c   2 y ,

Vậy quỹ tích điểm G là cung B C 1 1 của đường tròn tâm có tọa vị 2

Nhận xét cho bài toán 1 cho thấy phương pháp số phức hiệu quả hơn phương pháp hình học phẳng, vì nó cho phép rút ngắn quá trình chứng minh bằng cách sử dụng phép quay gốc B và tính chất trung điểm Đối với bài toán 2, mặc dù phương pháp hình học phẳng mang lại lời giải dễ hiểu, nhưng lại dài dòng và khó xác định đường đi Ngược lại, phương pháp số phức hóa cung cấp một lộ trình rõ ràng để chứng minh PR = QS.

PR  QS thì chỉ cần chứng minh r p q s i

Bằng cách thực hiện một số bước biến đổi cơ bản, chúng ta có thể chứng minh điều cần thiết Đối với bài toán 3, phương pháp số phức cung cấp lời giải dễ hiểu và ngắn gọn Chỉ cần xác định quỹ tích điểm A và mối quan hệ giữa trọng tâm G và điểm A, chúng ta sẽ nhanh chóng tìm ra quỹ tích điểm G.

Qua 3 bài toán trên, ta thấy việc đưa bài toán hình học vào xét trong mặt phẳng phức và gọi tọa vị của các điểm có trong bài toán, áp dụng đặc trưng một số tính chất hình học qua số phức sẽ cho ta lời giải ngắn gọn, rõ ràng cũng như dễ dàng tìm được hướng đi của bài toán

Các mục tiếp sau đây sẽ trình bày những ứng dụng của số phức để giải một số lớp bài toán trong hình học phẳng

3.1 Ứng dụng số phức vào giải các bài toán chứng minh, tính toán

Bài toán 4: (Saint Petersburg 2000 – [3] trang 169)

Cho tam giác nhọn ABC với đường thẳng d tiếp xúc đường tròn ngoại tiếp tại điểm B Gọi K là chân đường cao từ trực tâm H xuống d, và L là trung điểm của cạnh AC Cần chứng minh rằng tam giác BLK là tam giác cân.

Chọn gốc tọa độ O trùng với tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC, B thuộc trục ảo Oy sao cho B    i , A, C, G có tọa vị lần lượt là a c g , , với a  x 1  iy c 1 ,  x 2 iy 2 ,

Không mất tính tổng quát, ta chỉ cần xét ABC nội tiếp đường tròn đơn vị

G là trọng tâm tam giác ABC, ta có:

Khi đó vì OH3OG

, nên ta có tọa độ của trực tâm H là

Vì HK / /OB nên điểm K có tọa vi k   x 1  x 2   i Điểm L trung điểm AC nên có tọa vị 1 2 1 2

Bài toán 5: ([7] Ví dụ 2, trang 23)

Cho lục giác đều ABCDEF, K là trung điểm của BD, M là trung điểm của EF Chứng minh  AMK đều

Chọn gốc tọa độ O tại đỉnh A của lục giác đều ABCDEF, với cạnh AD nằm trên trục Ox Các đỉnh A, B, C, D, E, F có tọa độ lần lượt là a, b, c, d, e, f trong mặt phẳng phức.

Gọi I là tâm lục giác đều ABCDEF có tọa vị y Ta nhận thấy BCDI là hình thoi nên K là trung điểm IC Ta có c  e

 cos arg sin arg  cos 6 sin 6 c c c i c c   i  

 cos arg sin arg e  cos 6 sin 6 e e e i e        i       

3 3 6 6 3 3 cos sin cos sin cos sin c     i     c   i       i    

Vì M là trung điểm EF, K là trung điểm IC nên:

Suy ra m  k tức là AM = AK và 

Cho tam giác \( A_1 A_2 A_3 \) với trực tâm \( H \), vẽ đường tròn có đường kính \( A H_3 \), cắt các cạnh \( A A_2 A_3 \) và \( A A_1 A_3 \) tại các điểm \( P \) và \( Q \) Chứng minh rằng tiếp tuyến tại điểm \( P \) và \( Q \) của đường tròn cắt nhau tại điểm giữa của đoạn \( A A_1 A_2 \).

Chọn hệ tọa độ với đường tròn ngoại tiếp tam giác A A A 1 2 3 làm đường tròn đơn vị giả sử các điểm A A A P Q H C M 1 , 2 , 3 , , , , 3 , 3 có tọa vị lần lượt là a a a 1 , 2 , 3 , , , , p q h c m 3 , 3

Do P và Q chính là chân đường cao của tam giác từ đỉnh A 1 và A 2 , vì

HPA  HQA  (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn), ta có:

Tâm của đường tròn ta vẽ là C 3 , đó là trung điểm của A H 3 , nên

M 3 là trung điểm của A A 1 2 , ta có 3 1 2

Những tỉ số trên hoàn toàn ảo vì 2 1 2 1

M Q C Q, nghĩa là M P 3 và M Q 3 là tiếp tuyến tại P và Q của đường tròn ngoại tiếp tam giác A A A 1 2 3

Cho ba điểm A 1 , A 2 , A 3 cùng thuộc một đường tròn Lấy điểm C 3 đối xứng với điểm

A 3 qua trung điểm của cạnh A A 1 2 , lấy điểm D 3 đối xứng với A 3 qua tâm đường tròn Chứng minh A A 1 2 vuông góc với C D 3 3

Chọn tâm O trùng với gốc tọa độ để không làm mất tính tổng quát, ta chọn đường tròn ngoại tiếp của tam giác A1A2A3 làm đường tròn đơn vị Giả sử các điểm A1, A2, A3 có tọa độ lần lượt là a1, a2, a3.

Gọi M là trung điểm của A A 1 2 có tọa vị m

Ta có 2m  a 3  c 3 và 2m  a 1  a 2 do đó ta có c 3  a 1  a 2  a 3

 hoàn toàn ảo Thật vậy,

Cho tam giác ABC, trực tâm H chia đường cao BD với tỉ số 3:1 (tính từ đỉnh B) Còn

K là trung điểm của đường cao này Chứng minh rằng  AKC  90 0

Chọn đường tròn đơn vị là đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Giả sử các điểm A,

B, C, D, H, K có tọa vị lần lượt là a, b, c, d, h, k

Ta có H là trực tâm tam giác ABC nên h  a b c  

D là chân đường cao hạ từ B nên d  1 2  a    b c acb 

K là trung điểm BD nên k  1 2  b  d   1 2   b  1 2  a    b c acb   

3 3 a b acb c ab b ac bc bc b ac ab c b acb a

3 3 3 3 0 ab b bc ac ab b bc ac b c c b b c c b

 hoàn toàn ảo, vậy  AKC  90 0

Bài toán 9 (Định lí Sti – oa – tơ, [4] – Bài 58, trang 11)

Giả sử điểm D nằm trên cạnh BC của tam giác ABC Chứng minh rằng

AB DC  AC BD  AD BC  BC DC BD Lời giải:

Giả sử các điểm A, B, C, D có tọa vị lần lượt là a, b, c, d khi đó ta có D nằm trên BC nên

VT = AB DC 2  AC BD 2  AD BC 2

1 1 1 1 c b bb ba ab aa cc aa ca aa bb bc ba bc cc ca ab ac aa

2 c b bb bb ba ba ab ab aa aa cc ac ca aa bb bb bb bc bc ba ba bc bc cc ca ab ab ac aa

  c b  bb cc  cc  bb bc cb  bc  cb

Từ (1) và (2) ta có điều phải chứng minh

Bài toán 10: ( [10], ví dụ 1, trang 156 )

Cho tam giác ABC với điểm D nằm trên cạnh BC và điểm M trên đoạn AD Gọi L và K lần lượt là trung điểm của MB và MC Tia DL cắt AB tại điểm P, tia DK cắt AC tại điểm Q Cần chứng minh rằng PQ song song với LK.

Chọn điểm A trùng với gốc tọa độ, giả sử các điểm B, C, D, L, K, H, M, P, Q có tọa vị b, c, d, l, k, h, m, p, q

Ta có: L là trung điểm BM nên 1   l  2 b  m

K là trung điểm CM nên 1   k  2 c  m

Gọi H là trung điểm AM, có tọa vị

Ta có LH//PA, KH//QA, đặt AP AQ AD

3.2 Ứng dụng số phức vào giải các bài toán thẳng hàng, đồng quy

Bài toán 11: ( [11], ví dụ 18, trang 67 )

Cho tam giác ABC, từ các đỉnh A, B, C, vẽ ba đường thẳng song song cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác tại các điểm D, E, F Cần chứng minh rằng trực tâm của các tam giác ABF, BCD và CAE là thẳng hàng.

Chọn hệ tọa độ sao cho đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC là đường tròn đơn vị Giả sử các điểm A, B, C, D, E, F có tọa vị lần lượt là a, b, c, d, e, f

Ta có AD//BE//CF do đó:

Gọi H 1 , H 2 , H 3 lần lượt là trực tâm tam giác ABF, BCD, CAE, có tọa vị h h h 1 , 2 , 3

Tỉ số đơn là số thực Vậy H 1 , H 2 , H 3 thẳng hàng

Từ các đỉnh của tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn tâm O, ta dựng các đường tiếp tuyến với đường tròn và chúng cắt nhau tạo ra tứ giác PQRS Cần chứng minh rằng trung điểm các đường chéo của tứ giác PQRS nằm trên một đường thẳng đi qua tâm O của đường tròn.

Ta chọn đường tròn đã cho làm đường tròn đơn vị gốc tọa độ tại O Giả sử các điểm

A, B, C, D, N, M, P, Q, R, S có tọa vị lần lượt là a, b, c, d, m, n, p, q, r, s

Ta có PA  OA và PB  OB do đó:

Thay p p  ab vào pa  a p  2 ta được 2ab p  a b

Tương tự ta cũng có 2 2 2

M, N là trung điểm PR và QS nên ta có

Điều này chứng tỏ rằng tỉ số đơn m n là một số thực

Một số bài tập áp dụng

Định dạng
Số trang	60
Dung lượng	892,01 KB