HỆ THỨC LƯỢNG GIÁC VÀ ỨNG DỤNG VÀO GIẢI TOÁN SƠ CẤP

BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN CÁC ĐẲNG THỨC, BẤT ĐẲNG THỨC CƠ BẢN CỦA HÀM LƯỢNG GIÁC...16... Trần Đạo Dõng, tôi đã chọn đề tài “HỆ THỨC LƯỢNG GIÁC VÀ ỨNG DỤNG VÀO GIẢI TOÁN SƠ CẤP” trong chươ

LÊ THIỆN TRUNG

HỆ THỨC LƯỢNG GIÁC VÀ ỨNG DỤNG VÀO

GIẢI TOÁN SƠ CẤP

Chuyên ngành : PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP

Mã số : 60 46 0113

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Người hướng dẫn khoa học : PGS TS Trần Đạo Dõng

Đà Nẵng – Năm 2014

Các số liệu kết quả nêu trong luận văn là trung thực và chưa từng được

ai công bố trong bất kỳ công trình nào khác

Học viên

Lê Thiện Trung

MỞ ĐẦU 1

1 Lý do chọn đề tài 1

2 Mục đích nghiên cứu 1

3 Nhiệm vụ nghiên cứu 1

4 Phương pháp nghiên cứu 2

5 Ý nghĩa khoa học và thực tiễn 2

6 Cấu trúc luận văn 2

CHƯƠNG 1: CÁC HỆ THỨC LƯỢNG GIÁC 3

1.1 CÁC PHÉP TOÁN CỦA HÀM LƯỢNG GIÁC 3

1.1.1 Các khái niệm liên quan đến lượng giác 3

1.1.2 Giá trị lượng giác của góc (cung) lượng giác 4

1.1.3 Giá trị lượng giác của góc (cung) có liên quan đặc biệt: 5

1.1.4 Các hệ thức cơ bản của hàm số lượng giác 6

1.1.5 Các công thức lượng giác 6

1.2 CÁC ĐẲNG THỨC VÀ BẤT ĐẲNG THỨC TRONG TAM GIÁC8 1.2.1 Một số đẳng thức lượng giác cơ bản trong tam giác 8

1.2.2 Các bất đẳng thức lượng giác trong tam giác 8

1.2.3 Một số bất đẳng thức khác thường gặp 9

1.3 HỆ THỨC VÀ CÁC ĐỊNH LÝ TRONG TAM GIÁC 10

1.3.1 Các định lí trong tam giác 10

1.3.2 Các hệ thức lượng giác cơ bản trong tam giác 13

CHƯƠNG 2: ỨNG DỤNG HỆ THỨC LƯỢNG GIÁC VÀO GIẢI TOÁN 16

2.1 BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN CÁC ĐẲNG THỨC, BẤT ĐẲNG THỨC CƠ BẢN CỦA HÀM LƯỢNG GIÁC 16

LƯỢNG GIÁC 31

2.4 BÀI TOÁN VỀ HÌNH CHIẾU, ĐỘ DÀI TRONG TAM GIÁC 41

2.5 BÀI TOÁN VỀ CẠNH VÀ KHOẢNG CÁCH TRONG TAM GIÁC 55

2.6 HỆ THỨC LƯỢNG GIÁC TRONG TỨ GIÁC VÀ ĐA GIÁC 62

2.7 HỆ THỨC LƯỢNG TAM GIÁC TRONG ĐƯỜNG TRÒN 72

KẾT LUẬN 80

TÀI LIỆU THAM KHẢO 81 QUYẾT ĐỊNH GIAO ĐỀ TÀI (BẢN SAO)

MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài.

Trong quá trình giảng dạy và tìm hiểu qua các tài liệu tham khảo, tôinhận thấy việc giảng day và học tập bộ môn Toán dành cho học sinh bậc phổthông trung học (PTTH) gặp rất nhiều trở ngại và khó khăn liên quan đến kháiniệm về lượng giác và các ứng dụng của lượng giác liên quan đến giải tích,hình học và đại số Với mong muốn tìm hiểu thêm về vai trò của hệ thức lượnggiác trong chương trình toán bậc phổ thông trung học( PTTH) và được sự định

hướng của PGS TS Trần Đạo Dõng, tôi đã chọn đề tài “HỆ THỨC LƯỢNG GIÁC VÀ ỨNG DỤNG VÀO GIẢI TOÁN SƠ CẤP” trong chương trình

toán bậc PTTH để làm đề tài luận văn thạc sĩ của mình

Trong luận văn này, trước hết chúng tôi giới thiệu về các hệ thức lượng giác, các đẳng thức và bất đẳng thức lượng giác được nhắc đến trong chương trình Toán bậc phổ thông trung hoc (PTTH) Tiếp đó, chúng tôi ứng dụng các hệ thức lượng giác, các đẳng thức, bất đẳng thức lượng giác để khảo sát một số dạng toán cơ bản trong tam giác, tứ giác, đa giác và đường tròn

3 Nhiệm vụ nghiên cứu.

Khai thác công cụ hệ thức lượng giác thể hiện qua các dạng bài toánmang đặc trưng hình học như hệ thức cơ bản của các hàm lượng giác, bài toán

chúng minh và rút gọn các đẳng thức lượng giác, bài toán về đẳng thức và bấtđẳng thức trong tam giác, đa giác, đường tròn.

4 Phương pháp nghiên cứu.

- Tham khảo tài liệu các dạng bài toán về hệ thức lượng giác và hệ thốngkiến thức

- Trao đổi và tham khảo ý kiến của giáo viên hướng dẫn luận văn

5 Ý nghĩa khoa học và thực tiễn.

- Nâng cao kiến thức về một số chủ đề Toán thuộc chương trình bậc phổthông trung học

- Góp phần phát huy tính tư duy và tự hoc của học sinh

6 Cấu trúc luận văn.

Ngoài phần mở đầu, kết luận và danh mục các tài liệu tham khảo, nộidung luận văn được chia thành 2 chương:

Chương 1: Các hệ thức lượng giác

Chương này, chúng tôi trình bày sơ lược các kiến thức cơ bản sau: mộtsố định nghĩa, các tính chất, các công thức lượng giác, các hệ thức lượng giác,các đẳng thức, bất đẳng thức lượng giác và bất đẳng thức đại số để làm cơ sởcho chương sau

Chương 2: Ứng dụng hệ thức lượng giác vào giải toán

Chương này trình bày một số ứng dụng của hệ thức lượng giác vào giảicác bài toán trong chương trình toán bậc phổ thông trung học Cụ thể là các bàitoán về các đẳng thức, bất đẳng thức cơ bản, các đẳng thức phối hợp trong tamgiác Bài toán về các định lý, độ dài và hình chiếu, bài toán về cạnh và khoảngcách trong tam giác Bài toán về hệ thức lượng giác trong tứ giác và đa giác, hệthức lượng tam giác trong đường tròn

CHƯƠNG 1: CÁC HỆ THỨC LƯỢNG GIÁC

Trong chương này, tôi trình bày một số kiến thức cơ bản liên quan đến lượng giác như: các hệ thức lượng giác, các đẳng thức, bất đẳng thức lượng giác và bất đẳng thức đại số để làm cơ sở cho việc ứng dụng trong chương tiếp theo Các nội dung chi tiết có thể xem tại các trang (7), (9), (10), (11), (14).

1.1 CÁC PHÉP TOÁN CỦA HÀM LƯỢNG GIÁC

1.1.1 Các khái niệm liên quan đến lượng giác

Định nghĩa 1.1.1 (Đường tròn lượng giác): Trên mặt phẳng Oxy, dựng

đường tròn định hướng tâm O, bán kính R 1 Lấy A(1;0) làm điểm gốc cho các cung lượng giác, đường tròn như vậy được gọi là đường tròn lượng giác

Định nghĩa 1.1.2 (Đường tròn định hướng): là đường tròn trên đó ta chọn

một chiều chuyển động làm chiều dương (chiều ngược chiều kim đồng hồ) và chiều ngược lại là chiều âm

Định nghĩa 1.1.3 (Cung lượng giác): Trên đường tròn định hướng tâm O ta

lấy hai điểm A và B Điểm M chạy trên đường tròn từ A đến B theo một chiềunhất định vạch nên một cung lượng giác ký hiệu là �AB , điểm A là điểm đầu vàđiểm B là điểm cuối Số đo của cung lượng giác �AB ký hiệu là sđ �AB chính làsố đo của góc lượng giác (OA, OB) tương ứng

1.1.2 Giá trị lượng giác của góc (cung) lượng giác.

Hình 1.1

t'

O

S T

A

B' A'

s'

x

s

y B

M

H K

Định nghĩa: Trên đường tròn

lượng giác trong mặt phẳng tọa độ

Oxy cho cung �AM có sđ �AM =

(0 � � 180 ), giả sử rằng M(

OH,OK ) Khi đó ta định nghĩa:

Tung độ y = OK của điểm

M gọi là sin của  và kí hiệu là

sin , với sin OK

Hoành độ x OH của điểm M gọi là cosin của  và kí hiệu là cos , với cos OH

Nếu cos � , tỉ số 0 sin

cos



 gọi là tang của  và kí hiệu là tan.

Ta có tan sin (cos 0)

 gọi là cotang của  và kí hiệu là cot 

Ta có cot cos (sin 0)

Trục Ox gọi là trục cos , trục Oy là trục sin

Trục At gọi là trục tang, trục Bs gọi là trục cotang

Nhận xét:

Do 1 OK 1 � � , 1 OH 1 � � nên ta có: 1 sin � � , 1 cos1  � � 1

- sin và cos xác định với mọi ��

Hình 1.2

1.1.3 Giá trị lượng giác của góc (cung) có liên quan đặc biệt:

Trong lượng giác ta thường gặp một số trường hợp góc có liên quan như sau:

a Hai góc đối nhau: Hai góc đối nhau có cos bằng nhau, sin, tg, cotg đối

sin(    ) sin , tan(   ) tan ,

cos(    ) cos , cot(   ) cot 

c Hai góc bù nhau: Hai góc bù nhau có sin bằng nhau, cos, tg, cotg đối nhau

sin(   ) sin( ) , cos(    ) cos( ),

tan(    ) tan( ) , cot(    ) cot( ).

d Hai góc phụ nhau: Hai góc phụ nhau có sin góc này bằng cosin góc kia, tan

góc này bằng cotg góc kia

2 2

sin(   ) sin cos  sin cos  ,

sin(   ) sin cos  sin cos  ,

cos(    cos cos)   sin sin ,

cos(   ) cos cos  sin sin ,

tan tantan( )

3.tan tantan3

e Công thức biến đổi tổng thành tích.

cos cos

  

   

 ,sin( )

f Công thức biến đổi tích thành tổng.

cos cos 1cos( ) cos( )

2

cos A cos B cos C 1 2cos Acos BcosC    ,

tan A tan B tan C tan A tan Btan C   ,

cot Acot B cot BcotC cotCcotA 1   .

1.2.2 Các bất đẳng thức lượng giác trong tam giác

Trong tam giác ABC, ta có : A B C    nên suy ra 0 A B C     Nếu a b c  �A B C  suy ra 0 sin A sin B sin C 1   

b Một số bất đẳng thức lượng giác cơ bản.

+ Bất đẳng thức lượng giác đối với sin và cos:

3sinA sin B sin C 3

2

  � , sin A2 sinB2 sinC2 � ,32

3cosA cos B cosC

2

  � , cosA2 cosB2 cosC2 �32 3,

3sinAsin BsinC 3

+ Bất đẳng thức lượng giác đối với tan và cot:

tan A tan BtanC 3 3� ( trường hợp ABC có ba góc nhọn) ,

tan tan tan

2 2 2 �3 3 ( trường hợp ABC có ba góc nhọn) ,

1cot Acot BcotC

Dấu bằng trong (1.1) xảy ra khi và chỉ khi: a1a a2  n

1.3 HỆ THỨC VÀ CÁC ĐỊNH LÝ TRONG TAM GIÁC.

1.3.1 Các định lý trong tam giác.

Định lý 1.3.1 (Định lý hàm số sin trong tam giác).

Trong tam giác ABC với BC=a, CA=b, AB=c và R là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác Ta có:

2Rsin A sin B sin C  (1.5)

Định lý 1.3.2 (Định lý hàm số Cosin).

Trong tam giác ABC với BC=a, CA=b, AB=c, ta có:

Khi biết ba cạnh ta sử dụng định lý hàm cosin để tính các góc.

Khi biết một cạnh và hai góc ,ta có thể dùng định ký hàm sin để tính haicạnh còn lại

Khi biết hai cạnh và một góc không xen giữa ta dùng định lý hàm sin đểtính một trong hai góc kia, hoặc để tính cạnh còn lại

Định lý 1.3.3 (Định lý hàm số tang).

Trong tam giác ABC với BC=a, CA=b, AB=c, ta có:

A Btan

B Ctan

Nhận xét: Định lý hàm tang chính là hệ quả của định lý hàm sin, định lý hàm

tang được dùng để giải tam giác trong trường hợp biết được hai góc và mộtcạnh mà không cần sử dụng định lý hàm sin và cosin

1.3.2 Các hệ thức lượng giác cơ bản trong tam giác.

Trong tam giác ABC với BC = a, CA = b, AB = c, ta ký hiệu:

R,r : bán kính đường tròn ngoại tiếp, nội tiếp trong tam giác

p: nửa chu vi tam giác với p=a b c

2

 

.S: diện tích tam giác

l , l , l : độ dài phân các đường phân giác ngoài

a Công thức tính diện tích tam giác.

CHƯƠNG 2: ỨNG DỤNG HỆ THỨC LƯỢNG GIÁC VÀO

GIẢI TOÁN SƠ CẤP

Trong chương này, chúng tôi trình bày một số ứng dụng quan trọng của

hệ thức lượng giác vào việc giải các bài toán liên quan, cụ thể như: các bài toán về các đẳng thức, bất đẳng thức cơ bản, các đẳng thức phối hợp trong tam giác, bài toán về các định lý, độ dài và hình chiếu, bài toán về cạnh và khoảng cách trong tam giác, bài toán về hệ thức lượng giác trong tứ giác và đa giác, hệ thức lượng tam giác trong đường tròn.

2.1 BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN CÁC ĐẲNG THỨC, BẤT ĐẲNG THỨC CƠ BẢN CỦA HÀM LƯỢNG GIÁC.

Phương pháp giải: Ta sử dụng các công thức lượng giác cơ bản và mối liên hệ

giữa các góc trong tam giác, biến đổi rồi đưa về các đẳng thức hoặc bất đẳngthức cần chứng minh Sau đây là một số bài toán minh họa được hệ thống dựatrên các tài liệu tham khảo [1], [4], [5], [7], [8], [9], [10], [12]

Bài toán 2.1.1 Cho tam giác ABC nhọn với (A, B, C )

4



� Chứng minh rằng:tan 2A tan 2B tan 2C tan 2A.tan 2B.tan 2C   (2.1)

Giải:

Trong tam giác ABC ta có: A B C    � A    (B C)

� 2A 2  (2B 2C)

� tan 2A tan(2  (2B 2C)) � tan 2A  tan(2B 2C)

� tan 2A tan 2B tan 2C

tan 2B.tan 2C 1





 � tan 2A.(tan 2B.tan 2C 1) tan 2B tan 2C  

� tan 2A.tan 2B.tan 2C tan 2A tan 2B tan 2C  

Suy ra tan 2A tan 2B tan 2C tan 2A.tan 2B.tan 2C  

Nhận xét: Bài toán 2.1.1 được chứng minh dựa trên mối quan hệ tổng ba góc

trong tam giác, ta biến đổi đưa về đẳng thức cần chứng minh

Bài toán 2.1.2 Cho tam giác ABC nhọn Chứng minh rằng:

tan tan tan

Giải:

Áp dụng công thức biến đổi tổng thành tích

Ta có sin A sin B 2sinA B.cosA B

Đẳng thức (2.2) được chứng minh như sau:

Ta có sin A sin B sin C

cosA cos B cosC 1

Nhận xét: Đối với bài toán 2.1.2 ta sử dụng các công thức lượng giác như

công thức biến đổi tổng thành tích, tổng ba góc trong tam giác, công thức nhânđôi và hạ bậc, ta xây dựng mối liên quan giữa chúng, từ đó suy ra đẳng thứccần chứng minh

Bài toán 2.1.3 Cho tam giác ABC, các góc của nó thỏa mãn các điều kiện sau

đây: sin A sin B sin C 3(cos A cos B cos C)2  2  2  2  2  2 (2.3)Chứng minh rằng tam giác ABC đều

= 2 cos(A B)cos(A B) cos C    2

= 2 cosC cos(A B) cos(A B)     

= 2 2cosA.cosB.cosC (2.4)

cos A cos B cos C 3 (sin A sin B sin C)     

= 3 (2 2cosA.cosB.cosC) 

= 1 2cos A.cos B.cosC (2.5)Thay (2.4) và (2.5) vào (2.3), ta có :

2 2cos A.cosB.cosC 3(1 2cosA.cosB.cosC)  

� 8cosA.cosB.cosC 1

� 4 cos(A B) cos(A B) cosC 1     

� 4cos C 4cos(A B)cosC 1 02    

Vậy tam giác ABC là tam giác đều

Nhận xét: Biến đổi điều kiện ban đầu bài toán 2.1.3 ta đưa bài toán về nhận

dạng tam giác đều (trong trường hợp này là tam giác cân có một góc 60 ).o

Bài toán 2.1.4 Chứng minh rằng tam giác ABC có 3 góc đều nhọn khi và chỉ khi: sin A sin B sin C 22  2  2  (2.7)

= 2 cos(A B).cos(A B) cos (A B)    2 

= 2 cos(A B) cos(A B) cos(A B)       

= 2 2cosA.cosB.cosC

Do tam giác ABC có 3 góc nhọn � cos A.cos B.cosC 0

Nên ta suy ra sin A sin B sin C 22  2  2 

Nhận xét: Ta sử dụng công thức hạ bậc biến đổi vế trái của bất đẳng thức (2.7)

về bất đẳng thức ta cần chứng minh là đúng

Bài toán 2.1.5 Chứng minh rằng trong tam giác ABC, ta có:

Bài toán 2.1.6 Chứng minh rằng nếu tam giác ABC không có góc tù thì:

Ta đặt: y sin A sinB sinC

cosA cos B cosC

2y

C2x sin sin C

2





Suy ra '

2

3C2cos2

C(2xsin sin C)

y y(1)

C2sin sinC2

Vậy sinA sinB sinC 1 2

� 2 sin A sin B sin C cos A cos B cosC

Đạo hàm u,  2v 2 1  ( v>0 vì x>0, y>0).0

Suy ra u tăng trên khoảng (0,� )

Nhận xét: Ta sử dụng bất đẳng thức Chebyshev và bất đẳng thức Côsi để

chứng minh bài toán 2.1.7

Bàì toán 2.1.8 Chứng minh rằng trong mọi tam giác ABC ta luôn có:

Dấu bằng xảy ra � x y z  � cotA cotB cotC A B C

Vậy tam giác ABC đều

Các bài toán tham khảo:

Bài toán 2.1.9 Chứng minh rằng:

Bài toán 2.1.13 Trong tam giác nhọn ABC Chứng minh rằng:

Nhận xét: Ta sử dụng công thức biến đổi tích thành tổng, định lý hàm sin và

tổng ba góc trong một tam giác, từ đó xây dựng mối liên quan giữa chúng đưa

về kết luận cuối cùng tìm góc

Bài toán 2.1.15 Chứng minh rằng tam giác ABC là tam giác đều nếu thỏa

1 cosC 2sin A sin B

2sin AcosC sin B

1 cosC 2sin A sin B

(Theo định lý hàm sin: a 2R sin A, b 2R sin B  )

Trong tam giác ABC có:

A B C   �A C   B�sin(A C) sin(   B) sin B

Suy ra:

2sin AcosC sin B sin(A C) sin(A C) sin(A C).

Từ (2.21) và (2.22) ta suy ra a b c 

Vậy tam giác ABC đều

Nhận xét: Dựa vào giả thiết bài toán ta biến đổi đưa bài toán về dạng đơn giản

hơn để giải, ta sử dụng định lý hàm sin và tổng ba góc trong tam giác tìm mối liên hệ giữa chúng đưa bài toán về nhận dạng tam giác đều

Các bài toán tham khảo:

Bài toán 2.1.16 Cho tam giác ABC Chứng minh rằng:

a (p a) b (p b) c (p c) abc(cosA cosB cosC)       

Bài toán 2.1.17 Chứng minh rằng:

(b c )cot A (c a )cot B (a b )cotC 0.

2.3 BÀI TOÁN VỀ HỆ THỨC VÀ CÁC ĐỊNH LÝ CỦA HÀM LƯỢNG GIÁC.

Phương pháp giải: Sử dụng các công thức liên quan đến các hệ thức và các

định lý trong tam giác như định lý hàm sin, cos, tang, cotang và các đẳng thức,

bất đẳng thức làm định hướng để giải các bài toán sau, tài liệu tham khảo [1],[2], [4], [6], [7], [9], [10], [11].

Bài toán 2.1.20 Cho tam giác ABC có tính chất sau: 2C B   Chứng minhrằng tam giác đó thỏa mãn hệ thức sau:

4(sin A sin B) 5sin C � (2.23)

22

Vậy 4(sin A sin B) 5sin C � .

Nhận xét: Từ điều kiện ban đầu của bài toán 2.1.20 ta lý luận đưa bài toán về

mối quan hệ tổng ba góc trong tam giác, sử dụng định lý hàm số sin và tính chất tỉ lệ thức Tìm các mối quan hệ giữa chúng, từ đó suy ra được bất đẳng thức cần phải chứng minh

Bài toán 2.1.21 Cho tứ giác lồi ABCD có AB=2, AC=3 và tam giácADC đều.

Tính độ dài các cạnh của tứ giác khi đường chéo BD có độ dài lớn nhất

Giải:

Ta thay (2.25) và (2.26) vào (2.24) ta được:

BD  13 12sin( 30 ) 13 12 25�   nên suy ra MaxBD 5

Dấu bằng xảy ra � sin( 30 ) 10  � 300 900 � 1200

Khi đó AD2 CD2 AC2  13 12cos1200  Suy ra AD DC19   19

Nhận xét: Đối với bài toán 2.21 ta sử dụng định lý hàm sin và định lý hàm cos

tìm các mối liên quan giữa chúng

Bài toán 2.1.22 Cho tam giác nhọn ABC có B>C Gọi AH, AD, AM là đường

cao, phân giác và trung tuyến kẻ từ A