Dự báo và hiệu chỉnh với cặp phương pháp adams bashforth và milne simpson để giải số phương trình vi phân thường

Phương trình vi phân

Định nghĩa 1.1 Phương trình có dạng F(x, y, y 0 , , y (n) ) = 0 được gọi là phương trình vi phân cấp n Trong đó y = y(x) là hàm cần phải tìm.

Hàm y = ϕ(x) được gọi là nghiệm của phương trình vi phân nếu ta như ta thay y = ϕ(x), y 0 = ϕ 0 (x) y (n) = ϕ (n) (x) thì ta nhận được đẳng thức

Bài toán Cauchy và cách tiếp cận lời giải số trong bài toán

Bài toán

Trong khóa luận này, chúng tôi tập trung vào việc áp dụng phương pháp số để giải quyết các bài toán tìm giá trị ban đầu Các phương trình vi phân cấp cao và hệ phương trình vi phân cấp cao có thể được chuyển đổi thành hệ phương trình vi phân cấp một, và chúng tôi luôn giả định rằng việc này đã được thực hiện.

Bài toán giá trị ban đầu hay còn gọi là bài toán Cauchy đối với hệ phương trình vi phân cấp một có dạng:

Tiếp cận lời giải số bài toán Cauchy

Tất cả các phương pháp số được thảo luận trong khóa luận đều nhằm mục đích tìm nghiệm y(x) cho bài toán Cauchy (1.1) trên một tập hợp rời rạc trong khoảng [a, b].

Chia [a, b] thành tập các điểm {x i } N i=0 cho bởi

Tham số h được gọi độ dài của bước nhảy Giả sử y(x) là nghiệm của hệ phương trình (1.1)

Gọi y n là xấp xỉ của y(x n ) Ký hiệu: y n ≈ y(x n )

Mục đích của ta là tìm một phương pháp hữu hiệu để tính dãy giá trị {y n } N n=0 là xấp xỉ của nghiệm y(x) trên tập rời rạc {x n } N n=0

Phương pháp số để giải bài toán (1.1) sử dụng một hệ sai phân với k + 1 giá trị xấp xỉ {y n+1−i } k i=0 của {y(x n+1−i )} k i=0 Từ đó, ta có thể tuần tự tính toán các giá trị {y n } N n=0 nếu đã biết k giá trị ban đầu, trong đó k được gọi là số bước của phương pháp.

Ví dụ 1.1 Phương pháp Euler hiển:

 y n+1 = y n +hf(x n , y n ) y(x 0 ) =y 0 Áp dụng cho bài toán:

Ta được kết quả như sau: y 1 = y 0 + 0,05f(x 0 , y 0 ) = 0 + 0,05.0 = 0 y 2 = y 1 + 0,05f(x 1 , y 1 ) = 0 + 0,05(x 2 1 −y 1 2 ) = 0,05.0,05 2 = 0,000125 y3 = y2+0,05f(x2, y2) = 0,000125+0,05.(0,1 2 −0,000125 2 ) = 0,000625 y 4 = y 3 +0,05f(x 3 , y 3 ) = 0,000625+0,05.(0,15 2 −0,000625 2 ) = 0,00175 y 5 = y 4 + 0,05f(x 4 , y 4 ) = 0,00175 + 0,05.(0,2 2 −0,00175 2 ) = 0,00375.

Ví dụ 1.2 Phương pháp Euler ẩn: y n+1 = y n +hf(x n+1 , y n+1 ) Áp dụng cho bài toán:

Ta có kết quả như sau: y 1 = y 0 +hf(x 1 , y 1 ) = 1 + 0,5(0,5−y 1 )

Định lý tồn tại nghiệm duy nhất

Hàm số f(x, y) được xác định trên miền D ⊂ R² được coi là thỏa mãn điều kiện Lipschitz theo biến y nếu tồn tại một hằng số dương L, gọi là hằng số Lipschitz, sao cho khoảng cách giữa hai giá trị của hàm f tại hai điểm khác nhau y₁ và y₂ không vượt quá L nhân với khoảng cách giữa y₁ và y₂, với điều kiện (x, y₁), (x, y₂) thuộc miền D.

Nhận xét 1.1 Điều kiện Lipschitz là yếu hơn so với điều kiện giới nội của đạo hàm riêng ∂f

≤ L Khi đó áp dụng định lý Lagrange cho hàm f(x, y) theo biến y ta được f (x, y 1 )−f (x, y 2 ) = (y 1 −y 2 ) ∂f

Điều kiện Lipschitz là một yếu tố quan trọng trong lý thuyết hàm số Định lý 1.1 (tham khảo [10]) nêu rõ rằng, nếu hàm số f(x,y) trong bài toán Cauchy là liên tục và thỏa mãn điều kiện Lipschitz theo biến y trên một hình chữ nhật, thì sẽ có những đặc điểm nhất định trong việc giải quyết bài toán.

Khi đó nghiệm của bài toán Cauchy là tồn tại và duy nhất trong đoạn

Phương pháp số tổng quát

Cấp chính xác của phương pháp số

Định nghĩa 1.4 (Xem [10]) Phương pháp số (1.2) gọi là phương pháp có cấp chính xác là p nếu y(x n+1 )− k

= o(h p+1 ) với o(h p+1 ) là vô cùng bé cùng bậc với h p+1 khi h → 0

Ví dụ 1.4 Cấp chính xác của phương pháp Euler hiển:

Vậy phương pháp Euler hiển có cấp chính xác p = 1

Ví dụ 1.5 Tính cấp chính xác của phương pháp Euler ẩn: y n+1 = y n +hf(x n+1 , y n+1 )

Vậy phương pháp Euler ẩn có cấp chính xác p = 1

Ví dụ 1.6 Tính cấp chính xác của phương pháp Euler cải tiến (Phương pháp Euler hình thang) y n+1 = y n + h

Vậy phương pháp Euler cải tiến có cấp chính xác p =2

Sự hội tụ của phương pháp số

Định nghĩa 1.5 (Xem [10]) Phương pháp số cho bởi (1.2) là hội tụ nếu

Tính phù hợp của phương pháp số

Đa thức đặc trưng thứ nhất

Khi đó đa thức đặc trưng thứ nhất của phương pháp số (1.2) được định nghĩa là ρ(t) =t k − k

Khái niệm tính phù hợp của phương pháp số ĐặtR(x n+1 ) =y(x n+1 )−[ k

P j=1 α j y n+1−j +hφ f (y n+1 , y n , , y n+1−k , x n+1−k , h)] R(xn+1) gọi là sai số chặt cụt địa phương. Định nghĩa 1.6 (Xem [10]) Phương pháp số (1.2) gọi là phù hợp nếu h→0lim

Hệ quả 1.1 (Xem [10]) Phương pháp số (1.2) có cấp chính xác p ≥ 1 thì phù hợp. Định lý 1.2 (Xem [10]) Phương pháp số (1.2) phù hợp

Ví dụ 1.7 Xét phương pháp số yn+1 = y n−1 +h

2[f(xn, yn) +f(x n−1 , y n−1 )] Đa thức đặc trưng thứ nhất của phương pháp số trên là ρ(t) =t 2 −1 ρ(1) = 0 ρ 0 (1) = 2

Vậy phương pháp số này không phù hợp.

Ví dụ 1.8 Xét sự phù hợp của phương pháp số yn+1 = −1

⇒Phương pháp đã cho phù hợp.

Phương pháp số (1.2) được định nghĩa là thỏa mãn điều kiện nghiệm khi tất cả các nghiệm của đa thức đặc trưng thứ nhất có modul nhỏ hơn hoặc bằng 1, và những nghiệm có modul bằng 1 phải là nghiệm đơn Đồng thời, phương pháp này được coi là ze-ro ổn định nếu đa thức đặc trưng thứ nhất của nó đáp ứng điều kiện nghiệm này.

Ví dụ 1.9 Xét phương pháp số y n+1 = 9

17h[f(x n+1 , y n+1 ) + 3f(x n , y n )] Đa thức đặc trưng thứ nhất của phương pháp số trên là ρ(t) = t 3 − 9

17 ⇒ |t| < 1 Phương pháp số trên thỏa mãn điều kiện nghiệm

Vậy phương pháp số trên zero ổn định.

Mối liên hệ giữa sự hội tụ, tính phù hợp và tính zero ổn định của một phương pháp số được thể hiện qua Định lý 1.3, theo đó phương pháp số (1.2) hội tụ khi và chỉ khi nó phù hợp và zero ổn định Định lý này là cơ sở quan trọng trong lĩnh vực phương pháp số giải phương trình vi phân, được chứng minh đầu tiên bởi Dahlquits vào năm 1956.

Henrici (1962) đã trình bày một lớp các phương pháp tuyến tính đa bước, và một chứng minh cho lớp phương pháp này được tìm thấy trong công trình của Isaacson và Keller (1966) Ngoài ra, chứng minh cho một số lớp phương pháp rộng hơn cũng được đề cập trong nghiên cứu của Gear (1965) và Butcher (1966).

(Xem [2]), Spijker (1966) (Xem [12]) Chartres và Stepleman (1972) (Xem

[3]) và M¨akela, Nevanlinna và Sipil¨a (Xem [11]).

Ví dụ 1.10 Xét phương pháp sốy n+1 = y n +1

Phương pháp (*) có đa thức đặc trưng thứ nhất là ρ(t) = t 3 −t 2 − 1

3 ⇒ |t| < 1 Phương pháp (*) thỏa mãn điều kiện nghiệm nên phương pháp trên zero ổn định.

9f(x n+1−3 , y n+1−3 ) =ρ 0 (1)f(x n+1−k , y n+1−k )Nên phương pháp (*) phù hợp và hội tụ.

Phương pháp lặp đơn giải phương trình phi tuyến

tuyến Định nghĩa 1.9 (Xem [10]) Phương trình phi tuyến là phương trình có dạng y = ϕ(y) (1.3) với ϕ : R n →R n không phải là ánh xạ tuyến tính.

Phương pháp lặp đơn được định nghĩa bởi dãy lặp y [ν+1] = ϕ(y [ν] ), ν = 0,1,2, (1.4) với y [0] chọn một cách thích hợp. Định lý 1.4 (Xem [10]) Cho ϕ(y) thỏa mãn điều kiện Lipschitz kϕ(y)−ϕ(y ∗ )k ≤ M ky−y ∗ k,∀y, y ∗ ∈ R n

Hằng số Lipschitz M thỏa mãn 0 ≤ M < 1 Khi đó phương trình (1.3) có duy nhất nghiệm y = α và nếu y [ν ] được định nghĩa bởi (1.4) thì y [ν] → α khi ν → ∞.

Đa thức nội suy Newton lùi tới các mốc cách đều

Cho a = x0 < x1 < < xn = b và bảng sau x x 0 x 1 x 2 x m−1 x m

Bài toán nội suy liên quan đến việc xác định giá trị gần đúng của F(x) tại các điểm không có trong bảng, với các mốc nội suy được ký hiệu là F 0, F 1, , F m Để thực hiện nội suy, người ta thường sử dụng các đa thức nội suy để thay thế F(x) và sau đó tính giá trị của đa thức này tại x.

Trong trường hợp các mốc nội suy là cách đều thì x i = x 0 + ih với i = 0,1, m Ta có duy nhất một đa thứcIm(x)bậcmthỏa mãn điều kiện

Khi các mốc nội suy cách đều thì I m (x) =I(x m +th)

= P m (t) = F m + 1! t ∇F m + + t(t+1) (t+n−1) n! ∇ m F m với t= x−x h n gọi là đa thức nội suy Newton - Gregory.

(−1) k C m k F m−k Trong trường hợp m = 2 ta có

Ví dụ 1.11 Cho bảng sau:

1 2 4 8 16 32 Hãy tìm đa thức nội suy Newton ở cuối bảng cho bởi bảng trên.

∇ 5 y 5 = ∇ 4 y 5 −∇ 4 y 4 = y 5 −4y 4 +6y 3 −4y 2 +y 1 −y 4 +4y 3 −6y 2 +4y 1 −y 0 y 5 −5y 4 + 10y 3 −10y 2 + 5y 1 −y 0 = 32−5.16 + 10.8−10.4 + 5.2−1 = 1 Suy ra đa thức nội suy Newton cần tìm là

Phương trình Riccati

Dạng chính tắc của phương trình Riccati

y 0 = ±y 2 +R1(x) (1.6) được gọi là phương trình chính tắc của phương trình Riccati.

Một số tính chất của phương trình Riccati

Trong thực hành, không phải lúc nào phương trình (1.5) cũng có thể giải bằng phép cầu phương, tức là không phải lúc nào cũng có thể biểu diễn dưới dạng hữu hạn các phép tích phân của các hàm tường minh Tuy nhiên, trong một số trường hợp đặc biệt như P(x) = 0 hoặc r(x) = 0, ta có thể chuyển đổi phương trình này về dạng tuyến tính hoặc Bernoulli Theo Định lý 1.5, nếu ta biết một nghiệm của phương trình (1.5), ta có thể chuyển phương trình đã cho về dạng Bernoulli.

Gọi y ∗ là một nghiệm của (1.5), Khi đó: y ∗ 0 = P(x)y 2 ∗ + Q(x)y ∗ +r(x) Đặt y = y ∗ +z, trong đó z là ẩn mới Thay vào (1.5) ta nhận được: y ∗ 0 +z 0 = P(x)(y ∗ 2 + 2y∗z +z 2 ) +Q(x)(y∗ +z) +r(x)

⇒z 0 −[2P(x)y ∗ −Q(x)]z = P(x)z 2 Đây chính là phương trình Bernoulli.

Dạng đặc biệt của phương trình Riccati

Định nghĩa 1.11 Phương trình dy dx +Ay 2 = Bx α (1.7) trong đó A, B, α là các số thực được gọi là phương trình Riccati dạng đặc biệt.

Trong hai trường hợp sau phương trình (1.7) có thể tích phân được bằng cầu phương.

• Khi α = 0 ta có dy dx +Ay 2 = B Đây là phương trình biến số phân li được.

• Khi α = −2 ta có dy dx +Ay 2 = B x 2 Đặt y = x z ta đưa về phương trình biến số phân li được xdz dx = −Az 2 + (B + 1)z

Ngoài những giá trị đó của α, người ta chứng minh được rằng, với mọi giá trị của α mà α

2α+ 4 là số nguyên thì phương trình Riccati dạng đặc biệt tích phân được bằng cầu phương (xem [8]).

Giải phương trình vi phân Riccati y' = -1 x² y² + 1 xy + 1, với nghiệm riêng y₁ = x Ta tìm nghiệm tổng quát dưới dạng y = y₁ + 1/u = x + 1/u Bằng cách lấy đạo hàm và thay vào phương trình, ta sẽ có được kết quả cần thiết.

⇒u 0 − u x = 1 x 2 Đây là phương trình vi phân tuyến tính cấp 1 theo u Dùng thừa số tích phân e

Lấy tích phân ta được 1 xu= R 1 x 3 dx = −1

2x 2 +c Với c là hằng số tùy ý

Cuối cùng ta thu được nghiệm tổng quát của phương trình Riccati là: y = x+ cx 2 −1

Phương pháp Runge - Kutta

Định nghĩa 1.12 Pháp số có dạng

(1.8) gọi là một phương pháp Runge-Kutta s nấc với các hệ số a ij (i = 1, s, j = 1, s), b j (j = 1, s), c j (j = 1, s) được cho bởi bảng Butcher sau c A b T

Ví dụ 1.13 Phương pháp Runge – Kutta 4 nấc cho bởi bảng:

Phương pháp Runge - Kutta 4 nấc cho bởi bảng

Xây dựng các phương pháp Adams hiển và phương pháp Milne -

Phương pháp tuyến tính k bước

Tính phù hợp của phương pháp tuyến tính k bước 28

 ρ(1) = 0 φ f (y n+1 , , y n+1−k , x n+1−k ,0) = ρ 0 (1)f(x n+1−k , y n+1−k ) Với đa thức đặc trưng thứ nhất ρ(t) = t k − k

Từ (*) và (**) ta có định lý về sự phù hợp Định lý 2.1 (Xem [10]) Phương pháp số (2.1) phù hợp khi và chỉ khi thỏa mãn điều kiện

Ví dụ 2.6 Xét sự phù hợp của phương pháp số: y n+1 = 17 9 y n + 17 9 y n−1 − 17 1 y n−2 + 6

Phương pháp (*) có số bước k = 3, với α 1 = 9

P i=1 α i (3−i)Vậy phương pháp (*) phụ thuộc.

Tính zero ổn định của phương pháp tuyến tính k bước 30

Đa thức đặc trưng thứ nhất của phương pháp số (2.1) được gọi là thỏa mãn điều kiện nghiệm khi mọi nghiệm của nó có modul nhỏ hơn hoặc bằng 1, và các nghiệm có modul bằng 1 phải là nghiệm đơn Phương pháp số (2.1) được xem là zero - ổn định nếu đa thức đặc trưng thứ nhất thỏa mãn điều kiện nghiệm này.

Sự hội tụ của phương pháp tuyến tính đa bước

Phương pháp (2.1) hội tụ khi và chỉ khi nó zero - ổn định và phù hợp.

Ví dụ 2.7 Phương pháp Adams - Bashforth 3 bước : yn + 1 = yn+ 12 h [23f(xn, yn)−16f(x n−1 , y n−1 ) + 5f(x n−2 , y n−2 )]

12 Đa thức đặc trưng thứ nhất của phương pháp Adams - Bashforth 3 bước là ρ(t) = t 3 −t 2 ρ(t) = 0 ⇒ t 3 −t 2 = 0

 t = 1 ⇒ |t| = 1 t = −1⇒ |t| = 1 t = 0 ⇒ |t| < 1 ρ(t) = 0 thỏa mãn điều kiện nghiệm nên phương pháp trên zero - ổn định.

P i=1 α i (3−i)Nên phương pháp trên phù hợp và hội tụ.

Cấp chính xác của phương pháp tuyến tính đa bước 31

Để tìm cấp chính xác của phương pháp tuyến tính đa bước (2.1) ta cần có đa thức đặc trưng thứ nhất ρ(t) = t k − k

P i=1 α i t k−i và đa thức đặc trưng thứ hai σ(t) k

Phương pháp số tuyến tính đa bước (2.1) đạt cấp chính xác p≥ 1 nếu và chỉ nếu tồn tại một hằng số c khác 0 sao cho ρ(t+ 1)−σ(t+ 1) ln(t+ 1) = ct p+1 + 0(t p+2 ), trong đó 0(t p+2 ) là một đại lượng rất nhỏ so với t p+2 khi t tiến tới 0.

Ví dụ 2.8 Phương pháp Adams - Bashforth 2 bước: y n+1 = y n +h[3

2f(x n−1 , y n−1 )] Đa thức đặc trưng thứ nhất của phương pháp trên là ρ(t) = t 2 −t Đa thức dặc trưng thứ hai là σ(t) = 3

⇒ Phương pháp trên có cấp chính xác p = 2.

Công thức Adams - Bashforth

Xây dựng công thức

Lấy tích phân 2 vế từ xn đến xn+1 của phương trình y 0 (x) =f(x, y(x)) ta được: x n+1

0 y 0 (x n +th)dt Áp dụng công thức nội suy Newton lùi cho y 0 n+t := y 0 (x n +th) và y 0 n y 0 (x n ) ta được: y n+t 0 = y 0 n + ∇y n 0

Thay y(x n ) bởi xấp xỉ y n ta có: y n+1 = y n +h[y n 0 +∇y n 0

95800320 Vậy ta có công thức Adams - Bashforth y n+1 = y n +h f(x n , y n ) + 1

Một vài phương pháp Adams - Bashforth

8 Đa thức đặc trưng thứ nhất của phương pháp Adams - Bashforth 4 bước là ρ(t) = t 4 −t 3 ρ(t) = 0 ⇒ t 4 −t 3 = 0

⇒ρ(t) thỏa mãn điều kiện nghiệm.

Do đó phương pháp Adams - Bashforth 4 bước zero - ổn định.

⇒ Phương pháp trên phù hợp.

⇒ Phương pháp Adams - Bashforth 4 bước hội tụ. Đa thức đặc trưng thứ hai của phương pháp trên là σ(t) = 55

Vậy phương pháp Adams - Bashforth 4 bước có cấp chính xác p = 4.

Ví dụ 2.10 Phương pháp Adams - Bashforth 5 bước: y n+1 = y n + h[1901

720f(x n−4 , y n−4 )] Đa thức đặt trưng thứ nhất của phương pháp trên là ρ(t) = t 5 −t 4 ρ(t) = 0 ⇒ t 5 −t 4 = 0

" t = 1 t = 0 Suy ra đa thức đặc trưng thứ nhất thỏa mãn điều kiện nghiệm.

Nên phương pháp trên zero - ổn định.

Nên phương pháp trên phù hợp.

Vậy phương pháp Adams - Bashforth hội tụ. Đa thức đặc trưng thứ hai σ(t) = 1901

Vây phươg pháp Adams - Bashforth 5 bước có cấp chính xác p= 5

288f(x n−5 , y n−5 )] Đa thức đặc trưng thứ nhất: ρ(t) = t 6 −t 5 ρ(t) = 0 ⇒ t 6 −t 5 = 0

⇒ρ(t) thỏa mãn điều kiện nghiệm

Nên phương pháp trên zero - ổn định.

⇒ Phương pháp trên phù hợp.

Vậy phương pháp Adams - Bashforth 6 bước hội tụ. Đa thức đặc trưng thứ hai σ(t) = 4277

60480f(x n−6 , y n−6 )] Đa thức đặc trưng thứ nhất ρ(t) =t 7 −t 6 ρ(t) = 0 ⇒ t 7 −t 6 = 0

⇒ρ(t) thỏa mãn điều kiện nghiệm nên phương pháp trên zero - ổn định.

⇒ Phương pháp trên phù hợp do đó phương pháp Adams - Bashforth 7 bước hội tụ. Đa thức đặc trưng thứ hai σ(t) = 198721

Các phương pháp Adams - Bashforth bậc cao

* Với k = 9 ta cũng có phương pháp Adams - Bashforth 9 bước yn+1 = yn+h

Tính cấp chính xác và xét sự hội tụ của phương pháp Adams - Bashforth

9 bước. Đa thức đặc trưng thứ nhất ρ(t) = t 9 −t 8 ρ(t) = 0 ⇒ t 9 −t 8 = 0

⇒Phương pháp trên phù hợp nên phương pháp Adams - Bashforth 9 bước hội tụ. Đa thức đặc trưng thứ hai σ(ξ) = 14097247

* Với k = 10 ta cũng tìm được phương pháp Adams - Bashforth 10 bước y n+1 = y n +h

Ta tính cấp chính xác và xét sự hội tụ của phương pháp Adams - Bashforth

10 bước. Đa thức đặc trưng thứ nhất ρ(t) = t 10 −t 9 ρ(t) = 0 ⇒ t 1 0−t 9 = 0

⇒ Phương pháp trên phù hợp do đó phương pháp Adams - Bashforth 10 bước hội tụ. Đa thức đặc trưng thứ hai σ(t) = 4325321

Vậy phương pháp Adams - Bashforth 10 bước có cấp chính xác p= 10.

* Với k = 11 ta cũng tìm được phương pháp Adams - Bashforth 11 bước y n+1 = y n +h

Phương pháp Milne - Simpson

Giới thiệu

Xét bài toán Cauchy (1.1) Kí hiệu y n 0 = f(xn, y(xn)) Lấy tích phân hai vế của bài toán Cauchy từ x n−1 đến x n+1 ta được y(x n+1 ) =y(x n ) + x n+1

Z x n−1 y 0 (x)dx Đặt t = x−xn h ⇒x = x n +th ⇒dx = hdt x = x n−1 ⇒t = −1 x = xn+1 ⇒t = 1

−1 y 0 (x n +th)dt (2.2) Áp dụng công thức nội suy Newton lùi cho y 0 (x n + th) = y 0 n+t và y n 0 y 0 (x n ) =f(x n , y(x n )) ta được y n+t 0 = y n 0 + t

Ta lại có công thức sai phân lùi∇y n 0 = ∆y 0 n−1 = y n 0 −y 0 n−1 ,∇ k y n 0 = ∆ k y n−k 0 thay vào công thức nội suy Newton ta được y n+t 0 = y n 0 + t

Xuất phát từ x n+1 ( thay n= n+ 1, t = t−1 ) ta có y n+t 0 = y n+1 0 + t−1

+R −1 1 (t−1)t (t+k−2) k dt∇ k y n+1 0 + ] (2.5’) Định nghĩa 2.4 Phương pháp Milne - Simpson là phương pháp tuyến tính k bước (2.1) với α2 = 1, αj = 0, j = 0,1,3,4, có dạng y n+1 = y n−1 +h[β 0 f(x n+1 , y n+1 )+β 1 f(x n , y n )+ +β k f(x n+1−k , y n+1−k )]

P j=0 β j f(x n+1−j , y n+1−j ) với hệ số β j được xác định từ công thức (2.5’)

1 Với k = 2 ta có phương pháp Milne - Simpson 2 bước y n+1 = y n−1 +h(2y n+1 0 −2∇y n+1 0 + 1

Phương pháp Milne - Simpson 2 bước gọi là phương pháp Simpson.

⇒ không có phương pháp Minle - Simpson 3 bước.

3 Với k = 4 ta có phương pháp Milne - Simpson 4 bước

4 Phương pháp Milne - Simpson 5 bước

Đa thức đặc trưng thứ nhất

Phương pháp số Milne - Simpson là phương pháp tuyến tính k bước có đa thức đặc trưng thứ nhất ρ(t) =t k −t k−2

Cấp chính xác và sự hội tụ của phương pháp Milne - Simpson

Xét phương pháp Milne - Simpson 2 bước y n+1 = y n−1 + h

Cách 1: Sử dụng định nghĩa

Phương pháp số này có cấp chính xác p= 4.

Cách 2: Sử dụng định lý Đa thức đặc trưng thứ nhất ρ(t) =t 2 −1 Đa thức đặc trưng thứ hai σ(t) = 1

90t 5 + o(h 6 ) Vậy phương pháp Simpson có cấp chính xác p= 4.

2 Sự hội tụ Đa thức đặc trưng thứ nhấtρ(t) = t 2 −1khi đóρ(1) = 0vàρ 0 (t) = 2t

2 = f(x n , y n ) Phương pháp Simpson phù hợp. Đa thức đặc trưng thứ nhất ρ(t) = t 2 −1 ρ(t) = 0 ⇒t 2 −1 = 0

⇒ρ(t) thỏa mãn điều kiện nghiệm Suy ra có tính zero - ổn định.Vậy phương pháp Simpson hội tụ.

Xét phương pháp Milne - Simpson 4 bước: y n+1 = y n−1 + h

1 Cấp chính xác: Đa thức đặc trưng thứ nhất ρ(t) = t 4 −t 2 Đa thức đặc trưng thứ hai σ(t) = 29

90t 5+1 + o(h 6+1 ) Vậy phương pháp Milne - Simpson bốn bước có cấp chính xác bằng 5.

Ta có: Đa thức đặc trưng thứ nhất ρ(t) = t 4 −t 2 khi đó ρ(1) = 0 và ρ 0 (t) = 4t 3 −2t ⇒ ρ 0 (1) = 2 φ f (y n+1 , , y n−3 , x n−3 , h) = 1

Phương pháp Milne - Simpson 4 bước phù hợp. Đa thức đặc trưng thứ nhất ρ(t) = t 4 −t 2 ρ(t) = 0 ⇒t 4 −t 2 = 0

⇒ρ(t) thỏa mãn điều kiện nghiệm Suy ra có tính zero - ổn định.

Vậy phương pháp Milne - Simpson bốn bước hội tụ.

Để giải bài toán Cauchy hiệu quả, việc kết hợp hai phương pháp tuyến tính đa bước Adams - Bashforth và Milne - Simpson là rất cần thiết Phương pháp đa bước hiển giúp dự báo nghiệm, trong khi phương pháp đa bước ẩn được sử dụng để điều chỉnh nghiệm.

Dự báo bằng phương pháp Adams - Bashforth hai bước, hiệu chỉnh bằng phương pháp Milne - Simpson hai bước

Bài toán

Tìm nghiệm gần đúng y n+1 của bài toán sử dụng cặp phương pháp:

Thuật toán

Bước 1: Chia đoạn [a, b] thành N phần bằng nhau bởi các điểm chia a = x 0 , x 1 , , x N = b,

N , x 01 = x 0 +h Bước 2: Sử dụng phương pháp Runge - Kutta hiển thị 4 nấc tính giá trị y 1 , y 2

6f(x n +h, Y n4 )] với n= 0,1 và ta chọn yn+1 = y ∗ n+1

Bước 3: Dự báo y 3 bằng phương pháp Adams - Bashforth 2 bước y n+1 = y n + h

Bước 4: Hiệu chỉnhy 3 lần đầu tiên bằng phương pháp Milne - Simpson

3[f(x n+1 , y n+1 ) + 4f(x n , y n ) +f(x n−1 , y n−1 )] Bước 5: Hiệu chỉnhy 3 lần 2 bằng bằng phương pháp Milne - Simpson

Nếu y 3 k −y 3 k−1 < ε k = 1,2,3, (*) thì dừng thực hiện, ngược lại thì tiếp tục hiệu chỉnh y1 cho đến khi thỏa mãn điều kiện (*).

Kí hiệu y ∗ 3 là giá trị hiệu chỉnh thỏa mãn điều kiện (*)

Bước 6: Tiếp tục sử dụng phương pháp Adams - Bashforth 2 bước dự báo giá trị y4.

Bước 7: Thực hiện hiệu chỉnhy 4 cho đến khi thỏa mãn y 4 k −y 4 k−1 < ε k = 1,2,3, thì dừng, chuyển sang dự báo y 5

Bước 8: Dự báo và hiệu chỉnh y 5

Thực hiện tuần tự cho đến yN.

Áp dụng thuật toán trên giải bài tập

Nghiệm giải tích của bài toán trên là y(x) =−2−2x+x 2 −e −x Chia đoạn [0,1] thành 1000 phần bằng nhau, khi đó h = 0,001.Chọn ε = 10 −20

Tính giá trị y1 bằng phương pháp Runge - Kutta hiển bốn nấc

Y04 = 0,99900099974987500000 y 1 = 0.999000500166708 Tương tự dùng phương pháp Runge - Kutta hiển bốn nấc ta tính được y 2 = 0,998002001332833

Dự báo y 3 bằng phương pháp Adams - Bashforth 2 bước y 3 = y 2 + h

2(3f(x 2 , y 2 )−f(x 1 , y 1 )) = 0,99700450408091710450 Hiệu chỉnh y 3 bằng phương pháp Milne - Simpson 2 bước lần thứ nhất y 3 1 = y 1 + h

Hiệu chỉnh y 3 bằng phương pháp Milne - Simpson 2 bước lần thứ 2 y 3 2 = y 1 + h

Hiệu chỉnh y3 bằng phương pháp Milne - Simpson 2 bước lần thứ 3 y 3 3 = y 1 + h

Chúng ta tiến hành dự báo và điều chỉnh các giá trị còn lại, và dưới đây là bảng tổng hợp một số giá trị x, y dự báo, y hiệu chỉnh và y được tính toán bởi Maple.

Bảng so sánh sai số ym-yd và ym-yh x ym-yd ym-yh

Giá trị hiệu chỉnh của nghiệm gần với giá trị nghiệm do Maple tính hơn so với giá trị dự báo, với sai số rất nhỏ chỉ đến 12 chữ số sau dấu phẩy Điều này chứng tỏ rằng thuật toán dự báo và hiệu chỉnh rất hiệu quả trong việc giải bài toán Cauchy.

Hình 3.1: Đồ thị biểu diễn nghiệm hiệu chỉnh

Hình 3.2: Đồ thị biểu diễn nghiệm do mapple tính

Chia đoạn [0,1] thành 1000 phần bằng nhau, khi đó h = 0,001. Chọn ε = 10 −20

Tính giá trị y 1 bằng phương pháp Runge - Kutta hiển bốn nấc

Y 04 = 1,0005408475424895893 y 1 = 1,00054057487874 Tương tự dùng phương pháp Runge - Kutta hiển bốn nấc ta tính được y 2 = 1,00108169449224

2(3f(x 2 , y 2 )−f(x 1 , y 1 )) = 1,0016233584809378328 Hiệu chỉnh y 3 bằng phương pháp Milne - Simpson 2 bước lần thứ nhất y 3 1 = y 1 + h

Hiệu chỉnh y3 bằng phương pháp Milne - Simpson 2 bước lần thứ 3 y 3 3 = y1 + h

Hiệu chỉnh y 3 bằng phương pháp Milne - Simpson 2 bước lần thứ 4 y 3 4 = y1 + h

Chúng tôi đã tiến hành dự báo và điều chỉnh các giá trị còn lại, và dưới đây là bảng kết quả với một số giá trị x, y dự báo, y hiệu chỉnh và y do Maple tính toán.

1 1,725601563563801 1,725601563541780 1,725601465357914Bảng so sánh sai số ym-yd và ym-yh x ym-yd ym-yh

Bảng trên cho thấy giá trị hiệu chỉnh vượt trội so với giá trị dự báo, với sai số giữa chúng rất nhỏ Điều này có ý nghĩa quan trọng trong việc giải gần đúng các phương trình vi phân bằng phương pháp dự báo và hiệu chỉnh.

Hình 3.4: Đồ thị biểu diễn nghiệm do maple tính

Sử dụng phần mềm Maple, chúng tôi đã thực hiện các phép tính và tạo ra bảng dữ liệu với các giá trị cơ bản x, y, cùng với dự báo y và y hiệu chỉnh được tính toán từ Maple.

Ta có các đồ thị sau:

Chia đoạn [0; 1] thành 1000 phần bằng nhau, khi đó h = 0,001. Chọn ε = 10 −20

Tương tự dùng phương pháp Runge - Kutta hiển bốn nấc ta tính được y 2 = 4,00000000000001.10 −12

2(3f(x 2 , y 2 )−f(x 1 , y 1 )) = 1,5500000000000033969.10 −11 Hiệu chỉnh y 3 bằng phương pháp Milne - Simpson 2 bước lần thứ nhất y 3 1 = y 1 + h

Chúng tôi dự báo và điều chỉnh các giá trị còn lại, và dưới đây là bảng với một số giá trị x, y dự báo, y hiệu chỉnh và y do Maple tính toán.

1 0,257201866070498 0,257201870262802 0,257201870262640 Bảng so sánh sai số ym-yd và ym-yh x ym-yd ym-yh

So sánh giữa giá trị dự báo và giá trị nghiệm do Maple tính cho thấy rằng sai số của giá trị hiệu chỉnh so với giá trị nghiệm rất nhỏ Hơn nữa, sai số giữa giá trị hiệu chỉnh và giá trị nghiệm cũng thấp hơn so với sai số của giá trị dự báo Do đó, có thể khẳng định rằng giá trị hiệu chỉnh vượt trội hơn so với giá trị dự báo.

Dự báo bằng phương pháp Adams - Bashforth ba bước, hiệu chỉnh bằng phương pháp Milne - Simpson hai bước

Bài toán

Thuật toán

Kí hiệuy ∗ k là giá trị hiệu chỉnh thỏa mãn điều kiện y t k −y k t−1 < ε(**), với ε= 1.10 −20

Bước 2: Sử dụng phương pháp Runge - Kutta hiển 4 nấc tính y 1 , y 2

6f(x n +h, Y n4 )] với n= 0,1 và ta chọn yn+1 = y ∗ n+1

Bước 4: Hiệu chỉnh y 3 lần đầu tiên bằng phương pháp Milne - Simp- son 2 bước: y 1 n+1 = y n−1 + h

3[f(x n+1 , y n+1 0 ) + 4f(x n , y n ) +f(x n−1 , y n−1 )] Bước 5: Hiệu chỉnhy3 lần 2 bằng bằng phương pháp Milne - Simpson

3[f(xn+1, y n+1 1 ) + 4f(xn, yn) +f(x n−1 , y n−1 )] Bước 6: Nếu y 3 k −y 3 k−1 < ε, k = 1,2,3, thì dừng thực hiện hiệu chỉnh, ngược lại thì tiếp tục hiệu chỉnh y 3 cho đến khi thỏa mãn điều kiện (**).

Bước 7: Tiếp tục dự báo và hiệu chỉnh y 4 cho tới khi thỏa điều kiện (**).

Bước 8: Tương tự, thực hiện tuần tự cho đến yN.

Áp dụng thuật toán trên giải một số bài toán

Nghiệm giải tích của bài toán trên là y(x) = 2−2x+x 2 −e −x

Chia đoạn [0,1] thành 1000 đoạn bằng nhau, khi đó h = 0,001 Chọn ε = 10 −20

Y 04 = 0.99900099974987500000 y 1 = 0.999000500166708 Tương tự dùng phương pháp Runge - Kutta hiển bốn nấc ta tính được y2 = 0.998002001332833

Dự báo y3 bằng phương pháp Adams - Bashforth 3 bước y3 = y2 + h

Hiệu chỉnh y 3 bằng phương pháp Milne - Simpson 2 bước lần thứ nhất y 3 1 = y 1 + h

Chúng tôi đã dự báo và điều chỉnh các giá trị còn lại, và dưới đây là bảng thể hiện một số giá trị x, y dự báo, y hiệu chỉnh, và y được tính toán bởi phần mềm Maple.

Dựa vào bảng trên, giá trị hiệu chỉnh so với giá trị y n trong Maple có 13 chữ số chắc giống nhau, và giá trị dự báo cũng đạt 13 chữ số chắc Do h rất nhỏ, nên sai lệch giữa kết quả hiệu chỉnh và kết quả dự báo không đáng kể Tuy nhiên, việc hiệu chỉnh y n vẫn mang lại kết quả chính xác hơn so với dự báo.

Chia đoạn [0; 1] thành 1000 đoạn bằng nhau, khi đó h = 0,001 Chọn ε = 10 −20

Y 04 = 0,99729010151915679265 y 1 = 0,997285905566519 Tương tự dùng phương pháp Runge - Kutta hiển bốn nấc ta tính được y 2 , y 3 y 2 = 0,994580157507125

Hiệu chỉnh y3 bằng phương pháp Milne - Simpson 2 bước lần thứ nhất y 3 1 = y 1 + h

Chúng tôi đã tiến hành dự báo và điều chỉnh các giá trị còn lại, và dưới đây là bảng hiển thị một số giá trị x, y dự báo, y hiệu chỉnh, cùng với y được tính toán bởi Maple.

Giá trị dự báo và giá trị hiệu chỉnh gần đúng với giá trị do Maple tính toán Qua các bài toán, việc tính giá trị y1, y2 bằng phương pháp Runge - Kutta 4 nấc, sau đó hiệu chỉnh bằng cặp phương pháp Adams - Bashforth 3 bước và Milne - Simpson 2 bước, cho kết quả tốt hơn so với cặp phương pháp Adams - Bashforth 2 bước và Milne - Simpson 2 bước.

Y 04 = −1,2500000000000000000.10 −13 y1 = 3,33333354166667.10 −10 Tương tự dùng phương pháp Runge - Kutta hiển bốn nấc ta tính được y 2 , y 3 y2 = 2,66550045821530.10 −9

Ta có y 3 2 −y 3 1 = 2,775.10 −16 > ε Hiệu chỉnh y 3 bằng phương pháp Milne - Simpson 2 bước lần thứ 3 y 3 3 = y 1 + h

Ta có y 3 2 −y 3 1 = 9.10 −20 > ε Hiệu chỉnh y3 bằng phương pháp Milne - Simpson 2 bước lần thứ 4 y 3 4 = y 1 + h

Chúng tôi đã tiến hành dự báo và điều chỉnh các giá trị còn lại, và dưới đây là bảng hiển thị một số giá trị x, y dự báo, y hiệu chỉnh, cũng như y được tính toán bởi phần mềm Maple.

Dựa vào bảng số liệu, chúng ta so sánh giá trị dự báo với giá trị mà Maple tính toán chính xác đến 8 - 9 chữ số Kết quả cho thấy sai số giữa hai giá trị này là rất nhỏ, điều này có ý nghĩa quan trọng trong việc tìm nghiệm chính xác cho phương trình vi phân.

Dự báo bằng phương pháp Adams - Bashforth 2 bước và hiệu chỉnh bằng phương pháp Milne - Simpson 4 bước

Bài toán

Kí hiệuy ∗ k là giá trị hiệu chỉnh thỏa mãn điều kiện y t k −y k t−1 < ε(**), với ε= 1.10 −20

Bước 2: Sử dụng phương pháp Runge - Kutta hiển 4 nấc tínhy 1 , y 2 , y 3

6f(x n +h, Y n4 )] với n= 0,1,2 và ta chọn yn+1 = y ∗ n+1

Bước 4: Hiệu chỉnh y 4 lần đầu tiên bằng phương pháp Milne - Simp- son4 bước: y 1 n+1 = y n−1 + h

Bước 5: Hiệu chỉnhy 4 lần 2 bằng bằng phương pháp Milne - Simpson

Bước 6: Nếu y 4 k −y 4 k−1 < ε, k = 1,2,3, thì dừng thực hiện hiệu chỉnh, ngược lại thì tiếp tục hiệu chỉnh y 4 cho đến khi thỏa mãn điều kiện (**).

Bước 7: Tiếp tục dự báo và hiệu chỉnh y 4 cho tới khi thỏa điều kiện (**).

Bước 8: Tương tự, thực hiện tuần tự cho đến y N

3.3.3 Áp dụng thuật toán trên giải bài tập

Y 04 = 0,99729010151915679265 y 1 = 0,997285905566519 Tương tự dùng phương pháp Runge - Kutta hiển bốn nấc ta tính được y 2 = 0,994580157507125 y3 = 0,991882713463256

Chúng tôi đã thực hiện việc dự báo và hiệu chỉnh các giá trị còn lại, và dưới đây là bảng kết quả với một số giá trị x, y dự báo, y hiệu chỉnh và y được tính toán bởi Maple.

Giá trị dự báo và giá trị hiệu chỉnh so với giá trị do Maple tính toán có sai số rất nhỏ, đặc biệt là giá trị hiệu chỉnh Điều này chứng tỏ rằng việc hiệu chỉnh mang lại kết quả tốt hơn nhiều so với dự báo.

Chia đoạn [0; 1] thành 1000 đoạn bằng nhau, khi đó h = 0,001Chọn ε = 10 −20

Y 04 = 0,99900199899900075000 y 1 = 0,999000999334333 Tương tự dùng phương pháp Runge - Kutta hiển bốn nấc ta tính được y 2 = 0,998003994680308 y 3 = 0,997008982067806

Dự báo y 4 bằng phương pháp Adams - Bashforth 2 bước y3 = y2 + h

2(3f(x2, y2)−f(x1, y1)) = 0,99601595918901910206 Hiệu chỉnh y 4 bằng phương pháp Milne - Simpson 4 bước lần thứ nhất y 4 1 = y 2 + h

Chúng ta tiếp tục dự báo và điều chỉnh các giá trị còn lại, dưới đây là bảng với một số giá trị x, y dự báo và y hiệu chỉnh được tính toán bởi Maple.

Dựa trên bảng dữ liệu, giá trị hiệu chỉnh cho thấy sự cải thiện rõ rệt so với giá trị dự báo, điều này có ý nghĩa quan trọng trong việc áp dụng phương pháp dự báo - hiệu chỉnh để giải gần đúng các phương trình vi phân.

Chia đoạn [0; 1] thành 1000 đoạn bằng nhau, khi đó h = 0,001

Y 04 = 0,00099900025014568755817 y1 = 0,000999499999999902 Tương tự dùng phương pháp Runge - Kutta hiển bốn nấc ta tính được y 2 = 0,00199800000058168 y 3 = 0,00299550000323785

2(3f(x 2 , y 2 )−f(x 1 , y 1 )) = 0,0039920000092930122430 Hiệu chỉnh y 4 bằng phương pháp Milne - Simpson 4 bước lần thứ nhất y 4 1 = y2+ h

Chúng ta tiếp tục dự báo và điều chỉnh các giá trị còn lại, dưới đây là bảng với một số giá trị x, y dự báo, y hiệu chỉnh và y do Maple tính toán.

So sánh giá trị hiệu chỉnh và giá trị dự báo với giá trị do Maple tính cho thấy sai số giữa giá trị hiệu chỉnh và giá trị Maple là nhỏ Sự chênh lệch giữa giá trị dự báo và giá trị hiệu chỉnh cũng không đáng kể, điều này rất quan trọng trong việc tìm nghiệm gần đúng cho phương trình vi phân.

Chương trình giải trên Maple

Digits: : ham:=-y+x^2; n:00; a:=0; b:=1; y0:=1; h:=evalf((b-a)/n): f:=unapply(ham,x,y): epsilon:^(-20): nmax:0:

> for i from 0 to n do x[i]:=a+i*h: end do:

> yh[0]:=evalf(y0,20): yd[0]:=evalf(y0,20): for z from 1 to 2 do

> yd[3]:=evalf(yd[2]+(h/12)*(23*f(x[2],yd[2])-16*f(x[1], yd[1])+5*f(x[0],yh[0])),20);

H[3][1]:=evalf(yh[1]+(h/3)*(f(x[3],H[3][0])+4*f(x[2],yh[2]) +f(x[1],yh[1])),20); i:=1: while abs(H[3][i]-H[3][i-1])>epsilon do i:=i+1;

H[3][i]:=evalf(yd[1]+(h/3)*(f(x[3],H[3][i-1])+4*f(x[2], yh[2])+f(x[1],yh[1])),20); if i>nmax then break; end if; end do; yh[3]:=H[3][i];

> for i from 4 to n do yd[i]:=evalf(yh[i-1]+(h/12)*(23*f(x[i-1],yh[i-1])

+4*f(x[i-1],yh[i-1])+f(x[i-2],yh[i-2])),20): j:=1: while abs(H[i][j]-H[i][j-1])>epsilon do j:=j+1;

+4*f(x[i-1],yh[i-1])+f(x[i-2],yh[i-2])),20): if j>nmax then break; end if; end do: yh[i]:=H[i][j]; end do:

Trong trường hợp không tìm được nghiệm chính xác cho phương trình vi phân, Maple sẽ sử dụng phương pháp Runge-Kutta bậc 4-5 để cung cấp nghiệm số nhằm làm cơ sở so sánh Nếu nghiệm chính xác tồn tại, nó sẽ được hiển thị và in ra dưới dạng hàm y(x) Kết quả sẽ được trình bày với các giá trị x tương ứng.

"y du bao","y hieu chinh","y Maple","yM-yd","yM-yh");

> for i from 0 to 10 do printf("%10.3f %20.15f %20.15f %20.15f %20.15f %20.15f\n" ,x[i*n/10],yd[i*n/10],yh[i*n/10],evalf(ngh(x[i*n/10])), evalf(abs(ngh(x[i*n/10])-yd[i*n/10])), evalf(abs(ngh(x[i*n/10])-yh[i*n/10]))); end do;

> p1:=plot(ngh(t),t=a b,color=red,legend="Nghiệm do maple tính"): p2:=plot([seq([x[i],yh[i]],i=0 n)],color=blue,style=point, legend="Nghiệm hiệu chỉnh"): plots[display](p1,p2);

> p1:=plot(ngh(t),t=a b,color=red,legend="Nghiệm do maple tính"): plots[display](p1);

> p2:=plot([seq([x[i],yh[i]],i=0 n)],color=blue, legend="Nghiệm hiệu chỉnh"): plots[display](p2);

To visualize the solutions for forecasting and adjustment, we utilize the following code: `p1:=plot([seq([x[i],yd[i]],i=0 n)],color=blue, legend="Forecasting Solution")` for the forecasting solution and `p2:=plot([seq([x[i],yh[i]],i=0 n)],color=red, legend="Adjusted Solution")` for the adjusted solution These plots are displayed together using `plots[display](p1,p2)` For problems 2, 3, and 4, the same code can be applied, simply replacing the function f(x, y) with the respective function for each problem.

>gtn:=Maplets[Display](GD); ham:=parse(gtn[1]); n:=parse(gtn[4]); a:=parse(gtn[2]); b:=parse(gtn[3]); y0:=parse(gtn[5]); h:=evalf((b-a)/n): f:=unapply(ham,x,y): epsilon:^(-20): nmax:0:

>for i from 0 to n do x[i]:=a+i*h: end do:

>yh[0]:=evalf(y0,20): yd[0]:=evalf(y0,20): for z from 1 to 2 do

>yd[3]:=evalf(yd[2]+(h/2)*(3*f(x[2],yd[2])-f(x[1],yh[1])), 20);

H[3][1]:=evalf(yh[1]+(h/3)*(f(x[3],H[3][0])+4*f(x[2],yh[2])+f(x[1],yh[1])),20); i:=1: while abs(H[3][i]-H[3][i-1])>epsilon do i:=i+1;

H[3][i]:=evalf(yd[1]+(h/3)*(f(x[3],H[3][i-1])+4*f(x[2], yh[2])+f(x[1],yh[1])),20); if i>nmax then break; end if; end do; yh[3]:=H[3][i];

>for i from 4 to n do yd[i]:=evalf(yh[i-1]+(h/2)*(3*f(x[i-1],yh[i-1])-f(x[i-2], yh[i-2])),20);

H[i][1]:=evalf(yh[i-2]+(h/3)*(f(x[i],H[i][0])+4*f(x[i-1], yh[i-1])+f(x[i-2],yh[i-2])),20): j:=1: while abs(H[i][j]-H[i][j-1])>epsilon do j:=j+1;

4*f(x[i-1],yh[i-1])+f(x[i-2],yh[i-2])),20): if j>nmax then break; end if; end do: yh[i]:=H[i][j]; end do:

Trong bài viết này, chúng ta giải phương trình vi phân dạng y' = f(t, y(t)) với điều kiện ban đầu y(0) = y0 Nếu không tìm được nghiệm chính xác, Maple sẽ sử dụng phương pháp Runge-Kutta bậc 4-5 để cung cấp nghiệm số làm cơ sở so sánh Nếu có nghiệm chính xác, nó sẽ được hiển thị dưới dạng hàm y(x) bằng cách sử dụng kết quả từ Maple Cuối cùng, chương trình sẽ in ra các giá trị x cùng với nghiệm tương ứng.

>for i from 0 to 10 do printf("%10.3f %20.15f %20.15f %20.15f %20.15f %20.15f\n" ,x[i*n/10],yd[i*n/10],yh[i*n/10],evalf(ngh(x[i*n/10])), evalf(abs(ngh(x[i*n/10])-yd[i*n/10])), evalf(abs(ngh(x[i*n/10])-yh[i*n/10]))); end do;

>p1:=plot(ngh(t),t=a b,color=red,legend="Nghiệm do maple tính"): p2:=plot([seq([x[i],yh[i]],i=0 n)],color=blue,style=point, legend="Nghiệm hiệu chỉnh"): plots[display](p1,p2);

>p1:=plot(ngh(t),t=a b,color=red,legend="Nghiệm do maple tính"): plots[display](p1);

>p2:=plot([seq([x[i],yh[i]],i=0 n)],color=blue, legend="Nghiệm hiệu chỉnh"): plots[display](p2);

Để vẽ đồ thị cho các bài toán 6 và 7, chúng ta sử dụng đoạn mã sau: `p1:=plot([seq([x[i],yd[i]],i=0 n)],color=blue, legend="Nghiệm dự báo")` và `p2:=plot([seq([x[i],yh[i]],i=0 n)],color=red, legend="Nghiệm hiệu chỉnh")` Sau đó, sử dụng lệnh `plots[display](p1,p2)` để hiển thị hai đồ thị Lưu ý rằng trong trường hợp này, hàm f(x, y) cần được thay thế bằng hàm tương ứng trong bài toán 6 và 7, đồng thời chọn giá trị y0 và n phù hợp.

>gtn:=Maplets[Display](GD); ham:=parse(gtn[1]); n:=parse(gtn[4]); a:=parse(gtn[2]); b:=parse(gtn[3]); y0:=parse(gtn[5]); y0:=y[0]; h:=evalf((b-a)/n): f:=unapply(ham,x,y): epsilon:^(-20): nmax:0:

>for i from 0 to n do x[i]:=a+i*h: end do:

>yh[0]:=evalf(y0,20): yd[0]:=evalf(y0,20): for z from 1 to 3 do

>yd[4]:=evalf(yd[3]+(h/2)*(3*f(x[3],yd[3])-f(x[2],yd[2])), 20);

H[4][1]:=evalf(yh[2]+(h/90)*(29*f(x[4],H[4][0])+124*f(x[3], yh[3])+24*f(x[2],yh[2])+4*f(x[1],yh[1])-f(x[0],y[0])),20); i:=1: while abs(H[4][i]-H[4][i-1])>epsilon do i:=i+1;

H[4][i]:=evalf(yd[2]+(h/90)*(29*f(x[4],H[4][i-1])+124* f(x[3],yh[3])+24*f(x[2],yh[2])+ 4*f(x[1],yh[1])-f(x[0],y[0])) ,20); if i>nmax then break; end if; end do; yh[4]:=H[4][i];

>for i from 5 to n do yd[i]:=evalf(yh[i-1]+(h/2)*(3*f(x[i-1],yh[i-1])-f(x[i-2],yh[i-2])),20);

H[i][1]:=evalf(yh[i-2]+(h/90)*(29*f(x[i],H[i][0])+124* f(x[i-1],yh[i-1])+24*f(x[i-2],yh[i-2])+4*f(x[i-3],yh[i-3])- f(x[i-4],yh[i-4])),20): j:=1: while abs(H[i][j]-H[i][j-1])>epsilon do j:=j+1;

H[i][j]:=evalf(yh[i-2]+(h/90)*(29*f(x[i],H[i][j-1])+ 124*f(x[i-1],yh[i-1])+24*f(x[i-2],yh[i-2])+4*f(x[i-3], yh[i-3])

- f(x[i-4],yh[i-4])),20): if j>nmax then break; end if; end do: yh[i]:=H[i][j]; end do:

Để giải phương trình vi phân, ta sử dụng hàm `dsolve` với điều kiện ban đầu y(0)=y0 Nếu không tìm được nghiệm chính xác, Maple sẽ áp dụng phương pháp Runge-Kutta bậc 4-5 để cung cấp nghiệm số cho việc so sánh Nếu tìm thấy nghiệm, ta sẽ sử dụng hàm `unapply` để xác định hàm nghiệm từ kết quả Kết quả nghiệm chính xác sẽ được in ra cùng với giá trị của y(x).

>for i from 0 to 10 do printf("%10.3f %20.15f %20.15f %20.15f %20.10f %20.

15f\n",x[i*n/10],yd[i*n/10],yh[i*n/10],evalf(ngh(x[i*n/10])), evalf(abs(ngh(x[i*n/10])-yd[i*n/10])), evalf(abs(ngh(x[i*n/10])-yh[i*n/10]))); end do;

>p1:=plot(ngh(t),t=a b,color=red,legend="Nghiệm do maple tính"): p2:=plot([seq([x[i],yh[i]],i=0 n)],color=blue,style=point, legend="Nghiệm hiệu chỉnh"): plots[display](p1,p2);

>p1:=plot(ngh(t),t=a b,color=red,legend="Nghiệm do maple tính"): plots[display](p1);

>p2:=plot([seq([x[i],yh[i]],i=0 n)],color=blue, legend="Nghiệm hiệu chỉnh"): plots[display](p2);

Đoạn mã trên sử dụng để vẽ đồ thị hai nghiệm: nghiệm dự báo (màu xanh) và nghiệm hiệu chỉnh (màu đỏ) Đối với các bài toán 9 và 10, bạn chỉ cần thay thế hàm f(x, y) bằng hàm tương ứng của từng bài và chọn giá trị y0 cùng với n thích hợp.

Khóa luận đã khám phá các khái niệm cơ bản và kiến thức nền tảng trong phương pháp số giải phương trình vi phân Trong chương 2, tác giả trình bày chi tiết về việc xây dựng phương pháp Adams-Bashforth và phương pháp Milne-Simpson, đồng thời giới thiệu một số phương pháp Adams-Bashforth bậc cao và tiến hành phân tích sự hội tụ cũng như tính chính xác của chúng.

Sử dụng cặp phương pháp Adams - Bashforth và Milne - Simpson để giải phương trình vi phân thường, bắt đầu bằng việc áp dụng phương pháp Runge - Kutta bậc 4 để tính toán các giá trị y1, y2, y3 Sau đó, thực hiện dự báo và hiệu chỉnh bằng cặp phương pháp này, kết quả thu được cho thấy độ chính xác cao, với giá trị hiệu chỉnh gần sát giá trị nghiệm chính xác và sai số rất nhỏ.

[1] Phạm Kỳ Anh, Giải tích số, Nhà xuất bản ĐHQG Hà Nội, 2000.

[2] Butcher J C., On the convergence of numerical solutions to ordinary differential equation, Math Comp, 20 pp 1 - 10, 1996.

[3] Chartres B A and Stepleman R S.,General theoty of convergence for numerical methods, SIAM J Numer Anal, 9, pp 476 - 492, 1972.

[4] Dahlquits G., Convergence and stability in the numerical inte- gration of ordinary differential equation, Math Scand, 4, pp 33 -

[5] Nguyễn Hữu Điển, Latex với các gói lệnh và phần mềm công cụ, NXB ĐHQG Hà Nội.

[6] Gear C W., Hybrid method for innitial value problems in ordinary differential equation, Math Comp, 20, pp 1 - 10,1965.

[7] Henrici P., Discrete variable methods in ordinary differential equation, Wiley, New York, 1962.

[8] Nguyễn Thế Hoàn, Cơ sở phương trình vi phân và lý thuyết ổn định, NXB Giáo dục, 2000.

[9] Arieh Iserles,A first course in the numerical analysis of differential equation (second edition), Cambridge University Press, NewYork, 2009.

Tiêu đề	Dự Báo Và Hiệu Chỉnh Với Cặp Phương Pháp Adams - Bashforth Và Milne - Simpson Để Giải Số Phương Trình Vi Phân Thường
Tác giả	Huỳnh Thị Như Huệ
Người hướng dẫn	Th.S Nguyễn Hoàng Thành
Trường học	Trường Đại Học Sư Phạm Đà Nẵng
Chuyên ngành	Sư phạm Toán
Thể loại	khóa luận tốt nghiệp
Năm xuất bản	2014
Thành phố	Đà Nẵng

Định dạng
Số trang	111
Dung lượng	596,03 KB