Phương pháp xấp xỉ euler trong phương trình vi phân thường

èi t÷ñng v ph¤m vi nghi¶n cùu cõa · t i èi t÷ñng nghi¶n cùu: Nghi¶n cùu ph÷ìng ph¡p Euler º t¼m nghi»mg¦n óng cho ph÷ìng tr¼nh vi ph¥n th÷íng v lªp tr¼nh ph÷ìng ph¡p Eulertrong Mathemati

BË GIO DÖC V€ €O T„O

  N®ng, 05/2015

Möc löc

1.1 PH×ÌNG TRœNH VI PH…N TH×ÍNG 5

1.1.1 ành ngh¾a : 5

1.1.2 Nghi»m cõa ph÷ìng tr¼nh vi ph¥n th÷íng 5

1.2 SÜ TÇN T„I V€ DUY NH‡T NGHI›M CÕA PH×ÌNG TRœNH VI PH…N TH×ÍNG BŠC NH‡T 6

1.2.1 ành ngh¾a v· i·u ki»n Lipschitz 6

1.2.2 ành lþ v· sü tçn t¤i v  duy nh§t nghi»m cõa ph÷ìng tr¼nh vi ph¥n th÷íng bªc nh§t 6

2 PH×ÌNG PHP EULER CHO PH×ÌNG TRœNH VI PH…N TH×ÍNG 7 2.1 GIÎI THI›U PH×ÌNG PHP EULER 7

2.1.1 Nguçn gèc cõa ph÷ìng ph¡p Euler 7

2.1.2 Th nh lªp cæng thùc cõa ph÷ìng ph¡p Euler 8

2.1.3 Thuªt to¡n ph÷ìng ph¡p Euler 10

2.2 SAI SÈ TRONG PH×ÌNG PHP EULER 13

2.2.1 Sai sè àa ph÷ìng 13

2.2.2 Sai sè t½ch lôy(sai sè to n ph¦n) 14

2.3 PH×ÌNG PHP EULER TRONG PH×ÌNG TRœNH VI PH…N TH×ÍNG 18

2.4 MËT SÈ B€I TON TœM NGHI›M G†N ÓNG VÎI PH×ÌNG PHP X‡P XŸ EULER TRONG PH×ÌNG TRœNH VI PH…N TH×ÍNG 19

2.5 ×U IšM- TNH ÊN ÀNH CÕA PH×ÌNG PHP X‡P

MÐ †U

1 Lþ do lüa chån · t i

Trong khoa håc kÿ thuªt chóng ta th÷íng g°p r§t nhi·u b i to¡n li¶nquan ¸n ph÷ìng tr¼nh vi ph¥n th÷íng, tuy nhi¶n c¡c ph÷ìng tr¼nh n yth÷íng phùc t¤p m  trong mët sè tr÷íng hñp công khæng thº t¼m ÷ñcnghi»m t÷íng minh Hìn núa, v¼ c¡c cæng thùc nghi»m th÷íng phùc t¤p,cçng k·nh n¶n vi»c kh£o s¡t c¡c t½nh ch§t cõa nâ cán g°p nhi·u khâ kh«n.Trong kÿ thuªt, ng÷íi ta sû döng c¡c gi¡ trà thu ÷ñc b¬ng vi»c gi£i g¦n

óng c¡c (h») ph÷ìng tr¼nh vi ph¥n th÷íng Bði vªy, vi»c nghi¶n cùu c¡cph÷ìng ph¡p gi£i g¦n óng º t¼m nghi»m c¡c ph÷ìng tr¼nh vi ph¥n n ytrð n¶n c§p thi¸t v  tü nhi¶n

Ð th¸ k¿ XVIII, c¡c v§n · t¼m nghi»m g¦n óng ÷ñc Loenhard

Euler-nh  to¡n håc ng÷íi Thöy S¾ ph¡t triºn v  thu ÷ñc nhi·u th nh tüu rüc

rï Cö thº, æng ÷ñc bi¸t ¸n nhi·u vîi vi»c s¡ng t¤o ra mët chuéi c¡cph÷ìng ph¡p t½nh x§p x¿, ÷ñc sû döng nhi·u trong t½nh to¡n, v  ph÷ìngph¡p nêi ti¸ng nh§t trong â ch½nh l  ph÷ìng ph¡p Euler

Vîi mong muèn câ thº hiºu k¾ hìn v· c¡c d¤ng v  ph÷ìng ph¡p gi£iph÷ìng tr¼nh vi ph¥n th÷íng v  ÷ñc sü gñi þ cõa gi¡o vi¶n h÷îng d¨n

 TS L¶ H£i Trung n¶n chóng tæi lüa chån · t i : Ph÷ìng ph¡p x§px¿ Euler trong ph÷ìng tr¼nh vi ph¥n th÷íng cho luªn v«n tèt nghi»p cõam¼nh

2 Möc ½ch nghi¶n cùu cõa · t i

Möc ½ch cõa · t i l  sû döng ph÷ìng ph¡p x§p x¿ Euler º xem x²t v t¼m nghi»m g¦n óng cõa ph÷ìng tr¼nh vi ph¥n th÷íng, tø â so s¡nh sai

sè vîi nghi»m ch½nh x¡c cõa ph÷ìng tr¼nh vi ph¥n â çng thíi, nghi¶ncùu ùng döng ph¦n m·m Mathematica º vi¸t ph÷ìng tr¼nh t¼m nghi»mg¦n óng theo ph÷ìng ph¡p x§p x¿ Euler v  mæ t£ nghi»m ch½nh x¡c cõa

ph÷ìng tr¼nh vi ph¥n th÷íng b¬ng ç thà thæng qua c¡c gâi c¥u l»nh ¢

÷ñc lªp tr¼nh

3 èi t÷ñng v  ph¤m vi nghi¶n cùu cõa · t i

èi t÷ñng nghi¶n cùu: Nghi¶n cùu ph÷ìng ph¡p Euler º t¼m nghi»mg¦n óng cho ph÷ìng tr¼nh vi ph¥n th÷íng v  lªp tr¼nh ph÷ìng ph¡p Eulertrong Mathematica

Ph¤m vi nghi¶n cùu: Nghi¶n cùu ph÷ìng ph¡p Euler cho c¡c b i to¡ntrong Lþ thuy¸t ph÷ìng tr¼nh vi ph¥n th÷íng

4 Þ ngh¾a khoa håc v  thüc ti¹n cõa · t i · t i câ þ ngh¾a v·m°t lþ thuy¸t, câ thº sû döng nh÷ l  t i li»u tham kh£o d nh cho sinhvi¶n v  c¡c èi t÷ñng câ mèi quan t¥m ¸n ph÷ìng ph¡p Euler cho ph÷ìngtr¼nh vi ph¥n th÷íng

5 C§u tróc luªn v«n

Ngo i ph¦n Mð ¦u v  K¸t luªn, luªn v«n gçm 3 ch÷ìng

Ch÷ìng 1: Ki¸n thùc chu©n bà Ch÷ìng n y tr¼nh b y mët sè kh¡i ni»m,

ành ngh¾a, ành lþ v· sü tçn t¤i v  duy nh§t nghi»m trong ph÷ìng tr¼nh

vi ph¥n th÷íng v  mët sè ph÷ìng ph¡p t½nh x§p x¿ th÷íng dòng

Ch÷ìng 2: Tr¼nh b y nëi dung v  sai sè ph÷ìng ph¡p x§p x¿ Euler trongph÷ìng tr¼nh vi ph¥n th÷íng; ÷a ra mët sè b i to¡n ph÷ìng tr¼nh viph¥n ÷ñc t¼m nghi»m x§p x¿ theo ph÷ìng ph¡p Euler; ÷u iºm v  h¤nch¸ cõa ph÷ìng ph¡p Euler; çng thíi n¶u bªt l¶n vi»c ph¡p triºn v  sos¡nh ph÷ìng ph¡p n y vîi mët sè ph÷ìng ph¡p x§p x¿ kh¡c

Ch÷ìng 3: Giîi thi»u ph¦n m·m Mathematica v  tr¼nh b y nhúng ùngdöng cõa ph¦n m·m n y trong ph÷ìng ph¡p x§p x¿ Euler

1.2 SÜ TÇN T„I V€ DUY NH‡T NGHI›M CÕA PH×ÌNG

TRœNH VI PH…N TH×ÍNG BŠC NH‡T

1.2.1 ành ngh¾a v· i·u ki»n Lipschitz

H m f(x, y) thäa m¢n i·u ki»n Lipschitz trong mi·n D cõa m°t ph¯ng Oxytheo bi¸n y n¸u tçn t¤i L > 0 (h¬ng sè Lipschitz) sao cho vîi ∀(x, y1), (x, y2)D :

v  h m f(x, y) câ nhúng t½nh ch§t sau ¥y:

a H m f(x, y) x¡c ành v  li¶n töc t¤i mët mi·n D n o â cõa m°t Oxy

câ chùa iºm (x0, y0)

b H m f(x, y) trong mi·n D thäa m¢n i·u ki»n Lipschitz theo bi¸n yvîi h¬ng sè L > 0:

|f (x, y1) − f (x, y2)| ≤ L|y1 − y2| vîi ∀(x, y1), (x, y2)D.Khi â tçn t¤i duy nh§t mët nghi»m y = y(x) thäa m¢n i·u ki»n tr¶n

o¤n [x0 − h, x0 + h], h > 0

Ch֓ng 2

PH×ÌNG PHP EULER CHO

PH×ÌNG TRœNH VI PH…N

TH×ÍNG

2.1 GIÎI THI›U PH×ÌNG PHP EULER

2.1.1 Nguçn gèc cõa ph÷ìng ph¡p Euler

Ta bi¸t r¬ng khæng ph£i t§t c£ c¡c ph÷ìng tr¼nh vi ph¥n d¤ng têng qu¡t

Nh÷ngchóng ta bi¸t r¬ng måi nguy¶n h m cõa f(x) = e−x 2

·u khæng ph£i l 

h m sì c§p ngh¾a l  h m khæng thº biºu di¹n ÷ñc d÷îi d¤ng mët biºuthùc gi£i t½ch V¼ vªy, nghi»m cõa (2.1) khæng thº biºu di¹n d÷îi d¤ngmët h m sì c§p Måi cè g­ng sû döng c¡c ph÷ìng ph¡p nh÷ ph÷ìng ph¡pchuéi nguy¶n º t¼m ra mët cæng thùc nghi»m d¤ng hiºn cõa ph÷ìng tr¼nh(2.1) ·u th§t b¤i V§n · tr¶n ¢ ÷ñc gi£i quy¸t trong th¸ k¿ XVIII b¬ngph÷ìng ph¡p mang t¶n nh  to¡n håc v¾ ¤i Euler

B i to¡n ÷ñc lªp º v³ ÷íng cong nghi»m tø iºm ¦u (x0, y0) cõaph÷ìng tr¼nh y0 = f (x, y) Qu¡ tr¼nh n y ÷ñc ti¸n h nh nh÷ sau :

• Bót v³ b­t ¦u tø iºm ¦u (x0, y0) di chuyºn mët o¤n nhä theoph÷ìng tr¼nh cõa ti¸p tuy¸n t¤i (x0, y0) s³ câ iºm (x1, y1).

• T¤i iºm (x1, y1), bót v³ êi h÷îng v  di chuyºn mët o¤n nhä theoph÷ìng tr¼nh cõa ti¸p tuy¸n t¤i (x1, y1) s³ câ iºm (x2, y2)

• T¤i iºm (x2, y2),t÷ìng tü nh÷ vªy s³ câ iºm (x3, y3)

H¼nh (2.1) mæ t£ k¸t qu£ cõa qu¡ tr¼nh nâi tr¶n: â l  ÷íng g§p khócnèi c¡c iºm (x0, y0), (x1, y1), (x2, y2), Tuy nhi¶n gi£ sû r¬ng méi o¤nnhä bót v³ di chuyºn dåc theo o¤n dèc ti¸p tuy¸n r§t nhä, nhä ¸n mùcb¬ng m­t th÷íng khæng thº nhªn ra ÷ñc Khi â ÷íng g§p khóc ÷ñcxem nh÷ ÷íng cong trìn nghi»m cõa b i to¡n,¥y công l  þ ngh¾a h¼nhhåc cõa ph÷ìng ph¡p Euler

H¼nh 2.1: Þ ngh¾a h¼nh håc cõa ph÷ìng ph¡p Euler

N¸u c¡c iºm chia xn, n = 0, 1, 2, c ng nhi·u th¼ ta c ng câ t½nh h¼nh

£nh g¦n óng cõa h m nghi»m y(x)

X²t tr÷íng hñp c¡c b÷îc c¡ch ·u, tùc l  xn+1−xn = h, n = 0, 1, 2, 3, Tøkhai triºn Taylor, giú l¤i hai sè h¤ng ¦u ta câ:

y(x1) = y(x0) + y0(x0 )

1! (x1 − x0) + y002!(ξ)(x1 − x0)2y(x1) = y0 + hf (x0 ,y 0 )

1! + 0(h2).Vªy ta câ thº câ :

ë dèc cõa o¤n i ÷ñc qua iºm (xn, yn)l  m = f(xn, yn) V¼ méi thay

êi cõa h tø xn ¸n xn+1 t÷ìng ùng vîi sü thay êi cõa mh = hf(xn, yn)

tø yn ¸n yn+1 n¶n c¡c tåa ë cõa iºm mîi (xn+1, yn+1) ÷ñc cho bði cængthùc d÷îi ¥y trong h» tåa ë ¢ cho :

xn+1 = xn+ h; yn+1 = yn+ hf (xn, yn)

Vîi b i to¡n (2.2) ph÷ìng ph¡p Euler vîi b÷îc l°p h b­t ¦u tø iºm

ban ¦u (x0, y0) ta ÷ñc :

x1 = x0 + h; y1 = y0 + hf (x0, y0),

x2 = x1 + h; y2 = y1 + hf (x1, y1),

x3 = x2 + h; y3 = y2 + hf (x2, y2).Tuy nhi¶n ng÷íi ta khæng v³ ÷íng g§p khóc x§p x¿ Thüc vªy, k¸t

qu£ cõa ph÷ìng ph¡p Euler l  d¢y x§p x¿ y1, y2, y3, vîi c¡c gi¡ trà óng

y(x1), y(x2), y(x3), t¤i c¡c iºm x1, x2, x3, cõa nghi»m ch½nh x¡c y(x)

(m°c dò ch÷a bi¸t) cõa b i to¡n bi¶n C¡c gi¡ trà t¼m ÷ñc thº hi»n d÷îi

d¤ng b£ng c¡c gi¡ trà x§p x¿ cõa b i to¡n ¢ cho

2.1.3 Thuªt to¡n ph÷ìng ph¡p Euler

Cæng thùc truy hçi (2.3) nâi cho ta bi¸t c¡ch t¤o b÷îc iºn h¼nh tø yn

¸n yn+1 v  â l  t¥m iºm cõa ph÷ìng ph¡p Euler º hiºu rã ph÷ìng

ph¡p v  ti»n so s¡nh c¡c gi¡ trà x§p x¿ v  gi¡ trà nghi»m ch½nh x¡c, ta x²t

a.h = 0.5 tr¶n [−2, 2]

b.h = 0.2 tr¶n [−2, 0]

Ð b i to¡n n y f(x, y) = x − y vîi x0 = 0; y(0) = −2 p döng cæng

thùc cõa ph÷ìng ph¡p Euler (2.3) ta câ:

yn+1 = yn + h(xn − yn)

Gi¡ trà x§p x¿ y -2.0000 -1.6000 -1.2400 -0.9120 -0.6096 -0.32768

B£ng 2.2: C¡c gi¡ trà x§p x¿ y t÷ìng ùng vîi h = 0.2

Sû döng ph¦n m·m Mathematica 4.2 ta x¡c ành nghi»m ch½nh x¡c cõa

b i to¡n tr¶n l  y(x) = e−x(xex−ex−1) Tø â ta câ thº thº hi»n ç thà cõanghi»m x§p x¿ ùng vîi h = 1, h = 0.2, h = 0.05 còng ç thà nghi»m ch½nhx¡c vøa t¼m ÷ñc trong h¼nh (2.3) thæng qua ph¦n m·m Mathematica

H¼nh 2.3: ç thà nghi»m ch½nh x¡c v  nghi»m x§p x¿ cõa b i to¡n f(x, y) = x - y; y(0) = -2 vîi h = 0.5,

h = 0.2

Ta th§y r¬ng khi b÷îc h gi£m th¼ ë ch½nh x¡c c ng t«ng, ÷íng congx§p x¿ nghi»m ùng vîi c¡c b÷îc h gi£m c ng g¦n vîi ÷íng cong nghi»mch½nh x¡c

V½ dö 2.2.Dòng ph÷ìng ph¡p Euler t¼m nghi»m x§p x¿ cõa b i to¡n gi¡trà ban ¦u

dy

dx = xy2 ; y(0) = 1H¢y dòng ph÷ìng ph¡p Euler 2 l¦n º t¼m nghi»m g¦n óng trong [0, 1], l¦n

¦u vîi b÷îc h = 0.1, l¦n sau vîi b÷îc h = 0, 05 so s¡nh c¡c k¸t qu£ nghi»mg¦n óng vîi gi¡ trà nghi»m ch½nh x¡c Sû döng ph¦n m·m Mathematica 4.2

ta x¡c ành nghi»m ch½nh x¡c cõa b i to¡n y0 = xy2 , y(0) = 1 l  y(x) = ex2

B£ng 2.3: X§p x¿ Euler b i to¡n y 0 = xy2; y(0) = 1 vîi h = 0.1, h = 0.05

Qua b£ng (2.3) ta th§y r¬ng vîi ph÷ìng ph¡p Euler º nghi»m câ ëch½nh x¡c cao c¦n b÷îc l°p h c ng nhä v  sè b÷îc l°p c ng lîn

2.2 SAI SÈ TRONG PH×ÌNG PHP EULER

2.2.1 Sai sè àa ph÷ìng

X²t sai sè m­c ph£i tr¶n mët b÷îc l°p vîi gi£ thi¸t b÷îc tr÷îc â t½nh

óng Ta x²t h m y(x) l  nghi»m ch½nh x¡c cõa b i to¡n:

( dy

dx = f (x, y),y(x0) = y0,vîi h = xn+1 − xn, n ≥ 0

Tø khai triºn Taylor, giú l¤i hai sè h¤ng ¦u ta câ:

y(x1) = y(x0) + y0(x0 )

1! (x1 − x0) + y002!(ξ)(x1 − x0)2,y(x1) = y1 + y002!(ξ)(x1 − x0)2,

y(x1) − y1 = y002!(ξ)(x1 − x0)2,y(x1) − y1 = 0(h2)Sai sè trong cæng thùc x§p x¿ tuy¸n t½nh

y(xn+1) ≈ yn+ hf (xn, yn) = yn+1,ch½nh l  ë ch¶nh l»ch giúa ti¸p tuy¸n t¤i (xn, yn)vîi ÷íng cong nghi»m

i qua (xn, yn) ÷ñc mæ t£ ð h¼nh (2.4) Sai sè n y ÷ñc sinh ra trong méil¦n l°p cõa qu¡ tr¼nh, ÷ñc gåi l  sai sè àa ph÷ìng cõa ph÷ìng ph¡p Euler

H¼nh 2.4: Sai sè àa ph÷ìng trong ph÷ìng ph¡p Euler

2.2.2 Sai sè t½ch lôy(sai sè to n ph¦n)

N¸u iºm xu§t ph¡t yn trong (2.3) l  gi¡ trà ch½nh x¡c th¼ sai sè àa ph÷ìng

ð h¼nh (2.4) s³ l  têng sai sè ð b÷îc yn+1 Nh÷ng b£n th¥n yn l¤i nhªn c¡csai sè t½ch lôy cõa c¡c sai sè àa ph÷ìng ÷íng ti¸p tuy¸n ð h¼nh (2.5) thºhi»n sai sè t½ch lôy cõa ph÷ìng ph¡p Euler- â l  ë sai kh¡c giúa ÷íngg§p khóc i qua (x0, y0) vîi ÷íng cong i qua (x0, y0)

H¼nh 2.5: Sai sè t½ch lôy trong ph÷ìng ph¡p Euler

X²t sai sè tr¶n o¤n [x0, xn] Gi£ sû h m f(x, y) thäa i·u ki»n Lipschitztheo bi¸n y vîi h¬ng sè Lipschitz = L > 0, ngo i ra vi ph¥n |df

dx| ≤ M.Cho xn cè ành trong khi b÷îc h thay êi, gåi y(x) l  nghi»m óng cõa

b i to¡n Cauchy (2.2) ta câ:

∆εn = εn+1−εn = yn+1−yn−(y(xn+1)−y(xn)) = hf (xn, yn)−

x n +1Z

x n

[f (xn, y(xn)) − f (x, y(x))]|dx

≤ Lh|yn− y(xn)| +

x n +1Z

V½ dö 2.3 : T½nh x§p x¿ nghi»m cõa b i to¡n gi¡ trà ban ¦u :

dy

dx = y − 2; y(0) = 1,Vîi b÷îc l°p h = 0.1 v  c¡c b÷îc l°p nhä hìn nh÷ h = 0.01, h = 0.05, h =0.001 trong o¤n [0, 1] vîi ∆x = 0.1 Ch¯ng h¤n vîi b÷îc l°p h = 0.01 c¦n

x y x§p xi vîi h = 0.01 y x§p xi vîi h = 0.005 y x§p xi vîi h = 0.001 Gi¡ trà thüc t¸ cõa y

B£ng 2.4: X§p x¿ Euler b i to¡n y' = y - 2; y(0) = 1 vîi b÷îc l°p nhä d¦n

khi h = 0.001 Nh÷ vªy khi b÷îc l°p c ng nhä th¼ sai sè t«ng c ng chªmkhi i xa d¦n iºm ¦u

Vîi méi b÷îc l°p s³ y¶u c¦u sè b÷îc nh£y kh¡c nhau Ta th§y r¬ng vîi

h = 0.1 y¶u c¦u 10 b÷îc, v¼ vªy ph÷ìng ph¡p Euler câ thº thüc hi»n b¬ngm¡y t½nh bä tói Nh÷ng vîi h = 0.01 c¦n 100 b÷îc, h = 0.05 c¦n 200 b÷îc

v  vîi h = 0.001 c¦n ¸n 1000 b÷îc th¼ ta n¶n lªp tr¼nh thæng qua c¡cph¦n m·m chuy¶n döng

Ngo i hai lo¤i sai sè ¢ ÷ñc n¶u ð tr¶n (sai sè àa ph÷ìng v  sai sè t½chlôy), t¤i méi b÷îc m¡y t½nh s³ câ th¶m sai sè l m trán, do sùc chùa cõam¡y t½nh câ h¤n

Tr¶n thüc t¸ công nh÷ tr¶n lþ thuy¸t, khâ câ thº chån ÷ñc b÷îc h tètnh§t, vi»c chån â phö thuëc v o b£n ch§t cõa h m f(x, y) trong ph÷ìngtr¼nh (2.2), phö thuëc v o m¢ hi»u m  ch÷ìng tr¼nh ÷ñc vi¸t n¶n v  phöthuëc v o m¡y t½nh ÷ñc sû döng Vîi b÷îc h qu¡ lîn th¼ k¸t qu£ x§p x¿cõa ph÷ìng ph¡p Euler câ thº khæng õ ë ch½nh x¡c, cán n¸u h qu¡ b²th¼ sai sè l m trán bà t½ch lôy l m cho thíi gian ch¤y m¡y qu¡ l¥u

V½ dö 2.4 : Gi£i b i to¡n gi¡ trà ban ¦u :

dy

dx = 13y(8 − y) , y(0)=1

Câ nghi»m ch½nh x¡c l  :y(x) = 8

1+7e− 8x3 V³ ç thà thº hi»n ÷íng congnghi»m ch½nh x¡c v  ÷íng cong nghi»m x§p x¿ theo ph÷ìng ph¡p Eulertr¶n kho£ng [1, 5] vîi n =5, n = 10, n = 20 (n l  sè b÷îc nh£y)

H¼nh 2.6: ç thà nghi»m ch½nh x¡c v  nghi»m x§p x¿ cõa b i to¡n v½ dö 2.4 vîi sè b÷îc l°p n = 5, n =

H¼nh 2.7: ç thà nghi»m ch½nh x¡c v  nghi»m x§p x¿ cõa b i to¡n v½ dö 2.5 vîi sè b÷îc l°p n = 50, n =

100, n = 200,n=400

Qua ç thà c¡c h¼nh (2.6) v  (2.7), ta th§y r¬ng vîi méi x cè ành, gi¡ tràx§p x¿ d¦n tîi gi¡ trà ch½nh x¡c y(x) khi b÷îc h c ng nhä hay sè b÷îc nh£y

t«ng l¶n Ð h¼nh (2.6) vîi n = 5 ta câ ÷íng thæ, vîi n = 10 th¼ ÷íngg¦n óng v¨n n¬m d÷îi ÷íng cong nghi»m ch½nh x¡c, nh÷ng vîi n = 20chóng ta câ ÷íng g¦n óng kh¡ tèt so vîi ÷íng cong nghi»m ch½nh x¡c.Ngay c£ vîi n kh¡ lîn trong v½ dö 2.5 mæ t£ ð h¼nh (2.7) th¼ ph÷ìng ph¡pEuler v¨n cho k¸t qu£ tèt khi t¼m nghi»m g¦n óng.

2.3 PH×ÌNG PHP EULER TRONG PH×ÌNG TRœNH VI

PH…N TH×ÍNG

Mð ¦u nhi·u b i to¡n khoa håc kÿ thuªt chõ ¤o l  (h») ph÷ìng tr¼nh viph¥n v  i·u ki»n ban ¦u Nghi»m óng cõa chóng th÷íng ch¿ ¡p döngcho mët sè lîp b i to¡n r§t h¤n ch¸, a sè c¡c b i to¡n l  ph£i t¼m nghi»mg¦n óng Trong ph÷ìng ph¡p sè câ ph÷ìng ph¡p Euler- l  ph÷ìng ph¡pmët b÷îc t½nh nghi»m g¦n óng yn+1 thæng qua yn vîi f(xn, yn) th÷íng

÷ñc dòng º gi£i c¡c b i to¡n v· ph÷ìng tr¼nh vi ph¥n c§p 1 v  h» ph÷ìngtr¼nh vi ph¥n th÷íng B¥y gií chóng ta s³ t¼m hiºu c¡ch gi£i c¡c b i to¡n

â

X²t b i to¡n Cauchy:

( dy

dx = f (x, y),y(x0) = y0

p döng ph÷ìng ph¡p Euler vîi b÷îc l°p h, ta câ cæng thùc:

V½ dö èi vîi h» gçm m = 2 ph÷ìng tr¼nh vi ph¥n c§p mët, chóng tavi¸t:

X =

"

xy

#

; f =

"

fg

2.4 MËT SÈ B€I TON TœM NGHI›M G†N ÓNG VÎI

Sû döng ph¦n m·m Mathematicata t¼m ÷ñc nghi»m ch½nh x¡c cõa b ito¡n tr¶n l  : y(x) = 2ex2

2

Ta câ f = xy, n¶n ta ¡p döng cæng thùc cõa ph÷ìng ph¡p Euler l  :

yn+1 = yn + h(xy)

th nh 5 åan nhä ·u v  l§y gi¡ trà t¤i c¡c mèc chia º lªp b£ng (2.5).

x GTXX cõa y ùng vîi h = 0.1 GTXX cõa y ùng vîi h = 0.01 Gi¡ trà thüc cõa y

B£ng 2.5: X§p x¿ Euler b i to¡n y 0 = xy ; y(0) = 2 vîi h = 0.1, h = 0.01 v  gi¡ trà nghi»m ch½nh x¡c

º gi£i c¡c ph÷ìng tr¼nh vi ph¥n m  nghi»m cõa ph÷ìng tr¼nh khængph£i l  c¡c h m cì b£n ta sû döng ph÷ìng ph¡p Euler

V½ dö 2.7: Dòng ph÷ìng ph¡p Euler º t¼m nghi»m b i to¡n gi¡ trà ban

¦u :

dy

dx = x2 − y2, y(0) = 1Vîi h = 0.1, h = 0.2 trong o¤n [0, 1]

Ta câ f(x, y) = x2 − y2; n¶n ¡p döng cæng thùc cõa ph÷ìng ph¡p Euler

l :

yn+1 = yn+ h((xn)2 − (yn)2)

th nh 5 åan nhä ·u v  l§y gi¡ trà t¤i c¡c mèc chia º lªp b£ng (2.6).

x GTXX cõa y ùng vîi h = 0.1 GTXX cõa y ùng vîi h = 0.2

Ð ¥y:

f (x, y) = −x + 8y; x0 = 1,g(x, y) = x + y; y0 = 1.

p döng cæng thùc (2.7) ta câ:

xn+1 = xn+ h(−xn + 8yn),

yn+1 = yn+ h(xn+ yn)Vîi b÷îc h = 0.01 ta câ:

x(0.04) ≈ 1.2879y(0.04) ≈ 1.0874

2.5 ×U IšM- TNH ÊN ÀNH CÕA PH×ÌNG PHP X‡P

XŸ EULER TRONG PH×ÌNG TRœNH VI PH…N TH×ÍNGX²t b i to¡n :

dy

dx = f (x, y); y(x0) = y0.Gi£ sû gi¡ trà ban ¦u óng l  (yd

0) v  gi¡ trà g¦n óng cõa nâ l  (y0)g saocho |(y0)d− (y0)g| ≤ δ Ta x²t sai sè ban ¦u câ bà khu¸ch ¤i sau n b÷îchay khæng

Ta câ: