TÓM TẮT LUẬN VĂN PHƯƠNG PHÁP XẤP XỈ EULER TRONG PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN THƯỜNG

TÓM TẮT PHƯƠNG PHÁP XẤP XỈ EULER TRONG PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN THƯỜNG

1.2 Sự tồn tại và duy nhất nghiệm của phương trình vi phân thường

bậc nhất

Hàm f (x, y) thỏa mãn điều kiện Lipschitz trong miền D của mặt phẳng Oxytheo biến y nếu tồn tại L > 0 (hằng số Lipschitz) sao cho với ∀(x, y1), (x, y2) ∈ D :

Hình 2.1: Ý nghĩa hình học của phương pháp Euler

Hình (2.1) mô tả kết quả của quá trình nói trên: đó là đường gấp khúc nối cácđiểm (x0, y0), (x1, y1), (x2, y2), Tuy nhiên giả sử rằng mỗi "đoạn nhỏ" bút vẽ

di chuyển dọc theo đoạn dốc tiếp tuyến rất nhỏ, nhỏ đến mức bằng mắt thườngkhông thể nhận ra được Khi đó đường gấp khúc được xem như đường cong trơnnghiệm của bài toán, đây cũng là ý nghĩa hình học của phương pháp Euler

Giải bài toán Cauchy:

(2.2)

Vấn đề được đặt ra của bài toán là tìm gần đúng hàm nghiệm y(x) tại một sốđiểm x1, x2, x3, , tức là tính các giá trị xấp xỉ y1, y2, y3, (giá trị chính xác

là y(x1), y(x2), y(x3), tại các điểm x1, x2, x3, ) Nếu các điểm chia xn, n =

0, 1, 2, càng nhiều thì ta càng có hình ảnh gần đúng của hàm nghiệm y(x).Xét trường hợp các bước cách đều, tức là xn+1− xn = h, n = 0, 1, 2, Từkhai triển Taylor, giữ lại hai số hạng đầu ta có:

y(x1) = y(x0) + y

0(x0)1! (x1 − x0) + y

00(ξ)2! (x1 − x0)2.y(x1) = y0+ hf (x0, y0)

Phương pháp Euler (ở thế kỉ XVIII ) chưa có ý tưởng sử dụng máy tính để

vẽ nên Euler tìm nghiệm bằng số Trong phương trình vi phân dy

dx = f (x, y) vớiđiều kiện y(x0) = y0 trước hết ta chọn bước lặp h để sử dụng vẽ từng bước từđiểm này đến điểm kia Giả sử, bắt đầu với điểm đầu (x0, y0), sau n bước sẽ cóđiểm (xn, yn) Việc thực hiện vẽ từ điểm (xn, yn) sang điểm (xn+1, yn+1) đượcxác định qua công thức thành lập (2.3) và được mô tả ở hình (2.2)

Xét phương trình vi phân (2.2) Để áp dụng phương pháp Euler với bướclặp h ta áp dụng công thức:

yn+1 = yn+ hf (xn, yn); (n ≥ 0),

để tính các giá trị xấp xỉ y1, y2, y3, (giá trị chính xác là y(x1), y(x2), y(x3), của nghiệm chính xác y = y(x) tại các điểm x1, x2, x3, ).

Công thức truy hồi (2.3) nói cho ta biết cách tạo bước điển hình từ yn đến

yn+1 và đó là tâm điểm của phương pháp Euler Để hiểu rõ phương pháp vàtiện so sánh các giá trị xấp xỉ và giá trị nghiệm chính xác, ta xét ví dụ 2.1

Ví dụ 2.1 Dùng phương pháp Euler tìm nghiệm xấp xỉ của bài toán giá trịban đầu

dy

dx = x +

1

5y; y(0) = −3cho từng trường hợp sau:

a h = 1 trên [0, 5] b h = 0.2 trên [0, 1]

Ở bài toán này f (x, y) = x +1

5y với x0 = 0; y(0) = −3 Áp dụng công thứccủa phương pháp Euler (2.3) ta có: yn+1 = yn+ h(xn+ 15yn)

a.Với h = 1 ta tính giá trị xấp xỉ tại các điểm x0 = 0, x1 = 1, x2 = 2, x3 =

3, x4 = 4, x5 = 5 và thể hiện qua bảng dưới:

Giá trị xấp xỉ y -3.000 -3.600 -3.320 -1.984 0.6192 4.7430

b.Với h = 0.2:

Tại các điểm x0 = 0, x1 = 0.2, x2 = 0.4, x3 = 0.6, x4 = 0.8, x5 = 1 ta có cácgiá trị xấp xỉ được thể hiện qua bảng dưới:

Giá trị xấp xỉ y -3.000 -3.120 -3.025 -3.253 -3.263 -3.234

Sử dụng phần mềm Mathematica 4.2 ta xác định nghiệm chính xác của bàitoán ở ví dụ 2.1 là y(x) = 22ex5 − 5x − 25 Từ đó ta có thể biểu diễn đồ thị củanghiệm xấp xỉ ứng với h = 1, h = 0.2, h = 0.05 cùng đồ thị của nghiệm chínhxác vừa tìm được trong hình (2.3) thông qua phần mềm Mathematica

Ta thấy rằng khi bước h giảm thì độ chính xác càng tăng, đường cong xấp xỉnghiệm ứng với các bước h giảm càng gần với đường cong nghiệm chính xác

Hình 2.3: Đồ thị nghiệm chính xác và nghiệm xấp xỉ của bài toán f (x, y) = x + 1

5y; y(0) = −3 với h = 1, h =0.2, h = 0.05

Ví dụ 2.2 Xét phương trình chuyển động sau:

y0 = y + 1; y(0) = 1

Hãy dùng phương pháp Euler hai lần để tìm nghiệm gần đúng trong [0, 1], lầnđầu với bước h = 0.1 và lần sau với bước h = 0.2 So sánh các kết quả nghiệmgần đúng và giá trị nghiệm chính xác

Sử dụng phần mềm Mathematica 4.2 ta xác định nghiệm chính xác của bàitoán y0 = y + 1; y(0) = 1 là y(x) = −1 + 2ex , các nghiệm xấp xỉ theo phươngpháp xấp xỉ Euler và từ đó đưa ra bảng giá trị nghiệm xấp xỉ (2.1)

x Giá trị xấp xỉ của Giá trị xấp xỉ của Giá trị thực tế của

Bảng 2.1: Xấp xỉ Euler bài toán y0= y + 1; y(0) = 1 với h = 0.2, h = 1 và giá trị nghiệm chính xác

Qua bảng (2.1), ta nhận thấy rằng với phương pháp Euler để các giá trịnghiệm có độ chính xác cao cần có bước lặp h càng nhỏ và số bước lặp cànglớn Sử dụng phần mềm Mathematica 4.2 ta tính giá trị nghiệm chính xác vàcác nghiệm xấp xỉ rất nhanh chóng qua bảng (2.1)

2.2 Sai số trong phương pháp Euler

Xét sai số mắc phải trên một bước lặp với giả thiết bước trước đó tínhđúng Ta xét hàm y(x) là nghiệm chính xác của bài toán:

Sai số trong công thức xấp xỉ tuyến tính

yn+1 ≈ yn+ h.f (xn, yn) = yn+1,chính là độ chênh lệch giữa tiếp tuyến tại (xn, yn) với đường cong nghiệm điqua (xn, yn) được mô tả ở hình (2.4) Sai số này được sinh ra trong mỗi lần lặpcủa quá trình, được gọi là sai số địa phương của phương pháp Euler

Hình 2.4: Sai số địa phương trong phương pháp Euler

2.2.2 Sai số tích lũy(sai số toàn phần)

Nếu điểm xuất phát yn trong (2.3) là giá trị chính xác thì sai số địaphương ở hình (2.4) sẽ là tổng sai số ở bước yn+1 Nhưng bản thân yn lại nhậncác sai số tích lũy của các sai số địa phương Đường tiếp tuyến ở hình (2.5) thểhiện sai số tích lũy của phương pháp Euler- đó là độ sai khác giữa đường gấpkhúc đi qua (x0, y0) với đường cong đi qua (x0, y0)

Hình 2.5: Sai số tích lũy trong phương pháp Euler

Khi h → 0, yn → y(xn) Vì vậy cách thường làm để giảm sai số tích lũy trongphương pháp Euler chính là giảm bước h

Ví dụ 2.3 Tính xấp xỉ nghiệm của bài toán giá trị ban đầu:

dy

dx = y − 2; y(0) = 1,với bước lặp h = 0.1 và các bước lặp nhỏ hơn như h = 0.01, h = 0.005,

h = 0.001 trong đoạn [0, 1] với 4x = 0.1 Chẳng hạn với bước lặp h = 0.01 cần

100 bước lặp Euler, ta đi tìm số bước lặp các bước lặp nhỏ hơn

x Giá trị y xấp xỉ Giá trị y xấp xỉ Giá trị y xấp xỉ Giá trị y xấp xỉ Giá trị thực

với h = 0.1 với h = 0.01 với h = 0.005 với h = 0.001 tế của y

Bảng 2.2: Xấp xỉ Euler bài toán dy

dx = y − 2; y(0) = 1 với bước lặp nhỏ dần

Sử dụng phần mềm Mathematica 4.2 ta tìm được nghiệm chính xác của bàitoán dy

dx = y − 2 với y(0) = 1 là y = 2 − e

x và đưa ra bảng giá trị nghiệm xấp

xỉ (2.2)

Chúng ta thấy rằng với mỗi bước lặp h cố định thì sai số (ychính xác− yxấp xỉ)

sẽ tăng lên khi x càng xa điểm đầu x0 Nhưng khi xem các hàng của bảng(2.2), chúng ta thấy rằng với mỗi x cố định thì sai số sẽ giảm khi h nhỏ dần.Như vậy, khi bước lặp còn nhỏ thì sai số tăng càng chậm khi đi xa dần điểm đầu.Với mỗi bước lặp sẽ yêu cầu số bước nhảy khác nhau Để có độ chính xác caongười ta thường giảm bước nhảy Nhưng ta không nên làm điều đó với hai lý

do Trước hết là thời gian để làm điều đó Lý do thứ hai là liệt kê nghiệm xấp

Kết quả ở bảng (2.2) mô tả chiến lược chung về thuật toán số của phươngpháp Euler Bắt đầu với số n rất nhỏ, sau đó tằng gấp đôi n cho mỗi lần ápdụng sau Việc so sánh các kết quả liên tiếp thường đưa đến "suy nghĩ trựcgiác" về tính chính xác Trong ví dụ 2.1, ta có thể xem thể hiện kết quả phéptính gần đúng theo phương pháp Euler bằng đồ thị Ta thấy rằng với mỗi x cốđịnh, giá trị xấp xỉ dần tới giá trị chính xác y(x) khi bước h càng nhỏ hay sốbước nhảy tăng lên

2.3 Phương pháp Euler trong phương trình vi phân thường

Xét bài toán Cauchy:

Áp dụng phương pháp Euler với bước lặp h, ta có công thức:

Đây là hệ gồm m phương trình vi phân cấp một

Công thức lặp của phương pháp Euler ứng với hệ phương trình vi phân là:

2.4 Một số bài toán tìm nghiệm gần đúng với phương pháp xấp xỉ

Euler trong phương trình vi phân thường

Ví dụ 2.6 Hãy dùng phương pháp Euler hai lần để tìm nghiệm gần đúngtrên [0, 1

2] , lần đầu với bước lặp h = 0.25 và lần sau với bước lặp h = 0.1 củabài toán giá trị đầu: y0 = −y; y(0) = 2

Hãy so sánh các kết quả nghiệm gần đúng (lấy 3 chữ số thập phân) với giá trị

nghiệm chính xác y(x) = 2e−x tại x = 1

Giả sử giá trị ban đầu đúng là y0đ và giá trị gần đúng của nó là y0g sao cho

|y0đ− yg0| ≤ δ Ta xét xem sai số ban đầu có bị khuếch đại sau n bước hay không

Chúng ta đã xét tính ổn định của phương pháp Euler trong mục 2.5.1, tathấy rằng phương pháp Euler là ổn định Tuy nhiên có một số bài toán giá trịđầu lại không được giải quyết tốt như thế Ta xét ví dụ 2.11 sau đây để tìmhiểu thêm

Ví dụ 2.11 Dùng phương pháp xấp xỉ Euler để tìm nghiệm gần đúng của

bài toán giá trị ban đầu: dy

dx = x

2 + y2; y(0) = 1, trên đoạn [0, 1]

Bảng (2.3) thể hiện các kết quả các nghiệm xấp xỉ của bài toán đã cho vớibước h = 0.1, h = 0.02, h = 0.005

x Giá trị xấp xỉ của Giá trị xấp xỉ của Giá trị xấp xỉ của

y ứng với h = 0.1 y ứng với h = 0.02 y ứng với h = 0.005

vẽ được miền nghiệm của bài toán dy

Hình (2.6) thể hiện miền chứa nghiệm của bài toán dy

dx = x

2 + y2 cùng vớiđường cong nghiệm chính xác đi qua điểm (0, 1).Từ hình vẽ ta thấy đường cong

có tiệm cận đứng ở gần x = 0.97 Mặc dù phương pháp Euler cho các giá trịnghiệm gần x = 1, nhưng nghiệm chính xác lại không tồn tại trên cả đoạn [0, 1].Hơn nữa, phương pháp Euler không thể theo kịp độ biến thiên nhanh của y(x)khi x dần đến giá trị tiệm cận đứng

Qua ví dụ 2.11 chứng tỏ vẫn có những cạm bẫy trong việc giải phương trình

vi phân bằng phương pháp Euler Rõ ràng không thể tìm nghiệm xấp xỉ trênmột đoạn mà trên đoạn đó nghiệm không tồn tại (hoặc trên đoạn đó nghiệmkhông duy nhất) Người ta không thể chấp nhận các kết quả áp dụng phươngpháp Euler với một số bước lặp cố định như trên là các kết quả chính xác.Bên cạnh đó, sai số mắc phải của phương pháp Euler là khá lớn Vì thế chúng

ta cần tìm cách để nâng độ chính xác lên thông qua các phương pháp khác

2.6 Phát triển và so sánh phương pháp Euler với một số phương

pháp khác

Với những hạn chế về mặt sai số lớn, phương pháp Euler tuy có ưu điểm

là rất đơn giản, dễ lập trình nhưng chỉ dùng để tìm lời giải thô của bài toánCauchy Từ phương pháp Euler ta có thể phát triển thành phương pháp Eulercải tiến Phương pháp nay sử dụng đơn giản và có thêm thuận lợi kiểm tra hệthống vốn có trong quá trình thu được để cải thiện sự ước lượng cho y

Xét bài toán Cauchy:

dy

dx = f (x, y), y(x0) = y0.Giả sử sau n lần lặp với bước h, chúng ta đã tính được giá trị xấp xỉ yn củagiá trị đúng y(xn) của nghiệm, tại xn = xn+ nh Gọi un+1 (không phải y(xn+1))

là giá trị của nghiệm tại xn+1 = xn + (n + 1)h

Khi đó:

un+1 = yn + hf (xn, yn) = yn+ hk1

ở x + xn đã được tính toán Vậy tại sao ta không lấy giá trị trung bình của hai

độ dốc này để có được độ chính xác hơn Ý tưởng này đã tạo nên phương phápEuler cải tiến với nội dung cơ bản như sau:

Cho bài toán giá trị đầu: dy

dx = f (x, y), y(x0) = y0.Phương pháp Euler cải tiến với bước h gồm các công thức truy hồi:

Sau đó hiệu chỉnh:

yn+1 = yn+ h1

2[f (xn, yn) + f (xn+1, un+1)], (2.11)tiếp tục phép lặp để tính các giá trị gần đúng y1, y2, y3, tới các giá trịy(x1), y(x2), , y(xn) của nghiệm thực sự của bài toán ban đầu Cauchy.Mỗi bước của phương pháp Euler cải tiến cần tính hai giá trị hàm f (x, y), tronglúc đó phương pháp Euler thông thường chỉ cần tính một giá trị, vậy thì liệucải tiến phương pháp Euler có phức tạp và không hữu ích không ? Ta sẽ đi tìmcâu trả lời thông qua ví dụ 2.12 dưới đây

Fortune 50, hầu hết 15 bộ chủ chốt của chính phủ Hoa Kỳ và 50 trường đại họclớn nhất trên thế đều sử dụng Mathematica.

Tác giả của Mathematica là Stephen Wolfram Ông sinh năm 1959 tại don Ông bắt đầu phát triển Mathematica vào năm 1986 Version đầu tiên củaMathematica được công bố ngày 23 tháng 6 năm 1988 Công trình này đượcxem là thành tựu chính trong lĩnh vực khoa học tính toán cũng như là mộtphần mềm toán học nổi tiếng vào bậc nhất hiện nay

Euler

Việc lập trình vi tính để thực hiện một thuật số sẽ làm cho kích thước vềthuật toán của người lập thêm phần sắc sảo hơn Tuy nhiên để giải một bàitoán của phương trình vi phân bằng phương pháp Euler thông qua lập trìnhmáy tính vẫn chưa được biết đến nhiều trong sinh viên các khối đại học Vìthế trong luận văn này, tôi nghiên cứu ứng dụng phần mềm Mathematica đểtìm nghiệm chính xác của phương trình vi phân thường và viết chương trìnhtìm nghiệm gần đúng theo phương pháp xấp xỉ Euler, đồng thời mô tả nghiệmchính xác và nghiệm xấp xỉ của phương trình vi phân thường bằng đồ thị thôngqua các gói câu lệnh đã được lập trình

Quay trở lại với ví dụ 2.1 Để tìm nghiệm chính xác của bài toán

dy

dx = x +

1

5y; y(0) = −3,với cách giải bằng tay thủ công thông thường ta tìm được nghiệm chính xáccủa bài toán đã cho là: y(x) = 22ex5 − 5x − 25

Nhưng với phần mềm Mathematica 4.2, ta chỉ mở một file mới và gõ câulệnh:

Clear[y, x];

DSolve [y0[x] == x + 1

5y[x], y[0] == −3, y[x], x]

và nhấn tổ hợp phím shift và enter ta sẽ được kết quả như trong hình (3.1)

Hình 3.1: Tìm nghiệm chính xác bài toán ví dụ 2.1 với Mathematica 4.2

Đồng thời ta cũng có thể tìm nghiệm chính xác của hệ phương trình vi phântrong ví dụ 2.9 như hình (3.2)

Hình 3.2: Tìm nghiệm chính xác bài toán ví dụ 2.9 với Mathematica 4.2

Thông qua phần mềm Mathematica ta cũng có thể vẽ đồ thị của hàm nghiệmchính xác trong ví dụ 2.3 với hình (3.3)

Hình 3.3: Đồ thị nghiệm chính xác y(x) = 2 − e x

Khi thực hiện giải phương trình vi phân thường bằng phương pháp xấp xỉEuler ta có thể lập trình một thuật toán để thực hiện các bước lặp một cáchnhanh chóng trong ví dụ 2.1b như trong hình (3.4)

Hình 3.4: Lập trình Mathematica tìm nghiệm xấp xỉ bài toán y0 = x +1

5y, y(0) = −3, h = 0.2 trên[0, 1] theophương pháp Euler

Bên cạnh đó việc giải hệ phương trình vi phân theo phương pháp Euler thôngqua phần mềm này cũng không quá phức tạp, ta có thể xem hình (3.5)

Hình 3.5: Lập trình Mathematica tìm nghiệm xấp xỉ của hệ phương trình vi phân trong ví dụ 2.9 theo phương pháp Euler

Như vậy ngoài việc am hiểu về các cách giải nghiệm phương trình vi phânthì trong thời đại công nghiệp hóa hiện nay, sinh viên nên tìm hiểu thêm cácphần mềm toán học hỗ trợ việc thực hiện tính toán một cách nhanh chóng và

dễ dàng hơn Điển hình như phần mềm Mathematica mà tôi đã sử dụng trongluận văn này

Phương trình vi phân là một bộ môn học rất hay, phong phú, đa dạng vớinhiều phương pháp tính; do vậy đề tài có khả năng mở rộng nghiên cứu thêm cácphương pháp khác, đặc biệt là các phương pháp tính xấp xỉ: phương pháp xấp xỉmột bước như phương pháp Euler cải tiến, phương pháp Runge-Kutta, haycác phương pháp đa bước như phương pháp Adams.

Do khả năng của bản thân còn hạn chế, mặc dù đã có nhiều cố gắng xongluận văn không tránh khỏi những sai sót, tác giả rất mong nhận được những

ý kiến đóng góp quý báu của các thầy cô và các bạn để đề tài được phát triểnhơn

Một lần nữa tôi xin cảm ơn chân thành thầy Lê Hải Trung đã tạo điều kiện

để tôi hoàn thành tốt đề tài này