Vectơ và các phép toán
Các định nghĩa
Định nghĩa 1.1 Định nghĩa vectơ
Các đại lượng vật lý như khối lượng, thể tích, công và năng lượng là vô hướng, trong khi độ dời, vận tốc, gia tốc và lực lại là các vectơ.
Đại lượng vectơ được ký hiệu bằng chữ 𝑎⃗ và có thể được biểu diễn bằng đoạn thẳng nối từ điểm P tới điểm Q, được ký hiệu là 𝑃𝑄⃗⃗⃗⃗⃗⃗ Do đó, 𝑃𝑄⃗⃗⃗⃗⃗⃗ tương đương với vectơ 𝑎⃗.
✓ Độ lớn của một vectơ gọi là modul của vectơ đó và được kí hiệu là |𝑎⃗| Modul của vectơ 𝑃𝑄⃗⃗⃗⃗⃗⃗ được viết là PQ Định nghĩa 1.2
Vectơ đơn vị là các vectơ có độ lớn bằng 1 và được ký hiệu bằng dấu mũ, ví dụ như 𝑎̂⃗ đại diện cho đơn vị theo hướng của vectơ 𝑎⃗ Mối quan hệ giữa chúng được thể hiện qua công thức 𝑎⃗ = 𝑎 𝑎̂⃗.
Trong hệ trục tọa độ Descartes vuông góc 𝑂𝑥𝑦𝑧 các vectơ đơn vị trên trục
Ox, Oy và Oz lần lượt được kí hiệu là 𝑖⃗, 𝑗⃗ và 𝑘⃗⃗ Định nghĩa 1.3
✓ Vectơ – không là vectơ có độ lớn không và không có hướng, được kí hiệu 0⃗⃗
✓ Vectơ đối của vectơ 𝑎⃗, được kí hiệu là −𝑎⃗, là một vectơ có modul bằng vectơ 𝑎⃗ nhưng ngược hướng với vectơ 𝑎⃗
✓ Các vectơ được gọi là bằng nhau nếu chúng có cùng modul và cùng hướng.
Các phép toán cơ bản
Cho 2 vectơ 𝑎⃗ và 𝑏⃗⃗ được biểu diễn bởi 2 vectơ 𝑃𝑄⃗⃗⃗⃗⃗⃗, 𝑄𝑅⃗⃗⃗⃗⃗⃗ Khi đó vectơ biểu diễn bởi 𝑃𝑅⃗⃗⃗⃗⃗⃗ được định nghĩa là tổng của 2 vectơ 𝑎⃗ và 𝑏⃗⃗, kí hiệu là 𝑎⃗ + 𝑏⃗⃗
Khi hai vectơ 𝑎⃗ và 𝑏⃗⃗ được biểu diễn bởi các vectơ 𝑃𝑄⃗⃗⃗⃗⃗⃗ và 𝑃𝑆⃗⃗⃗⃗⃗, hình bình hành PQRS được tạo ra Đường chéo 𝑃𝑅⃗⃗⃗⃗⃗⃗ từ điểm P thể hiện tổng của hai vectơ 𝑎⃗ và 𝑏⃗⃗, minh họa quy tắc hình bình hành trong phép cộng vectơ.
Hiệu giữa 2 vectơ 𝑎⃗ và 𝑏⃗⃗ được viết là 𝑎⃗ − 𝑏⃗⃗ và theo quy tắc của đại số vô hướng của nó được viết thành tổng 𝑎⃗ + (−𝑏⃗⃗) Biểu diễn 𝑎⃗, 𝑏⃗⃗ bởi các vec tơ 𝑃𝑄⃗⃗⃗⃗⃗⃗,
𝑄𝑅⃗⃗⃗⃗⃗⃗ khi đó 𝑄𝑅′⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ sẽ đại diện cho −𝑏⃗⃗, với QR’ = QR (hình vẽ) Nên 𝑎⃗ − 𝑏⃗⃗ hoặc
𝑎⃗ + (−𝑏⃗⃗) được biểu diễn 𝑃𝑅′⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ hoặc 𝑆𝑄⃗⃗⃗⃗⃗⃗ Định nghĩa 1.6
Nếu m là số thực dương, khi đó 𝑚𝑎⃗ được định nghĩa như một vectơ 𝑎⃗ có độ lớn bằng 𝑚|𝑎⃗ | Định lí 1.7
Nếu các vectơ 𝑎⃗, 𝑏⃗⃗ được biểu diễn lần lượt bởi 𝑂𝑃⃗⃗⃗⃗⃗⃗, 𝑂𝑄⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
Và m, n là các hằng số dương, khi đó
𝑚𝑎⃗ + 𝑛𝑏⃗⃗ = (𝑚 + 𝑛)𝑐⃗ được biểu diễn bởi vectơ 𝑂𝑅⃗⃗⃗⃗⃗⃗, R là một điểm trên
Tích các vectơ
1.3.1 Góc định hướng giữa hai vectơ Định nghĩa 1.8
Mặt phẳng định hướng (P) được xác định khi có hai chiều quay quanh gốc O của tia Ox, trong đó một chiều được chọn là dương và một chiều là âm Trong tài liệu này, chiều dương được quy định là cùng chiều kim đồng hồ, trong khi chiều âm là ngược chiều kim đồng hồ.
Góc định hướng giữa hai tia Ox và Oy, ký hiệu là (Ox, Oy), được xác định là góc có độ lớn tương ứng với góc hình học 𝑥𝑂𝑦̂, với hướng đi từ tia Ox sang tia Oy.
✓ Góc giữa hai vectơ 𝑎⃗ và 𝑏⃗⃗, kí hiệu là góc hình học 𝐴𝑂𝐵̂, trong đó 𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝑎⃗ ,
✓ Góc định hướng giữa hai vectơ 𝑎⃗ và 𝑏⃗⃗, kí hiệu là (𝑎⃗, 𝑏⃗⃗), là góc có độ lớn bằng góc giữa hai vectơ và hướng đi từ 𝑎⃗ sang 𝑏⃗⃗
1.3.2 Tích vô hướng Định nghĩa 1.9 Tích vô hướng của 2 vectơ 𝑎⃗ và 𝑏⃗⃗ tạo với nhau một góc 𝜃 được định nghĩa là đại lượng vô hướng 𝑎𝑏𝑐𝑜𝑠(𝜃) và được kí hiệu là 𝑎⃗ 𝑏⃗⃗ hoặc đơn giản 𝑎⃗𝑏⃗⃗
Tích vô hướng có tính giao hoán vì
1.3.3 Tích ngoài Định nghĩa 1.10 Tích ngoài của hai vectơ 𝑎⃗ và 𝑏⃗⃗, kí hiệu là 𝑎⃗ × 𝑏⃗⃗, được định nghĩa như sau:
Nếu 𝑎⃗ ≠ 0⃗⃗ hoặc 𝑏⃗⃗ =≠ thì 𝑎⃗ × 𝑏⃗⃗ = |𝑎⃗||𝑏⃗⃗| sin(𝑎⃗, 𝑏⃗⃗) Định lí 1.11 Nếu 𝑎⃗ = (𝑥 1 , 𝑦 1 ) và 𝑏⃗⃗ = (𝑥 2 , 𝑦 2 ) thì
Tính chất 1.1 Tích ngoài 2 vectơ có các tính chất sau: i) 𝑎⃗ × 𝑏⃗⃗ = −𝑏⃗⃗ × 𝑎⃗ (phản giao hoán) ii) 𝑎⃗ × (𝑏⃗⃗ + 𝑐⃗) = 𝑎⃗ × 𝑏⃗⃗ + 𝑎⃗ × 𝑐⃗ (phân phối) iii) 𝑘𝑎⃗ × 𝑙𝑏⃗⃗ = (𝑘𝑙)𝑎⃗ × 𝑏⃗⃗
Hướng của đa giác lồi
Tam giác ABC có các hướng A B C, B C A và C A B trùng nhau, được gọi là hướng của tam giác Các tam giác ABC, BCA và CAB đều có cùng hướng Nếu hướng của tam giác ABC trùng với hướng của mặt phẳng, ta gọi tam giác này có hướng dương (thuận) Ngược lại, nếu hướng của tam giác ABC ngược với hướng của mặt phẳng, thì tam giác này được coi là có hướng âm (nghịch).
Diện tích đại số của đa giác lồi
Trang 6 Định nghĩa 1.12 Diện tích đại số của đa giác lồi 𝐴 1 𝐴 2 … 𝐴 𝑛 , kí hiệu là 𝑆[𝐴 1 𝐴 2 … 𝐴 𝑛 ], được xác định như sau:
Nếu 𝐴 1 𝐴 2 … 𝐴 𝑛 có hướng dương thì
𝑆[𝐴 1 𝐴 2 … 𝐴 𝑛 ] = 𝑆(𝐴 1 𝐴 2 … 𝐴 𝑛 ) Nếu 𝐴 1 𝐴 2 … 𝐴 𝑛 có hướng âm thì
𝑆[𝐴 1 𝐴 2 … 𝐴 𝑛 ] = −𝑆(𝐴 1 𝐴 2 … 𝐴 𝑛 ) Trong đó 𝑆(𝐴 1 𝐴 2 … 𝐴 𝑛 ) là diện tích tam giác 𝐴 1 𝐴 2 … 𝐴 𝑛
Trường hợp đặc biệt đa giác lồi là tam giác thì ta có Định lí 1.13 Diện tích đại số của tam giác ABC được xác định như sau:
Từ định lí trên ta thấy ngay hệ quả:
Mối quan hệ giữa diện tích đại số và diện tích hình học của tam giác
Diện tích hình học là khái niệm diện tích mà chúng ta thường hiểu theo nghĩa thông thường Tuy nhiên, để phân biệt giữa diện tích và diện tích đại số, người ta thường sử dụng thuật ngữ khác để chỉ diện tích trong ngữ cảnh đại số.
Diện tích hình học của tam giác có mối liên hệ với diện tích đại số thông qua các định lý quan trọng Định lý 1.14 chỉ ra rằng nếu tam giác ABC có hướng dương, thì diện tích đại số được tính là 𝑆[𝐴𝐵𝐶] = 𝑆(𝐴𝐵𝐶) Ngược lại, nếu tam giác ABC có hướng âm, thì diện tích đại số sẽ là 𝑆[𝐴𝐵𝐶] = −𝑆(𝐴𝐵𝐶) Định lý 1.15 khẳng định rằng với mọi điểm M, mối quan hệ này vẫn được duy trì.
𝑆[𝐴 1 𝐴 2 … 𝐴 𝑛 ] = 𝑆[𝑀𝐴 1 𝐴 2 ] + 𝑆[𝑀𝐴 2 𝐴 3 ] + ⋯ + 𝑆[𝑀𝐴 𝑛 𝐴 1 ] Định lí 1.16 Cho tam giác ABC, điểm C’ nằm trên đường thẳng BC, ta có:
𝑆[𝐴𝐵𝐶′] Định lí 1.17 Cho tam giác ABC và điểm O Giả sử các đường thẳng AO và BC cắt nhau tại M (khác B, C) Ta có:
𝑆[𝑂𝐶𝐴] Định lí 1.18 Cho tam giác ABC, điểm M nằm trên đường thẳng BC, ta có:
1.3.4 Tích có hướng Định nghĩa 1.19 Tích có hướng của 2 vectơ 𝑎⃗, 𝑏⃗⃗ tạo với nhau một góc 𝜃 được định nghĩa như một vectơ (gọi là vectơ tích) có độ lớn là 𝑎𝑏𝑠𝑖𝑛(𝜃) và có hướng vuông góc với hướng của 2 vectơ 𝑎⃗ và 𝑏⃗⃗ theo đường đinh xoắn ốc về phía phải từ hướng của vectơ 𝑎⃗ tới hướng của vectơ 𝑏⃗⃗ di chuyển theo hướng của vectơ tích Vectơ tích của 2 vectơ 𝑎⃗ và 𝑏⃗⃗ được kí hiệu là 𝑎⃗ ∧ 𝑏⃗⃗
Quan hệ giữa hướng của vectơ 𝑎⃗ ∧ 𝑏⃗ và hướng của vectơ 𝑎⃗ và vectơ 𝑏⃗ được thể hiện rõ qua hình vẽ Mặc dù độ lớn của tích 𝑏⃗ ∧ 𝑎⃗ bằng với tích 𝑎⃗ ∧ 𝑏⃗, nhưng hướng của nó lại ngược lại Điều này xảy ra do quá trình xoay đinh ốc từ vectơ 𝑏⃗ đến vectơ 𝑎⃗, trái ngược với trường hợp của tích 𝑎⃗ ∧ 𝑏⃗ Do đó, ta có 𝑏⃗ ∧ 𝑎⃗ = −𝑎⃗ ∧ 𝑏⃗, cho thấy phép nhân vectơ không có tính giao hoán.
Biểu thức tọa độ của tích có hướng
| Ứng dụng của tích có hướng
➢ Cho hình tam giác ABC
➢ Cho hình bình hành ABCD
➢ Cho hình hộp chữa nhật ABCD.A’B’C’D’
➢ Điều kiện đồng phẳng của 3 vectơ a⃗⃗, b⃗⃗, c⃗ là 3 vectơ đồng phẳng ⇔ [a⃗⃗, b⃗⃗] c⃗ = 0
1.3.5 Tích hỗn tạp Định nghĩa: Cho ba vectơ 𝑎⃗, 𝑏⃗⃗, 𝑐⃗, nếu lấy tích vectơ 𝑎⃗ ∧ 𝑏⃗⃗, rồi nhân vô hướng với 𝑐⃗, ta được số (𝑎⃗ ∧ 𝑏⃗⃗) 𝑐⃗ Số này được gọi là tích hỗn tạp (hỗn hợp) của ba vectơ 𝑎⃗, 𝑏⃗⃗, 𝑐⃗ và được ký hiệu là (𝑎⃗, 𝑏⃗⃗, 𝑐⃗)
Như vậy (𝑎⃗, 𝑏⃗⃗, 𝑐⃗) = (𝑎⃗ ∧ 𝑏⃗⃗) 𝑐⃗ Ý nghĩa hình học
Từ một điểm O bất kì dựng các vectơ 𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝑎⃗, 𝑂𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝑏⃗⃗, 𝑂𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝑐⃗
Gọi 𝑂𝐸⃗⃗⃗⃗⃗⃗ là vectơ đơn vị vuông góc với 𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗⃗⃗ và 𝑂𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗, sao cho bộ ba vectơ
𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗⃗⃗, 𝑂𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗, 𝑂𝐸⃗⃗⃗⃗⃗⃗ tạo thành một tam diện thuận Khi đó vectơ 𝑎⃗ ∧ 𝑏⃗⃗ cùng hướng với vectơ 𝑂𝐸⃗⃗⃗⃗⃗⃗ và có modul bằng diện tích S của hình bình hành dựng trên 𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗⃗⃗ và 𝑂𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗, như vậy 𝑎⃗ ∧ 𝑏⃗⃗ = 𝑆 𝑂𝐸⃗⃗⃗⃗⃗⃗
Hình hộp có đỉnh O và ba cạnh OA, OB, OC có thể tích V được tính bằng công thức V = S.h, trong đó h là chiều cao, tương ứng với độ dài hình chiếu của vectơ 𝑂𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⃗ lên đường thẳng OE.
Dấu cộng nếu ba vectơ 𝑎⃗, 𝑏⃗⃗, 𝑐⃗ tạo thành một tam diện thuận, còn dấu trừ nếu ba vectơ 𝑎⃗, 𝑏⃗⃗, 𝑐⃗ tạo thành một tam diện nghịch
Tóm lại: Giá trị tuyệt đối tích hỗn hợp của 3 vectơ bằng thể tích hình hộp dưng trên ba vectơ đó tức là:
1 Điều kiện cần và đủ để tích hỗn tạp ba vectơ 𝑎⃗, 𝑏⃗⃗, 𝑐⃗ bằng không là ba vectơ thẳng 𝑎⃗, 𝑏⃗⃗, 𝑐⃗ đồng phẳng
Thật vậy, nếu ba vectơ 𝑎⃗, 𝑏⃗⃗, 𝑐⃗ đồng phẳng thì dễ dàng thấy rằng (𝑎⃗, 𝑏⃗⃗, 𝑐⃗) = 0 Ngược lại giả sử (𝑎⃗, 𝑏⃗⃗, 𝑐⃗) = 0 mà ba vectơ 𝑎⃗, 𝑏⃗⃗, 𝑐⃗ không đồng phẳng theo trên
2 Tích hỗn tạp đổi dấu nếu ta hoán vị hai trong ba vectơ của nó, nghĩa là
Thật vậy, nếu 3 vectơ 𝑎⃗, 𝑏⃗⃗, 𝑐⃗ đồng phẳng là hiển nhiên
Khi ba vectơ 𝑎⃗, 𝑏⃗⃗, 𝑐⃗ không đồng phẳng và tạo thành một tam diện thuận, việc hoán vị hai trong ba vectơ này sẽ tạo ra một tam diện nghịch, dẫn đến việc tích hỗn tạp sẽ đổi dấu.
3 Nếu nhân một trong các vectơ của tích hỗn tạp với một số k thì tích hỗn tạp sẽ được nhân với số đó
4 Tích phân phối đối với phép cộng, nghĩa là:
Tính chất này dễ dàng chứng minh dựa vào tính chất của tích vectơ và tích vô hướng của hai vectơ
Biểu thức tọa độ của tích hỗn tạp của ba vectơ
Giả sử trong hệ trục tọa độ Oxyz cho ba vectơ 𝑎⃗, 𝑏⃗⃗, 𝑐⃗ có tọa độ là 𝑎⃗ (𝑎 1 , 𝑎 2 , 𝑎 3 ), 𝑏⃗⃗ = (𝑏 1 , 𝑏 2 , 𝑏 3 ), 𝑐⃗ = (𝑐 1 , 𝑐 2 , 𝑐 3 )
Vậy điều kiện cần và đủ để 𝑎⃗, 𝑏⃗⃗, 𝑐⃗ đồng phẳng là
Thì thể tích hình hộp dựng trên ba vectơ đó là
Và thể tích hình chóp dựng trên ba vectơ đó là
2 Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau Trong không gian Oxyz cho hai đường thẳng chéo nhau: Δ 1 : 𝑥 − 𝑥 1
3 Tích vectơ kép: a Định nghĩa:
Cho 3 vectơ 𝑎⃗, 𝑏⃗⃗, 𝑐⃗ thì tích vectơ kép của ba vectơ 𝑎⃗, 𝑏⃗⃗, 𝑐⃗ là một vectơ được định nghĩa là (𝑎⃗ ∧ 𝑏⃗⃗) ∧ 𝑐⃗ b Tính chất: Tích vectơ kép của ba vectơ 𝑎⃗, 𝑏⃗⃗, 𝑐⃗ là một vectơ đồng phẳng với hai vectơ 𝑎⃗, 𝑏⃗⃗ và
Ứng dụng tích vectơ vào giải toán sơ cấp
Ứng dụng tích vô hướng
Cho hai vectơ bất kì 𝑎⃗ và 𝑏⃗⃗ Chứng minh
Dấu “=” xảy ra khi 𝑎⃗ và 𝑏⃗⃗ cộng tuyến
Dấu “=” xảy ra khi cos(𝑎⃗; 𝑏⃗⃗) = 1 ⇔ 𝑎⃗ 𝑐ù𝑛𝑔 ℎướ𝑛𝑔 𝑏⃗⃗
Từ (1), ta có: 2 ∑ 𝑛 𝑖=1 𝑂𝐴 𝑖 2 ≤ (∑ 𝑛 𝑖=1 𝑂𝐴 𝑖 ) 2 Đây là điều phải chứng minh
➢ Bài tập 2.2.2 Cho 6 số thực a, b, c, x, y, z thỏa mãn:
Trong hệ tọa độ Oxyz các vectơ
𝑢 ⃗⃗ = (a, b, c); 𝑥 ⃗⃗⃗⃗ = 𝑂𝑋 1 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = (x, y, z); 𝑥 1 ⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝑂𝑋 2 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = (𝑦, 𝑧, 𝑥); 𝑥 2 ⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝑂𝑋 3 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = (z, x, y) 3 Gọi ∝ 𝑖 là góc giữa vectơ 𝑥 ⃗⃗⃗⃗ và 𝑢 𝑖 ⃗⃗
3 = (𝑎 + 𝑏 + 𝑐)(𝑥 + 𝑦 + 𝑧) = (𝑥⃗⃗⃗⃗ 1 + 𝑥⃗⃗⃗⃗ 2 + 𝑥⃗⃗⃗⃗) 3 𝑢⃗⃗ = 𝑥⃗⃗⃗⃗ 1 𝑢⃗⃗+ 𝑥⃗⃗⃗⃗ 1 𝑢⃗⃗+ 𝑥⃗⃗⃗⃗ 1 𝑢⃗⃗ Hơn nữa: 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑐𝑧 =𝑥⃗⃗⃗⃗ 1 𝑢⃗⃗ Vậy bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với ∝ 1 < 90 0 Để chứng minh, ta xét bổ đề sau:
Cho ba vectơ trong không gian có độ dài bằng nhau và các góc giữa hai trong ba vectơ đó đều bằng nhau Xét một vectơ 𝑢 ⃗⃗ mà góc tạo bởi vectơ này với ba vectơ đã cho là ∝ 1, ∝ 2, ∝ 3, trong đó ∝ 1 < 90 độ Khi đó, các góc này sẽ ảnh hưởng đến mối quan hệ giữa vectơ 𝑢 ⃗⃗ và ba vectơ đã cho, tạo ra những đặc điểm hình học thú vị trong không gian.
2 Chứng minh: Gọi 𝜙 là góc giữa các vectơ 𝑥 ⃗⃗⃗⃗, 𝑥 1 ⃗⃗⃗⃗⃗, 𝑥 2 ⃗⃗⃗⃗⃗ đã cho 3
Bổ đề chứng minh xong
Bài toán trên là hệ quả trực tiếp của bổ đề này
➢ Bài tập 2.2.3 Giải bất phương trình
Với 𝑥 ≥ 1 xét các vectơ 𝑢 ⃗⃗ = (√x − 1, x − 3) và 𝑒⃗ = (1, 1)
Ta có |𝑢⃗⃗| = √𝑥 − 1 + (𝑥 − 3) 2 và |𝑒⃗| = √2 Áp dụng bài toán 2.2.1, ta có:
➢ Bài tập 2.2.4 Giải bất phương trình
𝑥√𝑥 + 1 + √3 − 𝑥 ≤ 2√𝑥 2 + 1 Gợi ý giải: ĐK: −1 ≤ 𝑥 ≤ 3 Đặt 𝑢 ⃗⃗ = (x, 1) và 𝑒⃗ = (√𝑥 + 1, √3 − 𝑥)
➢ Bài tập 2.2.5 Giải hệ phương trình
Như vậy dẫn đến { |𝑢⃗⃗| = 1 cos(𝑢 ⃗⃗, 𝑣⃗) = 1 ⇔ {
Vậy ta được nghiệm của hệ (𝑥; 𝑦; 𝑧) = (1; 0; 0), (0; 1; 0); (0; 0; 1).
Ứng dụng tích có hướng
Cho ba điểm A(2;0;0), B(0;3;1), C(-1;4;2), ta cần chứng minh rằng A, B, C là ba đỉnh của một tam giác Để làm điều này, ta kiểm tra xem ba điểm này không nằm trên cùng một đường thẳng Tiếp theo, ta sẽ tính diện tích của tam giác ABC và độ dài trung tuyến AM từ đỉnh A đến cạnh BC Cuối cùng, ta sẽ tính độ dài đường cao từ đỉnh A của tam giác ABC xuống cạnh BC.
Nên [𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗, 𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⃗] = (2; 1; 1) ≠ 0 nên 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗, 𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⃗ không cùng phương do đó A, B, C tạo thành 3 đỉnh của tam giác
2 c) Tính theo các cách sau:
Cách 2: Đường thẳng BC qua B và có véc tơ chỉ phương
Cách 3: Xác định tọa độ H , sau đó tính độ dài AH Tọa độ H xác định từ hệ điều kiện:
Bài viết này sẽ chứng minh rằng các điểm A(1;0;1), B(0;0;2), C(0;1;1) và D(-2;1;0) là các đỉnh của một tứ diện Tiếp theo, chúng tôi sẽ tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AC và BD Cuối cùng, bài viết sẽ cung cấp công thức để tính thể tích của tứ diện ABCD cũng như khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng BCD.
Gợi ý giải: a) Ta có: 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = (−1; 0; 1); 𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = (−1; 1; 0); 𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = (−3; 1; −1) [𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗, 𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⃗] = (2; 1; 1) vì [𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗, 𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⃗] 𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 3 ≠ 0
Nên các véc tơ 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗, 𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⃗, 𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗ không đồng phẳng Do đó A, B, C, D là 4 đỉnh của tứ diện b) Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau AC và BD là h = |[𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗, 𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⃗] 𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗|
Có thể tính h bằng cách xác định đoạn vuông góc chung hoặc bằng khoảng cách từ AC đến ( ) α chứa BD và ( ) α //AC Tuy nhiên, hai phương pháp này thường phức tạp hơn so với cách tính đơn giản hơn.
Tam giác ABC có các đỉnh A(-2;0;1), B(0;-1;1), C(0;0;-1) Để tìm tọa độ tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC và tính bán kính của đường tròn đó, ta cần áp dụng các công thức liên quan đến tọa độ và độ dài cạnh của tam giác Ngoài ra, tọa độ trực tâm H của tam giác ABC cũng có thể được xác định thông qua các phương trình liên quan đến các đường cao của tam giác.
Ta có: 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = (2; −1; 0); 𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = (2; 0; −2); [𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗, 𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⃗] = (2; 4; 2) a) I(x;y;z) là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC khi và chỉ khi IA=IB, IA=IC và 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗, 𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⃗, 𝐴𝐼⃗⃗⃗⃗⃗ đồng phẳng, do đó ta có:
6) b) Gọi H(x;y;z) là trực tâm tam giác khi và chỉ khi
Ứng dụng tích ngoài
Cho tứ giác lồi ABCD có các đường thẳng AD và BC cắt nhau tại E Gọi
I, J lần lượt là trung điểm của AC và BD Chứng minh:
Cho tam giác ABC Các điểm A’, B’, C’ lần lượt thuộc các đường thẳng
BC, CA, AB; các điểm A’’, B’’, C’’ theo thứ tự là trung điểm các đoạn AA’, BB’, CC’ Chứng minh:
Cho lục giác lồi ABCDEF M, N, P, Q, R, S lần lượt là các trung điểm của
AB, DE, CD, FA, EF, BC Chứng minh:
Lấy điểm O bất kì ta thấy:
Suy ra 2(𝑂𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∧ 𝑂𝑁⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝑂𝑃⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∧ 𝑂𝑄⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝑂𝑅⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∧ 𝑂𝑆⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝑆 𝐴𝐸𝐶 − 𝑆 𝐵𝐹𝐷 Đặt 𝑂 = 𝑀𝑁 ∩ 𝑃𝑄 Ta thấy:
Ứng dụng giải các bài toán quỹ tích
Cho tam giác ABC Tìm tập hợp điểm M sao cho:
Gọi I là trung điểm của BC, D là điểm thỏa mãn 𝐷𝐴⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 2𝐷𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 0⃗⃗
E là trung điểm DC Ta có:
Vậy tập hợp điểm M là đường tròn đường kính EI
Cho tam giác ABC, tìm tập hợp điểm M sao cho: a) 𝑀𝐵 2 + 𝑀𝐶 2 − 𝑀𝐴 2 = 0 (1) b) 𝑀𝐵 2 + 𝑀𝐶 2 − 2𝑀𝐴 2 = 0 (2)
Trang 20 a) Dựng hình bình hành ABEC
Nếu 𝐴̂ tù: Tập hợp các điểm M là ∅
Nếu 𝐴̂ vuông: Tập hợp các điểm M là {𝐸}
Nếu 𝐴̂ nhọn: Tập hợp các điểm M là đường tròng (𝐸; √2𝐴𝐵 𝐴𝐶 𝑐𝑜𝑠𝐴) b) C1 Gọi I là trung điểm BC, J là trung điểm AI
⟺M thuộc đường thằng vuông góc với AI tại điểm H xác định bởi: 𝐽𝐻̅̅̅̅ = 𝐵𝐶 2
8𝐴𝐼 ̅̅̅ C2 Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp, G là trọng tâm ΔABC
⇔ M thuộc đường thẳng qua O, vuông góc với AG
Cho hai điểm A, B phân biệt và số dương 𝑘 ≠ 1 Tìm tập hợp các điểm M sao cho 𝑀𝐴
Lấy trên đường thẳng AB các điểm E, F sao cho 𝐸𝐴⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = −𝑘𝐸𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗,
Tập hợp các điểm M tạo thành một đường tròn với đường kính EF, trong đó M thuộc đường tròn sẽ có tính chất 𝑀𝐸 ⊥ 𝑀𝐹 Từ điểm B, ta kẻ một đường thẳng song song với MF, cắt ME và MA tại các điểm H và K Do đó, với tỉ số (ABEF) = -1, ta có HB = HK Hơn nữa, vì BK song song với MF, các tính chất hình học này được xác lập rõ ràng.
𝑀𝐸 ⊥ 𝑀𝐹 nên 𝐵𝐾 ⊥ 𝑀𝐸 Suy ra tam giác MBK cân tại M
Suy ra ME là phân giác của góc 𝐴𝑀𝐵̂ ⟹ 𝑀𝐴
Ứng dụng giải các bài toán cực trị
Cho tam giác ABC Tìm điểm M sao cho (MA+MB+MC) nhỏ nhất
Nếu 𝐴 < 120 0 , 𝐵 < 120 0 , 𝐶 < 120 0 thì tồn tại điểm T trong tam giác sao cho 𝐴𝑇𝐵̂ = 𝐴𝑇𝐶̂ = 𝐵𝑇𝐶̂
Với điểm M bất kì ta có:
𝐴𝐶| ≤ 1 Với điểm M bất kì ta có
𝐴𝐶) đạt giá trị nhỏ nhất bằng 0 ⇔ 𝑀 ≡
Nếu 𝐵 ≥ 120 0 và 𝐶 ≥ 120 0 thì ta cũng nhận được các kết quả tương tự
+ Nếu 𝐴 < 120 0 , 𝐵 < 120 0 , 𝐶 < 120 0 thì (MA+MB+MC) nhỏ nhất ⇔ 𝑀 ≡ 𝑇 + Nếu 𝐴 ≥ 120 0 thì (MA+MB+MC) nhỏ nhất ⇔ 𝑀 ≡ 𝐴
+ Nếu 𝐵 ≥ 120 0 thì (MA+MB+MC) nhỏ nhất ⇔ 𝑀 ≡ 𝑇
+ Nếu 𝐶 ≥ 120 0 thì (MA+MB+MC) nhỏ nhất ⇔ 𝑀 ≡ 𝑇
Cho đa giác đều 𝐴 1 𝐴 2 … 𝐴 𝑛 Tìm điểm M sao cho tổng
Gọi O là tâm của đa giác đều Với mọi điểm M ta có:
Cho tam giác ABC Tìm điểm M sao cho
Với mọi điểm M ta có:
𝐴𝐶) + 𝐴𝐵 + 𝐴𝐶 Lấy E, F trên AB, AC sao cho AE=1 Dựng hình thoi AESF ta có 𝐴𝑆 2𝑐𝑜𝑠 𝐴
Ứng dụng giải các bài toán hệ thức lượng trong tam giác
Cho tam giác ABC có trọng tâm G Chứng minh rằng với mọi điểm M, ta có:
Cho tam giác ABC Chứng minh rằng:
2(𝑎 + 𝑏 + 𝑐) Trong đó 𝑅 𝑚 là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác có ba cạnh là
Gợi ý giải: Áp dụng hệ thức trong bài toán trên, ta có:
Cho 𝑀 ≡ 𝑂, O là tâm đường tròn ngoại tiếp của tam giác Sau đó Áp dụng bổ đề:
Cho bốn góc 𝛼, 𝛼 ′ , 𝛽, 𝛽′ thỏa mãn:
Từ đó, suy ra được bất đẳng thức trong bài.
Các đẳng thức vectơ
Bài toán 2.1.1 Hệ thức Jacobi
Cho tam giác ABC Có các cạnh 𝐴𝐵 = 𝑐, 𝐵𝐶 = 𝑎,
𝐴𝐶 = 𝑏 M là điểm nằm trong tam giác, đặt:
Cho tam giác ABC Chứng minh: i) 𝑎 2 + 𝑏 2 + 𝑐 2 ≤ 9𝑅 2 ii) 𝑅 2 ≥ 𝑎𝑏𝑐
Trước hết cho O là một điểm bất kỳ trong mặt phẳng, ta có:
Với (O;R) là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC thì
Cho M lần lượt là các điểm đặc biệt trong tam giác, ta có các bài toán sau: i) Khi 𝑀 ≡ 𝐺, ta có 𝑥 = 𝑦 = 𝑧 = 1
Suy ra điều phải chứng minh ii) Với I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC
Ta có điều cần chứng minh
Bài toán 2.1.2 Điểm Giác-gôn
Cho tam giác ABC, đường tròn nội tiếp tam giác tiếp xúc ba cạnh BC,
CA, AB lần lượt tại 𝐴 1 , 𝐵 1 , 𝐶 1 Khi đó, chứng minh 𝐴𝐴 1 , 𝐵𝐵 1 , 𝐶𝐶 1 đồng quy tại
Và áp dụng định lý Ceva
𝑝 − 𝑎 Suy ra điều cần chứng minh
Cho 𝑀 ≡ 𝐽 ta có bài tập sau
➢ Bài tập 2.1.2 Cho tam giác ABC Chứng minh: i) 𝑅 2 ≥ (𝑝−𝑎)(𝑝−𝑏)(𝑝−𝑐)
Trong đó 𝑟 𝑎 , 𝑟 𝑏 , 𝑟 𝑐 , 𝑟 lần lượt là bán kính các đường tròn bàng tiếp và nội tiếp tam giác ABC
Gợi ý giải: i) Suy trực tiếp bằng cách thay x, y, z ở trên bào hệ thức
𝑂𝑀 2 = 𝑅 2 − (𝑥𝑦𝑐 2 + 𝑦𝑧𝑎 2 + 𝑥𝑧𝑏 2 ) (3) ii) Để ý rằng nếu S là diện tích tam giác ABC thì
4𝑅 + 𝑟 Thay vào hệ thức (3) ta có:
Bài toán 2.1.3 Điểm Lơ-moan
Cho tam giác ABC Trên ba cạnh BC, CA, AB lần lượt lấy ba điểm
𝑎 2 Chứng minh 𝐴𝐴 1 , 𝐵𝐵 1 , 𝐶𝐶 1 đồng quy tại 1 điểm L thỏa mãn:
𝐶 1 𝐵 = 1 Do định lí Cêva nên ba đường đồng quy tại điểm L
Hệ thức cần chứng minh cũng suy ra ngay từ cách xác định điểm
Từ bài toán trên ta có bài tập sau:
➢ Bài tập 2.1.3 Cho tam giác ABC Chứng minh: i) 𝑅 2 ≥ 3𝑎 2 𝑏 2 𝑐 2
Gợi ý giải i) C1 Theo bài tập 2.1.1.(ii) ta có: 𝑅 2 ≥ 𝑎𝑏𝑐
Suy ra điều cần chứng minh
(𝑎 2 +𝑏 2 +𝑐 2 ) 2 ≥ 0 Suy ra điều cần chứng minh ii) 3(𝑎𝑏 + 𝑏𝑐 + 𝑐𝑎) ≥ 𝑎 2 + 𝑏 2 + 𝑐 2 + 36𝑅𝑟
Cho 𝑀 ≡ 𝐼,G là tâm đường tròn nội tiếp của tam giác ABC khi đó
𝑎 + 𝑏 + 𝑐 Cho 𝑂 ≡ 𝐺, G là trọng tâm của tam giác ABC, ta có:
Sử dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta được:
√𝑎 + 𝑏 + 𝑐√𝑎 3 + 𝑏 3 + 𝑐 3 + 9𝑎𝑏𝑐 Vậy cần phải chứng minh
Ta có điều cần chứng minh